Generalizations of some integrals over the unitary group
B. Schlittgen, T. Wettig
利用特征展开法，将酉群上几个著名的积分推广到被积函数中出现一般复矩阵的情形。这些积分在随机矩阵理论中很有意义，也可能在格点规范理论中得到应用。
Using the character expansion method, we generalize several well-known integrals over the unitary group to the case where general complex matrices appear in the integrand. These integrals are of interest in the theory of random matrices and may also find applications in lattice gauge theory.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
2-matrix versus complex matrix model, integrals over the unitary group as triangular integrals
证明了2-厄米矩阵模型和复矩阵模型服从相同的回路方程，并得到了酉群上Itzykzon-Zuber型积分的一个公式. U（n）上的积分被重写为三角矩阵上的高斯积分，然后显式计算。该公式是前Shatashvili公式的有效替代方案。
Unitary Integrals and Related Matrix Models
简要回顾酉矩阵积分的基本性质。本文用三种矩阵模型：普通酉模型、Brezin-Gross-Witten模型和Harish-Charndra-Itzykson-Zuber模型对它们进行了研究。特别注意的是棘手的一面的故事，从德威特-特胡夫特异常的酉积分的问题与Itzykson-Zuber措施的分解。强调的技术工具是字符扩展的方法。酉积分的研究还很薄弱，当它引起足够的重视时，人们期待着在这一领域得到许多新的结果。
Unitary matrix integral for QCD with real quarks and the GOE-GUE crossover
一个酉矩阵积分，出现在低能量极限的QCD类理论与夸克的规范群在有限的化学势的实表示的分析评估，并表示为pfklan。讨论了它在随机矩阵理论中的GOE-GUE交叉中的应用。一个类似的QCD类理论与夸克的规范群的伪实表示的幺正积分也进行了评估。
A power series identity and Bessel-type integrals over unitary groups
在2008年，Lehner、Wettig、Guhr和Wei证明了一个幂级数恒等式，并证明了它隐含了酉超群上贝塞尔型积分的行列式公式。该积分是Bessel型积分在酉群上的超对称推广，在量子色动力学中表现为配分函数。通过将两边解释为相同的酉积分来证明恒等式，可以使用Cartan分解来计算。给出了Schur函数的一个等价恒等式，并作了概率解释.
Hua type integrals over unitary groups and over projective limits of unitary groups
我们讨论了从酉群U（n）到更小的群U（n-m）的一些自然映射（这些映射是Livshic特征函数的版本）。我们明确地计算了Haar测度在某些映射下的直像。我们计算了经典群和对称空间上的一些矩阵积分（积分值是Gamma函数的乘积）。这些积分推广了Hua Loo Keng积分。我们构造逆极限的酉群配备类似的哈尔措施，并评估一些积分在这些逆极限。
On some integrals over the U(N) unitary group and their large N limit
重新研究了U（N）酉群$I=\int DU \exp\Tr A U B U^\dagger$上的积分.首先回顾各种方法和扩展。下半年的文件涉及更近期的事态发展：关系与可积户田格层次，图形扩展和组合学，并就他们教我们的大$N$极限的$\log I$。
Generalised unitary group integrals of Ingham-Siegel and Fisher-Hartwig type
本文推广了包含固定外部矩阵的 Ingham-Siegel 与 Fisher-Hartwig 类型酉群积分，借助特征展开推导出含超几何函数的显式行列式公式，并求解了二矩阵积分及随机矩阵设定下的 Pfaffian 行列式公式。
Entangled Quantum States of Causal Fermion Systems and Unitary Group Integrals
本文通过渐近计算酉群积分，分析了因果费米子系统的量子态，证明在特定极限下局域化精细预态为正，可描述一般纠缠态。
A few remarks on Colour-Flavour Transformations,truncations of random unitary matrices, Berezin reproducing kernels and Selberg type integrals
