An asymptotically tight upper bound for the domination number of the $2$-token graph of path graphs
本文研究了路径图2-令牌图的支配数，得出其渐近紧上界为n²/10+Θ(n)。
2026-01-28 math.CO
On token signed graphs
本文提出 k-token 符号图，证明切换同构保持性及平衡图 Laplacian 谱包含关系，并引入不平衡度参数，分析其与挫折指数的关系。
2024-03-05 math.CO
Hamiltonicity of Token Graphs of some Join Graphs
令$G$是一个单图的顺序$n$和令$k$是一个整数，使$1\leq k\leq n-1$。$G$的$k$ -令牌图$G^{\{k\}}$是其顶点是$V(G)$的$k$ -子集的图，其中两个顶点在$G^{\{k\}}$中相邻，只要它们的对称差是$G$中的一对邻顶点。本文研究了某些联图的$k$ -令牌图的Hamilton性。作为结果，我们提供了一个无限族的图（包含Hamilton和非哈密顿图），其$k$ -令牌图是Hamilton的。据我们所知，我们的结果提供了第一个家庭的非哈密顿图，其$k$ -令牌图是Hamilton的，对于$2<k<n-2$。
2021-06-16 math.CO
Token Graphs
对于图$G$和整数$k\geq1$，我们定义令牌图$F_k(G)$为顶点集为$V(G)$的所有$k$ -子集的图，其中两个顶点在$F_k(G)$中相邻，只要它们的对称差是$G$中的一对邻顶点。因此，$F_k(G)$的顶点对应于放置在$G$的不同顶点处的$k$不可区分的标记的配置，其中，只要通过沿着边缘将一个标记从其当前位置移动到未占用的顶点，就可以从一个配置到达另一个配置，则两个配置相邻。本文介绍了令牌图，并研究了令牌图的连通性、直径、团、色数、Hamilton路和笛卡儿积等性质。
2009-10-25 math.CO
Regularity and Planarity of Token Graphs
令$G=(V,E)$是阶为$n$的图，令$1\leq k< n$是整数。$G$的$k$ -令牌图是其顶点都是$V$的$k$ -子集的图，其中两个子集是相邻的，只要它们的对称差是$G$中的一对邻顶点。在本文中，我们精确地刻画，对于每一个值的$k$，哪些图有一个定期的$k$ -令牌图和连通图有一个平面$k$ -令牌图。
2016-06-15 math.CO
On the algebraic connectivity of token graphs
我们研究了符号图的代数连通度（或第二拉普拉斯特征值），也称为图的对称幂。图$G$的$k$ -令牌图$F_k(G)$是其顶点是来自$G$的顶点的子集$k$的图，其中两个相邻，只要它们的对称差是$G$中的一对邻顶点。最近，人们证明了$F_k(G)$的代数连通度等于$G$的代数连通度。本文证明了关于新的无限图族，如树和最大度足够大的图的猜想。
2022-09-02 math.CO
Domination number of Token Graphs
本文研究星图与完全图的令牌图支配数，通过分析k-子集顶点间的相邻关系，给出了相应支配数的结果。
2025-09-19 math.CO
Exploring the 3-Token Graph of Particular Graphs
Department of Mathematics Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia, 55281（印度尼西亚日惹加查马达大学数学系）
本研究调查路径图导出的3-令牌图的结构特征（连通性、直径、色数），并扩展分析两个图不交并的3-令牌图，加深了对令牌图及其在图论中应用的理解。
2025-11-14 math.CO
On the Automorphism Group of Token Graphs of Complete Bipartite Graphs
本文研究完全二分图 $K_{m,n}$ 的 $k$-令牌图，完整刻画了其自同构群的结构。
2025-03-12 math.CO
The Algebraic Connectivity and Laplacian Spectral Radius of Token Graphs
Shenzhen University of Information Technology（深圳信息职业技术学院）；Universitat de Lleida（莱里达大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文研究token图的代数连通度和拉普拉斯谱半径，通过组合/代数方法证明代数连通度相等猜想，并给出拉普拉斯谱半径严格小于及相等的条件，刻画了包括树在内的特殊图类。
2026-10-02 math.CO
Almost Every Graph Is Reconstructible from Its Token Graphs
该研究证明，固定密度随机图的Johnson邻接关系可由公共邻居计数确定，渐近几乎所有$n$顶点标号图可由其所有非平凡秩令牌图重构，还概述了同构类的密度为1的结论。
2026-09-02 math.CO
