Some identities and formulas involving generalized Catalan numbers
Catalan数的推广被认为是。新的结果包括二项式恒等式，递归关系和多元生成函数的封闭公式。一个简单的加泰罗尼亚行列式的表达式。
2006-09-21 math.CO
Catalan triangle numbers and binomial coefficients
有限维单李代数和仿射Kac-Moody代数的二项式系数和Catalan三角数表现为权重数。我们证明了任何二项式系数都可以写成沿Catalan三角形行的加权和。和中的系数形成三角形数组，我们称之为交替Jacobsthal三角形。我们研究了交替Jacobsthal三角形的条目的各种连续性，并表明它们出现在各种组合结构中。这些序列的生成函数使我们能够定义它们的q-变形的k-模拟。我们表明，这种变形也引起了有趣的组合序列。这项工作的出发点是某些身份的研究Khovanov-Lauda-Rouquier代数和完全交换元素的Coxeter群。
2017-10-17 math.CO math.RT
Continuous Analogues for the Binomial Coefficients and the Catalan Numbers
利用凸多胞体理论、格路径理论和对定向流形的间接影响理论，我们构造了二项式系数和Catalan数的连续类似物。我们构建这些类似物的方法可以应用于各种各样的组合序列。作为一个应用，我们开发了一个连续模拟的二项分布。
2016-04-25 math-ph math.CO math.DG
Combinatorial interpretations of Lucas analogues of binomial coefficients and Catalan numbers
卢卡斯序列是s和t中的多项式序列，递归地定义为{0}=0，{1}=1，并且{n}=s{n-1}+t{n-2}，其中n >= 2。在s和t的特殊化上，可以恢复斐波那契数、非负整数和q-整数[n]_q。给定一个用非负整数的乘积和乘积表示的量，通过用{n}替换表达式中n的每个因子，可以得到一个卢卡斯类比。然后，很自然地会问，所得到的有理函数是否实际上是s和t中具有非负整数系数的多项式，如果是，它算什么。第一个简单的组合解释这个多项式类似的二项式系数是由萨根和萨维奇，虽然他们的模型抵制被用来证明身份，这些卢卡斯nomials或扩展他们的想法，以其他组合序列。本文的目的是给出一个新的，甚至更自然的模型，这些Lucasnomials使用格路径，可用于证明各种等式，以及扩展到Catalan数及其亲属，如有限Coxeter群。
2018-09-24 math.CO
Factors of binomial sums from the Catalan triangle
利用牛顿插值公式，推广了Miana和Romero以及Chen和Chu关于Catalan三角形的恒等式.进一步研究了二项式系数与自然数的奇次幂乘积和的整除性质。例如，我们证明了对于所有正整数$n_1, ..., n_m$、$n_{m+1}=n_1$和任何非负整数$r$，表达式$$n_1^{-1}{n_1+n_{m}\choose n_1}^{-1} \sum_{k=1}^{n_1}k^{2r+1}\prod_{i=1}^{m} {n_i+n_{i+1}\choose n_i+k}$$要么是整数，要么是半整数。此外，还提出了几个相关的建议。
2009-09-30 math.CO math.NT
An integral representation of Catalan numbers using the Féaux formula
本研究利用Féaux的Gamma函数对数积分表示，推导出Catalan数的一种新积分表达式，该式可为中心二项式系数、Catalan数相关新恒等式的推导提供基础。
2024-10-31 math.CO
A simple combinatorial proof of Shapiro's Catalan convolution
夏皮罗证明了一个优雅的卷积公式，涉及Catalan数的偶数指数。本文给出了该公式的一个简单的组合证明。此外，我们还证明了它与中心二项式系数的交替卷积公式是等价的。
2012-04-26 math.CO
Catalan-like numbers and Stieltjes moment sequences
给出了Catalan-like数是Stieltjes矩序列的充分条件.作为应用，我们证明了Bell数、Catalan数、中心二项式系数、中心Delannoy数、阶乘数、大小Schröder数等许多著名的计数系数都是Stieltjes矩序列.
2015-06-24 math.CO
Logarithms of a binomial series: A Stirling number approach
使用斯特林循环数计算加泰罗尼亚生成函数的对数的$p$次幂。代替斯特林数，人们可以用高阶调和数来写这个生成函数。
2018-12-31 math.CO
Some congruences for the second-order Catalan numbers
设p为任意奇素数。主要证明了$$\sum_{k=1}^{p-1}binomial(3k,k)*2^k/k=0 (mod p)$$和$$\sum_{k=1}^{p-1}2^{k-1}C_k^{(2)}=(-1)^{(p-1)/2}-1 (mod p),$$，其中$C_k^{(2)}=binomial(3k,k)/(2k+1)$是$k$阶Catalan数.
