The KPZ Upper-Tail Field as a KPZ Fixed Point with Brownian Initial Data
University of Utah（犹他大学）
本文通过有向景观变分和局部布朗比较，将KPZ上尾场正时间扇区识别为从双边布朗V-型轮廓出发的KPZ不动点，负时间扇区用指数倾斜表示，并恢复其大尺度极限。
2026-09-23 math.PR
Fluctuations of two-dimensional stochastic heat equation and KPZ equation in subcritical regime for general initial conditions
利用Cole-Hopf变换$h=\log u$形式化求解Kardar-Parisi-Zhang方程（KPZ方程），其中$h=\log u$是乘性随机热方程（SHE）的解.在Chatterjee和Dunlap、Caravenna、Sun和Zyeras以及Gu的早期工作中，他们考虑了二维KPZ方程的解，通过具有平坦初始条件和具有噪声的SHE的解$u_\varepsilon$，该解在$\varepsilon$中在空间尺度上被软化并且其强度被减弱为$β_\varepsilon=\hatβ \sqrt{\frac{2π\varepsilon}{-\log \varepsilon}}$，并且他们证明了当$\hatβ\in (0,1)$时，$\frac{1}{β_\varepsilon}(\log u_\varepsilon-\mathbb{E}[\log u_\varepsilon])$在分布上收敛于作为随机场的Edward-Wilkinson模型的解。本文考虑了具有一般初始条件$u_0$的随机热方程$u_\varepsilon$及其在一类函数$\mathfrak{F}$中对$F$的变换$F(u_\varepsilon)$，其中包含$F(x)=x^p$（$0<p\leq 1$）和$F(x)=\log x$ .然后，我们证明了$\frac{1}{β_\varepsilon}(F(u_\varep…
2021-03-12 math.PR
KPZ formula derived from Liouville heat kernel
本文利用刘维尔布朗运动的热核，建立了刘维尔量子引力的Knizhnik-Polyakov-Zamolodchikov（KPZ）公式. KPZ公式的推导首先由F.大卫和M.为了得到一种几何上更内在的方法来测量刘维尔量子引力中集合的维数。我们还提供了一个仔细研究的（无）-加倍行为的刘维尔措施的附录，这是独立的利益。
2014-06-27 math-ph math.MP math.PR
The directed landscape in half-space
University of Toronto（多伦多大学）；Caltech（加州理工学院）
研究证明两种半空间模型在KPZ普遍性类中收敛到共同的标度极限，即半空间有向景观，通过半空间KPZ固定点刻画，并证明了测地线的收敛性。
2026-05-08 math-ph math.MP math.PR
Scaling limit of multi-type invariant measures via the directed landscape
本文为 KPZ 类最后通过渗流模型建立多类型不变测度收敛到平稳地平线（SH）的充分条件，并在六个精确可解模型上验证，首次不依赖预极限结构信息证明该收敛，支持 SH 为普适标度极限的猜想。
2024-07-29 math.PR
On the two-point function of the one-dimensional KPZ equation
本文应用Malliavin微积分推导出一维KPZ方程斜率的两点函数，用随机热方程的聚合物端点退火分布表示，并证明该分布由KPZ方程解的方差导数给出。
2023-06-28 math.PR
KPZ fluctuations in the planar stochastic heat equation
本文利用Skorokhod积分严格表述平面白噪声下的Wick有序随机热方程，其解为Feynman-Kac鞅的L1极限，并证明远离中心的涨落满足一维KPZ方程。
2024-04-10 math-ph math.AP math.MP
Periodic directed landscape
Stanford University（斯坦福大学）；Columbia University（哥伦比亚大学）；University of Augsburg（奥格斯堡大学）
