Correcting a Fraction of Errors in Nonbinary Expander Codes with Linear Programming
提出了一种\emph{nonbinary}扩展码的线性规划译码器。结果表明，该解码器具有最大似然证书属性。本文还证明了该译码器能纠正相对权重达1/4 δ A δ B（其中δ A和δ B是组成码的相对最小距离）的任何错误模式。
2010-10-27 cs.IT math.IT
Analyzing Ta-Shma's Code via the Expander Mixing Lemma
扩展图中的随机游动及其各种去随机化（例如，替换/Z字形乘积）是伪随机性的无价工具。最近，Ta-Shma在他的突破性构造中使用了s-宽替换遍历，几乎匹配Gilbert-Varshamov界（STOC 2017）。Ta-Shma最初的分析完全是线性代数的，后来的发展继承了这一观点。在这项工作中，我们重新推导出塔-什马的分析从组合的角度来看，使用重复应用的扩展混合引理。我们希望，这种替代的角度将产生一个更好的理解Ta-Shma的建设。作为我们的技术的一个额外的应用，我们给出了另一种证明的扩展击中集引理。
2022-01-26 cs.IT math.IT
Multilevel expander codes
我们定义多级代码的二分图，具有类似于多级串行级联的属性。描述了一种解码算法，其校正等于最小距离上的Blokh-Zyablov界的一半的错误的比例。该算法的误码率具有与串行级联多级码相似的指数。
2005-02-19 cs.IT math.IT
Linear-time Erasure List-decoding of Expander Codes
给出了扩展码的线性时间擦除列表译码算法。更准确地说，让$r > 0$是任何整数。给定一个长度为$d$的内码$C_0$和一个$d$ -正则二部扩展图$G$，$d$-正则二部扩展图$G$的每边都有$n$顶点，我们给出了一个从时间上的近似$δδ_r nd$擦除$n \cdot \mathrm{poly}(d2^r / δ)$中列表解码长度为$nd$的扩展码$C = C(G, C_0)$的算法，其中$δ$和$δ_r$分别是$C_0$的相对距离和第$r$个广义相对距离.据我们所知，这是第一个线性时间算法，可以列表解码扩展码从擦除超出其（设计）的距离约$δ^2 nd$。为了获得我们的结果，我们证明了一种类似于（Hemenway和Wootters，信息与计算，2018）的方法可以用来获得这样一种擦除列表解码算法，其运行时间对$r$和$δ$的依赖性呈指数级恶化;然后我们展示了如何改善运行时间对这些参数的依赖性。
2020-02-20 cs.IT math.IT
$c^3$-Locally Testable Codes from Lossless Expanders
局部可测试码（LTC）是一种具有性能测试器的纠错码。测试器通过读取恒定随机位来测试字是否是码字，并且以与从字到最近码字的距离成比例的概率拒绝字。直到最近，一个重要的开放问题是是否存在$c^3$ -LTC，即具有恒定速率、恒定相对距离和恒定位置的LTC。在这项工作中，我们构建了一个新的LTC家庭使用单边无损扩展和平衡产品。
2022-01-28 cs.CC cs.IT math.IT
Expander-like Codes based on Finite Projective Geometry
本文提出了一种新的纠错码及其译码算法，它具有类似于扩展码的结构。该代码是基于一个二分图来自有限射影几何的包容关系，和Reed-Solomon码的分量码。我们使用一个修改后的版本，众所周知的Zemor的解码算法的扩展码，解码我们的代码。通过推导的几何界限，而不是特征值的界限，它已被证明，对于实际值的码率，我们的代码的随机纠错能力是远远优于那些来自以前研究的图形代码，包括Zemor的界限。MATLAB仿真进一步表明，在几乎99%的测试用例中，该代码的平均用例性能比获得的这些几何边界好10倍。通过利用射影空间格的对称性，我们设计了一个相应的解码器，具有最佳的吞吐量。解码器设计已在Xilinx Virtex 5 FPGA上进行了原型设计。这些代码是为辅存介质中的潜在应用而设计的。作为一个应用，我们也讨论了使用这些代码来提高光盘解码器的突发错误纠正能力。
2012-09-16 cs.IT math.IT
Trellis codes with a good distance profile constructed from expander graphs
School of Science and Engineering, The Chinese University of Hong Kong (Shenzhen)（香港中文大学（深圳）理工学院）；School of Science and Engineering, Future Networks of Intelligence Institute, The Chinese University of Hong Kong (Shenzhen)（香港中文大学（深圳）理工学院未来网络智能研究院）
