Products and Ratios of Characteristic Polynomials of Random Hermitian Matrices
Jinho Baik, Percy Deift, Eugene Strahov
我们提出了新的和精简的证明各种公式的产品和比率的随机厄米矩阵的特征多项式，最近出现在文献中。
We present new and streamlined proofs of various formulae for products and ratios of characteristic polynomials of random Hermitian matrices that have appeared recently in the literature.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The exact solution of the Wegner flow equation with the Mielke generator for $3\times 3$ Hermitian matrices
本文求解了 3×3 厄米矩阵下带 Mielke 生成元的 Wegner 流方程的精确解，并将结果推广到 N×N 三对角厄米矩阵及部分 4×4 实对称矩阵。
Products of random Hermitian matrices and brickwork Hurwitz numbers. Products of normal matrices
本文研究了随机正交矩阵乘积与砖块型Hurwitz数的关系，揭示了其在分支覆盖计数中的应用。
Riccati Diagonalization of Hermitian Matrices
本文给出了一种基于Grassmann流形和矩阵Riccati方程的厄米矩阵对角化的几何方法。我们称之为黎卡提对角化。
Universality of the local spacing distribution in certain ensembles of hermitian Wigner matrices
考虑一个具有独立元素的$N\times N$埃尔米特随机矩阵，不一定是高斯矩阵，即所谓的维格纳矩阵。本文证明了局部间距分布，即谱的某一部分中最近邻本征值之间的距离的分布，在$N\to\infty$的极限下，与GUE的厄米特随机矩阵的分布相同。我们证明了这一猜想的厄米特维格纳矩阵的某个子类。
Thouless formula for random non-Hermitian Jacobi matrices
考虑随机非厄米雅可比矩阵$J_n$的维数增加$n$。证明了$J_n$的归一化特征值计数测度弱收敛于极限测度$μ$为$n\to\infty$ .我们还扩展到非埃尔米特的情况下的无尾公式$μ$和与序列$J_n$相关的二阶差分方程的李雅普诺夫指数。测度$μ$被证明是log-Hölder连续的。
Universality for certain Hermitian Wigner Matrices under weak moment conditions
研究了高斯可分Hermitian Wigner矩阵局部特征值统计量的普适性。这些随机矩阵通过将独立的GUE矩阵添加到具有独立元素的Hermitian随机矩阵（Wigner矩阵）而获得。证明了在矩阵元素的四阶矩存在一致界的最优矩条件下，这类随机矩阵的Tracy-Widom普适性在边缘处成立.此外，我们表明，普遍性持有大量的高斯可分维格纳矩阵，如果我们只是假设有限的二阶矩。
Multiplication law and S transform for non-hermitian random matrices
我们推导出一个乘法律的自由非埃尔米特随机矩阵允许一个简单的重建的二维特征值分布的产品合奏从个人合奏的特点。我们定义相应的非厄米特S变换是Voiculescu S变换的自然推广。此外，我们扩展了经典的厄米特S变换方法来处理的情况下，随机矩阵系综因子有消失的平均值，包括当他们都是中心的情况。我们使用平面图解技术来推导这些结果。
Average Density of States for Hermitian Wigner Matrices
我们考虑$N \times N$ Hermitian Wigner矩阵的系综，其元素是（在对称性约束下）独立同分布的随机变量。假设条目的概率密度函数具有足够的规律性，我们证明了在{ \it arbitrarily}小区间上的态密度的期望收敛于周期律，因为$N$趋于无穷大。
Spectral Curves and Localization in Random Non-Hermitian Tridiagonal Matrices
