KPZ fluctuations in the planar stochastic heat equation
本文利用Skorokhod积分严格表述平面白噪声下的Wick有序随机热方程，其解为Feynman-Kac鞅的L1极限，并证明远离中心的涨落满足一维KPZ方程。
2024-04-10 math-ph math.AP math.MP
Spectral expansion of LQG heat trace and KPZ scaling
University of Vienna（维也纳大学）
研究二维有界域上Liouville量子引力热迹在t→0时的渐近行为，证明期望热迹谱展开第二项由KPZ关系给出的非平凡指数控制，并得到热核短期行为的相关结果。
2026-06-26 math-ph math.MP math.PR
Introduction to the Liouville quantum gravity metric
刘维尔量子引力（Liouville quantum gravity，LQG）是20世纪80年代首次出现在物理学文献中的一类单参数随机分形表面模型。最近的工作已经建立了一个度量（距离函数）的LQG表面。我们给出了这个度量的建设的概述，并讨论了它的一些最重要的属性，如测地线和KPZ公式的行为。我们还讨论了一些主要的技术证明声明的LQG度量，给出了它们的使用的例子，并讨论了一些开放的问题。
2023-02-23 math-ph math.MG math.MP
Liouville quantum gravity on the annulus
本文在复平面的圆环上构造了刘维尔量子引力。这种构造的目的是为波利亚科夫在1981年发起的理论物理学家的工作提供一个严格的数学框架。它也是共形场论（CFT）的一个非常重要的例子。结果已经得到了黎曼球和单位圆盘，所以本文将遵循相同的方法。环的情况包含两个困难：它是一个具有两个边界的曲面，并且它具有非平凡的模空间。我们恢复外尔异常-一个公式验证了所有的CFT -并从中推导出KPZ公式。我们还证明了在模空间上积分的Liouville量子引力的全配分函数是有限的。这使我们能够给出Liouville测度和随机模的联合律，并写出具有随机平面映射的约束链。
2018-07-06 math-ph math.MP math.PR
Liouville heat kernel: regularity and bounds
本文首次研究了Liouville热核的解析性质。特别地，我们建立了热核上的正则性估计，并得到了非平凡的下界和上界。
2018-06-19 math-ph math.MP math.PR
The heat and the landscape I
1+1维随机环境中的热流在标度到由有向景观描述的随机几何之后收敛。在第一部分中，我们证明了O 'Connell-Yor聚合物和KPZ方程收敛于KPZ不动点。关键是一维Baik-Ben Arous-Peche统计量刻画了KPZ不动点。这产生了一个一般的和基本的方法，显示收敛的基础上建立的极限定理。Quastel和Sharkar在同一时间和地点独立地给出了KPZ收敛的一个无关证明。这些方法在不同的方向上进行了扩展：我们的方法扩展到聚合物模型，而他们的方法扩展到相互作用的粒子系统。
2020-08-17 math.PR
Quantum gravity and the KPZ formula
本文是对B.Duplantier和S. Sheffield的“Liouville量子引力和KPZ”一文的综述（Bourbaki研讨会）。二维（d=2）统计物理模型在其临界点的研究通常是一个相当困难的问题（更不用说d=3的情况了）。八十年代，三位物理学家Knizhnik，Polyakov和Zamolodchikov（KPZ）在\cite{\KPZ}中提出了一种新颖而深远的方法，以理解这些模型的临界行为。其中，人们发现例如随机游动，渗流以及伊辛模型。他们的方法的主要基本思想是沿着如下的两步过程来研究这些模型：a/首先，不是考虑平面的一些规则晶格上的模型（例如$\Z^2$），而是将其定义在精心选择的“随机平面晶格”上。这样做相当于研究{ \it量子引力}形式的模型。在渗流的情况下，随机格的适当选择与所谓的平面映射相匹配。b/然后返回到实际的{ \it Euclidean}设置。这要归功于著名的{ \bf KPZ公式}，它给出了量子引力公式中模型的几何性质与欧几里得情况下模型的类似物之间非常精确的对应关系。这种强大的对应关系的性质和起源在很长一段时间内都是相当神秘的。事实上，KPZ公式仍然没有严格建立，仍然是一个几何对应。这项调查的目的是解释如何最近的工作Duplantier和谢菲尔德能够解释一些神秘隐藏在这个KPZ公式。用一句话来总结他们的贡献，他们的工作意味着通过随机晶格的均匀化对KP…
2012-06-01 math-ph math.CO math.MP
