Hankel determinants of middle binomial coefficients and conjectures for some polynomial extensions and modifications
中间的二项式系数可以解释为在正高度处没有水平台阶的Motzkin路径的数目。适当的权重给出了一些很好的多项式扩展。我们确定了中间二项式系数的Hankel行列式及其生成函数，并导出了它们的多项式扩张的许多公式。最后，我们通过实验探索了中间二项式系数的一些修改，其Hankel行列式显示出有趣的模模式，并获得了一些q-模拟。
2021-12-30 math.CO
Convolutions for Stirling numbers, Lah numbers, and binomial coefficients
我们提出了各种身份的卷积涉及斯特林数的两种，拉数，和二项式系数的形式。还讨论了某些卷积多项式。证明是基于几个级数变换公式。
2021-03-25 math.CO
Recursive Harmonic Numbers and Binomial Coefficients
我们定义递归调和数作为调和数的推广。构造了类似于Pascal三角形的递归调和数表。给出了含二项式系数的递归调和数的计算公式。
2017-11-29 math.CO
On some conjectural series containing binomial coefficients and harmonic numbers
本文运用算子方法和超几何级数的求和、变换公式，证明了 Z.-W. Sun 提出的八个含二项式系数与调和数的猜想级数。
2023-06-05 math.CO
The Binomial Coefficient for Negative Arguments
根据Γ函数的二项式系数的定义也允许非整数参数。对于非负整数参数，Γ函数可简化为fascal，从而得到著名的杨辉三角形。使用Γ函数的对称公式，这个定义被扩展到负整数参数，使得二项式系数的对称性对所有整数参数都有效。这个定义与其他一些身份和二项式定理的协议进行了调查。
2015-03-30 math.CO
Central binomial coefficients also count (2431,4231,1432,4132)-avoiders
这篇简短的论文关注的是避免以下四种模式的排列的枚举：$2431$，$4231$，$1432$和$4132$。利用一个双射构造，我们证明了这些排列是由中心二项式系数计数的。
2015-05-29 math.CO
Binomial coefficients and multifactorial numbers through generative grammars
本文利用上下文无关文法中定义的形式导算子证明了二项式系数和多项式系数的一些性质。此外，我们将形式导数算子推广到矩阵文法，并证明了多阶乘数也可以生成。
2018-08-20 math.CO
Factoring Middle Binomial Coefficients
文章描述了素数区间为素数的中间二项式系数的因式分解。素因子和素幂是分层分布的。每一层由非重复的素数组成，这些素数是从非交叉的素数区间中选择的（不是计算的）。当素数在不同的层之间重复时，就形成了重复因子。
2020-03-03 math.CO
Binomial identities related to Calabi-Yau differential equations
当搜索Calabi.Yau微分方程时，通常不同的系数公式给出相同的微分方程。这些系数通常是二项式系数的乘积的和（一次、二次或三次）。这导致了许多二项式恒等式。
2007-03-09 math.CO
Strict unimodality of q-binomial coefficients
我们证明了q-二项式系数\binom{n}{k}_q作为q中的多项式的严格单峰性。证明是基于某些Young表的组合学和S_n表示的Kronecker系数的半群性质。
2013-11-10 math.CO
Some Explicit Formulas for Sums Involving the Binomial Coefficients with the Falling Factorial
Spivey提出了一种利用有限差分计算组合和的新方法。给出了涉及二项式系数、Fibonacci数和Lucas数的和的落阶乘的封闭形式。
2016-05-11 math.CO
A generalization of the binomial coefficients
我们提出的问题是什么是阶乘和二项式系数的最佳推广。我们给出了几个例子，推导出它们的组合性质，并证明了它们之间的相互关系。On cherche ici à determiner est la meilleure généralisation possible des factorielles et des coefficients du binôome.在我们的利益上，我们有许多共同的利益，我们有自己的利益，我们有不同的关系，我们有不同的利益。
1995-02-09 math.CO
An identity for the central binomial coefficient
我们发现的联合分布的三个简单的统计上格路径的n个向上和n个向下的步骤，导致一个三重和身份的中心二项式系数{2n}-选择-{n}。我们解释了为什么一个成分的双重和计数的不可约对的组成考虑本德等人，然后我们计算其他的和。
2012-06-14 math.CO
A combinatorial formula for certain binomial coefficients for Jack polynomials
我们将与Jack多项式相关的广义二项式系数分解为两个因子：一个茎，用索引分区的钩来显式描述，和一个叶，继承了来自二项式系数的各种递归属性，并且完全取决于倾斜图。然后，在两个索引分区相差最多两行的特殊情况下，我们推导出叶的直接组合公式。这个公式还表现出一种意想不到的对称性，相对于两行的长度。
2018-07-26 math.CO
