Some Isoperimetric Inequalities and Eigenvalue Estimates in Weighted Manifolds
本文证明了浸入加权流形中的紧致子流形的加权平均曲率的一般不等式。由此得到了这类子流形的一个相对线性等周不等式。我们还证明了加权流形的闭子流形上漂移拉普拉斯算子的第一非零特征值的一个外在上界。
2014-02-06 math.DG
Optimal isoperimetric inequalities for complete proper minimal submanifolds in hyperbolic space
设$Σ$是双曲几何Poincaré球模型$B^n$中的$k$维完备真极小子流形.如果我们把$Σ$看作是欧氏空间中单位球$B^n$的子集，我们可以分别度量给定的极小子流形$Σ$和理想边界$\partial_\infty Σ$的欧氏体积，即$\rvol(Σ)$和$\rvol(\partial_\infty Σ)$.利用这个概念，我们证明了一个最优线性等周不等式。证明了若$\rvol(\partial_\infty Σ) \geq \rvol(\mathbb{S}^{k-1})$，则$Σ$满足经典的等周不等式.通过证明这类$Σ$的单调性定理，我们进一步得到了欧氏体积$\rvol(Σ)$的一个精确下界，它是Fraser和Schoen最近的结果\cite{FS}到双曲空间的推广.在$B^n$中引入了$Σ$的Möbius体积，并通过对$Σ$的Möbius体积证明了一个等周不等式.
2012-01-13 math.DG
Sobolev and isoperimetric inequalities for submanifolds in weighted ambient spaces
本文证明了加权流形中子流形的一个Sobolev不等式和等周不等式。我们的结果推广了Hoffman-Spruck不等式。
2013-04-12 math.AP math.DG
The isoperimetric inequality for a minimal submanifold in Euclidean space
证明了一个Sobolev不等式，它在任意维数和余维数的欧几里得空间中的子流形上成立.这个不等式是尖锐的，如果余维是最多2。作为特例，我们得到了余维数不超过2的欧几里得空间中极小子流形的一个尖锐的等周不等式。
2020-10-06 math.AP math.DG
Isoperimetric Inequalities for Minimal Submanifolds in Riemannian Manifolds: A Counterexample in Higher Codimension
对于具有凸边界的紧致黎曼流形，B.White证明了以下的选择：要么存在极小超曲面的等周不等式，要么存在闭极小超曲面，可能具有小的奇异集。有一个自然的问题，如果类似的结果是正确的子流形更高的余维。具体来说，B.White问k-变倍的等周不等式的不存在是否意味着存在一个非零的、平稳的、积分的k-变倍。我们提出的例子表明，这是不正确的余维数大于2。其关键步骤是在闭四维球B上构造一个黎曼度量，该度量具有以下性质：（1）B有严格凸边界。(2)存在一条完备的非常量测地线。(3)B中不存在闭测地线。
2010-12-23 math.DG
The relative isoperimetric inequality for minimal submanifolds with free boundary in the Euclidean space
本文研究具自由边界的极小子流形的相对等周不等式，通过推广限制法锥思想得到最优面积估计，结合ABP方法给出新证明，并在余维数$m\leq2$时肯定回答了Choe提出的公开问题。
2024-03-28 math.AP math.DG
Extrinsic Isoperimetric Analysis on Submanifolds with Curvatures Bounded from Below
得到了径向截面曲率有下界的周围空间中子流形的外球的等周向量的上界。子流形本身仅被假定为具有下界的中曲率的径向部分的向量场和上的径向部分的内在单位法线的边界处的外在球，分别。同样，我们也建立了外部球中布朗运动的平均退出时间的下界。在这些情况下，我们可以将我们的分析一直延伸到无穷大，我们应用容量比较技术来获得子流形是抛物的充分条件，即保证任何布朗粒子在整个子流形中自由移动的条件，最终必然以概率1重新访问其起点的任何给定邻域。本文的结果是在一个粗略的意义上的对偶本作者以前得到的类似结果在互补的设置，我们假设的曲率有界从上面。
