Improved error bounds for the erasure/list scheme: the binary and spherical cases
Alexander Barg
我们得到了改进的范围内的错误和删除率的球形码和二元线性码下Forney的擦除/列表解码方案，并证明了一些相关的结果。
We derive improved bounds on the error and erasure rate for spherical codes and for binary linear codes under Forney's erasure/list decoding scheme and prove some related results.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Erasure List-Decodable Codes from Random and Algebraic Geometry Codes
引入擦除列表解码以通过输出可能的候选列表来校正大量擦除。在本文中，我们考虑了随机线性码和代数几何码的列表解码擦除错误。本文的贡献是双重的。首先，我们证明了，对于任意的$0<R<1$和$ε>0$（$R$和$ε$是独立的），随机线性码是具有恒定列表大小$2^{O(1/ε)}$的擦除列表可解码码的概率很高，该擦除列表可解码码可以校正擦除的一部分$1-R-ε$，即，随机线性码实现了信息速率和擦除错误分数之间的信息理论最佳折衷。其次，我们证明了代数几何码是良好的纠删列表可译码码。准确地说，对于任何$0<R<1$和$ε>0$，来自Garcia-Stichtenoth塔的速率$R$的$q$ -元代数几何码可以校正具有列表大小$O(1/ε)$的擦除错误的$1-R-\frac{1}{\sqrt{q}-1}+\frac{1}{q}-ε$部分。这改进了应用于代数几何码的Johnson界。此外，这些代数几何码的列表解码可以在多项式时间内实现。
Achievable Error Exponents for Channel with Side Information - Erasure and List Decoding
我们考虑一个解码器的擦除选项和一个可变大小的列表解码器的信道与非偶然的边信息在发射机。首先，普遍可实现的错误指数提供了一个擦除选项使用参数化的解码器的精神Csiszár和Körner的解码器的解码。然后，建议的解码规则一般化，通过扩展其参数的范围，以允许可变大小的列表解码。这个扩展给出了擦除/列表解码的统一处理。给出了列表错误概率和列表上错误消息的平均数的指数界。讨论了离散无记忆信道的Forney和Csiszár和Körner译码器的关系。这些结果是通过探索一个随机装箱码与条件常数组成的码字提出的莫林和王，但与不同的解码规则。
Linear-time Erasure List-decoding of Expander Codes
给出了扩展码的线性时间擦除列表译码算法。更准确地说，让$r > 0$是任何整数。给定一个长度为$d$的内码$C_0$和一个$d$ -正则二部扩展图$G$，$d$-正则二部扩展图$G$的每边都有$n$顶点，我们给出了一个从时间上的近似$δδ_r nd$擦除$n \cdot \mathrm{poly}(d2^r / δ)$中列表解码长度为$nd$的扩展码$C = C(G, C_0)$的算法，其中$δ$和$δ_r$分别是$C_0$的相对距离和第$r$个广义相对距离.据我们所知，这是第一个线性时间算法，可以列表解码扩展码从擦除超出其（设计）的距离约$δ^2 nd$。为了获得我们的结果，我们证明了一种类似于（Hemenway和Wootters，信息与计算，2018）的方法可以用来获得这样一种擦除列表解码算法，其运行时间对$r$和$δ$的依赖性呈指数级恶化;然后我们展示了如何改善运行时间对这些参数的依赖性。
Simplified Erasure/List Decoding
我们考虑使用某些类别的简化解码器的擦除/列表解码的问题。具体地，我们假设一类擦除/列表解码器，使得如果码字的可能性大于阈值，则码字在列表中。这类解码器既近似于Forney的最佳解码器，也包括以下简化的解码规则子类：第一个是仅输出向量的函数，而不是码本（最适合于高速率），第二个是最大似然解码器的缩放版本（最适合于低速率）。我们提供单字母表达式的确切随机编码指数的任何解码器在这些类中，操作在一个离散的无记忆通道。对于每一类解码器，我们找到类内的最佳解码器，在这个意义上，它最大化的擦除/列表指数，在给定的约束下的错误指数。我们建立的第一和第二类的简化解码器的最优性低和高速率，分别。
Fixed Error Asymptotics For Erasure and List Decoding
我们推导出最佳的二阶编码率，称为二阶容量，擦除和列表解码。对于离散无记忆信道的擦除解码，我们证明了二阶容量是$\sqrt{V}Φ^{-1}(ε_t)$，其中$V$是信道色散，$ε_t$是总错误概率，即，擦除和未检测到的错误的总和。我们数值计算表明，在有限块长度的擦除解码的预期速率可以超过有限块长度的信道编码率。我们还表明，类似的结果也适用于具有解码器侧信息的无损信源编码，即，Slepian-Wolf编码对于列表解码，我们认为列表代码的确定性大小，规模为$\exp(\sqrt{n}l)$和二阶容量是$l+\sqrt{V}Φ^{-1}(ε)$，其中$ε$是允许的错误概率。我们还考虑列表的多项式大小$n^α$和推导出的三阶编码率的多项式$α$的顺序方面的界限。这些界限是严格的对称和奇异通道。利用简单的阈值解码器和转换的编码定理的直接部分证明了使用的假设检验逆的变体。
Improved compression of network coding vectors using erasure decoding and list decoding
实际的基于随机网络编码的组播方案在每个分组中包括记录源和终端之间的转换的报头。报头引入了在某些场景中可能很重要的开销。在以前的工作中，错误控制码的奇偶检验矩阵以及错误解码被用来减少这种开销。在这项工作中，我们提出了新的数据包格式，允许我们使用擦除解码和列表解码。当分组中组合的源的数量不太小时，这两种方案与基于错误解码的方案相比具有较小的开销。
A Neyman-Pearson Approach to Universal Erasure and List Decoding