研究构建周期定向景观，证明周期指数最后通过渗流及周期非对称简单排斥过程向其收敛，证实关于周期 KPZ 不动点局部结构的猜想，主要工具是粘合全空间定向景观的技术。
2026-07-21 math-ph math.MP math.PR
Discrete geodesic local time converges under KPZ scaling
在（Dauvergne-Ortmann-Virag '18）中构造的定向景观产生定向的、平面的、随机的几何形状，并且被认为是Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）普适类中二维第一和最后一个通道渗流模型的普适标度极限。这种随机几何中的测地线形成了一类重要的随机连续曲线，其涨落理论与布朗运动的涨落理论截然不同。在这方面，最近构造了与布朗局部时对应的BLT（一种支持在布朗运动零点集上的自相似测度）和测地线局部时GLT，并将其用于研究（Ganguly-Zhang '22）中有向景观的分形性质.简单随机游动的零点集上的一致离散测度收敛于BLT，这是一个经典的事实，并且可以利用布朗运动的马尔可夫性质加以证明.在本文中，我们证明了“KPZ模拟”，通过显示在预限制可积末次通过渗流模型中的离散测地线的局部时收敛到GLT下适当的标度由KPZ指数引导。在没有任何Markovianity的情况下，我们的论点依赖于最近证明的收敛的测地线在预限制模型中的定向景观（Dauvergne-Virag '21）。然而，这种输入涉及宏观性质，并且太粗糙而不能捕获本地时间分析所需的微观信息。为了将宏观和微观行为联系起来，一个关键因素是离散模型中当地时间的先验平滑估计，该估计依赖于几何思想（例如测地线的合并以及它们在边界数据扰动下的稳定性）来证明。
2022-12-19 math-ph math.MP math.PR
Spectral expansion of LQG heat trace and KPZ scaling
University of Vienna（维也纳大学）
研究二维有界域上Liouville量子引力热迹在t→0时的渐近行为，证明期望热迹谱展开第二项由KPZ关系给出的非平凡指数控制，并得到热核短期行为的相关结果。
2026-06-26 math-ph math.MP math.PR
The two-dimensional KPZ equation in the entire subcritical regime
我们考虑时空白噪声驱动下的二维KPZ方程。我们在以前的工作中表明，如果噪音在空间尺度$ε$上被软化，其强度被标度为$\hatβ/ \sqrt{|\log ε|}$，则发生具有显式临界点$\hatβ_c = \sqrt{2π}$的转变。最近Chatterjee和Dunlap表明，对于足够小的$\hatβ$，该解承认后续缩放限制为$ε\downarrow 0$。我们证明在这里，极限存在于整个亚临界制度$\hatβ\in (0, \hatβ_c)$，我们确定它作为一个添加剂的随机热方程的解决方案，建立所谓的爱德华-威尔金森波动。对于空间维为2的随机环境中的定向聚合物模型，同样的结果也成立。
2019-07-02 math.PR
Two-time spatial decorrelation for the flat KPZ fixed point
Auburn University（奥本大学）；Beijing Normal University（北京师范大学）
研究平坦 KPZ 不动点的二次空间去相关问题，通过结合 Airy₁ 过程的三次指数混合与定位估计进行证明，得出经\(N^{1/2}\)归一化的中心空间平均值收敛到特定高斯过程的结果。
2026-07-21 math.PR
One-sided reflected Brownian motions and the KPZ fixed point
考虑一类具有变分对偶的单边反射布朗运动系统，该系统具有布朗末次通过渗流。我们表明，它具有可积的转移概率，表示为厄米多项式和指数随机游动的首中时，并且它在1：2：3的标度极限收敛到KPZ不动点，标度不变的马尔可夫过程定义在[MQR17]中，并认为在KPZ普适类的所有模型的长时间大尺度波动。最近在[DOV18]中显示布朗最后一次通过渗流收敛到Airy片（或定向景观），定义为Airy线系综泛函的强极限。这就建立了KPZ不动点在Airy单上的变分公式。
2021-08-27 math-ph math.MP math.PR
Spatial covariance of KPZ from flat initial profile
Auburn University（奥本大学）