2007-08-31 math.AP math.DG
Spectral, stochastic and curvature estimates for submanifolds of highly negative curved spaces
我们证明了谱，随机和平均曲率估计完全$m$ -子流形$φ\colon M \to N$的$n$ -流形的极$N$的比较等周比$I_{m}$和外半径$r_φ\leq \infty$。我们的证明适用于有界的情况下$r_φ< \infty$，恢复已知的结果，以及为无界的情况下$r_φ=\infty$。在这两种情况下，这些估计的基本成分是比较等周半径的逆$I_{m}^{-1}$在$(0, r_φ)$上的可积性。当$r_φ=\infty$时，如果$N$高度负弯曲，则保证该条件。
2013-03-17 math.DG
Existence of singular isoperimetric regions
光滑紧致$(n+1)$ -流形中的等周区域是光滑的，直到一个闭余维数集至多为$6$ .本文首先构造了一个$8$维紧致光滑流形，它的唯一等周区域具有两个孤立奇点，其体积为流形体积的一半.然后，对于$n\geq 7$，利用Smale构造的高维奇异同调面积极小元，构造了一个黎曼流形，使得唯一的半体积等周区域，具有奇异集的子流形$§^{n-7}$ .
2023-02-27 math.DG
The isoperimetric profile of a compact Riemannian Manifold for small volumes
我们证明了，小体积的等周问题的解决方案是$C^{2,α}$ -接近小球。在此过程中，我们定义了一类子流形，称为伪球，由一个弱于中曲率恒定性的方程定义。我们证明了在紧致黎曼流形的每个点的邻域中，存在唯一的一族同心伪球，它包含所有的伪球$C^{2,α}$ -接近小球。这使我们能够减少小体积的等周问题的变分问题在有限维。
2007-10-07 math.DG
Hypersurfaces, Geodesics and Isoperimetric Inequalities in Cartan-Hadamard Manifolds
证明了Cartan-Hadamard流形的子流形的一个不等式，它将子流形的几何与它所相交的周围空间中测地线的测度联系起来。对于超曲面，这给出了Banchoff和Pohl的等周不等式到非正曲率空间的推广。我们还证明了Croke的等周不等式的一个修改版本的超曲面沉浸在Cartan-Hadamard流形和一个尖锐的，定量版本的等周不等式的Yau在负曲率空间。我们讨论了这些结果之间的关系，我们开发的Cartan-Hadamards流形中的测地线空间的几个事实，可能是独立的利益。
2021-11-12 math.AP math.DG math.GT
Higher codimension isoperimetric problems
本文考虑子流形QPDMATHABMM M具有非空边界$\partial$ Q = K的变分问题.我们提出了任意临界点Q的边界K具有常中曲率的定义，这似乎是当dim Q \textless{} dim M时的一个新观点.然后，我们构造了这个高余维CMC问题的小的近球解;这些解集中在某个曲率函数的临界点附近。
2015-02-24 math.AP math.DG
Torsional rigidity of submanifolds with controlled geometry
证明了具有极点p和截面曲率分别自上而下有界的环境黎曼流形N^n中具有受控径向中曲率的子流形P^m的外赋域的扭转刚性的上、下界.这些界限给出的扭曲的产品模型空间中的域相应的Schwarz对称化的扭转刚度。我们的主要结果是使用以前建立的等周不等式的方法得到的，如在[MP4]和[MP5]中发现的。在[MP4]中，我们还描述了这些情况下的几何特征，其中实际上达到了扭转刚度的界限，并研究了布朗运动的平均退出时间的所谓几何平均在无穷远处的行为。
2008-06-17 math.DG
Intrinsic and extrinsic comparison results for isoperimetric quotients and capacities in weighted manifolds
设$(M,g)$是一个完备的非紧黎曼流形，并有一个函数$e^h$，它对与黎曼度量相关联的Hausdorff测度进行加权.在这项工作中，我们假设一些加权或未加权的$M$曲率的径向下界或上界推导比较的加权等周商和度量球在$M$集中在一个点$o\in M$的加权容量。作为结果，我们得到了抛物性和双曲性准则的加权流形推广以前的。在我们的研究中的一个基本工具是从$o$的距离函数的加权拉普拉斯分析。该技术扩展到适当浸入$M$中的非紧子流形，并对其加权平均曲率进行一定的控制。