通过扩张图构造了具有良好距离剖面的树状码，实现了接近卷积码的速率-距离折衷性能。
2026-02-15 cs.DS cs.IT math.CO
New Cosystolic Expanders from Tensors Imply Explicit Quantum LDPC Codes with $Ω(\sqrt{n}\log^kn)$ Distance
在这项工作中，我们引入了一个新的概念，在更高的维度，这是强于研究costostolic膨胀的概念，并被称为{ \em集体costolic膨胀}。我们表明，张紧两个cosystolic扩张器产生一个新的cosystolic扩张器，假设产品中的复合物之一，不仅是cosystolic扩张器，而是一个集体cosystolic扩张器。然后，我们表明，众所周知的有界度cosystolic扩张，Ramanujan复合物，事实上，集体cosystolic扩张。这使我们能够构建新的有界度cosystolic扩张，拉马努金复杂的张量。利用我们新构造的有界度同收缩展开子，我们构造了{ \em显式}量子LDPC码的距离$\sqrt{n} \log^k n$的任何$k$，改善了最近的结果埃夫拉等。等人的\cite{EKZ}，并且为显式量子LDPC码的距离设置了新的记录。\cite{EKZ}的工作利用了发生在Ramanujan复合物中的高维膨胀概念，称为共收缩膨胀。我们的改进是通过考虑拉马努金复形的张量积，并利用其新导出的属性，集体costostolic扩展。
2020-11-16 cs.IT math.CO math.IT
On Expanders Graphs: Parameters and Applications
给出了$d$ -正则图的边顶点图的膨胀系数的一个新的下界。因此，我们得到了一个由Sipser和Spielman构造的扩展码的相对最小距离的下界的改进。我们还得到了一些改进的结果，有助于我们在改进的参数的扩展码的Alon，Bruck，Naor，Naor和Roth的图的顶点扩展。
2004-06-25 cs.IT math.IT
Linear-time list recovery of high-rate expander codes
我们表明，扩展代码，当适当的实例化，是高速率的列表可恢复代码与线性时间列表恢复算法。最近，列表可恢复码在构造有效的列表可解码码以及用于压缩感知和组测试的矩阵的显式构造中是有用的。以前的列表可恢复代码与线性时间解码算法都有率最多为1/2，相比之下，我们的代码可以有率$1 - ε$的任何$ε> 0$。我们可以将我们的高速率代码插入Meir（2014）的构造中，以获得任意速率的线性时间列表可恢复代码，其接近所提供的非平凡列表的数量与代码的速率之间的最佳权衡。虽然列表恢复本身很有趣，但我们的主要动机是应用于列表解码。稍微加强我们的结果将意味着线性时间和最佳列表解码码的所有速率，我们的工作是解决这个重要问题的方向迈出了一步。
2015-03-06 cs.IT math.IT
Algebraic Expander Codes
University of Toronto（多伦多大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文提出代数扩张码，通过Reed-Solomon局部约束和非交换子群生成的结构子空间，实现恒定相对距离和非零全局速率，解决了低速率情况下编码率下界问题。
2026-03-25 cs.IT math.IT
Improved Nearly-MDS Expander Codes
提出了一种具有以下三个性质的扩展码的构造：（i）码接近Singleton界，（ii）它们可以以码长为线性的时间复杂度进行编码，（iii）它们具有线性时间有界距离解码器。通过使用一个版本的解码器，纠正也擦除，代码可以取代MDS外码级联结构，从而导致线性时间可编码和可解码的代码，接近Zyablov界或无记忆信道的容量。所提出的构造改进了Guruswami和Indyk的早期结果，即任何低于Singleton界的速率和相对最小距离对于显著较小的字母大小都是可以实现的。
2006-05-10 cs.IT math.IT
Expander Chunked Codes
分块码是具有低计算成本的高效随机线性网络编码（RLNC）方案，其中输入分组被编码成小块（即，编码分组的子集）。在网络传输期间，在每个块内执行RLNC。本文首先引入一个简单的传输矩阵模型来描述组块的传输，并推导出该模型的一些基本性质以便于性能分析。然后，我们专注于重叠分块码的设计，一类分块码，其块是输入数据包的非不相交的子集，这是特别感兴趣的，因为它们可以被编码的计算成本可以忽略不计，并在因果关系的方式。我们提出了扩展块（EC）代码，第一类重叠的块代码，具有可分析的性能，其中的块的建设利用了定期的图形。数值和仿真结果表明，在某些实际情况下，EC码可以达到91%至97%的最佳速率，并优于国家的最先进的重叠分块码显着。