我们调查各种关系的颜色-味道转换（CFT）介绍Zirnbauer在\cite{Z1,Z2}的各种主题在随机矩阵理论和多元分析，如措施截断的酉随机矩阵，Jacobi系综的随机矩阵，Berezin再生核和推广的Selberg积分由于Kaneko，Kadell和Yan涉及Schur函数。除了建议明确的公式玻色CFT的酉群的参数范围超出了\cite{Z2}，我们还提出了一种替代的变体的变换，与集成去一对厄米矩阵的无界域。后者使得随机矩阵理论中某些平均值的估计成为可能。
A note on "Higher order linear differential equations for unitary matrix integrals: applications and generalisations"
本文探讨了单位ary矩阵积分与高阶线性微分方程的关系，并研究了Hardy Z-函数导数零点间隙问题。
Generalization of Wigner's unitary-antiunitary theorem for indefinite inner product spaces
本文给出了射线变换对的Wigner酉-反酉定理的一个推广。作为一种特殊情况，我们得到了非Hermitian不定度规空间的一个新的Wigner型定理。
Unitary matrix integrals, symmetric polynomials, and long-range random walks
对称多项式上的酉矩阵积分在随机矩阵理论、规范理论、数论和计数组合学等领域有着广泛的应用。我们得出新的结果，这样的积分和应用这些和其他身份的关联函数的长程随机游动（LRRW）组成的硬核玻色子。我们推广的身份由于Diaconis和Shahshahani计算酉矩阵积分的产品的权力和多项式。这使我们能够推导出两个表达式的酉矩阵积分的舒尔多项式，它可以直接应用到LRRW关联函数。然后，我们证明了不同的LRRW模型，我们称之为准本地粒子-空穴对偶之间的对偶性。我们注意到$n$次幂和多项式的乘法性质与费米粒子通过$n$格点跳跃之间的关系。这使我们能够计算LRRW关联函数的辅助费米子，而不是硬核玻色子系统。颠倒这个推理也会导致长程费米子模型的各种结果。在原则上，在这项工作中得到的所有结果可以实现在实验装置，如捕获离子系统，LRRW模型出现作为一个有效的描述。我们进一步提出了具体的关联函数，可以应用于这样的实验设置的基准。
Derivation of the Supersymmetric Harish--Chandra Integral for UOSp(k_1/2k_2)
以前的超对称推广酉哈里什-钱德拉积分提示猜想哈里什-钱德拉公式应扩大到所有经典超群。我们对酉正交辛超群UOSp（k_1/2k_2）证明了这个猜想。为此，我们构造并求解一个特征值方程。
Higher-Order Linear Differential Equations for Unitary Matrix Integrals: Applications and Generalisations
本文提出了一种通过高阶线性微分方程计算单位ary矩阵积分的方法，并将其应用于随机排列和黎曼ζ函数矩问题。
Asymptotics of Selberg-like integrals: The unitary case and Newton's interpolation formula
本文研究了Selberg型积分$$ \frac1{N!}\int_{[0,1]^N}x_1^p\prod_{i<j}(x_i-x_j)^2\prod_ix_i^{a-1}(1-x_i)^{b-1}dx_i$$的渐近行为，即当参数$a$和$b$与$N$不同标度时的积分为$N\to\infty$.这种类型的积分出现在支持$N$通道的两个附加引线中的混沌腔中的电子散射的随机矩阵理论中。利用牛顿插值公式，我们证明了渐近极限的存在，我们明确计算。
Invariant Integration over the Unitary Group
将讨论U（n）群上酉矩阵元素乘积的积分。一个群论公式可以将它们转换成一个多重和，但不幸的是，这些和往往是繁琐的计算。在本文中，我们开发了一种替代方法，其中这些总和是避免的，和群论是不必要的。计算只需要Haar测度的么正性和不变性。该方法也可用于求超球面上单项式的简单积分的封闭表达式。
A generalization of Wigner's unitary-antiunitary theorem to Hilbert modules
设H是矩阵代数A上的Hilbert $C^*$ -模.证明了保持（广义）内积绝对值的函数$T:H\to H$具有$Tf=ϕ(f)Uf$ $(f\in H)$的形式，其中$ϕ$是相函数，U是A-线性等距.这一结果是Wigner关于Hilbert模的经典酉-反酉定理的自然扩张。
Moments and Cumulants of Polynomial random variables on unitary groups, the Itzykson-Zuber integral and free probability
考虑酉群$U_d$上的积分形式为$$\int_{U_d}U_{i_1j_1}... U_{i_qj_q}U^*_{j'_{1}i'_{1}} ... U^*_{j'_{q'}i'_{q'}}dU$$.利用对称群的特征和Schur函数给出了一个显式公式，从而重新导出了一个渐近展开式为$d\to\infty$ .利用这一点，我们重新推导和加强了Voiculescu关于渐近自由性的一个结果.然后，我们研究大$d$渐近的矩阵模型积分和Itzykson-Zuber积分的对数，并表明，他们收敛到一个极限时，被认为是幂级数。特别地，我们给出了一个明确的公式为$$\lim_{d\to\infty}\frac{\partial^n}{\partial z^n}d^{-2} \log\int_{U_d} e^{zd Tr (XUYU^*)}dU|_{z=0}$$假设规范化的轨迹$d^{-1} Tr(X^k)$和$d^{-1} Tr (Y^k)$收敛于大$d$限制。我们认为，以及不同的缩放和其渐近Voiculescu的R-变换。