Sums of products of binomial coefficients mod 2 and run length transforms of sequences
IBM Research AI IBM T. J. Watson Research Center（IBM 研究院 IBM T.J. 华生研究中心）
该研究推导了二项式系数乘积之和模2的递推关系，证明其生成序列为已知基本序列的游程长度变换，并给出正整数、斐波那契数等序列游程长度变换的公式。
2022-08-12 math.CO
A variation on bisecting the binomial coefficients
在本文中，我们提出了一种算法，它允许我们搜索所有的二等分的二项式系数$\{\binom{n}{k} \}_{k=0,...,n}$，并包括一个表的结果为所有$n\le 154$。与以前的工作在这个主题上的连接包括在内。我们猜想只有平凡解的概率是$5/6$。\end{abstract}
2018-03-24 math.CO
New identities for binary Krawtchouk polynomials, binomial coefficients and Catalan numbers
通过计算$\mathrm{SO}(2m)$的某些2阶元素的$p$ -外表示的特征，得到了二元Krawtchouk多项式$K^{2m}_p(x)$，$0\le p\le 2m$的整数值的新的组合恒等式.从这个恒等式出发，我们推出了二项式系数与Catalan数的几个新的关系式.
2016-07-22 math.CO
Polynomial Approach to Explicit Formulae for Generalized Binomial Coefficients
我们延长多项式的方法，钩长公式在最近的联合文件中提出的Károlyi，Nagy和Volkov的其他几个问题的相同类型，包括一些道路公式的严格分区的Young图。
2015-04-04 math.CO
An upper bound on binomial coefficients in the de Moivre-Laplace form
我们提出了一个上界的二项式系数，保持在整个参数范围内，其形式重复的形式的对称二项分布的de Moivre-Laplace近似。利用这个界，我们估计了一个给定的布尔函数到bent函数的延拓数，研究了Walsh-Hadamard谱的依赖关系，得到了表示为有界整数平方和的数量限制.
2022-05-14 math.CO
New combinatorial interpretations of the binomial coefficients
利用生成函数和一些平凡双射，本文证明了二项式系数根据交叉数对（123，132）和（123，213）-避免排列的集合进行计数。我们还定义了二次幂的q表，并证明它根据交叉次数来计数（213，312）和（132，312）避免排列的集合。
2019-03-29 math.CO
Bisecting binomial coefficients
本文研究了二等分二项式系数的问题。我们发现许多（以前未知的）无限类的整数承认非平凡的二分法，一类只有平凡的二分法。作为最后一个结构的副产品，我们展示了库斯克和李的结构Q2和Q4。接下来，我们找到非平凡二分数的几个界，并进一步计算（使用超级计算机）n <= 51时这种二分的确切数。
2016-10-06 math.CO
Algebraic identities on q-harmonic numbers and q-binomial coefficients
本文的目的是给出一个一般的代数的恒等式。应用这个恒等式，我们给出了几个q-二项式系数和q-调和数的计算公式。我们还恢复了一些已知的恒等式，包括D的一个代数的恒等式。Y. Zheng关于q-Apéry数的研究，建立了欧拉公式的q-模拟。这些结果在q-超同余理论中有重要的应用。
2023-01-31 math.CO
An application of Jacobi's residue formula and proofs of some other conjectures on binomial coefficients
该研究证明了七个涉及二项式系数的OEIS猜想，应用雅可比留数公式，并通过麦克马斯特主定理独立给出了一个新近结果的新证明。
2026-08-26 math.CO
Note on Ward-Horadam H(x) - binomials' recurrences and related interpretations, II
我们在这里提供第二个新的$\textit{H(x)}-binomials'$递推公式，其中$H(x)-binomials' $阵列是由$Ward-Horadam$序列的功能，在主要考虑的情况下，选择多项式指定。其次，我们提供了一个审查选定的相关组合解释的广义二项式系数。然后，我们还提出了一种转移的解释$p,q-binomial $系数到$q-binomial$系数的解释，从而使我们回到$Gy{ö}rgy Pólya $和唐纳德欧文克努特相关的调查几十年前。
2011-03-28 math.CO
Logarithmic integrals, zeta values, and tiered binomial coefficients
我们研究$\int_0^1 x^i\ln^n(x)\ln^m(1-x)dx$形式的对数积分。它们被表示为某些有理数$(n,m)_i$（我们称之为分层二项式系数）和zeta值$ζ(2)$、$ζ(3)$、\dots的乘积的有理数线性组合。建立了分层二项式系数的各种性质。它们涉及二项式变换、截断多个zeta和多个zeta星值以及特殊函数等。作为应用，我们讨论了Quicksort算法的比较次数的极限律：我们重新证明了极限律的矩在zeta值上是有理多项式。一个新的表达的累积量的快速排序限制。
2020-03-11 math.CO
A binomial coefficient identity associated to a conjecture of Beukers
给出了Ahlgren和Ono证明Frits Beukers的一个同余猜想所需的一个组合恒等式，并给出了其WZ证明的一个指针.