Dimension transformation formula for conformal maps into the complement of an SLE curve
证明了$\mathbb R$的一个确定性Borel子集的Hausdorff维数与它在从上半平面到$κ\not =4$的SLE $_κ$曲线的一个补连通分支的共形映射下的像的豪斯多夫维数之间的关系.我们的证明是基于SLE和Liouville量子引力之间的关系以及Rhodes-Vargas（2011）的一维KPZ公式和Gwynne-Holden-Miller（2015）的KPZ公式。作为一个中间步骤，我们证明了KPZ公式，它涉及的Euclidean维数的一个子集的SLE $_κ$曲线的$κ\in (0,4)\cup(4,8)$和同一组的尺寸相对于$γ$ -量子自然参数化的曲线引起的一个独立的高斯自由场，$γ= \sqrt κ\wedge (4/\sqrtκ)$。
2019-10-16 math-ph math.CV math.MP
Fluctuations of two-dimensional stochastic heat equation and KPZ equation in subcritical regime for general initial conditions
利用Cole-Hopf变换$h=\log u$形式化求解Kardar-Parisi-Zhang方程（KPZ方程），其中$h=\log u$是乘性随机热方程（SHE）的解.在Chatterjee和Dunlap、Caravenna、Sun和Zyeras以及Gu的早期工作中，他们考虑了二维KPZ方程的解，通过具有平坦初始条件和具有噪声的SHE的解$u_\varepsilon$，该解在$\varepsilon$中在空间尺度上被软化并且其强度被减弱为$β_\varepsilon=\hatβ \sqrt{\frac{2π\varepsilon}{-\log \varepsilon}}$，并且他们证明了当$\hatβ\in (0,1)$时，$\frac{1}{β_\varepsilon}(\log u_\varepsilon-\mathbb{E}[\log u_\varepsilon])$在分布上收敛于作为随机场的Edward-Wilkinson模型的解。本文考虑了具有一般初始条件$u_0$的随机热方程$u_\varepsilon$及其在一类函数$\mathfrak{F}$中对$F$的变换$F(u_\varepsilon)$，其中包含$F(x)=x^p$（$0<p\leq 1$）和$F(x)=\log x$ .然后，我们证明了$\frac{1}{β_\varepsilon}(F(u_\varep…
2021-03-12 math.PR
Spectral dimension of Liouville quantum gravity
本文研究2d-Liouville量子引力的谱维数的计算。作为热身，我们首先处理边界刘维尔量子引力的简单情况。通过边界Liouville布朗运动和热核的精确表达式，证明了谱维数为1。然后，我们通过将Liouville热核的时间积分变换分解为布朗桥的高斯乘性混沌来处理2d情形。我们证明，在这种情况下，谱维数是2，正如物理学家（见Ambj \orn等人在\cite{amb}）15年前宣布的那样。
2013-05-01 math-ph math.MP math.PR
On the heat kernel and the Dirichlet form of Liouville Brownian Motion
在\cite{GRV}中，引入了一种称为$\R^2$上的Liouville布朗运动的Feller过程.它可以被看作是一个布朗运动在一个随机几何中的演化，这个随机几何由（大质量）高斯自由场$e^{γX}$的指数形式给出，并且是关于2d-Liouville量子引力的正确的扩散过程。在本说明中，我们讨论了相关的狄利克雷形式的建设，基本上\cite{fuku}和技术介绍\cite{GRV}。然后对刘维尔预解式进行了分析。特别是，我们证明了它是强费勒，从而获得的刘维尔热核的存在通过一个非平凡的定理福岛和人的动机之一，导致引入刘维尔布朗运动在\cite{GRV}是调查令人困惑的刘维尔度量通过眼睛这个新的随机过程。一种可能的方法是使用例如在\cite{stollmann,sturm1,sturm2}中开发的理论，其目的是从存在于该空间上的过程的狄利克雷形式中捕获底层空间的“几何”。更确切地说，在一些温和的假设下的规则性的狄利克雷形式，他们提供了一个内在的度量，这是解释为一个扩展的黎曼几何适用于非微分结构。我们证明，所需的温和的假设得到满足，但相关的内在度量不幸消失，从而表明重正化理论仍然遥不可及的度量方面的狄利克雷形式。