2015-03-26 cs.IT math.IT
Quantum Expander Codes
提出了一种有效的恒速率量子超图积LDPC码译码算法，该算法可证明纠正长度为$n$的码的权值$Ω(\sqrt{n})$的对抗性错误.该算法在时间上与量子比特数成线性关系，这使得它的性能是迄今为止量子码线性时间解码中最强的。该算法依赖于扩展属性，而不是直接依赖于量子代码的因子图，而是依赖于构建它的原始经典代码的因子图。
2015-04-03 cs.IT math.IT quant-ph
Symmetric Self-Dual Quantum Codes on High Dimensional Expanders
Institute for Quantum Information and Matter, California Institute of Technology（加州理工学院量子信息与物质研究所）；Department of Computer Science, Bar-Ilan University（巴伊兰大学计算机科学系）
本研究在高维展开器上构建了首个具有丰富对称性的自双qLDPC码，利用非积单纯复形实现了高性能量子码及容错逻辑门。
2026-03-12 cs.IT math.IT quant-ph
Efficient decoding of random errors for quantum expander codes
我们表明，量子扩展码，一个恒定速率的家庭量子LDPC码，与准线性时间解码算法的Leverrier，Tillich和Zémor可以纠正一个常数的随机错误的概率非常高。这是第一个构造的恒定速率的量子LDPC码与有效的解码算法，可以纠正线性数量的随机错误，可以忽略不计的失败概率。Gottesman构造了具有恒定空间开销的容错方案，这也是寻找具有这些属性的代码的动机。为了得到这个结果，我们研究了$α$ -渗流的概念：对于给定图的顶点的随机子集$W$，我们考虑$W$的最大连通$α$ -子集的大小，其中$X$是$W$的$α$ -子集，如果$|X \cap W| \geq α|X|$ .
2018-03-25 cs.IT math.IT quant-ph
Constant overhead quantum fault-tolerance with quantum expander codes
我们证明了量子扩展码可以与量子容错技术相结合，以实现恒定的开销：与故障硬件的量子计算所需的物理量子比特的总数和逻辑量子比特的数量在理想的计算中所涉及的比率是渐近常数，甚至可以任意接近1的小物理错误率的限制。这改进了标准阈值定理所承诺的多对数开销。为了实现这一点，我们利用Gottesman介绍的框架，以及一个家庭的恒定速率量子码，量子扩展码。我们的主要技术贡献是分析这些代码的有效解码算法，并证明它仍然是强大的存在噪声综合征测量，这是容错电路的一个属性是至关重要的。我们还建立了解码算法的两个附加功能，使其对量子计算具有吸引力：它可以并行化以对数深度运行，并且是单次，这意味着它只需要一轮噪声综合征测量。
2018-08-11 cs.IT math.IT quant-ph
Optimal Small Set Expanders and Their Codes
Universidad de los Andes（安第斯大学）；Instituto de Matemática y Estadística Rafael Laguardia, Universidad de la República（拉斐尔·拉瓜迪亚数学与统计研究所，共和国大学）；Instituto de Estadística (IESTA), Universidad de la República（统计研究所 (IESTA)，共和国大学）；Centro de Matemática, Universidad de la República（数学中心，共和国大学）
本文刻画了最优小集扩展器的组合特征（通过围长），证明了任意s阶最优扩展器的存在性，并应用于后量子密码密钥交换协议的编码构造。
2026-06-23 cs.CR cs.IT math.CO
Decodable quantum LDPC codes beyond the $\sqrt{n}$ distance barrier using high dimensional expanders
构造具有比长度的平方根更快增长的最小距离的量子LDPC码一直是该领域的主要挑战。考虑到这一挑战，我们调查的建设，来自高维扩展，特别是拉马努金复合物。这些自然地产生非常不平衡的量子纠错码，其具有大的$X$距离但具有小得多的$Z$距离。然而，连同一个经典的扩展LDPC码和张量的方法，概括了建设的黑斯廷斯和量子码的Tillich-Zemor建设，我们得到的量子LDPC码的最小距离超过的平方根的代码长度和其尺寸接近的代码长度的平方根。当成分是一个3维Ramanujan复杂，我们表明，其2-收缩表现得像一个平方的复杂的大小，这导致在最小距离$n^{1/2}\log n$的整体量子码，并设置一个新的记录量子LDPC码。当我们使用二维Ramanujan复形，或三维Ramanujan复形的2-骨架时，我们得到最小距离的量子LDPC码$n^{1/2}\log^{1/2}n$。然后，我们利用复杂的扩展特性，设计出第一个多项式时间算法，用于量子LDPC码的平方根障碍以上的解码。