当信息要在未知的、可能不可靠的信道上传输时，在解码器处的擦除选项是期望的。使用恒定组成的随机码，我们提出了一个推广的Csiszar和Korner的最大互信息解码器与擦除选项的离散无记忆信道。新的解码器是参数化的加权函数，旨在优化未检测到的错误和擦除指数的复合类的通道之间的基本权衡。加权函数的类别可以进一步扩大，以优化列表解码器的类似折衷--在这种情况下，未检测到的错误概率被列表中的错误消息的平均数量所取代。明确的解决方案被确定。最佳指数承认简单的表达式的球形包装指数，在所有速率低于容量。对于小的擦除指数，这些表达式与Forney（1968）使用最大后验解码针对对称信道导出的表达式一致。因此，至少对这些渠道来说，忽视渠道法则是无关紧要的。的Csiszar-Korner规则和更简单的互信息阈值规则的最优性的条件被确定。误差指数的数值计算的二进制对称信道。
List and Unique Error-Erasure Decoding of Interleaved Gabidulin Codes with Interpolation Techniques
提出了一种新的基于内插的交织Gabidulin码译码原理。该方法包括两个步骤：首先，构造一个多元线性多项式，对接收字的系数进行插值;其次，求该多项式的根，由于插值多项式的特殊结构，这两个步骤（插值和求根）都可以通过求解一个线性方程组来完成。该解码原理可以被应用为列表解码算法（其中列表大小不一定是多项式有界的）以及有效的概率唯一解码算法。对于唯一的解码器，我们显示了连接到已知的唯一的解码方法，并给出了一个上限的失败概率。最后，我们推广我们的方法，不仅将错误，而且行和列擦除。
Erasure/List Random Coding Error Exponents Are Not Universally Achievable
我们研究的问题，普遍解码未知的离散无记忆信道中存在的擦除/列表选项在解码器中，在随机编码制度。具体来说，我们利用一个通用版本的Forney的经典擦除/列表解码器在早期的研究中，这是基于竞争的极大极小方法，并保证普遍的最佳随机编码误差指数的一定比例的可扩展性。在本文中，我们推导出一个精确的单字母表达式的最大可实现的分数。给出的例子中，最大可实现的分数是严格小于单位，这意味着，在一般情况下，没有通用的擦除/列表解码器，实现相同的随机编码误差指数作为一个已知的信道的最佳解码器。这与普通解码（没有擦除/列表选项）中的情况相反，其中最佳指数是普遍可实现的，如众所周知的。它还表明，以前的最大可实现的分数的下界推导一般不紧。然后，我们分析了一个广义的随机编码合奏，其中包括一个训练序列，结合一个次优的实际解码器（“插件”解码器），它首先估计使用已知的训练序列的信道，然后解码剩余的符号的码字使用估计的信道。我们的研究结果的影响之一，是设置一个合理的最佳训练标准的阶段。最后，我们比较了“插件”解码器和通用解码器的性能，在可实现的错误指数，并表明，后者是明显优于前者。
Error Exponents of Erasure/List Decoding Revisited via Moments of Distance Enumerators
有关擦除/列表解码，由于福尼的随机编码错误指数的分析，是重新审视。而不是使用Jensen的不等式以及其他一些不等式的推导，我们证明了指数紧分析可以进行评估的相关时刻，一定的距离枚举。由此产生的边界具有以下优点：（ii）在与信道和随机编码分布相关联的某些对称条件下，它比Forney界简单，因为它仅涉及对一个参数的优化（而不是两个），以及（iii）在某些特殊情况下，如二进制对称信道（BSC），该参数的最佳值可以以封闭形式找到，因此，不需要进行数字搜索。然而，我们还没有发现一个数值例子，这个新的界限是严格优于Forney的界限。这可能提供了一个额外的证据来支持Forney的猜想，即他的界对于平均代码是紧的。我们相信，我们在本文中提出的技术可以在简化，并希望也提高，指数误差界在其他问题的设置以及有用的。
Erasure/list exponents for Slepian-Wolf decoding
我们分析随机编码错误指数与擦除/列表Slepian-Wolf解码使用两种不同的方法，然后比较得到的界限。第一种方法遵循Gallager和Forney的公知技术，第二种方法基于距离枚举的技术，或者更一般地，基于类型类枚举，其植根于与随机能量模型（REM）相关的无序系统的统计力学。第二种方法保证产生至少与第一种方法一样紧的指数函数，并且证明对于编码率和阈值的某些组合，第二种方法的界限比第一种方法的界限严格更紧，通过任意大的因子。事实上，第二种方法甚至可以在第一种方法给出有限值的区域产生无穷指数。我们还讨论了可变速率Slepian-Wolf编码的选项，并演示了它如何提高所得指数。
Polar Coding for the Binary Erasure Channel with Deletions
通过分析二进制擦除信道（BEC）和删除信道的级联，研究了极化码在删除信道中的应用。我们展示了如何极化码可以有效地使用一个单一的删除BEC，并提出了一个列表解码算法与循环冗余校验这种情况下。解码复杂度为$O(N^2\log N)$，其中$N$是代码的块长度。一个重要的贡献是增加冗余量的优化，以最大限度地减少整体错误概率。我们的理论结果证实了数值模拟表明，列表的大小可以减少到一个和原始的消息可以恢复高概率的代码长度的增长。
BP-LED decoding algorithm for LDPC codes over AWGN channels
提出了一种在加性高斯白噪声信道下低密度奇偶校验（LDPC）码的低复杂度近最大似然（ML）译码新方法。所提出的方法称为置信传播列表擦除解码（BP-LED）是基于擦除仔细选择的不可靠的比特执行的情况下，BP解码失败。提出了一种在接收矢量中引入纠删的策略和一种新的纠删译码算法。新的擦除解码算法，称为列表擦除解码，结合了ML解码的BEC与列表解码应用，如果ML解码器未能找到一个唯一的解决方案。分析了Gallager系综下随机规则LDPC码平均链表长度的渐近指数。此外，还对几种短、中长度的规则和非规则准循环LDPC码进行了仿真研究，并将它们的性能与LDPC码集合平均性能上界和ML译码下随机线性码的平均性能上界进行了比较。与WiMAX标准码的BP译码性能和近ML BEAST译码性能进行了比较。将该算法应用于二元伽罗瓦域上的一个非二元LDPC短码的译码。所得到的仿真结果进行了比较，上界的集合平均性能的二进制图像的定期非二进制LDPC码。
Decoding Error Probability of the Random Code Ensemble over the Erasure Channel
该研究针对删除信道上的随机码集，推导了三类译码准则下的平均译码错误概率显式公式及渐近错误指数，为相关编码译码理论提供了明确的理论结果。
Universal decoding with an erasure option
