Polynomial Approach to Explicit Formulae for Generalized Binomial Coefficients
Fedor Petrov
我们延长多项式的方法，钩长公式在最近的联合文件中提出的Károlyi，Nagy和Volkov的其他几个问题的相同类型，包括一些道路公式的严格分区的Young图。
We extend the polynomial approach to hook length formula proposed in a recent joint paper with Károlyi, Nagy and Volkov to several other problems of the same type, including number of paths formula in the Young graph of strict partitions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Summation Formulae for Binomial Moments
本文结合 telescoping 方法与代数关系，推导出四类二项式矩的显式求和公式。
Binomial determinants: some closed formulae
本文提供二项式行列式的闭式公式，涉及连续或近连续行或列，并计算由某些二项式矩阵定义的左零空间生成器，同时通过不同方法重新证明Gessel和Viennot展示的二项式行列式正性。
Recurrence relations for binomial-Eulerian polynomials
二项式-欧拉多项式由Postnikov、Reiner和Williams提出。本文研究了二项式-欧拉多项式的一些性质，包括递推关系和生成函数。给出了二项式-欧拉多项式递推关系的三个构造性证明。此外，我们给出了k-等实超平面排列的补的贝蒂数的组合解释。
Around the $q$-binomial-Eulerian polynomials
我们找到了Shareshian和Wachs的$q$ -二项式欧拉多项式的组合解释，这导致了他们的$q$ - $γ$ -正性使用群作用的另一种证明。受Désarménien-Foata-Loday关于$(\mathrm{des}, \mathrm{inv})$ -欧拉多项式的符号平衡恒等式的启发，我们进一步研究了$q$ -二项式-欧拉多项式的符号平衡.我们显示的单峰性所产生的签署二项式欧拉多项式，利用其连分数扩展，并利用一个新的二次递归的$q$ -二项式欧拉多项式。最后，我们利用连分数的方法，得到了一个新的$(p,q)$ -推广的$γ$ -积极的二项式欧拉多项式，其中涉及交叉和套的排列。
Hankel determinants of middle binomial coefficients and conjectures for some polynomial extensions and modifications
中间的二项式系数可以解释为在正高度处没有水平台阶的Motzkin路径的数目。适当的权重给出了一些很好的多项式扩展。我们确定了中间二项式系数的Hankel行列式及其生成函数，并导出了它们的多项式扩张的许多公式。最后，我们通过实验探索了中间二项式系数的一些修改，其Hankel行列式显示出有趣的模模式，并获得了一些q-模拟。
Capacity of Lorentzian polynomials and distance to binomial distributions
本文研究了Lorentz多项式的容量。本文给出了Brändén，Leake和Pak的一个定理的新证明。我们的方法是概率的性质，并使用了一个引理的一定距离的二项分布的分布与固定的期望值。
Noncommutative binomial theorem, shuffle type polynomials and Bell polynomials
本文借助 Lyndon–Shirshov 基研究 shuffle 型多项式，建立两个自由非交换二项式定理，导出 Bell 与 $q$-Bell 微分多项式，并给出其在双代数和 Hopf 代数中的应用。
Polynomial sequences of binomial-type arising in graph theory
在本文中，我们表明，解决了一大类的“平铺”问题是由一个多项式序列的二项式型。更具体地说，我们表明，数量的方式来放置一个固定的一组polyominos的$n\times n$环形棋盘，使没有两个polyominos重叠最终是一个多项式在$n$，这些多项式的某些集合满足二项式型递归。我们展示了这个定理的推广到更高的维度和其他格。最后，我们应用本文开发的技术来解决有关某些网格图的色多项式系数结构的一个悬而未决的问题（即它们也满足二项型递归）。
Binomial Eulerian polynomials for colored permutations
二项式欧拉多项式最早出现在Postnikov、Reiner和Williams关于广义置换面的工作中。它们是$γ$ -正（特别是回文和单峰）多项式，可以解释为$h$ -多项式的某些标志单纯多面体，并承认有趣的舒尔$γ$ -正对称函数的推广。本文介绍了具有类似性质的$r$ -着色置换的类似多项式，并揭示了几何组合学中等变$γ$ -正性的一些新例子。
Extraction of the $i^{th}$ Elementary Symmetric Polynomial from a Product in Binomial Form ${{m_1+...+m_n}\choose i}$
$i^{th}$变量集$\mathcal{R}=\{m_1,m_2,m_3,...,m_n\}$的$i^{th}$初等对称多项式通过交替和与$i^{th}$二项式乘积${{m_1+...+m_n}\choose i}$的展开分离。
New identities for binary Krawtchouk polynomials, binomial coefficients and Catalan numbers
通过计算$\mathrm{SO}(2m)$的某些2阶元素的$p$ -外表示的特征，得到了二元Krawtchouk多项式$K^{2m}_p(x)$，$0\le p\le 2m$的整数值的新的组合恒等式.从这个恒等式出发，我们推出了二项式系数与Catalan数的几个新的关系式.