2020-04-16 cs.IT math.CO math.IT
Improved Decoding of Expander Codes
我们研究了由Sipser和Spielman \cite{SS96}提出的经典扩展码。给定任何常数$0< α, \varepsilon < 1/2$，和一个任意的二分图与$N$顶点的左边，$M < N$顶点的右边，和左度$D$，使任何左子集$S$的大小最多$αN$至少有$(1-\varepsilon)|S|D$邻居，我们证明了相应的线性码给出的奇偶校验的权利至少有大约$\frac{αN}{2 \varepsilon }$的距离。当$\varepsilon < 1/2$时，这严格优于$2(1-\varepsilon ) αN$ \cite{Sudan2000note, Viderman13b}的最佳已知的先前结果，并且当$\varepsilon $小时，显著地改进了先前的结果。此外，我们表明，这个距离是紧的一般，从而提供了一个完整的表征一般扩展码的距离。接下来，我们提供了几个有效的解码算法，大大提高了以前的结果，无论何时$\varepsilon < \frac{1}{4}$的错误纠正的分数。最后，我们还给出了一般扩展码的列表译码半径的一个界，在某些情况下，它优于经典的Johnson界（例如，当图形几乎是规则的并且代码具有高速率时）。我们的技术利用新的组合性质的二部扩展图。特别是，我们建立了一个新的规模扩张的权衡，这可能是独立的利益。
2022-01-10 cs.CC cs.DS cs.IT
Strong blocking sets and minimal codes from expander graphs
本文结合常数度扩张图与渐近好码，在有限射影空间中显式构造了大小为 $O(qk)$ 的强阻塞集，从而首次给出了满足 $n=O(qk)$ 的极小线性码显式构造，解决了该领域的主要开放问题。
2023-05-24 cs.IT math.CO math.IT
On the Efficacy of the Peeling Decoder for the Quantum Expander Code
针对量子LDPC码擦除纠错中停止集的挑战，本文通过模拟证明结合量子扩展码与线性复杂度的Peeling解码器能有效恢复量子比特擦除，并探讨了小集合翻转等附加技术以进一步提升解码性能。
2025-05-29 cs.IT math.IT quant-ph
Gradient Coding from Cyclic MDS Codes and Expander Graphs
梯度编码是分布式学习中的一种落后者缓解技术。在本文中，我们设计了新的梯度码使用工具，从经典的编码理论，即循环MDS码，这与现有的解决方案相比，无论是在适用的参数范围和所涉及的算法的复杂性。其次，我们介绍了梯度编码问题的一个近似变体，其中我们解决近似梯度计算，而不是精确的。这种方法能够实现适度降级，即，近似梯度的$\ell_2$误差是落后者数量的递减函数。我们的主要结果是，规范化的邻接矩阵的扩展图产生优秀的近似梯度代码，这使得显着更少的计算相比，精确的梯度编码，并保证更快的收敛速度比平凡的解决方案在标准假设下。我们在Amazon EC2上对我们的方法进行了实验测试，结果表明近似梯度编码的泛化误差非常接近完整梯度，同时需要的计算量明显减少。
2019-07-08 cs.IT math.IT stat.ML
Decoding of Expander Codes at Rates Close to Capacity
研究了码的译码错误概率随码组长度的变化规律。它表明，存在的代码与多项式小的解码错误概率意味着存在的代码与指数小的解码错误概率。具体地说，假设存在一个长度为N、码率为R=（1-ε）C（C是二进制对称信道的容量）的码族，其译码概率以1/N多项式递减。它表明，如果解码概率下降足够快，但仍然只有多项式快在1/N，那么存在另一个这样的家庭的代码，其解码错误概率下降指数快在N。此外，如果假设的码族的译码时间复杂度是关于N和1/ε的多项式，则所给出的码族的译码时间复杂度是关于N的线性的和关于1/ε的多项式.这些代码进行了比较，最近提出的代码Barg和Zemor，“错误指数的扩展码，”IEEE trans. Inform。理论，2002年，和“级联码：串行和并行，”IEEE trans. Inform。理论，2005年。结果表明，后者的家庭不能被调谐到有指数衰减（N）的错误概率，并在同一时间内，有解码时间复杂度线性N和多项式的1/ε。
2007-01-22 cs.IT math.IT
When can an expander code correct $Ω(n)$ errors in $O(n)$ time?