研究KPZ方程在平坦初始剖面下的固定时间空间协方差，通过马尔可夫算子和克拉克-奥 cone表示，证明协方差在|x|→∞时由边界层近似主导，得出Gaussian衰减结果，首次获得平坦初始数据下KPZ方程的空间协方差渐近性。
2026-03-15 math.PR
Large Deviation Principle for Last Passage Percolation Models
本文应用并改进已有框架，在不依赖精确可解性的条件下为末次穿越渗流（LPP）模型建立了度量层面的大偏差原理，并据此推导出测地线的大偏差原理，为研究测地线大横向涨落提供了简化方法。
2025-10-31 math.PR
Convergence from the Log-Gamma Polymer to the Directed Landscape
本文通过定义log-gamma片层与景观，利用几何RSK对应和单调性证明其收敛于Airy片层及定向景观，并针对离散模型缺乏尺度不变性发展了新的非对角局部波动估计。
2025-10-23 math.PR
Exceptional force, uncountably many solutions in the KPZ fixed point
本文完整刻画了KPZ fixed point中满足特定渐近斜率条件的eternal solution，证明在异常斜率下存在不可数无穷多个解，并通过与bi-infinite competition interface的双射揭示了新的几何现象。
2025-07-15 math.PR
A conditional scaling limit of the KPZ fixed point with height tending to infinity at one location
我们考虑当$L$趋于无穷大时，以$\mathsf H(0,T)=L$为条件的KPZ不动点$\{\mathsf H(x,t)\}_{x\in\mathbb R, t>0}$的渐近行为.主要结果是对于阶跃和平坦初始条件，在连接原点$(0,0)$和$(0,T)$的线段附近区域中$\mathsf H$波动的条件极限定理。极限随机场可以表示为两个独立的布朗桥的泛函，并且极限随机场还依赖于KPZ不动点的初始律。特别是对于时间波动，当KPZ为阶跃初始条件时，以$(0,0)$和$(0,T)$之间的线段为指标的极限过程具有两个独立布朗桥的最小值律;当KPZ为平坦初始条件时，极限过程具有两个独立布朗桥的最小值律，每个布朗桥都受一个共同的高斯随机变量扰动.对于时空涨落，条件极限定理揭示了有向景观的点到点测地线在其长度和长度趋于无穷大时的渐近行为。
2022-10-11 math-ph math.MP math.PR
Independence property of the Busemann function in exactly solvable KPZ models
本文研究多种精确可解KPZ模型中Busemann函数在多方向上的独立性，证明角增长模型中沿右下路径不同方向的不相交Busemann增量在测地线几乎必然相交时独立，并由此得到逆伽马聚合物端点接近对角线的近最优概率上界。
2023-10-26 math-ph math.MP math.PR
The 27 geodesic networks in the directed landscape
研究有向景观中测地线网络的分类，证明恰好存在27种同构类型，并确定各网络端点集合的豪斯多夫维数。
2023-06-22 math-ph math.MP math.PR
Law of large numbers and fluctuations in the sub-critical and $L^2$ regions for SHE and KPZ equation in dimension $d\geq 3$
近年来，人们研究了正则化随机热方程（SHE）和Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）方程在光滑参数为$d\geq 3$时的解，但大多数结果在全温区不成立.受定向聚合物文献中鞅方法的启发，我们首先将[MSZ 16]中获得的SHE的大数定律扩展到相关聚合物模型的全弱无序区域和更一般的初始条件。我们进一步将文献[GRZ 18，MU 17，DGRZ 20]中研究的SHE和KPZ方程的Edwards-Wilkinson机制推广到全$L^2$区域，并给出了KPZ方程（和SHE）的多维收敛性和一般初始条件，这些条件以前都没有得到证明.要做到这一点，我们依赖于一个鞅CLT结合聚合物的局部极限定理的改进。
2020-05-26 math-ph math.AP math.MP