2014-10-16 math-ph math.MP math.PR
Heat kernels on 2d Liouville quantum gravity: a numerical study
本文数值计算了具有Liouville量子引力（LQG）测度的正方形格点环面上的热核。从对角热核我们验证了LQG的谱维数为2。此外，当扩散开始从一个高点的基础高斯自由场，我们的数值表示超扩散的时空尺度相对于欧几里德度量在小的时空制度。这一结果的影响需要进一步的调查，但似乎符合的概念，欧几里德度量是不是正确的测地线表征几何的LQG。
2014-11-06 hep-lat math-ph math.MP
Two-sided heat kernel bounds for $\sqrt{8/3}$-Liouville Brownian motion
Technische Universität Braunschweig（布伦瑞克工业大学）；Kobe University（神户大学）；Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University（京都大学数理科学研究所在）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文研究了当γ=√(8/3)时，Liouville Brownian motion的热核上界和下界，基于√(8/3)-LQG度量，结果在指数上至多相差多项对数因子。
2026-04-15 math-ph math.CV math.MP
Heat kernel for Liouville Brownian motion and Liouville graph distance
本文证明了在$\mathbb V =[0,1]^2 $上的$γ<2$参数的亚临界二维Liouville量子引力的图距离标度指数$χ\in (0,4[(1+γ^2/4)- \sqrt{1+γ^4/16}]/γ^2]$的存在性.我们还证明了对于任何固定的$u,v\in \mathbb V^o$，Liouville热核满足短时间估计$$ \lim_{ t \to 0} \frac{\log |\log {\mathsf p}_t^γ(u,v)| }{|\log t|}=\fracχ{2-χ}, \ \mbox{\rm a.s.} $$
2018-07-02 math.PR
Liouville heat kernel upper bounds at large distances
本文证明刘维尔热核在大距离处快速衰减，并由此推出刘维尔半群 $T_t$ 在无穷远处消失的连续函数空间上具有 $C_0$-Feller 性质。
2023-06-01 math.PR
Hierarchy of KPZ limits arising from directed random walk models in random media
本文研究了随机介质中定向随机游走模型的KPZ极限层次结构，通过削弱假设条件，证明了SHE在多种模型中的出现，并揭示了中等偏差指数的层次结构。
2025-12-01 math-ph math.MP math.PR
On the Liouville heat kernel for k-coarse MBRW and nonuniversality
本文研究了二维环面上的一类数值关联高斯场的Liouville热核（在$L^2$阶段）。我们发现，对于每个$\varepsilon>0$存在这样一个字段，其协方差是一个有界扰动的二维高斯自由场，并使相关的刘维热核满足短时间的估计，$$ \exp \left( - t^{ - \frac 1 { 1 + \frac 1 2 γ^2 } - \varepsilon } \right) \le p_t^γ(x, y) \le \exp \left( - t^{- \frac 1 { 1 + \frac 1 2 γ^2 } + \varepsilon } \right) , $$为$γ<1/2$。特别是，这些是不同的预测，由于Watabiki，关于刘维热核的二维高斯自由场。
2017-01-05 math.PR
Short time large deviations of the KPZ equation
建立了一维带乘性噪声的随机热方程的Freidlin-Wentzell大偏差原理。也就是说，我们引入一个小参数$ \sqrt{\varepsilon} $的噪音，并建立一个LDP的解决方案的轨迹。这样的Freidlin-Wentzell LDP给出了一个变分问题的KPZ方程的短时单点LDP。在窄楔形初始数据下分析这个变分问题，我们证明了近中心尾的二次律和深下尾的$ \frac52 $律。这些幂律证实了现有的物理预测Kolokolov和Korshunov（2007），Kolokolov和Korshunov（2009），Meerson，Katzav和Vilenkin（2016），Le Doussal，Majumdar，Rosso和Schehr（2016）以及Kamenev，Meerson和Sasorov（2016）。
