Analogues of Bermond-Bollobás Conjecture for Cages Yield Expander Families
本文将 1981 年 Bermond-Bollobás 猜想改造为笼图的三个变体，并证明任一变体获肯定回答即可构造扩张子族，从而建立笼图与扩张图的联系。
2024-09-10 cs.DM math.CO
A Generalized Method for Proving Polynomial Calculus Degree Lower Bounds
我们研究了多项式演算（PC）和多项式演算分辨率（PCR）在证明度上获得下界的问题，因此[Impagliazzo et al. '99]也研究了证明大小。[Alekhnovich and Razborov '03]建立了如果CNF公式F的子句变量关联图是足够好的扩展器，则证明F是不可满足的需要高PC/PCR度。我们进一步发展了[AR 03]中的技术，以表明如果可以在某种意义上以“尊重公式的结构”的方式“聚类”子句和变量，则该聚类版本的关联图是扩展器就足够了。作为一个推论，我们证明了功能鸽子洞原理（FPHP）公式时，需要高PC/PCR度限制为常数度扩展图。这回答了[Razborov '02]中的一个公开问题，并且还意味着FPHP公式的标准CNF编码在多项式演算分辨率中需要指数证明大小。因此，虽然Onto-FPHP公式对于多项式微积分来说很容易，如[Riis '93]所示，但FPHP和Onto-PHP公式即使在限制于有界度展开式时也很难。
2015-05-06 cs.CC cs.DM cs.LO
Spanning trees in sparse expanders
给定整数$n\ge Δ\ge 2$，令$\mathcal{T}(n, Δ)$是所有$n$ -顶点树的集合，其最大度至多为$Δ$。Alon，Krivelevich和Sudakov在2007年提出了一个问题，要求确定一个$(n, d,λ)$ -图成为$\mathcal{T}(n, Δ)$ -泛图的最佳可能谱隙条件，即它同时包含$\mathcal{T}(n, Δ)$的所有成员作为一个子图.本文证明了对充分大的整数$n$和所有的$Δ\in \mathbb{N}$，每个具有\[ λ\le\frac{d}{2Δ^{5\sqrt{\log n}}} \]的$(n, d,λ)$ -图是$\mathcal{T}(n, Δ)$ -泛图.作为一个直接的推论，这意味着阿隆的巧妙建设的三角形自由稀疏扩展是$\mathcal{T}(n, Δ)$ -普遍的，它提供了一个明确的建设这样的图，从而解决了问题的约翰森，Krivelevich和Samotij。我们的主要结果是制定下一个更一般的情况下，即，$(n,d)$ -扩展。更精确地说，我们证明了存在绝对常数$C,c>0$，使得下面的陈述对足够大的整数$n$成立。（1）.对于所有$Δ\in \mathbb{N}$，每个$(n, Δ^{5\sqrt{\log n}})$ -扩展器是$\mathcal{T}(n, Δ)$ -通用的。（2）.对于所有具有$Δ\le c\s…
2023-02-18 math.CO
Keyed hash function from large girth expander graphs
本文提出了一种计算密钥散列函数（消息认证码MAC）的算法。我们的方法使用一个家庭的扩展图的大围长表示$D(n,q)$，其中$n$是一个自然数大于1和$q$是一个素数的权力。已知扩展图具有优良的扩展性质，因此它们也具有非常好的混合性质。在我们的方法中，一个好的MAC的所有要求都得到了满足，关于碰撞和原像阻力的讨论也是这项工作的一部分。其输出近似于均匀分布，并且我们得到的结果与随机比特序列无法区分。定时的精确公式是根据每比特输入的运算次数给出的。基于测试，与其他技术相比，我们的实现DMAC的方法表现出良好的效率。每比特输入可实现4次运算。该算法非常灵活，可以处理任何长度的消息。许多现有的算法输出固定长度的标签，而我们的构造允许生成任意长度的输出，这是一个很大的优势。
2019-03-14 cs.CR math.CO
Inertia, Independence and Expanders
本文研究了图的独立数、Lovász theta 函数、Shannon 容量与非负特征值最小数量之间的关系，证明了 Kwan 和 Wigderson 的猜想，并基于补图包含谱扩展图的新观察得出 $n_{\ge0}(G)$ 可以任意大的结论。
2025-06-29 math.CO
Exponential Resolution Lower Bounds for Weak Pigeonhole Principle and Perfect Matching Formulas over Sparse Graphs