受无比率编码、判决反馈和ARQ的应用启发，我们研究了在存在擦除选项的情况下，未知信道的通用解码问题。具体而言，我们利用竞争力极大极小的方法在早期的研究中开发，以获得一个通用版本的福尼的经典擦除/列表解码器，在擦除的情况下，最佳的擦除概率和未检测到的错误的概率之间的权衡。所提出的通用擦除解码器保证了这些概率的最佳误差指数的某个分数$ξ$的通用可擦除性（在某种意义上，在下文中要精确）。提供了$ξ$的单字母表达式，该表达式仅取决于编码速率和阈值。对二元对称信道的例子进行了详细的研究，并得出了一些结论。
Multilayer crisscross error and erasure correction
在这项工作中，多层交叉错误和擦除被认为是，影响整个行和列的矩阵列表中的矩阵。为了度量这种错误和擦除，引入了多覆盖度量。给出了几个界，包括一个Singleton界，并定义了达到该界的码为最大多覆盖距离（MMCD）码，研究了线性MMCD码的对偶性、删截性和缩短性。证明了线性MMCD码的对偶不一定是MMCD，满足这一对偶条件的码称为对偶MMCD码。最后，给出了在多重覆盖度量下的码的构造，包括对偶MMCD码，以及它们的有效译码算法。
List-decoding of Subspace Codes and Rank-Metric Codes up to Singleton Bound
子空间码和秩度量码可以用来纠正网络中的错误和擦除，而线性网络编码可以用来纠正网络中的错误和擦除。Koetter和Kschischang引入了子空间码，用于纠正拓扑未知（非相干情况）的网络中的错误和擦除。在之前的工作中，我们基于Koetter-Kschichang构造开发了一族子空间码，它们可以高效地列表解码。使用这些代码，我们实现了一个更好的解码半径比Koetter-Kschischiang码在低速率。在这里，我们介绍了一个新的家庭的子空间代码的基础上，导致一个线性代数列表解码算法的不同的方法。所得到的纠错半径可以表示如下：对于任何整数$s$，我们的列表解码器使用$s+1$插值多项式保证成功恢复的消息子空间提供的标准化的错误的维度是最多$s(1-sR)$。相同的列表解码算法可用于纠正擦除以及错误。输出列表的大小最大为$Q^{s-1}$，其中$Q$是从其中选择消息符号的字段的大小。秩度量码适合于在网络拓扑和底层网络码已知的情况下（相干情况）进行纠错。Gabidulin码是一类著名的代数秩度量码，其满足码的最小秩度量的Singleton界。在本文中，我们介绍了一个折叠版本的Gabidulin码类似的折叠Reed-Solomon码的Guruswami和Rudra随着列表解码算法，这样的代码。我们的列表解码算法使得有可能恢复的消息提供的标准化秩的错误是最多$1-R-ε$，对于任何$ε> 0…
An Upper Bound to the Undetected Error Exponent with Erasure Decoding at Positive Rates
该研究针对离散无记忆信道带删除译码的未检测错误指数问题，采用Somekh-Baruch的带助手辅助论证推导正码率下的上界，可恢复Telatar的紧码率零 converse，数值示例显示其对直线界的改进严格。
Two Theorems in List Decoding
证明了关于纠错码的列表译码的下列结果：（i）证明了对于相对距离为$δ$的\textit{any}码，（在足够大的字母表上），以下结果对于\textit{random errors}成立：对于随机错误的$ρ\le δ-\eps$部分，（对于任何$\eps>0$），接收的字将仅具有在其周围的半径为$ρ$的汉明球中的发送码字。因此，对于随机错误，对于任何代码，可以校正两倍于从最坏情况错误唯一可校正的错误数量。我们的结果的一个变体也给出了一个简单的算法来解码里德-所罗门码的随机错误，据我们所知，运行速度比已知的算法在一定范围内的参数。(ii)我们表明，级联码可以实现删除列表解码能力。Guruswami和Rudra（SODA 08）证明了最坏情况下错误的类似结果，尽管他们的结果并不直接暗示我们的结果。我们的研究结果表明，Guruswami和Rudra所考虑的随机系综码的一个子集也实现了对擦除的列表解码能力。我们的证明采用简单的计数和概率参数。
Random Linear Network Coding For Time Division Duplexing: When To Stop Talking And Start Listening
提出了一种新的用于时分双工信道可靠通信的随机线性网络编码方案。该设置假设分组擦除信道，并且节点不能同时发送和接收信息。发送器在停止等待接收器确认（ACK）正确解码信息所需的自由度的数量（如果有的话）之前，连续地发送编码数据分组。我们提供了这个问题的分析表明，有一个最佳数量的编码数据包，在平均完成时间方面，要发送之前停止听。该数目取决于延迟、数据包擦除和ACK擦除的概率以及接收器解码数据所需的自由度的数目。该方案在完成固定数量的数据分组的传输的平均时间方面是最优的。我们表明，它的性能是非常接近的全双工系统，而传输不同数量的编码数据包可能会导致大的性能下降，特别是如果延迟很高。此外，我们研究了我们的方案的吞吐量性能，并将其与现有的半双工Go-back-N和选择性重传ARQ方案进行比较。数值结果表明，在大多数情况下，我们的方案具有相似的性能选择性重复和相当的性能增益时，延迟和分组错误概率高。
Optimal list decoding from noisy entropy inequality
将Samorodnitsky关于布尔函数的噪声熵不等式应用于二进制码.它示出的二进制代码，实现二进制擦除信道上的容量承认最佳列表大小的列表解码在一些二进制对称信道（在一个制度，这个最佳列表大小是指数大）。
Joint Source-Channel Coding of Gaussian Sources over Block Erasure Channels: Nonasymptotic Bounds and Channel-Uniform Normal Approximations
本文研究高斯信源经块擦除信道的有限块长有损传输，提出非渐近可达与逆界及三阶信道一致正态近似，为少量数据包传输高维信源提供基准。
Optimal Threshold-Based Multi-Trial Error/Erasure Decoding with the Guruswami-Sudan Algorithm
传统上，Reed-Solomon（RS）码的多次试错/擦除解码基于具有擦除选项的有界最小距离（BMD）解码器。这样的解码器具有错误/擦除折衷因子L=2，这意味着就码的最小距离而言，错误的代价是擦除的两倍。古鲁斯瓦米-苏丹（GS）列表译码器可以被认为是RS码代数译码的最新技术。除了擦除选项之外，它还允许将L调整为范围1<L<=2中的值。基于以前的工作，我们提供了公式，允许最佳地（在剩余码字错误概率方面）利用具有任意L的解码器的擦除选项，如果解码器可以被使用z>=1次。我们发现，BMD解码器与z_BMD解码试验可以导致更低的剩余码字错误概率比GS解码器与z_GS试验，如果z_BMD仅略大于z_GS。由于BMD解码器通常具有比GS解码器更低的计算复杂性，因此这是实际感兴趣的。