2021-03-18 math.PR
Weak Liouville quantum gravity metrics with matter central charge $\mathbf{c} \in (-\infty, 25)$
物理学的考虑表明，刘维尔量子引力（LQG）理论应该存在于所有的物质中心电荷值$\mathbf{c} \in (-\infty,25)$。概率学家已经严格地将LQG定义为$\mathbf{c} < 1$的随机度量测度空间;然而，他们直到最近才开始在$\mathbf{c} \in (1,25)$阶段探索LQG。我们定义了一个随机度量LQG为所有$\mathbf{c} < 25$的公理类似于公理的集合中规定的$\mathbf{c} < 1$设置。我们表明，这样的度量存在于每个$\mathbf{c}$考虑近似度量称为刘维第一次通过渗流。丁和Gwynne证明，这些近似度量是紧在一个适当选择的拓扑结构，我们表明，每一个连续极限满足我们的公理。特别是，我们的结果定义了一个度量相关的LQG在临界情况下$\mathbf{c} =1$。我们为$\mathbf{c} \in (1,25)$定义的度量表现出与$\mathbf{c} < 1$机制形成鲜明对比的几何行为。我们证明了，对于$\mathbf{c} \in (1,25)$，度量并不诱导欧氏拓扑，因为它们也是一个拓扑.有一个稠密的（测量为零）奇点集，这些点与所有其他点的距离是无限远的。我们用这一事实来证明。度量球不是紧的，它的边界具有无穷大的豪斯多夫维数.尽管有这些差异，我们证明了许多性质的LQG指标$\mathbf{c} < 1$以某种形式扩展到整…
2024-02-22 math-ph math.MP math.PR
Environment seen from infinite geodesics in Liouville Quantum Gravity
$\mathbb{Z}^d$或$\mathbb{R}^d$上的首次通过渗流（FPP）是随机度量空间的规范模型，其中标准欧几里得几何被随机噪声扭曲。中心感兴趣的是测地线的长度和几何形状，点之间的最短路径。由于后者，由于其长度最小化，遍历通过潜在的噪声变量的极低值，它是一个重要的问题，以量化的差异植根于一个点的测地线和典型的环境。我们调查这一背景下的$γ$ -刘维量子引力（LQG）（其中$γ\in (0,2)$是一个参数）-一个随机黎曼表面诱导的复平面上的随机度量张量$e^{2γh/d_γ} ({dx^2+dy^2}),$，其中$h$是整个平面，适当的中心，高斯自由场（GFF），和$d_γ$是相关的尺寸。我们考虑唯一的无限测地线$Γ$从原点，参数化的对数，其化学长度，并表明，几乎肯定实现的$h$，分布的适当规模的领域和诱导度量的球，植根于一个点“均匀”采样$Γ$，分别收敛于广义函数空间上的确定性测度和单位圆盘上的连续度量。此外，我们还证明了单位圆盘上的极限对象相对于它们的典型对应物是奇异的，但在远离原点处是绝对连续的。我们的论点依赖于发掘再生结构的快速衰减的相关性在测地线由于合并和域马尔可夫性的GFF。虽然最近有显着的进展，围绕这个问题的随机平面生长模型在KPZ类，目前的工作启动这一研究计划的背景下，LQG。
2021-07-26 math-ph math.MP math.PR
Liouville quantum gravity with matter central charge in $(1,25)$: a probabilistic approach
关于中心电荷共形物质场${\mathbf{c}}_{\mathrm M}\in(-\infty,1]$的二维Liouville量子引力已有大量的文献。通过DDK变换，LQG可以等价地描述为通过对$γ$乘以平面高斯自由场（GFF）的变体求幂而获得的随机几何，其中$γ\in(0,2]$满足$\mathbf c_{\mathrm M}=25-6(2/γ+γ/2)^2$。物理学的考虑表明，LQG在$\mathbf c_{\mathrm M}>1$时也应该有意义。然而，在这种状态下的行为是相当神秘的，部分原因是$γ$的相应值是复杂的，所以各种公式的解析延拓给出了复杂的答案，这在概率设置中很难解释。我们介绍和研究的LQG的离散化，这是有意义的所有值的$\mathbf c_{\mathrm M}\in(-\infty,25)$。我们的离散化由一个随机的平面地图，定义为相邻图的平铺的平面由二进广场，都有大约相同的“LQG大小”相对于GFF。我们证明了几个公式的尺寸相关的数量仍然是有效的$\mathbf c_{\mathrm M}\in(1,25)$，与警告的尺寸是无限的公式时，给出了一个复杂的答案。特别是，我们证明了一个扩展的（几何）KPZ公式$\mathbf c_{\mathrm M}\in(1,25)$，它给出了一个有限的量子维数当且仅当欧氏维数是最多$(25-\mathbf c_{\math…