2009-09-27 math.CO math.NT
Yet another way of calculating moments of the Kesten's distribution and its consequences for Catalan numbers and Catalan triangles
我们计算所谓的凯斯滕分布的矩通过该分布的密度的分母的扩展，然后集成所有的被加数相对于的循环分布。通过比较这个表达式与其他方法得到的Kesten分布的矩公式，我们发现了涉及多项式的恒等式，其幂系数与Catalan数、Catalan三角形、二项式系数密切相关.最后，作为这些恒等式的应用，我们得到了上述数之间的各种有趣的关系，也涉及卢卡斯数、斐波那契数和精细数。
2022-03-09 math.CO
(k,m)-Catalan Numbers and Hook Length Polynomials for Plane Trees
由A.在Postnikov有关二叉树的基础上，我们定义了m元树和平面森林的钩长多项式，并证明了这些多项式有一个简单的二项式表达式。这个表达式的整数值是C_{k,m}（n）= \frac{1}{mn+1}{(mn+1)k \choose n}，我们称之为（k，m）-Catalan数。为了证明钩长公式，我们还引入了一个组合族，（k，m）-ary树，这是计数的（k，m）-Catalan数。
2005-09-14 math.CO
Catalan-like numbers and Hausdorff moment sequences
本文证明了许多著名的计数系数，包括Catalan数，Motzkin数，中心二项式系数，中心Delannoy数都是Hausdorff矩序列.特别是我们回答了梁等人的一个猜想。这些数字有独特的代表措施。明确地找到了包含表示测度支集的最小区间，并考虑了Catalan-like数的子序列。本文给出了一个连续模式的充要条件：如果序列是Stieltjes Catalan-like数，则它们的连续是Stieltjes Catalan-like数.此外，研究了连续Catalan-like数的线性组合的表示测度。
2018-09-20 math.CO
Generalized compositions with a fixed number of parts
研究了当每个自然数都有几种类型时，由固定个数的部分构成的正整数的合成。这些组合产生新的关系之间的二项式系数，加泰罗尼亚数，和加泰罗尼亚三角形的数字。
2010-12-17 math.CO
Binomial Transforms and the Binomial Convolution of Sequences
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛瓦大学）
本文研究了二项式变换与序列的二项式卷积之间的关系，推导了涉及多种数列的新恒等式，并提出构造新二项式变换对的方法。
2025-12-19 math.CO
Binomial coefficients, Catalan numbers and Lucas quotients
设$p$是奇素数，$a,m$是具有$a>0$和$m \not\equiv0\pmod p$的整数.在本文中，我们确定$d=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$ mod $p^2$;例如，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\frac{\binom{2k}k}{m^k}\equiv\left(\frac{m^2-4m}{p^a}\right)+\left(\frac{m^2-4m}{p^{a-1}}\right)u_{p-(\frac{m^2-4m}{p})}\pmod{p^2},$$，其中$(-)$是Jacobi符号，$\{u_n\}_{n\geqslant0}$是由$u_0=0$，$u_1=1$和$u_{n+1}=(m-2)u_n-u_{n-1}$给出的Lucas序列，用于$n=1,2,3,\ldots$。作为一个应用，我们确定了对任意整数$r$的$\sum_{0<k<p^a,\, k\equiv r\pmod{p-1}}C_k$模$p^2$，其中$C_k$表示Catalan数$\binom{2k}k/(k+1)$。我们还提出了一些相关的建议。
2016-02-15 math.CO math.NT
On Powers of the Catalan Number Sequence
卡塔兰数列是组合数学中最著名的数列之一，在文献中得到了很好的研究。本文进一步研究了它与矩问题有关的基本性质，并首次证明了它是一个在S-意义下的无穷可分Stieltjes矩序列。G. Tyan.此外，该序列的任何正实幂仍是Stieltjes确定序列。还研究了中心二项式系数序列（与Catalan序列有关）、双阶乘数列和广义Catalan（或Fuss-Catalan）数列等情形。最后，我们给出了非负随机变量的幂与其矩序列的幂之间的决定性等价性的两个证明，并得到了已有结果的支持。
2018-06-29 math.CO
On a New Alternating Convolution Formula for the Super Catalan Numbers
我们提出了一个新的交替卷积公式的超Catalan数，这是作为两个已知的二项式恒等式的推广。我们证明了这个公式的推广使用辅助和，递归关系，归纳。利用一种新的方法证明了一个关于超Catalan数的有趣整除性结果。
2021-10-10 math.CO math.NT
An integral representation of Catalan numbers using Malmstén's formula
本文基于Malmstén对Gamma函数对数的定积分表示，提出了Catalan数的积分表达式，该表达式有望产生涉及Catalan数或中心二项式系数的新求和。
2024-10-11 math.CO math.NT