本文研究扩张码的快速纠错解码，证明 $\delta d_0>3$ 充分且 $\delta d_0>1$ 必要，并给出确定性与随机化两种新算法，近最优地解决了一般内码下的解码条件问题。
2024-07-17 cs.IT math.CO math.IT
Maximally Extendable Product Codes are Good Coboundary Expanders
本研究针对多码乘积的乘积扩展特性展开，证明了足够大域上任意数量随机码的集合具备良好乘积扩展，且该思路有望用于构造四码乘积的良好量子局部可测码，为相关编码构造提供了新的理论支撑。
2025-10-21 cs.IT math.IT quant-ph
Encoders and Decoders for Quantum Expander Codes Using Machine Learning
IIT Madras（马德拉斯印度理工学院）；Purdue University（普渡大学）
量子密钥分发（QKD）允许两个远程方共享加密密钥，其安全性基于量子力学定律。为了共享密钥，量子比特必须通过噪声量子信道从发送方传输到接收方。为了传输这些信息，需要设计高效的编码器和解码器。然而，量子编码器和解码器的大规模设计必须取决于信道特性，并且需要查找表，查找表需要量子比特数量呈指数级的存储器。为了缓解这一问题，本文旨在通过将强化学习和神经网络等机器学习技术应用于量子领域来设计扩展码的量子编码器和解码器。所提出的量子解码器训练一个神经网络，该神经网络是使用最大后验误差训练的，消除了使用大型查找表。量子编码器使用基于深度Q学习的技术来优化量子Calderbank-Shor-Steane（CSS）码中的生成器矩阵。评估结果表明，与量子扩展器码相比，所提出的量子编码器和解码器设计的性能有所改善。
2019-09-06 cs.IT cs.LG math.IT
Optimal designs for Lasso and Dantzig selector using Expander Codes
研究了利用非平衡膨胀图的邻接矩阵的高维回归问题。在这个框架中，我们证明了$\ell_{2}$ -预测误差和$\ell_{1}$ -风险的套索和Dantzig选择器是最佳的显式乘法常数。因此，我们可以估计一个高维目标向量的误差项类似于在一个已知的情况下，其中一个最大的坐标的支持提前获得。此外，我们证明了这些设计矩阵有一个明确的限制特征值。精确地说，它们满足约束特征值假设和具有显式常数的相容条件。最后，我们利用最近的建设不平衡的扩展图由于Guruswami，乌曼斯，和Vadhan，提供一个确定性的多项式时间这些设计矩阵的建设。
2014-07-22 cs.IT math.IT math.PR
Reliable Memories Built from Unreliable Components Based on Expander Graphs
在本文中，被认为是建立在受瞬态故障的组件的存储器。提出了一种基于低密度奇偶校验码的容错存储器结构，证明了对抗性故障模型的可靠存储器的存在性。证明依赖于代码的底层Tanner图的扩展属性。建立了Taylor-Kuznetsov（TK）格式与GallagerB算法的等价性，并将结果推广到独立失效模型.它还表明，所提出的存储器结构具有较低的冗余相比，TK计划。结果与具体的数值例子进行了说明。
2007-05-01 cs.IT math.IT
List Decoding of Tanner and Expander Amplified Codes from Distance Certificates
该研究提出基于平方和半定规划层级与距离证书的列表译码算法，实现Tanner码、扩展器距离放大码等多类码接近Johnson界的列表译码，给出了对应时间复杂度与码性能结论。
2023-11-03 cs.DS cs.IT math.IT
New Codes on High Dimensional Expanders
我们提出了一类基于高维扩展器与Reed-Muller码关联的LDPC码，通过新颖的三角形嵌入实现非平凡速率，并具有局部可测试性和乘法性质。
2023-08-29 cs.CC cs.IT math.GR
List Decoding Expander-Based Codes up to Capacity in Near-Linear Time
本文提出了基于图正则性引理的新框架，利用近线性时间算法，实现了对基于谱扩展图的码进行达到容量的列表译码和列表恢复，并证明了多种显式构建的新颖组合与算法界限。
2025-07-17 cs.CC cs.DS cs.IT
Guessing Facets: Polytope Structure and Improved LP Decoding