Well-covered Token Graphs
$k$ -令牌图$T_k(G)$是其顶点是图$G$的顶点的$k$ -子集的图，其中如果$T_k(G)$的两个顶点的对称差是$G$的边，则它们相邻。我们探讨当$T_k(G)$是一个良好覆盖的图，也就是说，当所有的最大独立集有相同的基数。对于二部图$G$，我们分类时，$T_k(G)$是良好覆盖的。对于任意的图$G$，我们证明了如果$T_2(G)$是良好覆盖的，则$G$的围长至多为4.我们包括$T_k(G)$的独立数的上限和下界，并提供了一些家庭的覆盖良好的令牌图。
2020-10-09 math.CO
Online coloring a token graph
我们研究了两个玩家之间的组合着色游戏，剧透和算法，谁交替轮流。首先，Spoiler在$G$中的一个顶点放置一个新标记，Algorithm通过为新标记分配颜色来响应。算法必须确保相同或邻顶点上的标记接收不同的颜色。Spoiler必须确保记号图（其中两个记号相邻当且仅当它们在$G$中的距离最多为$1$）的色数最多为$w$。Algorithm希望最小化使用的颜色数量，而Spoiler希望强制使用尽可能多的颜色。令$f(w,G)$为最佳算法策略中所需的最小颜色数。一个图$G$是在线完美的，如果$f(w,G) = w$。给出了一类在线完美图的禁止诱导子图刻画。当$G$不是在线完美的，确定$f(w,G)$似乎具有挑战性，我们建立$f(w,G)$渐近的一些（但不是所有）的最小图，不是在线完美的。该游戏的动机是一个自然的在线着色问题的真实线仍然开放。
2017-12-23 math.CO
A general method to find the spectrum and eigenspaces of the $k$-token of a cycle, and 2-token through continuous fractions
本文基于提升图与过提升理论提出求循环图 $k$-token 图谱和特征空间的一般方法，并在 $k=2$ 时用连分数推导出 2-token 图的谱与特征空间。
2024-03-29 math.CO
Reconstruction and Symmetry of Two-Token Graphs
该研究证明了双标记图重构猜想，分类了连通根阶数≥5的双标记图的自同构群，并推导了对应同构映射的分解形式，为图论相关研究提供了关键结论。
2026-10-14 math.CO
On the connectivity and diameter of Token graphs from a vertex induced sub-graph perspective
本文从顶点诱导子图视角研究 token 图，证明其顶点连通度等于最小度，分析底层图直径为 2 时的直径，并给出 L 与其 token 图间 clique-Johnson 图联系的组合结果。
2023-07-13 math.CO
Independence numbers of the 2-token graphs of some join graphs
本文针对$E_n$与任意图的联图，提出从已知独立集构造更大独立集的方法，并由此确定扇图、轮图及$E_n+K_n$的2-令牌图的独立数。
2025-05-23 math.CO
The domination number of the $2$-token graph of path graphs
Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Zacatecas（萨卡特卡斯自治大学数学学术单位）
该研究确定了n≥13时路径图的2-令牌图的控制数，解决了相关猜想，其下界采用计算机辅助方法得出，遵循了网格图研究中的已有方法。
2026-10-09 math.CO
Automorphisms of Token Graphs That Send $4$-Cycles Generated by Two Edges to Cycles Generated by a $4$-Cycle and Two Tokens
CINVESTAV（墨西哥国立理工学院计算与系统研究进展中心）；UNAM（墨西哥国立自治大学）
本文研究令牌图的自同构，证明若同构将两条边生成的4-环映射到4-环生成的环，则对应图存在孪生割，且扭转可通过孪生割翻转消除。
2026-09-23 math.CO
On the spectra of token graphs of cycles and other graphs
本文研究了令牌图的代数连通性，给出了移除顶点后的连通性结果，证明了奇图和完全多部图的2-令牌图代数连通性，并提出新方法计算环的2-令牌图全谱及特征值近似公式。
2023-09-13 math.CO
Connected ($C_4$,Diamond)-free Graphs Are Uniquely Reconstructible from Their Token Graphs