Some remarks about q-Chebyshev polynomials and q-Catalan numbers and related results
第一类卢卡斯多项式和切比雪夫多项式的矩是中心二项式系数的（倍数），第二类斐波那契多项式和切比雪夫多项式的矩是卡塔兰数。在这篇综述论文中，我们提出了一些推广这些结果连同各种q-类似物。
2013-12-10 math.CA math.CO
Computationally Efficient Bounds for the Sum of Catalan Numbers
容易计算的下限和上界的加泰罗尼亚数的总和。下界被证明是严格的比上界，这是以前被宣布为只是一个渐近。这些边界的平均值被证明也是一个上界，经验表明，该平均值是优于前一个上界的一个因素大于（9/2）。
2016-03-19 math.CO
Rational parking functions and Catalan numbers
经典的停车函数，以Cayley数（n+1）^（n-1）计数，带有对称群S_n的自然置换表示，其中轨道数是第n个Catalan数。在本文中，我们将这种设置推广到有理停车功能的一对（a，b）互质正整数。我们证明了这些由b^（a-1）计数的停泊函数携带S_a的一个置换表示，其中轨道数是一个有理Catalan数。计算了（a，b）-parking函数的S_a-模的Frobenius特征。接下来，我们提出了一个组合公式的q-模拟的合理卡塔兰数，并将此公式的q-二项式系数的一个新的组合模型。最后，我们讨论了有理Catalan数和停车函数的q，t-类似物（推广了经典情况下的shuffle猜想），并提出了几个示意图。
2014-03-07 math.CO
Double sums associated with binomial transforms
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛沃大学）；University of the National Education Commission, Krakow（克拉科夫国家教育委员会大学）
本文针对内层为不完整二项式和的二重和展开研究，证明其与二项式变换对相关的新结果，推导了多类特殊数、多项式族相关的二重和恒等式及含双曲函数的新二重和。
2025-11-17 math.CO
Various congruences involving binomial coefficients and higher-order Catalan numbers
设$p$是素数，$a$是正整数。本文研究了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[(h+1)k,k+d]/m^k$模一个素数$p$，其中$d$和$m$是整数，且$-h<d<=p^a$和$m\not=0 (mod p)$ .我们还研究了涉及高阶Catalan数$C_k^{(h)}=\binom[(h+1)k,k]/(hk+1)$和$\bar C_k^{(h)}=\binomal[(h+1)k,k]*h/(k+1)$的同余。我们的工具包括线性递归和三次剩余理论。文中给出了一些典型结果。(i)如果$p^a=1 (mod 6)$则$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[3k,k]/6^k=2^{(p^a-1)/3}-1 (mod p).$$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom[3k,k]/7^k=\cases-2&if p^a=\pm2 (mod 7), \\1&otherwise.$$（ii）我们有$$\sum_{k=1}^{p^a-1}\binom[4k,k]/5^k=\cases1 (mod p) if p\not=11 and p^a=1 (mod 5), \1/11 (mod p)&if p^a=2,3 (mod 5), \9/11 (mod p) if p^a=4 (mod 5). $$也，$$\sum_{k=0}^{p^a-1}C…
2009-09-28 math.CO math.NT
Catalan numbers, Hankel determinants and Fibonacci polynomials
这（部分暂时）文件起源于研究汉克尔决定因素的卷积权力的Catalan数和Narayana多项式。这导致了一些汉克尔行列式签署加泰罗尼亚数的价值是倍数的斐波那契数和一些汉克尔行列式签署中央二项式系数的价值是倍数的卢卡斯数。大多数证明是计算，但我们也包括一个组合由于基督教Krattenthaler。最后，我们制定了一些建议。
2018-04-08 math.CA math.CO
On some new congruences for binomial coefficients
本文建立了中心二项式系数和Catalan数的新同余式。设$p$是素数，$a$是任意正整数。我们确定了$d=0,...,p^a$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ mod $p^2$和$δ=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+δ}$ mod $p^3$。我们还表明，$$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$对每个n= 0，1，2，.，其中$C_m$是加泰罗尼亚数字$\binom{2m}{m}/(m+1)$，（-）是勒让德符号。
2011-06-02 math.CO math.NT
Some nice Hankel determinants
本文研究了一类序列的Hankel行列式，这类序列可以被解释为Catalan数和中心二项式系数的推广。它们遵循频繁出现零的模模式，因此正交多项式理论不适用。即使如此，我们的定理和图也显示出与Catalan数与Fibonacci多项式或中心二项式系数与Lucas多项式之间关系的某些相似性.