本文研究了Feldman、Karger和Wainwright提出的线性规划译码的基本多面体的结构。我们首先表明，对于扩展码，每一个分数伪码字总是至少有一个恒定的分数的非整数位。然后，我们证明了扩展码，任何分数伪码字的活动集小于一个常数的分数比任何码字的活动集。我们进一步利用这些几何特性，设计一个改进的解码算法，具有相同的复杂性顺序LP解码，证明执行更好，对于任何块长度。它通过猜测多面体的面，然后在这些面上求解线性规划。虽然LP解码器成功，只有当ML码字具有最高的可能性超过所有的伪码字，我们证明了所提出的算法，当应用到合适的扩展码，成功，除非存在一定数量的伪码字，所有相邻的LP解码多面体上的ML码字，并具有更高的可能性比ML码字。然后，我们描述了一个扩展的算法，仍然与多项式的复杂性，成功，只要有至多多项式以上的ML码字许多伪码字。
2007-09-25 cs.IT math.IT
Guessing Facets: Polytope Structure and Improved LP Decoder
Feldman等人最近提出了一种新的基于松弛码字多胞形的线性规划（LP）译码方法，本文研究了LP松弛译码中所使用的多胞形的结构。我们首先表明，对于扩展码，每一个分数伪码字总是至少有一个恒定的分数的非整数位。然后，我们证明了扩展码，任何分数伪码字的活动集小于一个常数的分数比任何码字的活动集。我们利用这一事实，设计一个解码算法，证明优于有限块长度的LP解码器。它通过猜测多面体的方面，并解决这些方面的线性规划。虽然LP解码器成功，只有当ML码字具有最高的可能性在所有的伪码字，我们证明了扩展码的算法成功，即使有一个常数的伪码字的可能性更高。此外，所提出的算法的复杂度只是一个常数的因子大于LP解码器。
2006-08-11 cs.IT math.IT
Matrix Chernoff concentration bounds for multipartite soft covering and expander walks
本文证明了经典量子软覆盖的矩阵Chernoff指数集中界，引入扩展图游走的有界切除新方法，并利用无显式Hilbert空间维度因子等特征，给出了多窃听者量子保密信道下私密信息传输的新单次内界。
2025-04-05 cs.IT math.IT math.PR
List Decoding Expander-Based Codes via Fast Approximation of Expanding CSPs: I
该研究将基于扩展器的码的列表译码转化为扩展图上的一致性CSP，利用$q$元扩展CSP的快速近似算法，得到三类码的近似线性时间列表译码结果。
2025-09-05 cs.DS cs.IT math.IT
Explicit Codes approaching Generalized Singleton Bound using Expanders
该研究构造了一类基于扩张图组合性质的显式码，无需代数结构即可列表解码至容量并达到最优列表大小，还首次实现了接近广义Singleton界的LDPC码显式构造。
2025-02-11 cs.CC cs.IT math.IT
Decoding Quasi-Cyclic Quantum LDPC Codes
本文提出一种针对基于提升乘积构造的准循环量子LDPC码的高效解码算法，可纠正Θ(N/log N)个对抗性误差，并将解码问题归约为经典扩张器LDPC码的含噪综合征解码。
2024-11-07 cs.IT math.IT quant-ph
Sphere packing proper colorings of an expander graph
本文提出图形纠错码概念，研究单侧谱扩张与图上最大纠错着色集合的关系，部分刻画了指数增长与常数界区域并证明尖锐相变。
2025-01-27 cs.IT math.CO math.IT
On combinatorial structures in linear codes
本文研究量子码与经典码连通图中的组合子结构，证明了子图集合在规模与扩张性上的下界及逆命题，并确立 BPT 界在所有欧几里得维度下的紧性。
2023-09-28 cs.IT math.IT quant-ph
Explicit Abelian Lifts and Quantum LDPC Codes
对于作用在集合$[\ell]$上的阿贝尔群$H$，图$G_0$的$(H,\ell)$ -提升是通过将每个顶点替换为$\ell$副本，并将每条边替换为对应于$H$的元素的作用的匹配而获得的图。在这项工作中，我们显示了以下明确的结构，通过阿贝尔升降机获得的扩张。每（传递）阿贝尔群$H \leqslant \text{Sym}(\ell)$，常度$d \ge 3$和$ε> 0$，我们构造了由一个群的$(H,\ell)$ -提升得到的显式$d$ -正则扩张图$G$。（合适的）基础$n$ -顶点扩展器$G_0$，具有以下参数：（i）$λ(G) \le 2\sqrt{d-1} + ε$，对于任何电梯尺寸$\ell \le 2^{n^δ}$，其中$δ=δ(d,ε)$，（ii）$λ(G) \le ε\cdot d$，对于任何电梯尺寸$\ell \le 2^{n^{δ_0}}$，对于固定的$δ_0 > 0$，当$d \ge d_0(ε)$，或（iii）$λ(G) \le \widetilde{O}(\sqrt{d})$，升降机尺寸“正好”为$\ell = 2^{Θ(n)}$。作为推论，我们得到了显式量子提升产品码的Panteleev和Kalachev几乎线性距离（也在很宽的参数范围内）和显式的经典准循环LDPC码与广泛的循环大小。上述项目$(i)$和$(ii)$是通过将Mohanty，O 'Donn…