Adaptive Single-Trial Error/Erasure Decoding of Reed-Solomon Codes
代数译码算法通常应用于里德-所罗门码的译码。它们的主要优点是低计算复杂性和可预测的解码能力。许多算法都可以扩展，用于纠正错误和擦除。这使得解码器能够利用从传输信道获得的二进制量化的可靠性信息：具有高可靠性的接收符号被转发到解码算法，而具有低可靠性的符号被擦除。本文研究了Reed-Solomon码的自适应单次试错/擦除译码，即推导出一种自适应擦除策略，使译码后的码字剩余错误概率最小化。我们的结果是适用于任何错误/擦除解码算法，只要它的解码能力可以表示的解码器的能力函数。例子是使用Berlekamp-Massey-或Sugiyama算法的有界最小距离解码和Guruswami-Sudan列表解码器。
List-Recovery of Random Linear Codes over Small Fields
本文研究小域上随机线性码的列表恢复问题，首次超越 Zyablov-Pinsker 界，证明在素域擦除和任意域错误情形下输出列表大小对容量差距 ε 的依赖可改进为 O(1/ε)。
Polar-Slotted ALOHA over Slot Erasure Channels
在本文中，我们设计了一个新的极化时隙ALOHA（PSA）协议在时隙擦除信道，它使用极化编码构造相同的时隙模式（SP）组装内的每个活跃用户和基站。为PSA提供了一个理论分析框架。首先，通过对重叠分组在时隙间隔内发生冲突时进行面向分组的操作，引入了基于分组的极化变换，并证明了该变换与分组长度无关。其次，以分组极化为指导，设计了可变时隙擦除概率（SEP）的SP分配（SPA）方法和固定SEP值的SPA方法。然后，面向分组的连续消除（pSC）和pSC列表（pSCL）解码算法的开发。同时，有限时隙的吞吐量界和渐进吞吐量的pSC算法进行了分析。仿真结果表明，与传统的重复时隙ALOHA方案相比，所提出的PSA方案在采用pSC/SCL译码算法的情况下，可以获得更高的吞吐量。
Weight distribution bounds to relate minimum distance, list decoding, and symmetric channel performance
本文研究了纠错码的最坏情况和随机噪声性质之间的关系，探讨了最小距离、列表解码半径和噪声信道块错误概率的联系，改进了线性码在对称信道上的性能界限。
Decoding Error Probability of the Random Matrix Ensemble over the Erasure Channel
本文利用新工具，对擦除信道上随机矩阵系综在三种译码原则下的平均错误概率给出显式公式与错误指数，并证明无歧义译码下错误概率的强集中性。
List decoding of Convolutional Codes over integer residue rings
$\ZZ[D]$上的卷积码$\C$是$\ZZN[D]$的$\ZZ[D]$ -子模块，其中$\ZZ[D]$代表具有$\ZZ$中的系数的多项式的环。在本文中，我们研究的列表解码问题时，这些代码的传输是在一个擦除信道，也就是说，我们研究了有多少信息可以恢复从码字$w\in \C$时，它的一些系数已被删除。我们使用$w$的$p$ -adic展开和代码的奇偶校验多项式矩阵的特定表示来实现。从这些矩阵多项式表示中，我们递归地选择$w$必须满足的某些方程，并且只有$p^{r-1}\ZZ$域中的系数。我们利用滑动奇偶校验矩阵的自然块Toeplitz结构，得到一个逐步的方法来获得一个列表的可能的码字为一个给定的损坏的码字$w$，也就是说，一个列表与最接近的码字$w$。
One-Shot Information Theory via the Pairwise Error Probability: Lossy, Joint Source-Channel, Erasure, and Multiuser Coding
本文扩展了基于成对错误概率的单样本信息论框架，将其应用于有损信源编码等四种场景，恢复了相关界并建立了多用户场景与可达性/逆对的关联。
Turbo Decoding on the Binary Erasure Channel: Finite-Length Analysis and Turbo Stopping Sets
本文研究了二进制擦除信道（BEC）下Turbo码译码的有限长度分析。低密度奇偶校验（LDPC）码在BEC上的迭代置信传播（BP）译码性能可以用停止集来表征。我们描述的BEC上的Turbo解码，这是简单的比其他信道上的Turbo解码。然后，我们将停止集的概念应用于Turbo解码，并陈述解码失败的确切条件。应用turbo解码，直到已恢复传输的码字，或者解码器无法进一步进行。然后，当解码器停止时将保留的擦除位置的集合等于唯一的最大大小turbo停止集合，其也是擦除位置的集合的子集。此外，我们提出了一些改进的基本Turbo译码算法的BEC。仿真结果表明，改进的Turbo码译码算法具有更好的误码性能。最后，在均匀交织器假设下，给出了Turbo停止集大小计数函数的表达式，并针对特定交织器给出了一种有效的小Turbo停止集计数算法.该解决方案是基于Garello等人在2001年提出的算法来计算Turbo码中所有低权重码字的穷举列表。
Algebraic List-decoding of Subspace Codes
在网络拓扑未知的情况下（非相干情况），为了纠正随机网络编码的错误和擦除，引入了子空间码。子空间码实际上是有限域上某个向量空间的子空间的集合。子空间码的Koetter-Kschischang构造类似于Reed-Solomon码，因为码字是通过评估某些（线性化）多项式获得的。本文研究Koetter-Kschischang子空间码的列表译码问题。从某种意义上说，我们能够实现这些代码苏丹能够实现里德所罗门码。为了做到这一点，我们必须在许多重要方面修改和概括原始的Koetter-Kschischang结构。最终结果是这样的：对于任何整数$L$，假设误差的归一化维数至多为$ L - \frac{L(L+1)}{2}R $，则我们的列表- $L$解码器保证消息子空间的成功恢复，其中$R$是归一化分组速率。正如在苏丹的列表解码算法的情况下，这超过了以前最好的已知的纠错半径$1-R$，由Koetter和Kschischang证明，低速率$R$。