2019-11-11 math-ph math.MP math.PR
Non-intersecting path constructions for TASEP with inhomogeneous rates and the KPZ fixed point
本文研究了具有不均匀速率的TASEP模型，利用非相交路径和边值问题，推导出相关核的表达式，推广了KPZ固定点理论。
2023-04-07 math-ph math.CO math.MP
The fractal dimension of Liouville quantum gravity: universality, monotonicity, and bounds
我们证明了对于每个$γ\in (0,2)$，存在一个指数$d_γ> 2$，即“$γ$ -Liouville量子引力（LQG）的分形维数"，它描述了$γ$ -LQG普适类中某些随机平面映射的球体积增长指数，Liouville热核指数，以及$γ$ -LQG距离的各种连续近似的指数，例如Liouville图距离和Liouville第一次通过渗透。我们还表明，$d_γ$是一个连续的，严格递增函数$γ$和证明上，下界$d_γ$，在某些情况下大大提高了以前已知的上述指数的界限。例如，对于$γ=\sqrt 2$（对应于生成树加权平面映射），我们的边界给出$3.4641 \leq d_{\sqrt 2} \leq 3.63299$，在极限情况下，我们得到$4.77485 \leq \lim_{γ\rightarrow 2^-} d_γ\leq 4.89898$。
2019-04-22 math-ph math.MP math.PR
Weyl's law in Liouville quantum gravity
本文证明了Liouville布朗运动特征值的Weyl定律，指出第n个特征值随n线性增长，比例常数由区域的Liouville面积和确定性常数c_γ决定。证明核心是对角热核小时间行为的精确渐近分析，并发现热迹层面逐点波动相互抵消。
2024-05-30 math-ph math.DG math.MP
On groups, slow heat kernel decay yields Liouville property and sharp entropy bounds
设$μ$是群$G$上有限熵的对称概率测度.证明了如果$-\log μ^{(2n)}(id)=o(n^{1/2})$，则对$(G,μ)$具有Liouville性质（$G$上的所有有界$μ$ -调和函数是常数）.此外，如果$-\log μ^{(2n)}(id)=O(n^β)$，其中$β\in(0,1/2)$，则$n$的熵-倍卷积功率$μ^{(n)}$满足$H(μ^{(n)})=O\left(n^{\fracβ{1-β}}\right)$。这改进了Gournay和Saloff-Coste以及第二作者的早期结果。我们延伸的界限，传递图，并说明其锋利的一个家庭的群体。
2017-06-11 math.GR math.PR
Liouville Brownian motion at criticality
本文构造了具有中心电荷$c=1$的Liouville量子引力的布朗运动（更确切地说，我们限制在相应的自由场理论中）.具有$c=1$的Liouville量子引力对应于二维弦理论，并且是以共形方式嵌入二维表面的$O(n=2)$环模型或$Q=4$态Potts模型加权的大平面映射的几何标度极限。在\cite{GRV1}之后，我们从一个固定点$x\in\mathbb{R}^2$（或$x\in§^2$）开始构造临界LBM，这相当于根据临界Liouville测度$M'(dx)=-X(x)e^{2X(x)}\,dx$（其中$X$是高斯自由场，比如说在$\mathbb{S}^2$上）的局部行为来改变标准平面布朗运动的速度。将此构造同时扩展到$\mathbb{R}^2$中的所有点需要对度量$M'$的潜在性质进行精细分析。这使我们能够构建一个强大的马尔可夫过程与连续的样本路径的支持$M'$，即一个稠密的Hausdorff维数$0$。最后构造了相应的Liouville半群、预解式、Green函数、热核和Dirichlet形式。在通过，我们扩展到相当一般的设置的临界高斯乘性混沌，开始在\cite{Rnew7,Rnew12}的建设，也建立了新的容量估计的临界高斯乘性混沌。
2015-02-15 math-ph math.MP math.PR
On the parabolic and hyperbolic Liouville equations