Some binomial series obtained by the WZ-method
使用WZ-方法，我们找到了一些最简单的拉马努金公式，也有一些新的有趣的拉马努金一样的总和。
A combinatorial formula for certain binomial coefficients for Jack polynomials
我们将与Jack多项式相关的广义二项式系数分解为两个因子：一个茎，用索引分区的钩来显式描述，和一个叶，继承了来自二项式系数的各种递归属性，并且完全取决于倾斜图。然后，在两个索引分区相差最多两行的特殊情况下，我们推导出叶的直接组合公式。这个公式还表现出一种意想不到的对称性，相对于两行的长度。
Generalized q-difference equations for general q-polynomials with double q-binomial coefficients
本文利用具有双q-二项式系数和齐次q-算子的广义q-多项式[J. Difference Equ. 20（2014），837 - 851.]构造了七个变量的q-差分方程，推广了Jia等人[Symmetry 2021，13，1222.]的近期工作。此外，我们还导出了广义q-多项式的Rogers公式、推广的Rogers公式和Srivastava-Agarwal型双线性生成函数，它们推广了Schueller多项式的生成函数[J. Difference Equ. 24（2018），479 - 502.]。最后，我们还利用q-差分方程导出了混合生成函数。
Characterizing circle graphs with binomial partial Petrial polynomials
本文利用局部补解决了连通圆图部分 Petrial 多项式何时为二项式的公开问题，证明其恰好当且仅当图为路径时成立。
Binomial Fibonacci sums from Chebyshev polynomials
本文通过将特定二项式系数求和与切比雪夫多项式建立联系，推导出涉及斐波那契数和卢卡斯数的新型二项式和恒等式，并进一步研究组合和及其与 Chu 和 Guo 2022 年工作的联系。
On p-adic approximation of sums of binomial coefficients
我们提出了高阶推广的Jacobsthal的$p$ -进近似的二项式系数。我们的研究结果意味着明确的公式的线性组合的二项式系数$\binom{ip}{p}$（$i=1,2,\dots$），可整除的素数$p$的任意大的权力。
Double sums associated with binomial transforms
本文针对内层为不完整二项式和的二重和展开研究，证明其与二项式变换对相关的新结果，推导了多类特殊数、多项式族相关的二重和恒等式及含双曲函数的新二重和。
Connection formulae for trivariate $q$-polynomials
本文建立了三元$q$ -多项式的连接公式。
A note on Lucas L binomials and Ward Horadam binomials recurrences
本文给出了Ward Horadam函数列指定的H（x）二项式递推公式，这是几十年来大多数被认为是多项式的情况。
The Binomial-Stirling-Eulerian Polynomials
本文引入了包含二项式系数、Eulerian数和两种Stirling统计量的二项-Stirling-Eulerian多项式，通过文法演算与排列上的群作用研究了其γ-正性，并推广了前人关于对称Eulerian恒等式与γ-正性的结果。
The role of binomial type sequences in determination identities for Bell polynomials
本文讨论了涉及贝尔多项式的恒等式。利用二项式型序列的生成函数和逐次导数导出Bell多项式的几个恒等式。第一部分给出了Bell多项式与二项式型序列之间的一些关系，第二部分推广了文[4]中的结果。
Binomial Inequalities for Chromatic, Flow, and Tension Polynomials
图的色多项式的分类是一个著名的和开放的问题，至少可以追溯到20世纪70年代初。对于这个分类问题，人们可能会要求一个色多项式的系数之间的必要的不等式，我们贡献这样的不等式时，色多项式$χ_G(n) = χ^*_0 \binom {n+d} d + χ^*_1 \binom {n+d-1} d + \dots + χ^*_d \binom n d$是书面的二项式系数的基础。例如，我们证明了对于$0 \le j \le \frac{ d }{ 2 }$，$χ^*_{ j } \le χ^*_{ d-j }$。类似的结果举行的流量和张力多项式枚举模块或积分无处零流量/张力的图。我们的定理遵循色，流，张力，和顺序多项式之间的连接，以及Ehrhart多项式的格多面体，承认单模三角剖分。我们的研究结果使用Ehrhart不等式由于Athanasiadis和Stapledon，并与最近的工作由Hersh-Swartz和Breuer-Dall，其中类似于我们的一些不等式是使用代数组合方法推导出来的。