2011-10-06 math.CO math.HO
On Series Involving Cubed Catalan Numbers
Obafemi Awolowo University（奥巴费米·阿沃洛沃大学）
本文利用广义二项式系数恒等式和Dougall的结果，推导出涉及卡特兰数立方的级数家族，并建立包含四次方卡特兰数的级数家族，还推广了Bauer级数用于1/π，并得到一些Ramanujan-like级数用于1/π²和1/π³。
2026-04-01 math.CO math.NT
On divisibility concerning binomial coefficients
设k和n为正整数。主要证明了$$(ln+1) | k\binom{kn+ln}{kn},$$ $$2\binom{kn}n | \binom {2n}{n}C_{2n}^{(k-1)}$$，$$\binom{kn}n | (2k-1)C_n\binom{2kn}{2n},$$ $$\binom{2n}n | (k+1)C_n^{(k-1)}\binom{2kn}{kn},$$ $$2^{k-1}\binom{2n}{n} | \binom{2(2^k-1)n}{(2^k-1)n}C_n^{(2^k-2)},$$ $$(6n+1)\binom{5n}{n} | \binom{3n-1}{n-1}C_{3n}^{(4)},$$和$$\binom{3n}{n} | \binom{5n-1}{n-1}C_{5n}^{(2)},$$，其中C_n表示Catalan数$\binom{2n}{n}/(n+1)$，C_m^{（h）}表示h阶Catalan数$\binom{(h+1)m}{m}/(hm+1)$.
2010-05-31 math.CO math.NT
Canonical characters on quasi-symmetric functions and bivariate Catalan numbers
分次连通霍普夫代数上的每一个特征标都唯一地分解为一个偶特征标和一个奇特征标的乘积（Aguiar，Bergeron，and Sottile，math.CO/0310016）。给出了拟对称函数的霍普夫代数的泛特征标的奇偶部分的显式表达式。它们可以描述在勒让德的β函数评价在半整数，或在二元Catalan数：$$ C(m,n)=\frac{(2m)!(2n)!}{m!(m+n)!n!}. $$性质的字符和准对称函数，然后用来推导出几个有趣的身份之间的二元Catalan数，特别是在Catalan数和中央二项式系数。
2004-08-04 math.CO math.QA
Pattern avoidance in "flattened" partitions
使一个集合划分变平（向Mathematica道歉）意味着通过擦除块之间的分隔符来形成一个排列。当然，结果取决于如何列出块。对于通常的列表--每个块中的条目不断增加，并且块按照其第一个条目的递增顺序排列--我们计算[n]的分区，这些分区的扁平化避免了单个3个字母的模式。出现五个计数序列：零序列，2的幂，斐波那契数，卡塔兰数，卡塔兰数的二项式变换。
2008-02-15 math.CO
Congruences Related to Dual Sequences and Catalan Numbers
在研究对偶序列的过程中，Sun引入了多项式\[ D_n(x,y)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}{x\choose k}y^k\text{ and } S_n(x,y)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{x}{k}\binom{-1-x}{k} y^k. \]，并建立和证明了许多相关的同余式。在这里，我们通过确定\[ \sum_{k=0}^{p-1}D_k(x_1,y_1)D_k(x_2,y_2)\pmod p \text{ and } \sum_{k=0}^{p-1}S_k(x_1,y_1)S_k(x_2,y_2)\pmod p \]对任何奇素数$p$和$p$-adic整数$x_i,\ y_i$与$i\in\{1,2\}$ .考虑到二项式系数和Catalan数之间的直接联系，我们还刻画了\[ \sum_{n=0}^{p-1}\left(\sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{C_k}{a^k}\right)^2 \pmod {p}, \]，其中$C_k$表示$k$第卡塔兰数，$a\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}$和$\gcd(a,p)=1$ .这些证实和概括了孙的一些论点。
2020-10-23 math.CO
Avoiding 2-letter signed patterns
设B_n是超八面体群，即n个字母上所有符号置换的集合，B_n（T）是B_n中避开符号模式集合T的所有符号置换的集合。本文给出了集合B_n（T）的所有基数，其中$T \subseteq B_2$ .这允许我们通过二项式系数、二项式系数、卡塔兰数和斐波那契数的逆来表示这些基数。
2002-07-23 math.CO
On a New Congruence in the Catalan Triangle
本文针对 Catalan 三角形中的数 C(2n,k) 建立新的交错卷积公式，引入 M 和并借助数 T(n,j) 的组合解释，证明该和可被三阶 Fuss-Catalan 数及中心二项式系数整除。
2025-03-06 math.CO
Noncommutative Catalan numbers
