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新的反等周不等式

New Reverse Isoperimetric Inequalities

University of Wollongong（伍伦贡大学）

Scott Parkins, Glen Wheeler

备注：
17 pages
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AI总结：

本文研究严格凸曲线和曲面的反等周不等式，推导了三个新不等式，并探讨了其几何意义与应用。

摘要：

本文建立了严格凸曲线和曲面的三个反等周不等式。对于光滑严格凸曲线在光滑闵可夫斯基平面中的情况，证明了一个各向异性反等周不等式，该不等式由闵可夫斯基曲率的有符号欧几里得面积控制。对于光滑闭合严格凸曲面在$\mathbb R^{3}$中的情况，证明了$\left(\int_{M}H\,dμ\right)^{2}-16π|M| \le \frac{8π}{3}\int_{M}\frac{|A^{o}|^{2}}{\mathcal K}\,dμ$，并将右边与焦点映射的定向体积相关联。对于光滑简单闭合严格凸曲线在$\mathbb S^{2}$上的情况，证明了$L^{2}-A(4π-A)\le \left(\int_γ\sqrt{1+k_g^{2}}\,ds\right)^{2}-4π^{2}$，并实际上推导了一个精确的非负余项公式。在球面情况下，等号成立当且仅当$γ$是测地圆圈。

英文摘要：

We establish three reverse inequalities for strictly convex curves and surfaces. For smooth strictly convex curves in a smooth Minkowski plane we prove an anisotropic reverse isoperimetric inequality controlled by the signed Euclidean area of the Minkowski evolute. For smooth closed strictly convex surfaces in $\mathbb R^{3}$ we prove \[ \left(\int_{M}H\,dμ\right)^{2}-16π|M| \le \frac{8π}{3}\int_{M}\frac{|A^{o}|^{2}}{\mathcal K}\,dμ, \] and relate the right-hand side to the oriented volumes of the focal maps. For smooth simple closed strictly convex curves on \(\mathbb S^{2}\) we prove \[ L^{2}-A(4π-A)\le \left(\int_γ\sqrt{1+k_g^{2}}\,ds\right)^{2}-4π^{2}, \] and in fact derive an exact nonnegative remainder formula. Equality in the spherical case holds if and only if $γ$ is a geodesic circle.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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