利用Hatano-Nelson变形研究了非Hermite三对角周期随机矩阵的特征值和特征向量。变形谱呈环形，内半径由复无量纲公式测量。内边界圆和环形晕是对应于波多野和纳尔逊在变形厄米模型中观察到的双弧和翅膀的结构，并通过光谱对偶性和幅角原理用本征态的局部化来解释。
Statistical properties of eigenvalues of an ensemble of pseudo-Hermitian Gaussian matrices
研究了特征值为实共轭或复共轭的伪厄米特随机矩阵特征值的统计性质。它示出，当频谱分裂成分离的实数和复数共轭本征值的集合时，实数显示中间不完整频谱的特性，即所谓的稀疏系综。另一方面，复数矩阵的排斥与实矩阵的非正规矩阵的二阶排斥相容，但与复数矩阵和四元数矩阵的高阶排斥相容。
Diffusion in the space of complex Hermitian matrices - microscopic properties of the averaged characteristic polynomial and the averaged inverse characteristic polynomial
我们证明了平均特征多项式和平均逆特征多项式，与厄米矩阵的元素在复数空间中进行随机行走，满足一定的偏微分，扩散，方程。这些方程对任意大小的矩阵都是有效的。他们的解决方案可以给出一个积分表示，允许一个简单的研究其渐近行为的广泛的初始条件。
Edge Universality for non-Hermitian Random Matrices
我们考虑大型非埃尔米特实或复随机矩阵$X$与独立，同分布的中心项目。我们证明了它们在谱边缘（单位圆）附近的局部特征值统计与Ginibre系综的特征值统计一致，即当$X$的矩阵元为高斯时。这一结果是维格纳系综谱边缘处特蕾西-威顿分布普适性的非厄米对应。
Perturbation theory for the spectral decomposition of Hermitian matrices
设A和E是Hermitian自伴矩阵，其中A是固定的，E是小扰动。我们研究了A+E的特征值和特征向量如何依赖于E，目的是获得一阶公式（如果可能的话，也是二阶公式），这些公式可以根据A的谱分解和E中的元素显式计算。特别是，我们提供明确的Frechet型可微性结果。这些发现可以看作是瑞利-薛定谔系数在一维微扰解析展开式中的推广。
Distribution Functions for Random Variables for Ensembles of positive Hermitian Matrices
对于正埃尔米特矩阵的系综，渐近地计算依赖于参数的随机变量的分布函数。分布的傅里叶逆变换被证明是某个算子的弗雷德霍姆行列式，该算子是Wiener-Hopf算子的类似物。渐近公式表明，直到$o(1)$阶项，分布是高斯的。
Orthogonal Polynomials from Hermitian Matrices
本文通过有限维和无限维埃尔米特矩阵的本征值问题，给出了离散变量正交多项式的统一理论。它可以被认为是精确可解的薛定谔方程的矩阵形式。埃尔米特矩阵（可分解的哈密尔顿算子）是对应于二阶差分方程的实对称三对角（Jacobi）矩阵。通过用两种不同的方法求解本征值问题，明确地建立了本征多项式及其对偶多项式的对偶关系。利用Heisenberg算子精确解和形不变性技术，明确地确定了各种量、两类本征值（本征值和正弦坐标）、三项递推系数、归一化测度和归一化常数等。
On determinantal formulas for hermitian random matrices
本文直接证明厄米矩阵模型连通k点函数的行列式公式，并给出KP可积性的新证明，进而推导仿射坐标显式公式并证明对偶性。
Universality for Weakly Non-Hermitian Matrices: Bulk Limit
该研究针对弱非厄米矩阵的体普适性问题，先证明高斯可分弱非厄米矩阵体关联函数的逐点普适收敛性，再结合逆向热流推导了独立光滑密度Wigner矩阵情形下的体普适性。
On the Correlation Functions of the Characteristic Polynomials of Non-Hermitian Random Matrices with Independent Entries
本文研究了具有独立元的非厄米特随机矩阵的特征多项式的关联函数的渐近性质。它表明，关联函数的行为类似于复杂的Ginibre Ensemble的一个因素，只依赖于第四绝对矩的矩阵元素的共同概率定律。
Banded Hermitian Matrices, Matrix Orthogonal Polynomials, and the Toda Lattice