菱形是从完整图中移除$4$顶点上的边而获得的图。（$C_4$，diamond）-free图是指在四个顶点上不包含菱形或圈作为导出子图的图。设$G$是$n$顶点上的连通（$C_4$，diamond）-free图.令$1 \le k \le n-1$为整数。$G$的$k$ -token图，$F_k(G)$，是其顶点是$G$的所有$k$顶点集合的图;如果它们的对称差是$G$中的一对相邻顶点，则其中两个是相邻的。设$F$是同构于$F_k(G)$的图.在本文中，我们表明，只要$F$，我们可以在多项式时间内构造一个图同构$G$。设$\operatorname{Aut}(G)$是$G$的自同构群。我们还表明，如果$k\neq n/2$，那么$\operatorname{Aut}(G) \simeq \operatorname{Aut}(F_k(G))$ ;如果$k = n/2$，那么$\operatorname{Aut}(G) \simeq \operatorname{Aut}(F_k(G)) \times \mathbb{Z}_2$。
2022-07-28 math.CO
The Edge-connectivity of Token Graphs
设$G$是阶为$n\geq 2$的简单图，设$k\in \{1,\ldots ,n-1\}$ . $G$的$k$ -令牌图$F_k(G)$是其顶点是$V(G)$的$k$ -子集的图，其中两个顶点在$F_k(G)$中相邻，只要它们的对称差是$G$的边。2018年，J. Leaños和A. L. Trujillo-Negrete证明了如果$G$是$t$ -连通的，并且$t\geq k$，则$F_k(G)$至少是$k(t-k+1)$ -连通的。在本文中，我们表明，这样的下限仍然是真实的背景下，边连通度。具体地说，我们表明，如果$G$是$t$ -边连接和$t\geq k$，那么$F_k(G)$至少是$k(t-k+1)$ -边连接。我们还提供了一些家庭的图达到这个界限。
2019-09-15 math.CO
Independence and matching numbers of some token graphs
本文研究令牌图的独立数与匹配数，对具有完美或几乎完美匹配的图给出匹配数紧下界，并估计二部令牌图的独立数及若干图的精确值。
2018-12-10 math.CO
On supertoken graphs
Universitat de Lleida（莱里达大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Barcelona Graduate School of Mathematics（巴塞罗那数学研究生院）；Institut de Matemàtiques de la UPC-BarcelonaTech (IMTech)（UPC-巴塞罗那理工大学数学研究所）
本文提出超令牌图概念，研究其独立集、团和色数的界与精确值，并构造了新的无限家族图。
2026-04-07 math.CO
Some bounds on the Laplacian eigenvalues of token graphs
本文研究令牌图的拉普拉斯特征值，通过较小规模的 h-令牌图给出 k-令牌图特征值的下界，并证明当原图代数连通度足够大时，所有不超过 k 的令牌图代数连通度均与原图相同。
2023-09-16 math.CO
The automorphism groups of some token graphs
本文研究若干令牌图的自同构群，具体确定了路径图 P_n（n≠2k）的 k-令牌图以及圈图、星图、扇图和轮图的 2-令牌图的自同构群。
2023-07-12 math.CO math.GR
On the Connectivity of Token Graphs of Trees
本文证明对于任意树 $G$，其 $k$-令牌图 $F_k(G)$ 的连通性等于其最小度，推广了令牌图连通性的结果。
2022-03-23 math.CO
Polynomial-Time Algorithms for Sliding Tokens on Cactus Graphs and Block Graphs
给定一个图$G$的两个独立的集合$I, J$，想象在$I$的每个顶点上放置一个代币（硬币）。滑动令牌问题询问是否可以通过一系列基本步骤将$I$转换为$J$，其中每个步骤都需要将令牌从一个顶点滑动到其相邻顶点之一，以便放置令牌的所得顶点集保持独立。这个问题是$\mathsf{PSPACE}$ -完全的，即使是最大度$3$和有界树宽的平面图。在本文中，我们证明了滑动令牌可以有效地解决仙人掌图和块图，并给出了这些图类的任何两个独立集之间的转换序列的长度上界。我们的算法是基于两个主要的观察。首先，如果存在禁止在$I$和$J$之间存在令牌滑动序列的所有结构，则可以在多项式时间中找到。利用这一特征可以很容易地推导出一个判定无实例的充分条件。第二，如果没有这样的禁止结构，则在$I$和$J$之间的令牌滑动序列确实存在。在这种情况下，实际上可以使用多项式数量的令牌载片将$I$变换为$J$（反之亦然）。
2018-03-18 cs.DM math.CO
On two algebras of token graphs
本文研究了token图的Laplacian矩阵性质，修正了关于矩阵交换性的证明，并基于此引入了与Johnson图Bose-Mesner代数相关的“局部”代数${\cal L}(G)$及包含所有相关矩阵的“全局”代数${\cal A}(n,k)$。
2024-03-27 math.CO
On the spectra and spectral radii of token graphs