2019-07-18 math.AP math.DG
Some geometric inequalities for varifolds on Riemannian manifolds based on monotonicity identities
利用Rauch比较定理，证明了黎曼子流形的几个单调性不等式.我们的主要结果是一个一般的Li-Yau不等式，它适用于任何截面曲率上有界（可能为正）的黎曼流形。证明了对于小体积的黎曼子流形，单调性不等式也可用于获得Simon型直径界、Sobolev不等式和相应的等周不等式.作为推论，我们还得到了闭极小子流形的直径下界。所有的陈述都是内在的，因为不需要将周围的黎曼流形嵌入到欧几里得空间中。除Rauch的比较定理外，证明主要依赖于一阶变分公式，因此对一般变分是有效的。
2022-02-08 math.DG
Geometric inequalities and the Alexandrov-Bakelman-Pucci technique
Columbia University（哥伦比亚大学）
本文基于Alexandrov-Bakelman-Pucci技术，统一讨论了几何不等式的证明框架，涵盖欧几里得空间的等周不等式、子流形的均曲率不等式及Sobolev不等式等核心方法与贡献。
2026-07-21 math.DG
Regularity of solutions of the isoperimetric problem that are close to a smooth manifold
在这项工作中，我们考虑的一个问题，在变分的动机黎曼几何，等周问题。我们发现，解决方案的等周问题，在平坦的规范，一个光滑的子流形，本身是光滑的和$C^{2,α}$ -接近给定的子流形。我们还显示了一个版本的流形上的可变度量。所使用的技术包括线性椭圆分析的标准方法和黎曼几何的比较定理、最小化变倍的阿拉德正则性定理、纳什的等距浸入定理以及格罗莫夫的参数版本。
2017-10-19 math.AP math.DG math.MG
Sobolev Inequalities In Manifolds With Asymptotically Nonnegative Curvature
利用Brendle的ABP方法，建立了完备黎曼流形中具有渐近非负曲率的紧致区域和子流形的Sobolev不等式和等周不等式.这些不等式推广了Brendle在具有非负曲率的完备黎曼流形情形下给出的不等式.
2022-06-16 math.DG
$L^p$-Sobolev inequalities on minimal submanifolds
Universität Bern（伯尔尼大学）；Babeş-Bolyai University（博拜什-鲍约伊大学）；Óbuda University（奥比达大学）
本文通过最优质量传输理论，证明了在欧几里得最小子流形中任意余维数情况下具有显式常数的$L^p$-Sobolev不等式，并提供了Brendle和Eichmair周长不等式的新证明方法。
2026-03-06 math.AP math.DG
Pólya--Szegö Inequality on Submanifolds of Riemannian Manifolds with Nonnegative Curvature and Applications
University of Connecticut（康涅狄格大学）；Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）；Federal University of ABC（ABC联邦大学）
本文证明了非负曲率黎曼流形子流形上的Pólya--Szegö不等式，并由此推导出多种函数不等式，其常数与欧氏情形一致。
2026-09-22 math.AP math.DG
Sobolev inequalities in manifolds with nonnegative intermediate Ricci curvature
本文利用Alexandrov-Bakelman-Pucci方法，将Michael-Simon型Sobolev不等式推广到具有非负中间Ricci曲率的Riemannian流形中的子流形上，并由此导出极小子流形的等周不等式。
2023-04-19 math.DG
The codisc radius capacity