Spacetime limit shapes of the KPZ equation in the upper tails
本文研究窄楔初始条件下 KPZ 方程的 n 点固定时间上尾大偏差，证明大偏差原理并刻画跨多种时间标度的时空极限形状。
2023-04-27 math-ph math.MP math.PR
Stochastic heat equation limit of a (2+1)d growth model
我们确定了二维$q$ -Whittaker驱动粒子系统在环面上的$q\to 1$极限[Corwin-Toninelli，arXiv：1509.01605]。这具有作为$(2+1)$维随机界面生长模型的解释，该模型被认为属于所谓的各向异性Kardar-Parisi-Zhang（KPZ）类。这一限制属于一般类的二维系统的驱动线性SDES有固定措施的梯度。以粒子数为无穷大，我们证明高斯自由场型波动的固定措施。考虑到平稳测度的时间演化，我们确定沿着特征，相关性由$(2+1)$维加性随机热方程的相关性渐进给出。这证实了（对于该模型）关于$(2+1)$维中各向异性KPZ方程的非线性无关的预测。
2016-01-12 math-ph math.MP math.PR
Branch lengths for geodesics in the directed landscape and mutation patterns in growing spatially structured populations
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
研究通过定向景观中的测地线近似基因谱系树，推导出突变频率谱的指数规律，揭示了空间结构种群中突变模式的普遍特性。
2026-03-13 math.PR q-bio.PE
Constructing a solution of the $(2+1)$-dimensional KPZ equation
$(d+1)$维KPZ方程是粗糙$(d+1)$维随机表面生长的正则模型.近年来，人们对$d=1$的KPZ方程有了深入的数学理解，$d\ge 3$的研究也取得了一定的进展。然而，$d=2$的最物理相关的情况在数学上并不是很好理解，这主要是由于所需的重整化：在重整化群分析的语言中，$d=2$的情况既不像$d=1$的情况那样是紫外超重整化的，也不像$d\ge 3$的情况那样是红外超重整化的。此外，与$d=1$不同，Cole-Hopf变换在$d=2$中不能直接使用，因为乘法随机热方程的解是分布而不是函数。本文证明了具有空间尺度$\varepsilon$和非线性乘以消失因子$|\log\varepsilon|^{-1/2}$的$(2+1)$维KPZ方程的Cole-Hopf解的$\varepsilon \to 0$形式的连续标度极限的存在性.我们还表明，以这种方式获得的标度限制不符合线性化方程的解决方案，这意味着非线性具有非零效应。因此，我们提出了我们的缩放限制作为一个概念的KPZ演变$2+1$尺寸。
2019-05-29 cond-mat.stat-mech math-ph math.AP
The stationary horizon and semi-infinite geodesics in the directed landscape
该研究证明平稳视界是KPZ不动点的唯一不变分布与吸引子，可描述有向景观的Busemann过程，进而刻画半无限测地线的性质、不连续方向集的结构及相关点过程特征。
2023-10-13 math.PR
Brownian bridge limit of path measures in the upper tail of KPZ models
该研究证明了KPZ模型上尾中路径测度的布朗桥极限，通过几何和概率方法，揭示了聚合物测度的结构及淬火局部化指数。
2025-12-22 math-ph math.MP math.PR
A landscape of peaks: The intermittency islands of the stochastic heat equation with Lévy noise
我们发现，如果驱动噪声是非高斯的随机热方程的解决方案的空间分布功能多层的不对称性岛。一方面，如预期的那样，如果噪声是足够重尾的，则解的最大峰值在乘性噪声下将比在加性噪声下更高。另一方面，令人惊讶的是，只要噪声具有有限阶矩$\frac2d$，其中$d$是空间维度，最大峰值对于加性和乘性噪声都将具有相同阶数，这与高斯噪声下的解的行为形成鲜明对比。然而，在这种情况下，更仔细的检查揭示了第二层峰，在最大的峰下面，这是唯一的乘性噪声，可以通过对晶格上的解进行采样来观察。最后，我们计算的宏观Hausdorff和Minkowski尺寸的不稳定性岛的解决方案。在加性和乘性噪声下，如果它不是太重尾，最大的峰将是自相似的，在他们的大尺度多重分形行为。但在乘性噪声下，这种类型的自相似性不存在于晶格上观察到的峰中。