Local unitary invariants for multipartite quantum systems
本文给出了一种方法，可以得到由费米子或可分辨粒子组成的多体量子系统的局域么正不变量。不变量被组织成无限族，特别是，推广到高维单粒子希尔伯特空间是直接的。许多著名的不变量及其推广也包括在内。
Pieri Integral Formula and Asymptotics of Jack Unitary Characters
我们介绍杰克（酉）字符，并证明了两种公式，适合他们的渐近，参数化他们的签名的长度走向无穷大。第一类包括一个变量的Jack特征标的若干个整表示。我们证明的第二个身份是Pieri积分公式的杰克字符，在某种意义上说，是对偶的著名的Pieri规则杰克多项式。Pieri积分公式也可以看作是虚Gelfand对的不可约球函数的函数方程。作为我们的公式的应用，我们研究了杰克字符作为相应的签名增长到无穷大的意义下的Vershik-Kerov的渐近性。证明了存在一个小的$δ> 0$，使得$m$变量的Jack特征标在$m$维环面的$δ$邻域上有一个一致的极限.我们的结果是Okounkov和Olshanski的一个定理的特例。
Jucys-Murphy Elements and Unitary Matrix Integrals
本文研究了酉群上的多项式积分与对称函数在Jucys-Murphy元上的共轭类展开式之间的关系。我们的主要结果是一个关于Jucys-Murphy元的单项对称函数类展开式的顶系数的显式公式，由此我们恢复了$\U(N)$上多项式积分的一阶渐近性为$N \rightarrow \infty$ .我们的结果类扩展包括一个类似的Macdonald的结果的顶部连接系数的类代数，推广的Stanley和Olshanski的结果多项式的内容统计的Plancherel随机分区，和一个确切的公式的多重性类的全周期在一个完整的对称函数的Jucys-Murphy元素的扩展。后者导致一个新的组合解释的Carlitz Riordan中心阶乘数。
Matrix integrals over unitary groups: An application of Schur-Weyl duality
该研究运用Schur-Weyl对偶综述酉群矩阵积分公式，指出其计算与Weingarten函数相关，该函数求值依赖的置换群不可约特征标暂无通用闭式公式，相关信息可通过特征标表获取。
Integration with respect to the Haar measure on unitary, orthogonal and symplectic group
我们重温的工作，第一个命名的作者和使用简单的代数参数，我们计算积分的多项式函数的Haar措施的酉群U（d）。以前的结果提供了精确的公式，只有2d大于的次数的集成多项式，我们表明，这些公式仍然适用于所有的d值。此外，我们还考虑了正交群O（d）和辛群Sp（d）上多项式函数的积分.我们得到了一个精确的特征展开式和大d时的渐近性质。因此，我们可以证明Haar分布的正交和辛随机矩阵的渐近自由性，以及Itzykson-Zuber型积分的收敛性。
A two-parameter generalization of the complete elliptic integral of the second kind
Barsan最近讨论的第二类完全椭圆积分的两个参数的推广表示为普通的完全椭圆积分。
WKB-expansion of the HarishChandra-Itzykson-Zuber integral for arbitrary beta
本文研究了非酉对称的广义Harish Chandra-Itzykson-Zuber矩阵积分的渐近展开式，其中β是参数β（通常β = 1，2和4对应于正交、酉和辛群积分）.对于k和β的一般值，从热核微分方程导出f的WKB展开式。从带状多项式方面的扩展，一个得到的扩展在权力的tau的β =1，和推广被认为是一般β。一个对偶关系，和变换的产品对对称函数到tau多项式，是用来获得一般β的f（τ ij）的表达。
A two-parameter generalization of the complete elliptic integral of second kind
用Appell函数$F_{4}$表示了第二类完全椭圆积分的两参数推广.这个函数在完全椭圆积分$K$和$E$中进一步化为一个相当简单的双线性形式。简要介绍了其物理应用。
Feynman path integrals for magnetic Schrödinger operators on infinite weighted graphs
证明了一类加权无限图上酉群$ \exp(-itL_{v,θ})$，$t\geq 0$，与离散磁薛定谔算子$L_{v,θ}$相关联的Feynman路径积分公式.由此得到了一个新的Kato-Simon估计$$ |\exp(-itL_{v,θ})(x,y)|\leq \exp(-tL_{-\mathrm{deg},0})(x,y), $$，它以薛定谔半群的形式一致地控制酉群，其中势$\mathrm{deg}$是图的加权度函数.