研究有限带状厄米矩阵的谱理论，利用矩阵正交多项式从矩阵值测度重构矩阵，并建立测度为谱测度的充要条件，同时分析其与块三对角化算法及Toda格演化的联系。
R-transforms for non-Hermitian matrices: a spherical integral approach
本文通过副本方法建立非厄米随机矩阵的R变换与球面积分框架的联系，揭示R变换源于一个双变量标量函数，为计算提供新方法。
R-transforms for non-Hermitian block random matrices: a spherical integral approach
本文通过球积分方法将R-变换推广至非厄米分块随机矩阵，引入H-变换和矩阵值R-变换，利用复制方法推导从属关系，用于确定谱边界。
Gaussian statistics for left and right eigenvectors of complex non-Hermitian matrices
本文研究复非厄米随机矩阵中与充分分离特征值对应的左右特征向量，证明其任意常数秩投影服从高斯分布且相互独立。
Characteristic polynomials of non-Hermitian random band matrices
研究非厄米随机带状矩阵特征多项式第二相关函数的渐近行为，发现其在带宽$W\sim\sqrt{N}$处发生交叉，为证明Anderson型转变迈出第一步。
Spherical functions approach to sums of random Hermitian matrices
利用Gelfand对$(\mathrm{U}(n) \ltimes \mathrm{Herm}(n), \mathrm{U}(n))$的球函数理论，给出了一种计算随机埃尔米特矩阵和的方法.它的灵感来自类似的方法Kieburg和Kösters产品的随机矩阵。由于Harish-Chandra/Itzykson-Zuber积分公式，球函数具有行列式表达式。它导致非常简单的球面变换及其逆表达式。将球面变换应用于多项式系综和导数型多项式系综子类的酉不变随机矩阵的和（在加法意义上），证明了多项式系综子类在加法下是封闭的.最后，我们提出了额外的详细计算的总和与随机矩阵从拉盖尔酉Entrance。
An exact formula for general spectral correlation function of random Hermitian matrices
我们找到了表示随机厄米矩阵的特征多项式的乘积和比的一般关联函数的精确公式。答案以行列式的形式给出.与以前研究的关联函数（仅产品）的一个本质区别是非多项式函数以及正交多项式的出现。这些非多项式函数是正交多项式的柯西变换。该结果对β = 2对称类的任何系综都是有效的，推广了最近用不同方法得到的GUE及其手征对应物的渐近公式.
Boundaries of sine kernel universality for Gaussian perturbations of Hermitian matrices
我们探讨了确定性大埃尔米特矩阵的高斯扰动特征值的正弦核普适性的边界。同样，我们研究确定性的初始数据的时间后，戴森的布朗运动表现出正弦核相关性。我们明确地描述这个时间跨度的极限密度和刚性的初始点。我们的主要重点在于初始密度消失的情况下，在内点的支持。我们发现，如果密度消失得更快，或者如果初始点表现出更小的刚性，达到普适性的时间变得更大。
Characterization of preorders induced by positive maps in the set of Hermitian matrices
Uhlmann证明了存在一个正的保迹映射将一个Hermitian矩阵$A$变换成另一个$B$当且仅当$A$的特征值向量优化$B$的特征值向量.在这项工作中，我的特点是存在这样一个转换时，一个条件的单一性或跟踪保存下降。这将导致两个可能的前序在一组埃尔米特矩阵，我认为这可以用来构建措施量化缺乏任何给定的埃尔米特矩阵具有相关的单调性。事实证明，这两种形式主义中的每一种形式主义的度量本质上都是唯一的。
Random Hermitian Matrices and Gaussian Multiplicative Chaos
我们证明了当适当的规范化，足够小的权力的随机埃尔米特矩阵，从一个切割规则酉不变系综的特征多项式的绝对值，收敛于法律高斯乘性混沌措施。我们证明了这一点，在所谓的$L^2$阶段的乘法混沌。我们的主要工具是Hankel行列式与Fisher-Hartwig奇点的渐近性。利用Riemann-Hilbert方法，我们证明了一个相当一般的正则酉不变系综的Fisher-Hartwig公式.