1998-06-08 math.CO
Double sums involving binomial coefficients and special numbers
该研究提出一种初等方法处理内层为不完全二项式和的双重求和问题，并将核心恒等式应用于含调和数、Fibonacci数等多种特殊数的双重求和场景。
2025-10-28 math.CO
On the unimodality of convolutions of sequences of binomial coefficients
我们提供了两个序列的二项式系数的卷积的单峰性的充要条件，前面有一个有限数量的。这些卷积序列的出现，作为一个特定类别的树的顶点诱导子树的偏序集的秩序列。对于固定的顶点数$i$，确定了含有根的顶点诱导子图的偏序集不是秩单峰的树的个数。
2018-10-24 math.CO
Projective geometry over F_1 and the Gaussian binomial coefficients
不存在只有一个元素的域，然而对于这样的域上的射影几何的意义有一个定义明确的概念。这一概念为专家所熟悉，并在组合学和代数学的幕后扮演着有趣的角色，但很少被讨论。这篇文章的目的是把它作为高斯二项式系数之谜的解决方案，引起更广泛的读者的注意。
2004-07-07 math.CO
On an upper bound for central binomial coefficients and Catalan numbers
本文比较了中心二项式系数的Agievich上界与Sasvari上界，证明前者更大，并给出下一阶上界表达式应用于Catalan数，证明其差值随$n$及阶数增加而减小。
2024-07-27 math.CO
On some series involving the binomial coefficients $\binom{3n}{n}$
该研究利用简单变换简化了Necdet Batir提出的含二项式系数$\binom{3n}{n}$的级数形式，给出新求值结果，建立其与Fibonacci数、黄金比例的关联，还推导了含该系数倒数的Fibonacci与Lucas级数。
2023-07-21 math.CO
Asymptotics of partial sums of central binomial coefficients and Catalan numbers
证明了中心二项式系数序列和Catalan数序列的部分和的精确渐近展开式，即$\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}$和$\sum_{k=0}^n C_n$ .我们还得到了多项式$\sum_{k=0}^{q-1}\binom{2k}{k}x^k$和$\sum_{k=0}^{q-1}C_kx^k$在$p$元素域上的封闭形式，其中$q$是素数$p$的幂。
2010-01-13 math.CO
The q-Binomial Coefficient for Negative Arguments and Some q-Binomial Summation Identities
利用q-移位阶乘的一个性质，证明了q-二项式系数的一个恒等式，并利用这个恒等式导出了q-二项式系数的负自变量公式.这一结果与文献[1]中关于负自变量的正态二项式系数的结果一致。导出了一些新的q-二项式求和恒等式，并利用负宗量公式将这些求和恒等式相互转换。将一个q-二项式求和恒等式变换为一个新的q-二项式求和恒等式。
2023-01-11 math.CO math.NT
Some Double Sums Involving Ratios of Binomial Coefficients Arising From Urn Models
本文讨论一类含二项式系数比的双重和。和的形式为\[ \sum_{j=0}^{n} \sum_{i=0}^j \frac{\binom{f_1(n)}{i}}{\binom{f_2(n)}{j}}\,c^{i-j}, \]，其中$f_1, f_2$是$n$的函数。这样的总和出现在Mabinogion瓮和Ephilfest瓮的概率分析中。使用超几何函数，我们能够简化这些和，并且在某些情况下用调和数来表达它们。
2018-09-25 math.CO
Harmonic Catalan Number Series via Half-Integer Binomial Coefficients
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛沃大学）；Vasyl Stefanyk Carpathian National University（瓦西尔·斯特凡尼克喀尔巴阡国立大学）
该研究通过半整数参数的交替二项式恒等式，结合广义二项式系数的显式表示与相关恒等式，推导出含卡特兰数、调和数的闭式求和公式，为转化恒等式提供了系统机制。
2026-09-01 math.CO
Matrix products of binomial coefficients and unsigned Stirling numbers
本文研究二项式系数与无符号斯特林数构成的矩阵乘积和式，分析其闭式表达、组合解释、递推关系及多项式基变换系数意义。
2020-12-30 math.CO
A combinatorial correspondence between finite Euclidean geometries and symmetric subsets of $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