本文研究了二维随机非线性热方程（SNLH）和随机阻尼非线性波动方程（SdNLW）在时空白噪声作用下的指数非线性项$λβe^{βu }$解.我们证明了这些方程的局部和全局适定性，这取决于$λ$的符号和$β^2 > 0$的大小，以及相关的吉布斯测度的不变性。更精确的摘要见论文摘要。(Due由于arXiv对摘要的字符数设置了限制，因此无法在此处显示完整的摘要。）
2021-06-22 math-ph math.AP math.MP
Continuity and estimates of the Liouville heat kernel with applications to spectral dimensions
刘维尔布朗运动（Liouville Brownian motion，LBM）是由Garban、Rhodes和Vargas最近提出的，也是Berestycki提出的一种较弱形式，是由刘维尔测度$M_γ$诱导的平面随机几何中的扩散过程，对于（大质量）高斯自由场$X$，正式写作$M_γ(dz)=e^{γX(z)-{γ^2} \mathbb{E}[X(z)^2]/2}\, dz$，$γ\in(0,2)$。它是一个$M_γ$ -对称扩散，定义为二维布朗运动的时间变化的正连续加性泛函与Revuz测度$M_γ$。在本文中，我们提供了一个详细的分析热核$p_t(x,y)$的LBM。具体来说，我们证明了它的联合连续性，局部均匀的次高斯上限的形式$p_t(x,y)\leq C_{1} t^{-1} \log(t^{-1}) \exp\bigl(-C_{2}((|x-y|^β\wedge 1)/t)^{\frac{1}{β-1}}\bigr)$的$t\in(0,\frac{1}{2}]$为每个$β>\frac{1}{2}(γ+2)^2$，和对角下界的形式$p_{t}(x,x)\geq C_{3}t^{-1}\bigl(\log(t^{-1})\bigr)^{-η}$的$t\in(0,t_η(x)]$，与$t_η(x)\in(0,\frac{1}{2}]$严重依赖于$x$，为每个$η>18$的$M_γ$ …
2015-10-02 math.PR
Liouville Brownian motion and quantum cones in dimension $d > 2$
针对d > 2维情况，研究了与全空间对数相关高斯场相关的刘维尔布朗运动，计算其谱维数，构造高维β-量子锥并证明特定α-量子锥的平移不变性。
2025-02-13 math-ph math.MP math.PR
On the spectral geometry of Liouville quantum gravity
本文研究了李群量子引力的谱几何，介绍了其本征值构造、韦伊定律及热迹相关工作，并提出了新的开放问题。
2025-12-02 math.PR
Central limit theorems for spatial averages of the stochastic heat equation via Malliavin-Stein's method
假设$\{u(t\,, x)\}_{t >0, x \in\mathbb{R}^d}$是由高斯噪声驱动的$d$维随机热方程的解，该高斯噪声在时间上是白色的，并且具有满足Dalang条件的空间齐次协方差。本文的目的是建立定量的中心极限定理的空间平均值的形式$N^{-d} \int_{[0,N]^d} g(u(t\,,x))\, \mathrm{d} x$，作为$N\rightarrow\infty$，其中$g$是Lipschitz连续函数或属于一类局部Lipschitz函数，使用Malliavin演算和Stein的方法的正常逼近相结合。我们的结果包括KPZ方程{ \it Hopf-Cole}解的中心极限定理.我们还为这些空间平均值建立了一个函数式的中心极限定理。
2020-08-06 math.PR
Localized upper bounds of heat kernels for diffusions via a multiple Dynkin-Hunt formula
我们证明了对于一般扩散过程，对其状态空间行为\emph{only within a fixed open subset}的某些假设意味着固定开集上的\emph{global}热核的存在性和亚高斯型非对角上界。证明主要是概率的，是基于一个看似新的公式，我们称之为\emph{multiple Dynkin-Hunt formula}，表示的转移函数的亨特过程中的部分过程在一个给定的开放子集。这一结果有一个应用热核分析的\emph{Liouville Brownian motion}，正则扩散在一定的随机几何形状的平面诱导（大规模）高斯自由场。
2015-07-06 math.AP math.PR