本文通过扩展 pseudo-width 方法至稀疏图，证明了高度不平衡稀疏 expander 图上 PHP 公式与完美匹配公式的 resolution 证明长度具有指数级下界。
2025-03-24 cs.CC cs.LO math.CO
Covering cycles in sparse graphs
令$k \geq 2$为整数。Kouider和Lonc证明了每个顶点数为$n \geq n_0(k)$且最小度至少为$n/k$的图$G$的顶点集可以被$k - 1$圈覆盖.我们的主要结果表明，对于每一个$α> 0$和$p = p(n) \in (0, 1]$，同样的结论适用于图$G$与最小程度$(1/k + α)np$是稀疏的意义上，\[ e_G(X,Y) \leq p|X||Y| + o(np\sqrt{|X||Y|}/\log^3 n) \qquad \forall X,Y\subseteq V(G). \]特别是，这使我们能够确定随机和伪随机图的局部弹性相对于有一个顶点覆盖由一个固定数量的周期。该证明使用了稀疏扩展图中的吸收方法的一个版本。
2021-11-17 math.CO
Dirac's theorem and the switch geometry of perfect matchings
Korteweg–de Vries Institute for Mathematics, University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学柯帝格-德弗里斯数学研究所）；Theoretical Computer Science Department, Faculty of Mathematics and Computer Science, Jagiellonian University（雅盖隆大学数学与计算机科学学院理论计算机科学系）
研究基于图的最小度数δ(G)探讨切换图H_k(G)的连通性和扩张性，证明当δ(G)≥2n/3+1时H_2(G)连通且为扩张图，同时给出不同δ(G)下H_k(G)的断开情况及最小度数阈值。
2026-04-20 cs.DM math.CO
On the Minimum Distance, Minimum Weight Codewords, and the Dimension of Projective Reed-Muller Codes
本文通过另一种证明刻画任意阶射影 Reed-Muller 码的最小距离与最小重量码字，给出其数量并讨论维数公式的等价性。
2023-09-27 cs.IT math.CO math.IT
Enumeration of minimum weight codewords of affine Cartesian codes
本文利用嵌套子域设定下的最小重量码字刻画，给出了Affine Cartesian codes最小重量码字数量的显式公式，统一了Reed-Solomon码和Reed-Muller码的已知公式。
2025-04-30 cs.IT math.CO math.IT
On the minimum distance of elliptic curve codes
计算线性码的最小距离是算法编码理论的基本问题之一。Vardy [14]证明了对于一般线性码，这是一个\np -困难问题.在实践中，人们经常使用具有附加数学结构的代码，例如AG代码。对于亏格为$0$（广义Reed-Solomon码）的AG码，最小距离有一个简单的显式公式. Cheng [3]的一个有趣的结果表明，对于一般的椭圆曲线码（ECAG码或属$1$的AG码），最小距离问题已经是\np -困难的（在\rp -约化下）。在本文中，我们证明了ECAG码的最小距离也有一个简单的显式公式，如果评估集是适当的大（至少$2/3$的群阶）。我们的方法是纯组合的，并基于前两位作者的新筛选技术[8]。该方法还证明了ECAG码的MDS（最大距离可分）猜想的一个明显更强的版本。
2015-01-07 cs.IT math.CO math.IT
Minimum distance functions of complete intersections
研究了域中系数的多项式环中完全交分次理想关于单项式阶的足迹函数。对于初始理想为完全交的一维分次理想，给出了足迹函数的一个公式和相应的最小距离函数的一个精确的下界。这使我们能够恢复仿射码的最小距离的公式，以及在这种情况下最小距离和足迹函数重合的事实。利用消失理想的正则性，推广了Alon和Füredi关于立方$\{0,1\}^n$被仿射超平面覆盖的结果.