$q$ -数学中的量的类似物涉及使用参数$q$对经典量的扰动，并且当$q$变为$1$时恢复到原始量。一个重要的例子是$q$ -二项式系数的类似物，它给出了$\mathbb{F}_{q}^{n}$中$k$维子空间的数量。当$q$转到$1$时，这恢复到测量$\left [ n \right ]$中$k$ -集合的数目的二项式系数。Yoo（2019）研究了$q$ -二项式系数的点模拟，以研究有限域上二次空间的组合学。与$(\mathbb{F}_{q}^{k},x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2})$等距同构的$(\mathbb{F}_{q}^{n},x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})$的$k$维二次空间的数目也可以描述为类似于二项式系数，称为点二项式系数，$\binom{n}{k}_{d}$ .本文研究了有限欧氏几何与$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的对称子集之间的组合对应。此外，我们证明了点二项式系数可以用$q$ -二项式系数和多项式表示，并证明了点二项式系数在$q$中是多项式.此外，我们还研究了由点二项式系数$\binom{n}{k}_{d}$给出的多项式的性质。
2021-05-16 math.CO
A q-analogue of some binomial coefficient identities of Y. Sun
给出了Y的一些二项式系数恒等式的$q$ -模拟. Sun [Electron. J. Combin. 17（2010），#N20]如下：{align*} \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{m+k\brack k}_{q^2}{m+1\brack n-2k}_{q} q^{n-2k \choose 2} &={m+n \brack n}_{q}，\sum_{k=0}^{\lfloor n/4\rfloor}{m+k\brack k}_{q^4}{m+1\brack n-4k}_{q} q^{n-4k \choose 2} &= \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}（-1）^k{m+k \brack k}_{q^2}{m+n-2k \brack n-2k}_{q}，{align*}其中${n\brack k}_q$代表$q$ -二项式系数。我们提供了两个证明，其中之一是组合通过分区。
2011-04-05 math.CO
Generalized q-difference equations for general q-polynomials with double q-binomial coefficients
本文利用具有双q-二项式系数和齐次q-算子的广义q-多项式[J. Difference Equ. 20（2014），837 - 851.]构造了七个变量的q-差分方程，推广了Jia等人[Symmetry 2021，13，1222.]的近期工作。此外，我们还导出了广义q-多项式的Rogers公式、推广的Rogers公式和Srivastava-Agarwal型双线性生成函数，它们推广了Schueller多项式的生成函数[J. Difference Equ. 24（2018），479 - 502.]。最后，我们还利用q-差分方程导出了混合生成函数。
2021-12-17 math.CO
Binomial sum relations involving Fibonacci and Lucas numbers
该研究探讨了含（广义）斐波那契数、卢卡斯数与不同类型二项式系数的二项式和的关联，给出多类二项式和关系并重新发现部分已作为问题提案的关系式。
2023-10-03 math.CO
On Additive Representations of Integers by Binomial Coefficients
本文研究了整数由二项式系数表示的问题，针对k=2和k=3的情况给出明确证明，比较了经典多边形数理论，并讨论了二项式系数加法表示的条件存在性结果和数量界。
2026-04-27 math.CO
Elementary proof of congruences involving sum of binomial coefficients
给出了几个涉及二项式系数的单和与多和的同余式的初等证明。
2017-09-20 math.CO math.NT
A combinatorial proof of strict unimodality for $q$-binomial coefficients
Pak和Panova最近通过对称群的表示理论证明了$q$ -二项式系数${m+n \choose m}_q$是$q$中对$m,n \geq 8$的严格单峰多项式。通过刻画链的乘积是严格单峰的，并应用O 'Hara关于分块格$L(m,n)$的结构定理，给出了其结果的一个直接的组合证明.事实上，我们证明了一个更强的结果：如果$m, n \geq 8d$，和$2d \leq r \leq mn/2$，那么$L(m,n)$的第$r$秩至少比下一个较低秩有$d$更多的元素。
2014-03-09 math.CO
Power series with inverse binomial coefficients and harmonic numbers
构造了逆中心二项式系数与调和数乘积的母函数。
2021-03-02 math.CO math.NT
An overpartition analogue of the $q$-binomial coefficients
我们定义了一个高斯多项式（也称为$q$ -二项式系数）的过分区模拟作为一个生成函数的数量过分区拟合内的$M \times N$矩形。我们称这些新的多项式在高斯多项式或$q$ -二项式系数。研究了超$q$ -二项式系数的基本性质及其应用。特别地，通过对q-二项式系数的递归和组合解释，证明了一个Rogers-Ramaujan型分拆定理.