An Information-Theoretic Perspective on Successive Cancellation List Decoding and Polar Code Design
这项工作确定了信息理论的数量，是密切相关的连续取消列表（SCL）解码实现最大似然解码一般二进制无记忆对称（BMS）信道的平均所需的列表大小。它还提供了这些量的上限和下限，可以有效地计算非常长的代码。对于二进制擦除信道（BEC），我们提供了一个简单的方法来估计平均值准确地通过密度演化。分析显示如何修改，例如，Reed-Muller码，以提高实际列表大小时的性能，例如，$L\in[8, 1024]$。具有块长度$N\in\{128,512\}$的示例性构造在二进制输入加性高斯白噪声信道上优于5G的极化码。进一步表明，对于足够大的块长度，在离散输出BMS通道上，所需列表大小的对数平均值附近存在集中度。我们提供了这个对数的概率质量函数（p.m.f.s），在BEC上，通过模拟，这说明了p.m.f.s集中在估计的平均值附近的一个序列的修改的RM码的块长度增加。
On Approximation, Bounding & Exact Calculation of Block Error Probability for Random Code Ensembles
本文提出了一种计算某些随机码系综在最大似然译码下的平均误块概率的方法。所提出的方法适用于各种通道和合奏。重点是在加性高斯白噪声信道上的球形和高斯随机码以及在二进制对称信道和二进制擦除信道上的二进制随机码。而对于均匀球系综香农，在1959年，认为立体角在$N$维空间，所提出的方法项目的问题到两个维度，并适用于标准三角。这简化了推导，并且还允许分析独立同分布（i.i.d.）高斯系综，结果是表现更好的短块长度和高速率。此外，还得到了均匀球系综平均误块概率的一个新的下界，对于码字数大于3的码，它比球系综的平均误块概率的下界更紧，但所需的计算量完全相同.此外，紧逼近提出了简化计算的精确平均误差概率和两个界限。对于二进制对称信道和二进制擦除信道，i.i.d.\推导出随机编码并与精确计算进行比较。
Threshold Rates of Codes Ensembles: Linear is Best
在这项工作中，我们证明了有关随机线性码组合性质的新结果。首先，我们证明了一个下界的列表大小所需的随机线性码在$\mathbb F_q$ $\varepsilon$ -接近容量列表恢复错误半径$ρ$和输入列表的大小$\ell$。我们表明，列表大小$L$必须至少是$\frac{\log_q\binom{q}{\ell}-R}{\varepsilon}$，其中$R$是随机线性码的速率。作为比较，我们还确定了随机码的列表大小为$\frac{\log_q\binom{q}{\ell}}{\varepsilon}$。这留下了随机线性码在列表可恢复性方面比随机码表现得更好的可能性（我们认为可能），这与最近针对从擦除的列表恢复的情况所示的差距形成对比（Guruswami等人，IEEE TIT 2021B）。接下来，我们考虑具有恒定列表大小的列表解码。具体来说，我们获得新的下限所需的速率列表$3$解码随机线性码的$\mathbb F_2$和列表$2$解码随机线性码超过$\mathbb F_q$（任何$q$）。这扩展了Guruswami等人（IEEE TIT 2021 A），其仅研究了随机线性码在$\mathbb F_2$上的$2$列表可解码性。此外，在这两种情况下，我们能够表明，该速率大于均匀随机码的速率。
Scaling Exponent of List Decoders with Applications to Polar Codes
受极化码在连续消除列表解码下经历的显著性能增益的启发，研究了极化码的缩放指数作为列表大小的函数。特别地，错误概率是固定的，并且分析了块长度和容量回退之间的权衡。对于任何二进制输入无记忆输出对称信道和任何一类线性码，在具有列表大小$L$的$\rm MAP$解码下提供了错误概率的下限，使得它们的最小距离随着块长度变大而无界。然后，示出了在$\rm MAP$解码下，虽然列表的引入可以显著地改善所涉及的常数，但是标度指数本身，即，接近容量的速度对于任何有限的列表大小保持不受影响。特别地，该结果适用于极化码，因为它们的最小距离随着块长度增加而趋于无穷大。一个类似的结果被证明为精灵辅助连续消除解码时，传输发生在二进制擦除信道，即，标度指数保持恒定的任何固定数量的帮助，从精灵。注意，由于基因辅助的连续消除解码可能严格地比连续消除列表解码更差，因此建立后者的标度指数的问题仍然是开放的。
Beyond RAID 6 --- an Efficient Systematic Code Protecting Against Multiple Errors, Erasures, and Silent Data Corruption
我们描述了一个替代RAID 6，基于一个新的线性，系统的代码，检测和纠正任何组合的$E$错误（未知位置）和$Z$擦除（已知位置）提供了$Z+2E \leq 4$。我们调查了一些情况下的错误纠正超出了代码的最小距离，使用列表解码。我们描述了一个解码算法的准对数时间复杂度，当使用并行处理：$\approx O(\log N)$其中$N$是磁盘阵列中的数量（类似于RAID 6）。相比之下，RAID 6实现的纠错码仅在$(E,Z)=(1,0)$、$(0,1)$或$(0,2)$时才允许检错和纠错。因此，当处于降级模式（即，当$Z \geq 1$）时，RAID 6失去其检测和纠正随机错误的能力（即，$E=0$），导致数据丢失，称为静默数据损坏。相比之下，所提出的代码不会经历静默数据损坏，除非$Z \geq 3$。我们的代码的上述属性，实现的相对简单性，大大改善的数据保护，以及解码算法的低计算复杂性，使我们的代码成为RAID 6的自然继承者。由于此代码基于五元组奇偶校验的使用，因此将实现本文思想的RAID技术命名为PentaRAID是合理的。
Efficient Belief Propagation List Ordered Statistics Decoding of Polar Codes
提出了用于在二进制擦除信道（BEC）或加性高斯白噪声信道（AWGNC）上传输的极化码（其可以是CRC增强的）的有效解码的新算法。首先提出了一种基于失活译码的BEC精确最大似然译码算法，并分析了该算法的计算复杂性。该算法在稀疏极化码奇偶检验矩阵上应用矩阵三角剖分过程，然后求解GF（2）上的小尺寸线性系统。然后，我们考虑通过AWGNC传输的极化码的有效解码。该算法采用CRC辅助的置信传播列表（CBPL）解码，然后进行低阶有序统计解码（OSD）。即使当OSD的再处理顺序低至1时，新的解码器被示出为显着改善平原CBPL。为了有效地实现OSD，我们从BEC的情况下，采用矩阵三角剖分算法。我们还指出如何解码算法可以并行实现低延迟解码。数值模拟被用来评估新算法的性能和计算复杂性。