Explicit Formulae of Cauchy Polynomials with a $q$ Parameter in Terms of $r$-Whitney Numbers
最近定义了带$q$参数的Cauchy多项式，并研究了它的一些算术性质.本文利用第一类$r$ -Whitney数建立了计算含$q$参数的Cauchy多项式的显式公式.我们还得到了一些性质和组合恒等式。
Polynomial identities that involve binomial coefficients, double and rising factorials and their probabilistic interpretations and proofs
我们制定了几个多项式的身份。这些恒等式的一面有一个很好的简单形式。而另一种具有多项式的形式，其系数包含二项式系数双因子或（和）上升因子。这些身份的起源和证明是概率。然而，它们的形式表明在简化表达式方面的普遍应用。文中还提出了许多有用的简化公式。
Recurrences for certain sequences of binomial sums in terms of (generalized) Fibonacci and Lucas polynomials
本文给出了某些二项式和序列用（广义）Fibonacci和Lucas多项式表示的递归性的一些结果。
Some formulae for bivariate Fibonacci and Lucas polynomials
我们推导出一个集合的身份二元斐波那契和卢卡斯多项式使用基本上是一个矩阵的方法，以及这样的多项式的属性时，变量$x$和$y$被替换为多项式。对于选定的变量值，可以得到大量的组合恒等式。
A remark on Fourier pairing and binomial formula for Macdonald polynomials
给出了插值Macdonald多项式关于Fourier对的正交性的一个简明的直接证明，并简要讨论了这种正交性的一些直接应用，如Fourier对的对称性和二项式公式.
Novel Results of Two Generalized Classes of Fibonacci and Lucas Polynomials and Their Uses in the Reduction of Some Radicals
本文给出了两类广义Fibonacci多项式和Lucas多项式之间的一些新的联系公式。所有的联系系数涉及类型为$_2F_{1}(z)$的超几何函数，对于某些$z$。作为所导出的联系公式的特殊情况，推导了Fibonacci多项式、Lucas多项式、Pell多项式、Fermat多项式、Pell-Lucas多项式和Fermat-Lucas多项式之间的几个新的联系公式。一些引进的公式推广了文献中存在的一些公式。作为所导出的联系公式的两个应用，给出了联系某些著名数的新公式，并导出了某些定权积分的新封闭公式。利用Fibonacci多项式和Lucas多项式的两个推广类，给出了某些奇根和偶根的新的约化公式。
Real-rootedness of variations of Eulerian polynomials
由Postnikov、Reiner和Williams提出的二项式欧拉多项式是$γ$ -正多项式，并且可以解释为某些标志单纯多面体的$h$ -多项式。最近，Athanasiadis研究了类似物，这些多项式的有色排列。本文将它们推广到$\mathbf{s}$ -反演序列，并利用交错多项式的方法证明了这类新多项式只有实根。三个应用这一结果。第一个是证明了二项式欧拉多项式的实根性，从而证实了Ma，Ma，和Yeh的一个猜想。二是证明了色置换的二项式欧拉多项式的对称分解是实根的。第三，我们的多项式为某些$\mathbf{s}$反演序列，承认类似的几何解释有关的单形的edgewise细分。
Two formulae for inverse Kazhdan-Lusztig polynomials in S_n
令w_0表示置换[n，n-1，...，2，1]。当x是Schubert簇X_w的奇异轨迹中的极大元时，给出了S_n中Kazhdan-Lusztig多项式P_{w_0w,w_0x}的两个新的显式.为此，我们利用将P_{x,w}和P_{w_0w,w_0x}相关联的标准标识。
On some binomial coefficients related to the evaluation of tan(nx)
本文的目的是研究与tan（nx）的计算有关的几个二项式系数。我们提出了这些二项式系数和系数的一个家庭的导数多项式的切线和割线之间的连接。
Convolutions for Stirling numbers, Lah numbers, and binomial coefficients