2022-04-01 math.PR
Limiting one-point fluctuations of the geodesic in the directed landscape near the endpoints when the geodesic length goes to infinity
University of Kansas（堪萨斯大学）
研究方向景观中测地线在端点附近的一点波动，当测地线长度趋于无穷时，发现关键尺度窗口内测地线位置和长度的联合分布极限。
2026-03-25 math.PR
Lyapunov exponents of the SHE for general initial data
本文提出了一种精确计算(1+1)维随机热方程(SHE)李雅普诺夫指数的方法，适用于有界确定性正初始数据和平稳初始数据，并由此推导出一般初始数据下KPZ方程上尾大偏差速率函数的精确公式。
2023-05-24 math-ph math.MP math.PR
Temperature chaos in directed polymers
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文研究连续有向随机聚合物（CDRP）的温度混沌性质，通过考虑在一对逆温度下耦合的CDRP自由能，证明在特定极限下它们解耦收敛到独立定向景观，给出首个“跨温度能量去相关”结果，还证明有向景观是二维黑噪声。
2026-07-21 math-ph math.MP math.PR
Non-intersecting path constructions for TASEP with inhomogeneous rates and the KPZ fixed point
本文研究了具有不均匀速率的TASEP模型，利用非相交路径和边值问题，推导出相关核的表达式，推广了KPZ固定点理论。
2023-04-07 math-ph math.CO math.MP
Periodic Pitman transforms and jointly invariant measures
Columbia University（哥伦比亚大学）；University of Maryland（马里兰大学）
本文研究周期性KPZ方程的联合不变测度，通过构造基于布朗桥的聚合物变换，并证明其唯一性，同时探讨了其在不同斜率下的高斯过程极限及累积量波动公式。
2025-12-17 math.PR
Directed mean curvature flow in noisy environment
本文利用正则结构分析非均匀噪声驱动的非线性 SPDE，证明弱随机环境中有向平均曲率流在平坦初值下收敛到 KPZ 方程的 Cole-Hopf 解，并得到强外力 quenched KPZ 与任意维 quenched Edwards-Wilkinson 模型的极限结果。
2023-04-20 math.AP math.PR
Localization of the continuum directed random polymer
我们认为连续定向无规聚合物（CDRP）模型，从$1+1$维定向聚合物在中间无序制度的缩放限制。我们表明，对于一个点到点聚合物的长度$t$和任何$p\in (0,1)$，淬火密度的点的路径上，这是$pt$距离远离原点时，集中在其随机模式$\mathcal{M}_{p,t}$收敛于法律的显式随机密度函数为$t\to\infty$没有任何缩放。类似地，在长度为$t$的点到线聚合物的情况下，当以其随机模式$\mathcal{M}_{*,t}$为中心时，路径端点的猝灭密度按规律收敛到显式随机密度。极限随机密度与$e^{-\mathcal{R}_σ(x)}$成正比，其中$\mathcal{R}_σ(x)$是具有适当扩散系数$σ$的双侧3D贝塞尔过程。此外，随机模式$\mathcal{M}_{*,t}$、$\mathcal{M}_{p,t}$的规律在$t^{2/3}$标度下分别分布收敛于$\operatorname{Airy}_2$过程减去一条抛物线和有向地景测地线上的点的最大值.上述定位结果为民间传说“最爱地区”猜想提供了一个肯定的案例。我们的证明技术还允许我们证明KPZ方程的属性，如遍历性和限制贝塞尔行为周围的最大值。
2022-04-04 math-ph math.MP math.PR