Ornstein-Uhlenbeck diffusion of hermitian and non-hermitian matrices - unexpected links
我们比较高斯酉系综的Ornstein-Uhlenbeck过程与其非厄米对应物-复杂的Ginibre系综。我们利用的数学框架的基础上，广义格林函数，它涉及到一个新的，隐藏的复杂变量，在比较的标准治疗的解决方案。这个新变量对于理解非厄米系统的演化模式至关重要。新的特征是出现的特征值流和左/右特征向量流之间的耦合。我们分析这两个系统的局部和全局平衡。最后，我们强调了两个合奏之间的一些意想不到的联系。
The eigenvalues and eigenvectors of finite-rank normal perturbations of large rotationally invariant non-Hermitian matrices
研究有限秩正交扰动对大旋转不变非厄米特随机矩阵的影响，扩展BBP框架，分析非厄米特随机矩阵加有限秩正交扰动模型中异常本征值的出现与波动，描述对应的本征向量行为，提供统一框架涵盖厄米特和非厄米特情形。
Numerical ranges of non-normal random matrices: elliptic Ginibre and non-Hermitian Wishart ensembles
研究非正交随机矩阵集合的数值范围几何特性，揭示椭圆Ginibre和非厄米特Wishart集合在大系统极限下的形状特征。
On Classification and Geometric Characterizations of Ensembled $2\times2$ Pseudo Hermitian and PT-Symmetric Matrices
本文对满足 H†G=GH 的 2×2 伪厄米矩阵进行分类，证明其均为 PT 对称矩阵，并利用线性簇、七个系综和四个单元给出几何刻画，揭示迹为零矩阵系综的行列式为二次曲面。
Non-Hermitian oscillator Hamiltonians and multiple Charlier polynomials
一组r非厄米振子哈密顿在r维被证明是同时对角化。它们的光谱是实的，共同的本征态用多重Charlier多项式表示。这些多项式的代数解释，从而实现和模型是用来推导出它们的一些属性。
Ambarzumian-type theorems for Hermitian matrices with applications
研究Hermitian矩阵（包括有限图上的离散Laplacian和邻接矩阵）的Ambarzumian型定理，推广了经典逆谱理论结果至一般有限离散图。
Trace formulas for general Hermitian matrices: Unitary scattering approach and periodic orbits on an associated graph
通过将给定的厄米特矩阵$H$变换为酉类似矩阵，导出了任意厄米矩阵谱的两个迹公式.在第一种类型中，酉矩阵是$e^{i(λ\II - H)}$，其中$λ$是谱参数。新的特点是，光谱参数出现在最终形式作为一个参数的欧拉多项式-从而连接的周期轨道组合对象以一种新的方式。为了获得第二种类型，在一个更大的希尔伯特空间中的酉散射矩阵表示的输入。这里令人惊讶的特点之一是，格什戈林定理的光谱盘的位置和半径自然地出现作为散射矩阵的极点参数。这两个公式进行了讨论，并概述了可能的应用。
Universality classes of non-Hermitian random matrices
非厄米特随机矩阵在耗散过程、随机过程、介观物理、核物理和神经网络等领域有着广泛的应用。然而，唯一已知的普遍能级间距统计是Ginibre系综的复共轭对称性。在这里，我们报告我们的发现，另外两个不同的普遍性类的特点是换位对称。我们发现，换位对称性改变了两个相邻的本征值之间的排斥相互作用和变形的间距分布。这样的改变是不可能与其他对称性，包括吉尼布尔的复共轭对称性，它只能影响非局部相关。我们的结果完善了Wigner-Dyson的厄米特随机矩阵的三重普适统计的非厄米特对应，并作为表征对称性开放量子系统的不可积性和混沌的基础。
On matrix Lie affgebras
本文研究多类矩阵仿射空间的李仿射代数结构，证明其回缩到底层向量空间时分别对应五类经典矩阵李代数，为相关代数结构的研究提供了对应关系。
Finite-rank multiplicative perturbations of rotationally invariant non-Hermitian random matrices
研究旋转不变非厄米随机矩阵的有限秩乘法扰动，刻画离群特征值、波动及特征向量重叠，给出经典BBP框架的乘法非厄米对应。
Phase transitions for infinite products of large non-Hermitian random matrices
$M$ i.i.d.产品大小为$N \times N$的非厄米特随机矩阵将动力系统（有限$N$和大$M$）中的李雅普诺夫和稳定性指数的高斯波动与随机矩阵理论（有限$M$和大$N$）中的局部特征值普适性联系起来。剩下的任务是研究局部特征值统计，因为$M$和$N$同时趋于无穷大，这是理解两种普遍模式的核心。对于i.i.d.产品复Ginibre矩阵，截断酉矩阵和球形系综，作为$M+N\to \infty$，我们证明了局部统计经历了过渡时的相对比例$M/N$从$0$到$\infty$：Ginibre统计时$M/N \to 0$，正常时$M/N\to \infty$，和新的临界现象时，$M/N\to γ\in (0, \infty)$。
Spectral moments of complex and symplectic non-Hermitian random matrices