本文研究了 $k$-token 图的邻接和拉普拉斯谱，基于原图谱推导了步正则图的精确谱半径，并利用等划分理论处理距离正则图，同时推广了 Aldous 谱间隙定理。
2023-10-25 math.CO
Reconfiguration Using Generalized Token Jumping
本文提出广义令牌跳跃规则，通过限制一次移动的令牌数和最大距离，确定独立集、顶点覆盖和支配集可重构的最小规则，并给出算法及计算复杂性结果。
2024-11-20 cs.DS math.CO
The zero blocking numbers of generalized Kneser graphs and generalized Johnson graphs
本文推广了Kneser图和Johnson图零阻塞数的已知结果至广义版本。
2025-08-04 math.CO
On the Algebraic Connectivity of Token Graphs and Graphs under Perturbations
本文利用组合/代数方法证明令牌图与原图的代数连通度相等在扩展圈、扩展完全二部图、风筝图及含割团图等扰动图类中成立，并推广了关于割点图的最新结果。
2024-12-30 math.CO
On the Treewidth of Token and Johnson Graphs
本文研究星图、路径图和完全图的$k$-token图的树宽，得出对应阶数结果，猜想完全图$k$-token图树宽上界紧，且其与Johnson图同构。
2025-04-17 math.CO
A study on token digraphs
Universidade de São Paulo（圣保罗大学）；Universidade Federal do ABC（ABC联邦大学）；Universidad de Chile（智利大学）；University of Chile（智利大学）；Universidad Andres Bello（安德烈斯贝略大学）
该研究对作为token图推广的token有向图展开分析，探究其连通性、核、围长等多种性质，拓展了k-token图相关的团数与色数结论，还证明2-token有向图的核判定问题是NP完全的。
2024-10-26 math.CO
On the Automorphisms of Token Graphs Generated by $2$-cuts with the Same Neighbours
本文研究连通图G的k-令牌图自同构，证明当2-割中两顶点具有相同邻点时，可构造大量非由G的自同构诱导的令牌图自同构，并刻画了所有此类2-割生成的群。
2024-08-07 math.CO
Discrete homotopy of token configurations
本文研究拓扑学中的对称乘积和无序构形空间的图形类似。我们从离散同伦理论的角度出发，首先得到了P.A.的一个定理的组合形式。Smith，它说$X$的任何非平凡对称乘积的基本群同构于$H_1(X)$。我们的第二个结果给出了一个图的n股辫群与它的离散模拟同构的条件。
2020-05-27 math.CO
Cubical token systems
本文研究立方令牌系统的组合结构和随机结构。立方体记号系统是记号系统的instance，而记号系统又是transition系统的instance。它表明，组合和随机部分的媒体理论的一些基本结果举行几乎相同的形式立方令牌系统，虽然一些基本概念是完全不同的。本文建立了一个三次记号系统的表示定理，证明了这样一个系统的图是三次的。
2006-12-22 math.CO
A Note On Acyclic Token Sliding Reconfiguration Graphs of Independent Sets
本文研究独立集令牌滑动重配置图，给出其成为森林的禁用子图刻画，并证明任意k叉树都可由某个图的令牌滑动图同构实现。
2023-01-01 cs.DM math.CO
Token sliding independent set reconfiguration on graphs with few $P_4$'s
Universidad de Buenos Aires (UBA)（布宜诺斯艾利斯大学）；Instituto de Cálculo, UBA-CONICET（计算研究所，乌巴-阿根廷国家科学和技术研究委员会）；Université de Lorraine, LORIA（洛林大学，洛里亚实验室）
研究 Token Sliding 规则下的独立集重配置问题，提出针对 $P_4$-tidy 图和 $(q,q-4)$-图的 polynomial 时间算法，推广了 cographs 上的结果。
2026-07-01 cs.DS math.CO
Independent Set Reconfiguration via Dilworth Decompositions
University of Liverpool（利物浦大学）；Philipps-Universität Marburg（马尔堡菲利普斯大学）
研究阈值符号图上独立集重配置的令牌跳跃和滑动令牌问题，利用其包含链结构，证明这两个问题在该图类上可在多项式时间内解决，此前这两个问题在一般图上是PSPACE完全的。
2026-09-22 cs.DS math.CO