2017-10-24 cs.IT math.AC math.AG
The Inductive Graph Dimension from The Minimum Edge Clique Cover
本文证明了两个图的联的递归（Knill）维数有一个简单的公式：$\mathrm{dim\,} (G_1+G_2) = 1 +\mathrm{dim\,} G_1+ \mathrm{dim\,} G_2$ .利用这个公式，我们导出了一个图的最小团覆盖的Knill维数的表达式。该公式的一个推论是，由相同阶$N$的完全图$K_N$的任意并集构成的图将具有维数$N-1$。最后，我们找到了一个图的Knill维数的下限和上界。
2020-12-22 math.CO
On the minimum number of chips allowing an infinite Chip-firing game
University of Namur（南纳穆尔大学）
本文针对强连通无环有向多重图，给出了计算导致无限筹码发射游戏所需最小初始筹码数的三个公式，推广了欧拉情形下的已知结果。
2026-05-28 math.CO
On Testability of First-Order Properties in Bounded-Degree Graphs
我们研究属性测试的属性是可定义的一阶逻辑（FO）中的有界度图和关系结构模型。我们证明了任何由具有量词前缀$\exists^*\forall^*$的公式定义的FO属性都是可测试的（即，具有恒定查询复杂度的可测试），而存在可由具有不可测试的量词前缀$\forall^*\exists^*$的公式表示的FO属性。在稠密图模型中，一个类似的画面是众所周知的（阿隆，菲舍尔，Krivelevich，Szegedy，Combinatorica 2000），尽管这两个模型的性质非常不同。特别是，我们得到我们的下界的一阶公式，定义了一类有界度扩展，基于锯齿形产品的图形。我们希望这是独立的利益。然后，我们证明了一些一阶属性的可测性，讲同构类型的邻域，包括可测性的$1$ -邻域自由度，和$r$ -邻域自由度下一个温和的假设。
2021-01-07 cs.CC cs.DM cs.DS
On the minimum order of a quadrangulation on a given closed 2-manifold
给出了一个计算给定亏格的闭可定向2-流形上四边形剖分的最小可能顶点数的部分公式。这扩展了先前已知的由于N的部分公式。Hartsfield和G. Ringel [J. Comb. Theory，Ser. B，1989，46，84-95]。
2012-08-26 cs.DM math.AT math.CO
Maximum and minimum nullity of a tree degree sequence
图的零度是指图的邻接谱中特征值零的重数。本文利用匹配数和湮灭数的概念，给出了具有相同度序列的树的最小零度和最大零度的一个闭公式。构造这种最小零树和最大零树的算法。
2018-06-06 math.CO
The minimum number of triangular edges and a symmetrization method for multiple graphs
本文给出了n个顶点e条边的图中三角形所含最少边数的一个渐近公式。我们的主要工具是一个推广的Zykov的对称化方法，可以同时适用于几个图形。
2016-06-03 math.CO
Asymptotically Enumerating Independent Sets in Regular $k$-Partite $k$-Uniform Hypergraphs
本文将聚合物模型与团簇展开截断方法应用于满足自然扩展性质的正则 $k$-部 $k$-一致超图，渐近确定了其独立集数量，并给出了仅依赖局部结构的高效计算公式及线性超图的闭式表达式。
2024-12-19 cs.DM math.CO
Minimum Wiener Index of Triangulations and Quadrangulations
一个连通图的Wiener指数是所有无序顶点对之间的距离之和。给出了连通度至少为$c$的简单三角剖分和四边形剖分的最小Wiener指标的计算公式，并给出了达到这些值的极值结构.我们的主要工具是设置上界的最大程度在高度连通的三角剖分和四边形。
2021-12-21 math.CO
On Testability of First-Order Properties in Bounded-Degree Graphs and Connections to Proximity-Oblivious Testing
本文研究有界度图模型中一阶逻辑性质的可测试性，证明了 $\exists^*\forall^*$ 前缀性质可测试而 $\forall^*\exists^*$ 不可测试，并据此通过构造传播型广义子图无关性质，否定了近邻无关测试中非传播条件的必要性。
2023-04-07 cs.CC cs.DM cs.DS
The Inductive Graph Dimension from The Minimum Edge Clique Cover
本文证明了归纳定义的图维数在连接运算下具有简单的可加性。两个单图的连接的维数是1加上组成图的维数之和：$\mathrm{dim}\, (G_1+ G_2) = 1 +\mathrm{dim}\, G_1+ \mathrm{dim}\, G_2$。利用这个公式，我们导出了任意有限单图的最小边团覆盖的归纳维数的表达式。这个公式的一个推论是：任何最大团都是$N$阶的有限单图都有维数$N-1$ .最后，我们找到了一个单图的诱导维数的上界，根据它的团数。
2020-12-21 math.CO