本文研究复数和辛Ginibre Ensemble的非厄米特随机矩阵，提出统一的框架分析混合谱矩，推导出谱矩的显式公式，并揭示椭圆Ginibre和非厄米特Wishart矩阵的渐进行为。
Free products of large random matrices - a short review of recent developments
我们回顾了计算大型随机矩阵乘积特征值分布的方法。我们讨论了自由乘法定律对非厄米矩阵的推广，并给出了几个例子说明如何在实践中使用这些方法。特别是，我们计算的产品的高斯厄米矩阵和非厄米矩阵，包括GUE和Ginibre矩阵的组合的特征值密度。
Eigenvalue Outliers of non-Hermitian Random Matrices with a Local Tree Structure
稀疏非埃尔米特随机矩阵的谱决定了图上复杂过程的动力学。谱中的特征值异常值特别令人感兴趣，因为它们决定了动力学过程的定态和稳定性。给出了局部树结构随机矩阵特征值异常点的一般精确理论。对于有向随机图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵，我们推导出了特征值离群值的解析表达式，与离群值相关的特征向量元素分布的一阶矩，谱密度的支持，以及谱间隙。我们表明，这些光谱观测服从普遍的表达式，这适用于广泛的一类定向随机矩阵。
Universality for Diagonal Eigenvector Overlaps of non-Hermitian Random Matrices
本文证明了非厄米随机矩阵在体部和边缘处特征值与对角特征向量重叠联合分布的普适性，并给出了边缘特征值处最小非零奇异值及左右奇异向量内积的界。
Perturbed Block Toeplitz matrices and the non-Hermitian skin effect in dimer systems of subwavelength resonators
该研究推导扰动三对角块Toeplitz矩阵本征对显式公式，从数学上论证亚波长谐振器二聚体系统非厄米趋肤效应的存在、拓扑起源及异质结构界面模的局域化特性。
Spectral Theory of Sparse Non-Hermitian Random Matrices
本综述系统介绍了稀疏非厄米随机矩阵谱理论的主要工具与结果，提出通过与无穷维算子类比计算矩阵谱的方法，并以三类有向图邻接矩阵为例展示了获取谱分布及特征向量统计性质的分析与数值结果。
Non-linear sigma models for non-Hermitian random matrices in symmetry classes AI$^{\dagger}$ and AII$^{\dagger}$
本文利用费米子复制品非线性sigma模型，解析研究了具有时间反演对称$^{\dagger}$的非厄米随机矩阵在对称类AI$^{\dagger}$和AII$^{\dagger}$中的谱关联，推导出特征多项式矩的积分表达式，并在复制品极限下定性再现了态密度和能级关联。
Singular-Value Statistics of Non-Hermitian Random Matrices and Open Quantum Systems
本研究通过厄米化方法分析非厄米随机矩阵的奇异值统计，建立38类对称类的全面分类，并证明开放量子多体系统的奇异值遵循随机矩阵统计，从而识别混沌与不可积性，为开放量子系统统计物理奠定基础。
Spectral properties of deterministic matrices multiplied by rotationally invariant random non-Hermitian ensembles
该研究探讨确定性矩阵与旋转不变随机非厄米矩阵乘积的复特征值分布边界，通过$\boldsymbol{\boldsymbol{R}}_1$、$\boldsymbol{\boldsymbol{R}}_2$变换给出其渐近边界的控制方程。
On the approximation of real powers of sparse, infinite, bounded and Hermitian matrices
针对稀疏、无限、有界且厄米的正定或非负矩阵，提出一种利用有限子矩阵逼近其任意实数幂的矩阵元的方法。
Classification of joint numerical ranges of three hermitian matrices of size three
三个Hermitian $3$ -by- $3$矩阵$F=(F_1,F_2,F_3)$的联合数值域$W(F)$是$\mathbb{R}^3$中的凸紧子集.一般来说，我们发现$W(F)$是一个三维椭圆。假设$\dim(W(F))=3$，则$W(F)$的每个一维或二维面都是线段或填充椭圆。我们证明，只有十个配置这些部分和椭圆是可能的。我们确定了一个三重$F$为每个类和说明$W(F)$使用随机矩阵和双品种。
Spectra of sparse non-Hermitian random matrices: an analytical solution
我们提出了一个稀疏的非Hermitian随机矩阵合奏的频谱的精确解析表达式，推广了随机矩阵理论中的两个经典结果：这个解析表达式形成了一个非Hermitian版本的Kesten-Mckay定律以及稀疏实现的Girko的椭圆律。我们的确切结果开辟了新的视角，在研究几个物理问题的稀疏随机图建模。在这种情况下，我们分析表明，一个非常稀疏的图上的运输过程的收敛速度取决于在一个非单调的方式的边缘的对称程度。
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