Coding for the unsourced A-channel with erasures: the linked loop code
针对带擦除的无源A信道，本文提出链接循环码，利用奇偶校验位以咬尾方式链接符号，并通过两阶段解码恢复被擦除符号，验证了其在机器类通信和编码压缩感知中的有效性。
Symmetric Disjunctive List-Decoding Codes
一个二进制码被称为一个析取列表解码$s_L$ -码（LD $s_L$ -码），$s \ge 2$，$L \ge 1$，如果该码是由一个有限集族的关联矩阵所标识的，其中任何$s$集的并集（或析取和）可以覆盖不超过该族的$L-1$其他集。在本文中，我们考虑了类似的一类二进制码的基础上的{ \em对称析取和}（SDS）的二进制符号。根据定义，对称析取和（SDS）从三进制字母表$\{0, 1, *\}$中取值，其中符号~ $*$表示“擦除”。即：如果SDS的所有二进制符号都等于$0$（$1$），则SDS等于$0$（$1$），否则SDS等于~ $*$。用于对称析取和的列表解码码被称为{ \em对称析取列表解码$s_L$ -码}（SLD $s_L$ -码）。在本文中，我们回顾了SLD $s_L$ -码的一些应用，这些应用激发了对称析取和的概念。我们改进了LD $s_L$ -码和SLD $s_L$ -码的参数之间的已知关系。对于二进制等重码的合奏，我们开发了一种随机编码方法，以获得这些代码的速率上的下界。我们的下界提高了已知的随机编码的界限，到目前为止，使用的合奏与独立的符号的码字。
Coding for Errors and Erasures in Random Network Coding
研究了随机线性网络编码中的差错控制问题。假定"非相干“或"信道无关”模型，其中假定发射机和接收机都不知道信道传输特性。受线性网络编码是向量空间保持的性质的启发，信息传输被建模为向量空间$V$的基到网络中的注入和向量空间$U$的基的接收器的收集。引入了与分组空间相关联的投影几何的度量，并且示出了如果空间的维度$V \cap U$足够大，则用于该度量的最小距离解码器实现正确的解码。如果每个码字的维数被限制为一个固定的整数，则该码形成有限域格拉斯曼图的子集，或者等价地，形成相应格拉斯曼图的顶点的子集。球包装和球覆盖的界限，以及推广的Singleton界提供这样的代码。最后，一个Reed-Solomon类码的建设，有关Gabidulin的建设的最大秩距离码，描述和苏丹风格的“列表-1”的最小距离译码算法。
List Decoding Random Euclidean Codes and Infinite Constellations
我们研究了一个无所不知的对手的假设下，在真正的字母表上的不同的合奏代码的列表可解码性。众所周知，当源和对手分别具有功率约束$ P $和$ N $时，列表解码容量等于$ \frac{1}{2}\log\frac{P}{N} $。随机球形码实现恒定的列表大小，本文的目标是获得更好的理解的最小可实现的列表大小作为一个功能的差距，以能力。我们展示了从任意码到球形码的一个简化，并推导出典型随机球形码的列表大小的一个下界。我们还给出了一个上限的列表大小实现使用嵌套构造A格和无限构造A格。然后，我们定义和研究一类无限的星座，推广建设-A格，并证明上界和下界相同。其他优良性质，如包装优良性和AWGN优良性的无限星座的证明。最后，我们考虑随机格从Haar分布采样，并表明，如果一定的数论猜想是真的，那么列表的大小增长作为一个多项式函数的间隙容量。
Error exponents of typical random codes
我们将典型随机码的错误指数定义为随机码的错误概率对数的负归一化期望的长块极限，而不是传统的随机编码错误指数，它是错误概率期望的负归一化对数的极限。对于均匀随机绘制的固定组合码的合奏，我们提供了精确的误差指数的一般离散无记忆信道（DMC）和广泛的一类（随机）解码器，统称为广义似然解码器（GLD）的典型随机码。固定组合码的这个集合被示出为不比在置换不变分布下绘制的独立码字的任何其他集合差（例如，i.i.d.码字）。我们还提出了典型的随机码的错误指数和普通的随机编码的错误指数之间的关系，以及删除的GLD指数。最后，我们证明了我们的分析技术也适用于更一般的通信场景，如列表解码（固定大小的列表）以及解码与擦除/列表选项在福尼的意义。
On the efficiency of polar-like decoding for symmetric codes
最近提出的极化码由于其容量实现特性而构成编码理论的突破。这与基于Plotkin构造的准线性构造、编码和连续消去列表解码程序齐头并进。该解码算法可以应用于Reed-Muller或eBCH码的轻微修改，这两者都实现了擦除信道的容量，尽管良好性能所需的列表大小增长得太快，以至于即使对于中等块长度也无法实现解码。证明Reed-Muller码和eBCH码的容量实现特性的关键因素是它们的对称群。它可以插入到Plotkin分解的概念中来设计各种排列译码算法。虽然这样的技术允许优于直接的类极坐标解码，但复杂性仍然不切实际。在本文中，我们表明，虽然在一个大的自同构群的不变性是有价值的理论意义上，它也确保了良好的性能所需的列表大小呈指数增长。我们进一步建立了如果我们牺牲一些对称性所产生的界限。虽然列表解码算法的理论分析仍然是一个悬而未决的问题，我们的结果提供了一个洞察的因素，影响解码的复杂性。
Decoding Insertions/Deletions via List Recovery
本文将插入/删除解码问题归约为列表恢复问题，并应用于 Reed-Solomon 码，首次实现 k>2 时的高效插入/删除解码，同时改进了 Davey-MacKay 信道下的速率-错误权衡。
Beyond the Guruswami-Sudan (and Parvaresh-Vardy) Radii: Folded Reed-Solomon, Multiplicity and Derivative Codes
经典的里德-所罗门码族由有限域$\mathbb{F}_q$上次数小于$k$的多项式在$n$不同域元素处的求值组成。这些可以说是最广泛使用和研究的代码，因为它们具有擦除和纠错能力，以及许多其他良好的属性。在这项调查中，我们研究密切相关的代码，折叠Reed-Solomon码，这是第一个建设性的代码，以实现列表解码能力。然后，我们研究两个代码，也有这个功能，\textit{multiplicity codes}和\textit{derivative codes}。我们的重点是在大多数情况下，这些代码的列表解码算法，虽然我们也期待到本地可解码的多重性代码。