我们提出了各种身份的卷积涉及斯特林数的两种，拉数，和二项式系数的形式。还讨论了某些卷积多项式。证明是基于几个级数变换公式。
Binomial expansions of Jacobi-Stirling numbers and real-rootedness of Jacobi-Stirling descent polynomials
本文研究Jacobi-Stirling数的二项式展开，证明其下降多项式在特定删除或保留横杠字母数下仅有简单负零点，验证了Gessel-Lin-Zeng猜想的五个无限族，并揭示其顶部重及左半递增性质。
Flagged Schur polynomial duality via a lattice path bijection
本文通过在推广的格上进行路径计数论证，证明了Flagged Schur多项式的恒等式，揭示了行列flag的对偶性，并推广了Gessel-Viennot与Aitken的经典对偶定理。
Residues formulae for volumes and Ehrhart polynomials of convex polytopes
在这些注释中，我们解释了凸多胞体的体积的留数公式，以及基于全留数概念的Ehrahrt多项式。我们将此方法应用于计算Chan-Robbins多面体的体积。最后的计算是基于系统$A_n$的总留数公式，类似于Morris恒等式。对于流动多胞体，总剩余量中变量的变量变换公式导出了混合体积函数的Ehrhart多项式的“好公式”。我们将其应用于Pitman-Stanley多面体。
Combinatorial interpretations of binomial coefficient analogues related to Lucas sequences
Let s and t be variables. Define polynomials {n} in s, t by {0}=0, {1}=1, and {n}=s{n-1}+t{n-2} for n >= 2. If s, t are integers then the corresponding sequence of integers is called a Lucas sequence. Define an analogue of the binomial coefficients by C{n,k}={n}!/({k}!{n-k}!) where {n}!={1}{2}...{n}. It is easy to see that C{n,k} is a polynomial in s and t. The purpose of this note is to give two combinatorial interpretations for this polynomial in terms of statistics on integer partitions inside a k by n-k rectangle. When s=t=1 we obtain combinatorial interpretations of the fibonomial coeffic…
Chromatic polynomials of signed graphs and dominating-vertex deletion formulae
本文通过构造共享底层图和色多项式的非切换同构符号图回答了 Zaslavsky 的问题，推导了符号完全图连接的色多项式闭式表达，并引入双变量色多项式及其支配顶点删除递归公式，证明其在特定符号阈值图族中可刻画同构。
Remarkable relations between the central binomial series, Eulerian polynomials, and poly-Bernoulli numbers
负整数处的中心二项级数表示为某两个多项式值的线性组合。我们证明了其中一个多项式是二元欧拉多项式的特殊值，另一个多项式与多伯努利数的反对角和有关。作为应用，我们证明了Stephan在2004年的观察。
Generalising Tuenter's binomial sums
Tuenter [Fibonacci Quarterly 40（2002），175-180]和其他作者考虑了\[S_r(n) = \sum_k \binom{2n}{k}|n-k|^r,\]形式的中心二项式和，其中$r$和$n$是非负整数。我们认为总和的形式\[U_r(n) = \sum_k \binom{n}{k}|n/2-k|^r\]这是一个概括的Tuenter的总和为$S_r(n) = U_r(2n)$，但$U_r(n)$也是定义良好的奇数参数$n$。$U_r(n)$可以被解释为具有$n$步长的对称伯努利随机游动的矩。$U_r(n)$的形式取决于$r$和$n$的奇偶性。事实上，$U_r(n)$是多项式（取决于$r$和$n$的奇偶校验）乘以2的幂或二项式系数的乘积。在所有情况下，多项式都可以用Dumont-Foata多项式表示。我们给出了函数$U_r(n)$和/或相关多项式的递推关系、生成函数和显式公式。