2014-12-27 math.CO math.NT
The q-Log-convexity of the Generating Functions of the Squares of Binomial Coefficients
证明了Liu和Wang关于多项式序列$\{\sum_{k=0}^n{n\choose k}^2q^k\}_{n\geq 0}$的q-对数凸性的一个猜想。利用Pieri定则和Schur函数的Jacobi-Trudi恒等式，得到了初等对称函数乘积之和关于非负系数Schur函数的展开式.然后主特化导致q-log-凸性。我们还证明了Liu和Wang的一个技术条件对二项式系数的平方成立。因此，我们推出的线性变换关于三角阵列$\{{n\choose k}^2\}_{0\leq k\leq n}$是对数凸保持。
2008-10-13 math.CO
Combinatorial interpretations of binomial coefficient analogues related to Lucas sequences
Let s and t be variables. Define polynomials {n} in s, t by {0}=0, {1}=1, and {n}=s{n-1}+t{n-2} for n >= 2. If s, t are integers then the corresponding sequence of integers is called a Lucas sequence. Define an analogue of the binomial coefficients by C{n,k}={n}!/({k}!{n-k}!) where {n}!={1}{2}...{n}. It is easy to see that C{n,k} is a polynomial in s and t. The purpose of this note is to give two combinatorial interpretations for this polynomial in terms of statistics on integer partitions inside a k by n-k rectangle. When s=t=1 we obtain combinatorial interpretations of the fibonomial coeffic…
2009-11-16 math.CO
A congruence involving products of $q$-binomial coefficients
本文建立了一个关于二项式系数模素数平方乘积的Sun同余的$q$ -模拟。
2005-08-27 math.CO math.NT
Bergeron's conjecture & a tale of two binomial coefficients
研究伯杰龙猜想，即整数\(1\leq a<b<c<d\)且\(ad=bc\)时高斯多项式系数关系\({\binom{b+c}b}_q \ge {\binom{a+d}a}_q\)。给出两个证明并推广，还给出特殊情况的组合证明。
2026-07-07 math.CO
On p-adic approximation of sums of binomial coefficients
我们提出了高阶推广的Jacobsthal的$p$ -进近似的二项式系数。我们的研究结果意味着明确的公式的线性组合的二项式系数$\binom{ip}{p}$（$i=1,2,\dots$），可整除的素数$p$的任意大的权力。
2018-08-30 math.CO math.NT
Two permutation classes enumerated by the central binomial coefficients
我们定义了避免四种模式$3214,3241,4213,4231$或$3124,3142,4123,4132$的排列集与Dyck前缀集之间的映射。这个映射，当被限制到两个类中的任何一个时，结果是一个双射，它允许我们确定这些排列的一些显著特征，例如统计数据“上升数”、“从左到右最大值的数量”、“第一个元素”和“最大元素的位置”的分布。
2013-01-09 math.CO
A Note on Extended Binomial Coefficients
我们研究了扩展的二项式系数的分布，导出了一个完整的一致误差项的渐近展开。我们从局部中心极限定理中得到展开式，并将所有系数明确表示为Hermite多项式和Bernoulli数的和。
2014-07-28 math.CA math.CO
New conjectures involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
本文对二项式系数与Apéry-like数模$p^3$的和的同余关系进行了大量的研究，其中$p$是奇素数.
2021-12-06 math.CO math.NT
Gaussian binomial coefficients with negative arguments
勒布表明，通常的二项式系数自然扩张到负（整数）条目继续满足许多基本性质。特别是，他给了一个统一的二项式定理以及组合的解释方面选择子集的集合与负数的元素。我们表明，所有这些都可以扩展到高斯二项式系数的情况下。此外，我们证明了几个著名的算术性质的二项式系数也持有的情况下，负的条目。特别是，我们表明，卢卡斯定理的二项式系数模$p$不仅自然延伸到负条目的情况下，但甚至高斯的情况下。
2018-02-08 math.CO math.NT