Unitary matrix models, free fermion ensembles, and the giant graviton expansion
考虑酉群$U(N)$上的一类矩阵积分，其无穷耦合集由级数$f(q)=\sum_{n \ge 1} a_n q^n$刻画，其中$a_n \in \mathbb{Z}$ .这种积分在物理学中作为自由四维规范理论在$S^3$上的配分函数出现，特别是作为超杨-米尔斯理论的超共形指数。我们表明，任何这样的模型可以表示在一个系统中的自由费米子参数化的无限集耦合系综。在一个给定的量子态中，费米子的积分导致了一系列行列式的收敛展开，正如Borodin-Okounkov多年前所展示的那样。通过进一步对系综求平均，我们得到了一个矩阵积分公式，它是一个连续项被$q^{αN + β}$抑制的$q$ -级数，其中$α$，$β$不依赖于$N$ .这为最近在文献中观察到的巨引力子膨胀提供了一个矩阵模型解释。
Volumes of orthogonal groups and unitary groups
矩阵积分在不同的领域有许多应用。这篇综述文章首先介绍了详细的关键背景知识矩阵积分。然后分别计算了正交群和酉群的体积。作为统一，我们给出了紧李群的Mcdonald体积公式.利用这个体积公式，可以很容易地导出正交群和酉群的体积。应用程序也被提出。具体地说，利用幺正群的体积计算混合量子态的体积。并计算了酉群中度量球的体积。本文没有新的结果，只是对已有结果的详细而初步的证明。这篇文章的目的是教学，并收集在一个地方许多，如果不是全部，量子信息应用的卷正交和酉群。
Correlations in Perturbed Dual-Unitary Circuits: Efficient Path-Integral Formula
具有明确可达的时空关联函数的相互作用多体系统是极其罕见的，特别是在缺乏可积性的情况下。最近，我们发现了一类显著的这样的系统，并称之为双酉量子线路。这些是砖墙型的局部量子线路，其动力学在时间和空间上都是幺正的。对于这些系统，时空关联函数仅在因果光锥的边缘处是非平凡的，并且可以根据一维传递矩阵来计算。然而，双酉性需要微调，所观察到的动力学特征的普遍性程度仍然不清楚。在这里，我们解决这个问题，通过引入任意扰动的本地门。考虑固定扰动，我们证明了，对于一类特殊的未扰动的基本双酉门的关联函数仍然表示在一维传输矩阵。然而，这些矩阵现在在连接原点到因果光锥内的固定端点的通用路径上收缩。关联函数作为所有这些路径上的总和给出。我们的声明是严格的“稀释限制”，只有一小部分的门是扰动，并在随机纵向场的存在下，但我们提供的理论论据和严格的数值检查支持其有效性，即使在干净的情况下，当所有的门都扰动。作为一个副产品，在随机纵向场的情况下-这原来是等价于某些经典的马尔可夫链-我们发现四种类型的非对偶酉（和不可积）相互作用的多体系统的关联函数正是由路径和公式。
A Generalization of the Lamb-Bateman Integral Equation and Fractional Derivatives : A Comment
本文推广了Lamb-Bateman积分方程，并给出了它的解的{ \bf分数阶导数}形式。这是对Babusci，Dattoli和Sacchetti的论文（arXiv：1006.0184 [math-ph]）的评论。
Generalizations of Russell-style integrals
首先定积分了W. H. L.罗素，几乎所有的三角函数都是用被积函数，都是导出的，而且许多是推广的.然后给出了一个列表中的罗素式的Amdeberhan和莫尔积分恒等式的推广。最后，我们简要和非全面的说明进一步研究的方向，包括显着的推广到椭圆函数。
Composite parameterization and Haar measure for all unitary and special unitary groups
我们将酉群U（d）的复合参数化的概念引入到特殊酉群SU（d）中。此外，我们还考虑了Haar测度的引入参数。我们表明，定义良好的结构的参数化导致一个简洁的公式U（d）和SU（d）上的归一化Haar测度。关于我们的结果的可能的应用，我们考虑了酉群上的高阶积分的计算。
Universality for products of random matrices I: Ginibre and truncated unitary cases
最近，独立复Ginibre矩阵乘积的复特征值的联合密度函数已被明确地导出为行列式点过程。我们将相关核截断的级数表示为具有奇异性的多元积分，并研究了这类积分的鞍点方法。作为应用，我们证明了本征值相关函数具有相同的标度限制的单一复杂Ginibre合奏，无论是在散装和边缘的频谱。我们还证明了对于独立截断酉矩阵的乘积，类似的结果也成立。