A Class of Binomial Permutation Polynomials
本文给出了一类二项式是置换多项式的一个判别准则。由此得到了许多类二项置换多项式和单项完全置换多项式。这些单项式中的指数是Niho型的。
Gamma-positivity of variations of Eulerian polynomials
一个身份的钟，格雷厄姆和克努特涉及二项式系数和欧拉数激励我们研究一类多项式，我们称之为二项式欧拉多项式。这些多项式与欧拉多项式共享几个属性。首先，它们是$h$ -单纯多面体的多项式，这给出了它们是回文和单峰的事实的几何解释。Foata和Schützenberger的公式表明欧拉多项式具有更强的性质，即$γ$ -正性，Postnikov，Reiner和Williams的公式对二项式-欧拉多项式也是如此.我们得到$q$ -类似物的Foata Schützenberger公式和替代Postnikov-Reiner-Williams公式，我们表明，这些$q$ -类似物是专门化的类似的对称函数的身份。代数几何解释这些对称函数类似物。
Quadratic Binomial APN Functions and Absolutely Irreducible Polynomials
证明了特征为2的有限域上的二次二项式函数不一定是APN。这是感兴趣的光最近发现的新家庭的二次二项式APN功能。证明使用了代数几何中的Weil界。
A combinatorial correspondence between finite Euclidean geometries and symmetric subsets of $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
$q$ -数学中的量的类似物涉及使用参数$q$对经典量的扰动，并且当$q$变为$1$时恢复到原始量。一个重要的例子是$q$ -二项式系数的类似物，它给出了$\mathbb{F}_{q}^{n}$中$k$维子空间的数量。当$q$转到$1$时，这恢复到测量$\left [ n \right ]$中$k$ -集合的数目的二项式系数。Yoo（2019）研究了$q$ -二项式系数的点模拟，以研究有限域上二次空间的组合学。与$(\mathbb{F}_{q}^{k},x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2})$等距同构的$(\mathbb{F}_{q}^{n},x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})$的$k$维二次空间的数目也可以描述为类似于二项式系数，称为点二项式系数，$\binom{n}{k}_{d}$ .本文研究了有限欧氏几何与$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$的对称子集之间的组合对应。此外，我们证明了点二项式系数可以用$q$ -二项式系数和多项式表示，并证明了点二项式系数在$q$中是多项式.此外，我们还研究了由点二项式系数$\binom{n}{k}_{d}$给出的多项式的性质。
Note on Ward-Horadam H(x) - binomials' recurrences and related interpretations, II
我们在这里提供第二个新的$\textit{H(x)}-binomials'$递推公式，其中$H(x)-binomials' $阵列是由$Ward-Horadam$序列的功能，在主要考虑的情况下，选择多项式指定。其次，我们提供了一个审查选定的相关组合解释的广义二项式系数。然后，我们还提出了一种转移的解释$p,q-binomial $系数到$q-binomial$系数的解释，从而使我们回到$Gy{ö}rgy Pólya $和唐纳德欧文克努特相关的调查几十年前。
Schur type functions associated with polynomial sequences of binomial type
本文引入了一类与二项式型多项式序列相关的Schur型函数。这可以看作是普通Schur函数和阶乘Schur函数的推广。这个推广满足一些有趣的展开公式，其中有一个奇怪的对偶。此外，这一类包括的例子是有用的描述的Capelli型中心元素的泛包络代数的经典李代数的特征值。
An overpartition analogue of the $q$-binomial coefficients
我们定义了一个高斯多项式（也称为$q$ -二项式系数）的过分区模拟作为一个生成函数的数量过分区拟合内的$M \times N$矩形。我们称这些新的多项式在高斯多项式或$q$ -二项式系数。研究了超$q$ -二项式系数的基本性质及其应用。特别地，通过对q-二项式系数的递归和组合解释，证明了一个Rogers-Ramaujan型分拆定理.