我们定义了一个容量来衡量的大小的Weinstein管状邻域的拉格朗日子流形。在辛向量空间中，这导致任何闭拉格朗日子流形的余盘半径上的界，根据维泰博的等周不等式。此外，我们证明了一个推广的Gromov的包装不等式有关辛嵌入的边界的两个球的半径相等的开放单位球。如果图像球体的内部分量不相交，则半径小于二分之一的平方根。此外，我们还引入了相对Gromov半径的球面变量，证明了辛向量空间中单调拉格朗日环面的有限性。
2013-09-23 math.DG math.SG
Isoperimetric, Sobolev and Poincaré inequalities on hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups
本文研究齐次维数为Q的k步卡诺群G中的光滑子流形。在其他结果中，我们将证明一个等周不等式，它适用于具有或不具有边界$\partial S$的$C^2$ -光滑紧致超曲面S; S和$\partial S$被赋予它们的齐次测度，实际上等价于G上关于某个齐次度量$\varrho$的内在（Q-1）维和（Q-2）维Hausdorff测度;见第5节。这推广了一个经典的不等式，涉及超曲面的中曲率，由Michael和Simon [63]证明，并由Allard [1]独立证明。特别是，从这个结果可以推导出一些相关的Sobolev型不等式;见第7节。证明策略受经典证明策略的启发。特别地，我们将从证明一些线性等周不等式开始。一旦证明了这一点，就可以推导出一个局部单调性公式，然后通过一个覆盖论证来结束证明。然而，我们强调，由于我们不同的几何设置，存在许多差异。在本文中特别开发的一些工具依次是"爆破“定理，它也适用于特征点，以及HS梯度的光滑Coarea公式;见第3节和第4节。其他工具是水平分部积分法公式和H-周长的第一个变化已经在[68]，[69]中发展，并在这里推广到具有非空特征集的超曲面。这些结果的一些自然的应用是在最小和常数水平中曲率超曲面的研究。此外，我们将证明一些纯水平的，局部的和整体的庞加莱型不等式以及一些相关的事实和结论;见第4节和第5节。
2009-10-29 math.AP math.DG
Jacobian estimates and geometric inequalities under intermediate Ricci curvature
University of Wollongong（伍伦贡大学）；Macquarie University（麦考瑞大学）；University of California, Santa Cruz（加州大学圣克鲁兹分校）
本文证明了一个适用于任意余维子流形的 Jacobian 估计，无需曲率符号假设，并由此在中间 Ricci 曲率条件下推导出定量 Fenchel--Willmore、Sobolev 和等周不等式，所需条件仅与子流形维数相关。
2026-10-23 math.AP math.DG
Bernstein-Heinz-Chern results in calibrated manifolds
给定$(\bar{M},Ω)$一个秩为$m$的平行校准的校准黎曼流形，和$M^m$一个具有平行平均曲率$H$的浸入可定向子流形，我们证明了：如果$\cos θ$有界远离零，其中$θ$是$M$的$Ω$ -角，并且如果$M$的Cheeger常数为零，则$M$是最小的.在$M$是$Ricc^M\geq 0$完备的特殊情况下，我们可以用$\cos θ\geq Cr^{-β}$代替$\cos θ$上的有界条件，当$r\to +\infty$时，其中$ 0\leqβ<1 $和$C > 0$是常数，$r$是到$M$中一点的距离函数。我们的证明是令人惊讶的简单，并延伸到一个非常大的类的子流形在校准的流形，在一个统一的方式，问题开始由海因茨和陈省身估计平均曲率的图形超曲面在欧氏空间。它是基于$\|H\|$在$\cosθ$和等周不等式方面的估计。给出了$M$是全测地线的条件。我们研究一些特殊的案例。
2009-04-07 math.DG
A note on the two dimensional Lagrangian mean curvature equation
本文利用仅在二维情况下可用的下调和函数水平集上的Warren-Yuan超等周不等式，导出了二维Lagrange中曲率方程解的修正Hessian界.我们假设拉格朗日相是超临界的有界二阶导数。与前面的方法不同，本文的简化方法不需要$\mathbb{R}^n$的广义子流形上的Michael-Simon平均值和Sobolev不等式.
2022-04-17 math.AP math.DG