On $q$-analogs of some integrals over GUE
随机矩阵的高斯酉系综和Wishart系综的统计量通常有很好的封闭形式。这些都涉及到埃尔米特，拉盖尔，和雅可比多项式，这往往发生在这些合奏的研究多元扩展。在本文中，我们开发了一个正式的$q$ -模拟高斯酉系综，使用$q$ -厄米多项式和系数提取代替积分。这样，我们得到了许多著名的特征值统计的$q$ -类似物。其中之一与Harer-Zagier公式有关，该公式使用矩阵积分来按亏格计算$n$顶点上的单胞映射的数量。
Riccati equation-based generalization of Dawson's integral function
利用Riccati非线性微分方程与二阶常微分方程之间的联系，给出了Dawson积分函数的一个新的推广.建立了该广义函数的MacLaurin展开式，并由此导出了三角矩阵的一般余子式的显式公式。
Combinatorics of the Berezin-Karpelevich Integral
本文研究矩形矩阵模型中替代Itzykson-Zuber积分的Berezin-Karpelevich积分，通过单调Hurwitz数给出其拓扑展开，并导出若干组合恒等式。
A generalization of a Cullen's Integral Theorem for the quaternions
讨论了C. G.卡伦，最初在四元数上的解析内禀函数类上提出。结果表明，这一积分定理是正确的一个更大的四元数函数类。
Kitaev models based on unitary quantum groupoids
基于酉量子群胚建立了Kitaev模型的推广。特别地，当输入Kitaev-Kong量子群胚$H_\mathcal{C}$时，我们证明了广义模型的基态流形与基于幺正融合范畴$\mathcal{C}$的Levin-Wen模型的基态流形是正则同构的。因此，广义Kitaev模型提供了基于$\mathcal{C}$的Turaev-Viro TQFT的目标空间的实现。
The Birkhoff theorem for unitary matrices of arbitrary dimensions
最近证明了双随机矩阵的Birkhoff定理可以推广到具有相等线和的酉矩阵，只要矩阵的维数是素数。本文证明了任意维酉矩阵的等线和Birkhoff定理的一个推广。
Recursion relations for Unitary integrals, Combinatorics and the Toeplitz Lattice
与符号$exp{t(z+z^{-1})}$或$(1-ξ{z})^α (1-ξ{z^{-1}})^β$相关联的Toeplitz行列式（大小增加）满足递归关系，因此将所有Toeplitz行列式表示为前几个行列式的有理函数。A.鲍罗丁发现这些关系使用黎曼-希尔伯特方法。性质鲍罗丁的关系指向Toeplitz格和它的维拉索罗代数，作为发达国家的作者。在本文中，我们采取的Toeplitz和Virasoro的方法相当大的一类符号，导致系统和简单的方式产生这样的递归关系。后者是非常自然地表示的$L$ -矩阵出现在拉克斯对的Toeplitz格点方程。令人惊讶的是，我们发现，相比鲍罗丁的，一组不同的关系，除了与符号$ e^{t(z+z^{-1})}$相关的3步关系。此外，这些递归关系定义了Toeplitz格的不变流形。这导致了有理递归关系的“离散Painlevé性质”（奇点限制），作为Toeplitz格的经典“连续Painlevé性质”的结果。
Fractional Generalization of Kac Integral
推广了基于Levy分布的Kac积分和路径测度的Kac方法，导出了分数阶扩散方程。讨论了非线性分数阶Ginzburg-Landau方程的应用。
Quasimodular Asymptotics of Spherical Integrals
本文研究 Circular Unitary Ensemble 球面积分的高维渐近，证明其期望收敛于整数分拆的 Euler 生成函数，且次阶修正具有拟模形式结构。
Functional Integral Construction of Topological Quantum Field Theory
本文通过引入正则分层分段线性流形和幺正 $n+1$ alterfold TQFT，基于格模型线性泛函统一了拓扑量子场论的构造方法，并显式计算了 4 维流形中的 2 纽结标量不变量。
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