Strict unimodality of q-binomial coefficients
我们证明了q-二项式系数\binom{n}{k}_q作为q中的多项式的严格单峰性。证明是基于某些Young表的组合学和S_n表示的Kronecker系数的半群性质。
Shifted-Binomial Expansions of Dilated Binomial Polynomials: Multinomial Decimation, Reflection Symmetry, and Universal Divisibility
研究多项式\\(g_{p,r}(n)=\binom{pn}{p+r}\\)在移位二项式基下的展开，通过生成函数等得到系数公式，刻画其回文性及相关性质，证明\\(p\\)整除系数，还发现与多项式三角形选定行一致，揭示了二项式系数展开的一些规律。
q-Binomials and related symmetric unimodal polynomials
q-二项式系数早在19世纪50年代就被假定为单峰的，但直到西尔维斯特1878年使用不变理论证明才得到证明。1982年，Proctor用线性代数给出了一个“初等”证明。最后，在1989年，凯西奥哈拉提供了一个组合证明单峰的q-二项式系数。此后不久，多伦·蔡尔伯格（Doron Zeilberger）将这一论点转化为一个优雅的循环。我们引入几个扰动的复发，以创建一个更大的家庭的单峰多项式。我们分析了这些扰动如何影响最终的多项式，并分析了一些具体的情况。
New Binomial Identities for Fibonacci, Lucas, and Generalized Fibonacci Sequences with Multiple Indices
本文提出新的恒等式，通过卢卡斯数的幂和二项式系数表示斐波那契、卢卡斯和广义斐波那契序列的多重索引项，利用对称多项式（瓦ring公式）应用于经典Binet公式。
Narayana polynomials and some generalizations
本文通过对一些有色平面树的计数，得到了几个二项式恒等式。这些恒等式可以看作是对那罗延多项式的某些推广的具体评价。作为结果，它提供了一个双射问题的组合证明斯坦利的集合“双射证明问题”，一个新的纳拉亚纳多项式的公式，以及一个新的表达式的Harer-Zagier公式枚举单胞映射，在一个统一的方式。此外，我们确定了一类平面树，其枚举是密切相关的施罗德数。许多其他的二项式恒等式也被提出。
Chromatic Polynomial, Colered Jones Function and q-Binomial Counting
在一般弦图类中定义了图的q-色函数，给出了它的一些性质，并给出了一些公式。然后，我们把q-色函数与纽结的色琼斯函数联系起来。这导致了一个奇怪的表达的有色琼斯函数的结图作为一个“缺陷色运营商”适用于幂级数的系数是线性组合的弦图构建从“流”的减少结图。
A family of sequences of binomial type
对于Delta算子$aD-bD^{p+1}$，我们找到了相应的二项式型多项式序列以及与Fuss数的关系。在$D-\frac{1}{2}D^2$的情况下，我们证明了相应的Bessel-Carlitz多项式是逆高斯分布卷积半群的矩。我们还发现概率分布$ν_{t}$，$t>0$，其中$\left\{y_{n}(t)\right\}$，贝塞尔多项式在$t$，是时刻序列。
Some Formulae of Genocchi Polynomials of Higher Order
本文利用高阶Bernoulli和欧拉多项式的集合构成多项式空间的基这一事实，导出了高阶Genoochi多项式的一些公式。
A p-adic analogue of a formula of Ramanujan
拉马努金一生中提供了许多将二项和与Γ函数的特殊值联系起来的公式。基于数值计算，Van Hamme最近提出了类似于这些公式的$p$ -adic类似物。利用普通的和高斯的超几何级数的组合，我们证明了这些公式之一。
Positivity preserving transformations for q-binomial coefficients
发现了q-二项式系数的几种新的变换，它们具有核是非负系数多项式的特点。通过研究这些保正变换的类群性质及其与Bailey引理的联系，得到了基本超几何级数的许多新的求和公式和变换公式，并应用这些新的q-二项式变换得到了多和Rogers-Ramanujan恒等式，找到了Rogers-Szego多项式的新表示，对Bressoud的广义Borwein猜想也有了一些进展.对于原Borwein猜想，我们制定了一个改进的基础上一个新的三重和表示的Borwein多项式。
Some asymptotic results on q-binomial coefficients
当$k$固定时，我们研究$q$ -二项式系数（或高斯多项式）$\binom{a+k}{k}_q$的系数的渐近行为。我们在这个方向上给出了一些结果，其中一些涉及欧拉多项式及其推广。
A generalization of the Gaussian formula and a q-analog of Fleck's congruence
q-二项式系数是传统二项式系数的多项式表兄弟，并且二项式系数的许多恒等式可以被转换成该多项式设置。例如，帕斯卡三角形的第n行的交替和的熟悉的消失被所谓的高斯公式捕获。在本文中，我们找到了一个q-二项式同余，它综合了这个结果和Fleck的二项式系数的同余。
Polynomial Sequences of Binomial Type and Path Integrals
二项型多项式序列$p_n(x)$是枚举组合学的阴演算中的主要工具。我们将$p_n(x)$表示为"相空间“”$\Space{N}{} \times {[-π,π]}$中的\emph{path integral}。哈密顿量是$h(ϕ)=\sum_{n=0}^\infty p_n'(0)/n! e^{inϕ}$，它产生了$p_n(x)$的薛定谔型方程。这在计数组合学和量子场论之间建立了一座桥梁。它还提供了一个并行量子计算的算法。保留字：费曼路径积分，本影演算，二项式型多项式序列，表征，薛定谔方程，传播子，波函数，累积量，量子计算。
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