Improved Maximally Recoverable LRCs using Skew Polynomials
$(n,r,h,a,q)$ -局部重构码（LRC）是长度为$n$的$\mathbb{F}_q$上的线性码，其码字符号被划分为每个大小为$r$的$n/r$局部组。每个本地组满足“$a$”本地奇偶校验以从该本地组中的“$a$”擦除中恢复，并且存在进一步的$h$全局奇偶校验以提供对更多全局擦除模式的容错。这样的LRC是最大可恢复的（MR），如果它提供局部性和全局擦除弹性的最佳混合--即，它可以校正所有擦除模式，其恢复在给定局部性结构的情况下在信息理论上是可行的（这些是在每个局部组中具有多达“$a$”擦除和在码字中的任何地方具有附加的$h$擦除的精确模式）。随机构造可以很容易地显示在非常大的领域MR LRC的存在，但一个主要的代数挑战是构建MR LRC，甚至显示它们的存在，在较小的领域，以及了解其字段大小的固有下限。我们给出了场大小为$(n,r,h,a,q)$ LRC的显式构造.这在许多相关参数范围内改进了已知结构。此外，它与Gopi等人的下限相匹配。（2020）在一个有趣的参数范围内，其中$r=Θ(\sqrt{n})$，$r-a=Θ(\sqrt{n})$和$h$是$h\le a+2$的固定常数，实现了$Θ_{h}(n^{h/2}).$的最佳字段大小。我们相信斜多项式应该有进一步的应用在编码和复杂性理论，作为一个小的例子，我们展示了如何捕捉代数结果的基础上列表解码折叠里德-所罗门和多重性代…
CRC-Aided List Decoding of Convolutional and Polar Codes for Short Messages in 5G
本文探讨了用于短消息的卷积码和极化码的列表解码，例如5G物理广播信道中的短消息。循环冗余校验（CRC）用于从可能码字的列表中选择码字。5G标准中的一个示例使用24位CRC和512位极化码对32位消息进行编码，其中通过重复添加额外的位以实现32/864的非常低的速率。本文表明，优化CRC长度提高了该极化码的$E_b/N_0$性能，其中$E_b/N_0$是每数据比特的能量与噪声功率谱密度的比率。此外，通过用具有距离频谱最优（DSO）CRC的咬尾卷积码（TBCC）替换极化码，实现了甚至更好的$E_b/N_0$性能。本文确定了最佳的CRC长度，以尽量减少帧出错率（FER）的速率为1/5 TBCC在特定值的$E_b/N_0$。我们还表明，这种优化的TBCC/CRC可以在5G极化码的32/864的极低速率下获得同样出色的$E_b/N_0$性能，其中低速率是通过重复实现的。我们表明，所提出的TBCC/CRC级联码在FER和解码运行时间方面都优于5G标准中描述的PBCH极化码。我们还探讨了未检测到的出错率和删除率之间的权衡CRC大小的变化。
List-Decodable Robust Mean Estimation and Learning Mixtures of Spherical Gaussians
本文研究了列表可解码的高斯均值估计问题以及相关的分离球面高斯混合模型的学习问题。我们开发了一套技术，产生新的有效的算法，这些问题的保证显着改善。{ \bf列表-可解码均值估计。}修复任何$d \in \mathbb{Z}_+$和$0< α<1/2$。我们设计了一个算法，运行时$O (\mathrm{poly}(n/α)^{d})$输出一个列表的$O(1/α)$许多候选向量，以高概率的候选之一是在$\ell_2$ -距离$O(α^{-1/(2d)})$从真正的平均值。这个问题的唯一以前的算法实现二阶矩条件下的错误$\tilde O(α^{-1/2})$。对于$d = O(1/ε)$，我们的算法在多项式时间内运行，并实现错误$O(α^ε)$。我们还给出了一个统计查询下界，表明我们的算法的复杂性是定性接近最好的可能。{ \bf学习球面高斯的混合。}我们给出了一个学习算法的混合物的球形高斯，成功下显着较弱的分离假设相比，以前的工作。对于$k$身份协方差高斯的均匀混合物的原型情况下，我们得到：对于任何$ε>0$，如果平均值之间的成对分离至少是$Ω(k^ε+\sqrt{\log(1/δ)})$，我们的算法学习的未知参数准确度$δ$与样本复杂度和运行时间$\mathrm{poly} (n, 1/δ, (k/ε)^{1/ε})$。以前最著名的多项式时间算法要求至少分离$k^{1/4} \mathr…
Generalized List Decoding
本文关注的是一般对抗信道的列表解码问题，例如，位翻转（$\textsf{XOR}$）通道、擦除通道、$\textsf{AND}$（$Z$ -）通道、$\textsf{OR}$通道、实加法器通道、噪声打字机通道等。我们精确地表征了对于这些通道何时存在指数大小（或正速率）的$(L-1)$列表可解码码（其中列表大小$L$是通用常数）。我们的标准主张：“对于任何给定的一般对抗信道，当且仅当具有容许边缘的阶$L$的完全正张量的集合不完全包含在与该信道相关联的阶$L$混淆性集合中时，可以构造正速率$(L-1)$ -列表可解码码。“充分性是通过随机代码构造（结合删减或分时）来显示的。其必要性由1.使用超图Ramsey定理从任意大的码序列中提取等耦合子码（等距码的推广），以及2.利用完全正张量锥和共正张量锥之间的对偶性，将编码理论中的经典Plotkin界显著扩展到一般信道的列表解码。在证明中，我们还得到了一个关于联合分布不对称性的新事实，这可能是独立的利益。其他结果包括1。对于一般对抗性信道，使用渐进大的$L$列出解码容量; 2.一个严格的列表大小界大多数恒定的组合码（推广的恒定重量码）; 3。Blinovsky [Bli 86]对列表解码Plotkin点（大代码不可能的阈值）的表征的重新推导和解密; 4.对纠错码设置中唯一解码的一般界限（[WBBJ]）进行评估。
List-decodable zero-rate codes
我们认为列表解码在零速率制度的两种情况下：二进制字母表和球码在欧几里德空间。具体地说，我们研究了最大的$τ\in [0,1]$，其中存在一个安排的$M$球的相对汉明半径$τ$的二进制超立方体（任意尺寸）的属性，后者没有点所覆盖的$L$或更多的。当为$M\to \infty$时，最大$τ$降低至众所周知的临界值$τ_L$。在这项工作中，我们证明了几个结果，这种收敛速度。对于二元情形，我们证明了当$L$为偶数时，速率为$Θ(M^{-1})$，从而推广了Plotkin和Levenshtein关于$L=2$的经典结果.对于$L=3$，速率显示为$Θ(M^{-\tfrac{2}{3}})$。对于球码的类似问题，我们证明了其速率是$Ω(M^{-1})$和$O(M^{-\tfrac{2L}{L^2-L+2}})$ .