Token-sliding realizability for complements, Cartesian-products, and grid graph families
VNU University of Science, Vietnam National University（越南国立大学科学大学）
研究对于固定k≥2，哪些图同构于某个图G的令牌滑动重构图TS_k(G)，给出了补图、笛卡尔积和网格图族的可实现性结果。
2026-06-02 cs.DM math.CO
Galactic Token Sliding
给定图$G$和大小为$k$的两个独立集$I_s$和$I_t$，独立集重新配置问题询问是否存在$k$大小的独立集$I_s = I_0, I_1, I_2, \ldots, I_\ell = I_t$的序列，使得每个独立集使用所谓的重新配置步骤从前一个独立集获得。将每个独立集视为放置在图$G$的顶点上的$k$令牌的集合，研究最多的两个重新配置步骤是令牌跳跃和令牌滑动。在该问题的标记跳跃变体中，单步的允许标记从图中的一个顶点跳到任何其他顶点。在标记滑动变体中，标记仅被允许从顶点滑动到其相邻顶点之一。像独立集问题一样，上述两个问题在一般图上都是W[1]-困难的。一个非常富有成效的研究表明，独立集问题成为固定参数的听话时，限制到稀疏的图形类，如平面，有界树宽，无处密集，并一直到bicycle-免费的图形。在一系列的论文中，同样的结果也被证明适用于标记跳跃问题。至于令牌滑动问题，这是在大多数这些文件中提到的，几乎没有什么是已知的事实之外，这个问题是多项式时间可解的树和区间图。我们纠正这种情况，通过引入一个新的模型的独立集，我们称之为银河系的重新配置。使用这个新的模型，我们表明，（标准）令牌滑动是固定参数听话的有界度，平面图，弦图有界团数的图形。我们认为，银河系的重新配置模型是独立的利益，并可能有助于解决剩余的悬而未决的问题有关（参数化）的复杂性令牌滑动。
2022-04-12 cs.CC cs.DM cs.DS
Token sliding on graphs of girth five
在令牌滑动问题中，我们给出了一个图$G$和两个独立的集$I_s$和$I_t$在$G$的大小$k \geq 1$。目标是决定是否存在独立集合的序列$\langle I_1, I_2, \ldots, I_\ell \rangle$，使得对于所有$i \in \{1,\ldots, \ell\}$，集合$I_i$是大小为$k$、$I_1 = I_s$、$I_\ell = I_t$和$I_i \triangle I_{i + 1} = \{u, v\} \in E(G)$的独立集合。直观地说，我们将每个独立的集合视为放置在图的顶点上的标记的集合。然后，该问题询问是否存在将$I_s$变换为$I_t$的独立集合的序列，其中在每一步中，允许我们将一个令牌从顶点滑动到相邻顶点。在本文中，我们专注于参数化的令牌滑动$k$参数化的复杂性。如Bartier等人所示，这个问题在围长小于等于4的图上是W[1]-困难的，作者提出了是否存在一个常数$p \geq 5$使得这个问题在围长至少为$p$的图上成为固定参数可处理的问题。我们肯定地回答了他们的问题，并证明了这个问题确实是固定参数易处理的围长为5或更大的图，这建立了一个完整的分类令牌滑动的易处理性参数化的令牌数的基础上输入图的围长。
2022-05-02 cs.CC cs.DM cs.DS
The Complexity of Undirected Partizan Edge Geography
Nagoya University（名古屋大学）；JSPS Research Fellow（日本学术振兴会研究员）
本文证明偏袒边地理游戏在最大度为3的二分无向图上是PSPACE完全的，并指出该归约也适用于棋子不能同顶点的变体。
2026-09-17 cs.DS math.CO
Cops and robbers pebbling in graphs
Acadia University（阿卡迪亚大学）；Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）
本文提出警卫与强盗推石游戏，研究其推石数及图类中的上界、下界和精确值，并探讨相关猜想与新问题。
2026-08-13 cs.DM math.CO
On Reconfiguration Graphs of Independent Sets under Token Sliding
本文研究了 Token Sliding 下独立集重构图的结构与可实现性，探讨了其是否属于特定图类及特定性质的传递性，并给出了重构图的分解结果。
2023-03-20 cs.DM math.CO
A linear upper bound on the number of moves required for independent set reconfiguration with two sliding tokens
TU Dresden, Germany（德累斯顿工业大学）；Indian Institute of Technology Palakkad, India（印度理工学院帕拉卡德分校）
该研究针对图上两个滑动令牌的独立集重构问题，解答了相关学者提出的问题，证明其移动次数存在4n的线性上界。
2026-08-14 cs.DM math.CO