2021-12-02 cs.DM cs.DS cs.IT
On the list recoverability of randomly punctured codes
我们表明，一个良好的距离的代码的随机打孔列表可恢复超出约翰逊界。特别是，这意味着有里德-所罗门码是列表恢复超出约翰逊界限。先前已知存在不具有此性质的Reed-Solomon码。作为一个直接的推论，我们的主要定理，我们得到更好的程度上的不平衡扩展，来自里德-所罗门码。
2020-07-03 cs.CC cs.DM cs.IT
Zig-zag and Replacement Product Graphs and LDPC Codes
从图定义的代码的性能取决于底层图的扩展属性在一个关键的方式。图的积，如Z字形积和置换积，提供了新的无限常度扩张图族。本文研究了使用之字形和替换产品图的建设代码的图。本文还介绍了一种改进的之字形积，它可以作用于两个不平衡的双正则二部图。
2007-08-20 cs.IT math.IT
Quantum Tanner codes
Tanner码是从短码和图中获得的长纠错码，其中位在边缘上，并且来自短码的奇偶校验约束在图的顶点处实施。将好的短码与谱扩展图相结合，得到了著名的扩展码Sipser和Spielman，它们是渐近好的经典LDPC码。在这项工作中，我们将此处方的左，右凯莱复杂的心脏在于最近建设的一个$c^3$本地可测试的代码Dinur等人。具体来说，我们认为这个复杂的两个图形，共享相同的一组边缘。通过在每个图上定义一个Tanner码，我们得到了两个经典码，它们一起定义了一个量子码。这种构造可以被看作是Panteleev和Kalachev渐近好的量子LDPC码的简化变体，其最小距离的估计得到了改进。这种量子码是密切相关的Dinur等人。代码在不止一个意义上：事实上，我们证明了一个定理，同时给出了一个线性增长的最小距离的量子码和恢复的本地可测性Dinur等人。代码。
2022-09-16 cs.CC cs.IT math.IT
Bounds and Constructions of Codes with All-Symbol Locality and Availability
研究了具有全符号局部性和可用性的线性局部可恢复码（LRC码）的距离性质。新的上限和下限的最小距离，这样的代码。上界是基于缩短方法，并改进现有的缩短界。为了减少上界和下界之间的差距，我们不限制字母表的大小，并提出明确的建设代码的局部性和可用性，通过秩度量码。第一种构造依赖于扩展图，在低速率区域较好，第二种构造利用Wang等人开发的LRC码作为内码，在高速率区域较好。
2017-02-04 cs.IT math.IT
On the Complexity of Exact Maximum-Likelihood Decoding for Asymptotically Good Low Density Parity Check Codes
自Berlekamp，McEliece和van Tilborg的经典工作以来，一般线性码的精确最大似然译码问题是NP-难的。本文证明了一类渐近好的纠错码--扩展码，即低密度奇偶检验（LDPC）码的一种特殊情况--在二进制对称信道（BSC）上的精确ML译码是可能的，并具有预期的多项式复杂度.更准确地说，对于非平凡范围内的任何比特翻转概率$p$，存在非零支持率区域和一族渐进良好代码，其错误概率在编码长度$n$中呈指数衰减，对于该代码，ML解码在预期的多项式时间内是可行的。此外，当$p$接近零时，该速率区域接近信道容量区域。结果是基于多项式时间次优解码算法的存在，该算法提供ML证书和计算次优解码器产生ML解决方案的概率的能力。一个这样的ML证书解码器是费尔德曼的LP解码器，我们还提出了一个更有效的$O(n^2)$算法的基础上的工作Sipser和Spielman和福特-富克尔森算法。结果可以推广到AWGN信道，并建议它可能是可行的，以消除错误地板现象与消息通道解码的LDPC码在高信噪比制度。最后，我们观察到Berlekamp，McEliece和van Tilborg的论点可以用来表明，ML解码的考虑类的代码构造的LDPC码与规则的左度，其中考虑的扩展码是一个特殊的情况下，仍然是NP-难的，从而给出了一个有趣的对比之间的最坏情况和预期的复杂性。
2007-02-25 cs.IT math.IT
Decoding quantum Tanner codes
我们介绍了量子泰纳码的顺序和并行解码器。当Tanner码的构造应用到一个充分扩展的平方复杂的鲁棒本地码，我们得到了一个家庭的渐近良好的量子低密度奇偶校验码。在这种情况下，我们的解码器可证明纠正任意错误的重量线性的代码长度，分别在线性或对数时间。同样的解码器很容易适应扩展提升产品代码的Panteleev和Kalachev。在此过程中，我们利用最近建立的随机张量码的鲁棒性的界限，给量子Tanner码的最小距离上一个更严格的界限。
2022-12-08 cs.IT math.IT quant-ph
Bounds on the Parameters of Locally Recoverable Codes