Probabilistic Guarantees to Explicit Constructions: Local Properties of Linear Codes
本文提出了一种方法，通过改进的LCL性质形式化，实现了随机线性码的去随机化，从而获得满足特定局部性质的显式构造，并提供了高效解码方法。
A Quantitative Version of More Capable Channel Comparison
本文提出“具有优势的更强”作为广播信道更强比较的定量推广，证明其基本性质并刻画 BSC 与 BEC 情形，进而应用于 BSC 列表译码界和二进制隐马尔可夫过程熵率下界。
Combinatorial limitations of average-radius list-decoding
我们研究了列表解码的某些组合方面，其动机是已知的上限（$O(1/γ)$的）和下限（$Ω_p(\log (1/γ))$的）之间的指数差距，用于以远离容量的速率$γ$解码高达半径$p$所需的列表大小，即，$1-\h(p)-γ$（此处为$p\in (0,1/2)$和$γ> 0$）。我们的主要结果如下：我们证明了在任何速率为$1-\h(p)-γ$的二进制码$C \subseteq \{0,1\}^n$中，一定存在一个$Ω_p(1/\sqrtγ)$码字的集合$\mathcal{L} \subset C$，使得$\mathcal{L}$中的点到它们的质心的平均距离至多为$pn$。换句话说，必须存在具有低“平均半径”的$Ω_p(1/\sqrtγ)$码字。“列表解码的标准概念对应于使用码字集合到中心的最大距离而不是平均距离。平均半径形式本身是很自然的，并且是由经典的约翰逊界限所暗示的。剩下的结果涉及列表解码的标准概念，并有助于澄清列表解码的组合景观：1。我们给一个简短的简单的证明，在所有固定的字母表，上述$Ω_p(\log (γ))$下界。早些时候，这个界限是由布利诺夫斯基的一个复杂的、更一般的结果得出的。2.我们表明，一个{ \em不能}提高$Ω_p(\log (1/γ))$下界通过技术的基础上确定的零速率制度的列表解码的恒定重量的代码。3.我们展示了一个“反向连接”，表明列表解码的常重码意味着…
A Modified Q-Learning Algorithm for Rate-Profiling of Polarization Adjusted Convolutional (PAC) Codes
提出一种基于强化学习的改进Q-Learning速率剖面构造算法，通过新奖励与更新策略为PAC码生成更优速率剖面，并验证其FER性能及卷积预编码多项式的影响。
Stochastic Chase Decoding for BMS Channels via Rate Distortion Theory
本文提出了一种基于率失真理论的随机追击解码方法，用于二进制记忆less对称（BMS）信道上的代数码解码，通过信息论基础的翻转规则替代传统启发式方法确定翻转概率，重新解释随机追击解码为随机编码构造错误模式覆盖码，并基于Nguyen等人提出的框架，为BMS信道上的追击解码设计比特翻转概率，得到渐近最优的比特翻转规则和预期列表大小，确保发送码字以高概率出现在解码列表中，且在二进制和四进制对称信道中，最优比特翻转规则与信息论规则高度匹配。
Successive Cancellation Decoding of Single Parity-Check Product Codes: Analysis and Improved Decoding
具有单个奇偶检验分量码的乘积码可以经由多核极化码的工具来描述，其中根据由乘积码构造施加的约束来选择生成矩阵的行。在此观察之后，引入了这种码的连续消除解码。特别地，在二进制无记忆对称信道上，给出了单个奇偶检验乘积码在连续抵消译码下的错误概率。与Elias引入的积码分析也建立了一个桥梁的二进制擦除通道。然后描述了单个奇偶检验乘积码的连续取消列表解码。对于所提供的示例，在二进制输入加性白高斯信道上的仿真示出了连续消除列表解码优于应用于码图的置信传播解码。最后，通过距离谱分析研究了乘积码与高速率外码级联的性能。提供了在距离随机编码联合边界的$0.7$ dB内执行的级联的示例。
Improved Explicit Near-Optimal Codes in the High-Noise Regimes
本文提出高噪声区域下改进的显式近最优唯一可解码码和列表可解码码，实现线性或多项式时间解码，并引入多重集分散器以优化速率与列表大小。
Exhausting Error-Prone Patterns in LDPC Codes
本文证明了穷举确定任意有限低密度奇偶校验（LDPC）码中的坏模式（包括二进制擦除信道的停止集和一般无记忆对称信道的捕获集（也称为近码字））是一个NP完全问题，并给出了实际短码长n~=500的有效算法.利用LDPC码的稀疏连通性，首次有效地穷举确定了长度<=13的停止集和长度<=11的捕获集，所得到的穷举列表对于码分析和有限码优化具有重要意义.该算法的特点是基于树的缩小搜索，区别于现有的非穷举方法。一个重要的副产品是一对上界的比特-出错率（BER）和帧-出错率（FER）迭代解码性能的任意代码超过BEC，可以评估任何值的擦除概率，包括瀑布和错误平层区域。结合最优寻叶模块和基于树的搜索，证明了该算法的上界和穷举能力的紧密性。这些上界还提供了最坏情况性能保证，这对于针对极低出错率应用优化LDPC码是至关重要的，例如，光学/卫星通信。进行了大量的数值实验，包括随机和代数构造的LDPC码，其结果表明，优越的效率的穷举算法和有限长度的代码优化的重要价值。
From Polar to Reed-Muller Codes: a Technique to Improve the Finite-Length Performance
我们探讨了极化码和RM码之间的关系，并描述了一种编码方案，该方案在实际块长度上提高了标准极化码的性能。我们的出发点是实验观察到RM码在MAP解码下具有比极化码更小的错误概率。这促使我们引入在RM和极化码之间“内插”的码族，将该码族称为${\mathcal C}_{\rm inter} = \{C_α : α\in [0, 1]\}$，其中$C_α \big |_{α= 1}$是原始极化码，而$C_α \big |_{α= 0}$是RM码。基于数值观测，我们注意到MAP解码下的错误概率是$α$的增函数。MAP解码通常具有指数复杂度，但是经验上，即使在诸如置信传播或连续消除列表解码器之类的低复杂度解码方案下，也通过沿着家族${\mathcal C}_{\rm inter}$移动来提高有限块长度的极化码的性能。我们通过数值模拟证明了在擦除信道和高斯信道上传输的性能增益。
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