局部可恢复码（LRC码）是有限字母表上的码，使得编码中的每个符号是形成恢复集合的少量其他符号的函数。本文给出了LRC码参数的新的有限长和渐近界。对于每个坐标都具有单个恢复集的LRC码，我们得到了LRC码的渐近Gilbert-Varshamov型界，并找到了渐近好的LRC码的最大可达相对距离.对于每个坐标具有两个不相交恢复集的LRC码，也得到了类似的结果。对于多个恢复集的情况下，我们推导出一个下界的参数使用扩展图参数。最后，我们还得到了有限长度的上界的LRC码的速度和距离的多个恢复集。
2016-03-09 cs.IT math.IT
Quantum Codes with Transversal $CCZ$ Gates and Sublinear $Z$-Stabilizers
School of Electrical and Computer Engineering, Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学电气与计算机工程学院）；Department of Electrical Engineering–Systems, Tel Aviv University（特拉维夫大学电气工程系）
通过改进的代数穿孔定理，构造了具有横向 CCZ 门的量子 CSS 码，其 Z 稳定子具有次线性权重生成集，参数达到 [[N, Θ(N), Ω(N^{1/m})]]，并扩展到固定素域。
2026-07-15 cs.IT math.IT
On the minimum distance graph of an extended Preparata code
扩展码字P（m）的最小距离图具有对应于码字的顶点和对应于相距距离6的码字对的边。研究了这类图的团结构，证明了两个扩展码的最小距离图是同构的当且仅当这两个码是等价的。
2009-02-09 cs.DM cs.IT math.IT
New Classes of Partial Geometries and Their Associated LDPC Codes
使用部分几何结构来构造LDPC码的奇偶校验矩阵已经导致了在低至$10^{-15}$的出错率下具有接近香农容量的错误概率的成功码的设计。这些考虑促使我们进行进一步的调查。给出了一类具有拟循环结构的部分几何的一种新的简单构造，并研究了它们的性质。部分几何代码的捕获集先前被认为是使用底层结构的几何方面来导出关于允许的捕获集的大小的信息。在此进一步审议这一专题。最后，部分几何和强正则图之间有一种自然的联系。这种图的邻接矩阵的特征值是众所周知的，并且确定从部分几何导出的任何Tanner图对于某些参数集是否是良好的扩展器是有意义的，因为可以认为具有良好几何和扩展特性的代码在消息传递解码下可能表现良好。
2015-03-24 cs.IT math.IT
On Trapping Sets and Guaranteed Error Correction Capability of LDPC Codes and GLDPC Codes
研究了$γ$ -左正则LDPC码的围长与比特翻转（串行和并行）译码保证纠错能力之间的关系。基于摩尔界，找到了扩展至少$3 γ/4$的因子的可变节点集的大小的下界。通过研究最小可能捕获集的大小，建立了保证纠错能力的上界。将所得结果推广到广义LDPC码。结果表明，当底层的Tanner图是一个很好的扩展器时，广义LDPC码可以纠正一个线性分数的错误下的并行位翻转算法。通过对一类陷阱集的研究，证明了当$γ$为偶数时，该界不能得到改善。具有所需的扩展的变量节点集的大小的下限被建立。
2008-05-16 cs.IT math.IT
On the error correction of iterative bounded distance decoding of generalized LDPC codes
本文研究了正则GLDPC码的迭代有界距离译码，通过构建Tanner图失败事件的必要条件，放宽了小左度数系综的纠错要求，并推导了渐近随机错误纠正比例的下界。
2025-07-16 cs.IT math.IT
Connectivity constrains quantum codes
量子低密度奇偶校验码（LDPC）是一类重要的量子纠错码。在这样的代码中，每个量子位只影响恒定数量的校正子位，并且每个校正子位只依赖于某个恒定数量的量子位。构造量子LDPC码是一个挑战。是否存在好的量子LDPC码，即具有恒定速率和相对距离的量子LDPC码，这是一个开放的问题。此外，执行容错门的技术知之甚少。我们提出了一个统一的方法来解决这些问题。我们的主要结果是a）距离上的界，b）码维数上的界和c）可应用于量子LDPC码的某些容错门的限制。所有这三个边界都被转换为量子代码的连通性图表示的图分隔符的函数。我们发现，除非连接图包含一个扩展器，代码是非常有限的。这意味着一个必要的，但不是充分的条件，以构建良好的代码。这是研究不依赖于局部性的量子LDPC码的局限性的第一个界限。作为应用，我们在$D$维双曲空间中给出了与局部图相关的量子LDPC码的新界。
2022-04-29 cs.IT math.IT quant-ph