引入并研究了$n$生成元中的自由Laurent多项式代数中的非交换Catalan数$C_n$.我们的非交换数承认有趣的（交换和非交换）专业化，其中之一涉及Garsia-Haiman $(q,t)$版本，另一个-求解非交换二次方程。我们还建立了相应的（非交换）Hankel矩阵$H_m$的总正性，并引入了相应的非交换二项式系数。
2019-10-08 math.CO math.QA math.RT
Multiple analogues of binomial coefficients and related families of special numbers
本文构造了几个著名的特殊数族的多重$qt$ -二项式系数及相关的多重模拟。这些多维推广包括第一和第二类$qt$ -Stirling数、$qt$ -Bell数、$qt$ -Bernoulli数、$qt$ -Catalan数和$qt$ -斐波那契数。在发展的过程中，这些扩展的主要属性，我们证明结果是显着的，在自己的权利，如某些概率测度的整数分区。
2010-01-20 math.CO math.NT
Dirichlet series and series with Stirling numbers
给出了狄利克雷级数与第一类Stirling数级数的若干恒等式。作为系数的狄利克雷级数，我们使用柯西数的第一和第二类，超调和数，错位数，二项式系数，中心二项式系数，和卡塔兰数。
2023-01-18 math.CO math.NT
Integral representations of Catalan numbers using Touchard-like identities
本文利用 Touchard 恒等式及其 Callan 变体，结合已知积分表示与二项式定理，构造了 Catalan 数的新积分表示，并指出该方法可推广到其他形式合适的积分表示。
2024-08-02 math.CO math.NT
Analytic and combinatorial approaches to a weighted Catalan sum
CEA（法国原子能和替代能源委员会）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）
本文研究加权Catalan数的卷积，通过解析、组合和概率方法推导出闭式表达式，并探讨其与随机游走返回概率的关系。
2026-04-07 math.CO
An upper bound on binomial coefficients in the de Moivre-Laplace form
我们提出了一个上界的二项式系数，保持在整个参数范围内，其形式重复的形式的对称二项分布的de Moivre-Laplace近似。利用这个界，我们估计了一个给定的布尔函数到bent函数的延拓数，研究了Walsh-Hadamard谱的依赖关系，得到了表示为有界整数平方和的数量限制.
2022-05-14 math.CO
Products and sums divisible by central binomial coefficients
本文主要研究可被中心二项式系数整除的乘积与和。我们证明了2（2n+1）binom（2n，n）|binom（6n，3n）binom（3n，n），其中n= 1，2，3，.此外，对于任何非负整数$k$和$n$，我们有$$\binom {2k}k | \binom{4n+2k+2}{2n+k+1}\binom{2n+k+1}{2k}\binom{2n-k+1}n$$和$$\binom{2k}k | (2n+1)\binom{2n}nC_{n+k}\binom{n+k+1}{2k},$$，其中$C_m$表示加泰罗尼亚数$\binom{2m}m/(m+1)=\binom{2m}m-\binom{2m}{m+1}$。应用这个结果，我们得到两个可被中心二项式系数整除的和。
2010-05-05 math.CO math.NT
Some divisibility properties of binomial and q-binomial coefficients
首先证明了如果$a$有一个素因子不整除$b$，则有无穷多个正整数$n$使得$\binom {an+bn} {an}$不能被$bn+1$整除.这证实了Z. W.太阳此外，我们还给出了二项式系数的一些新的整除性质：例如，我们证明了对所有正整数$n$，$\binom {12n} {3n}$和$\binom {12n} {4n}$都可被$6n-1$整除，以及$\binom {330n} {88n}$可被$66n-1$整除。正如我们所示，后者的结果实际上是后果的整除和积极的结果，$q$ -二项式系数的同数的$q$ -整数，推广的积极的$q$ -Catalan数。并提出了几点相关建议。
2013-10-15 math.CO math.NT
Asymptotic products of binomial and multinomial coefficients revisited
该研究重审二项式与多项式系数的渐近乘积，确定其渐近常数与公式，推导行系数的极限情形，明确常数区间与精确表达式，修正了Hirschhorn的相关结果。
2024-06-20 math.CO math.NT
Proof of two divisibility properties of binomial coefficients conjectured by Z.-W. Sun
对所有正整数n，我们证明了下列整除性质：$$(2n+3){2n\choose n} | 3{6n\choose 3n}{3n\choose n}, and (10n+3){3n\choose n} | 21{15n\choose 5n} {5n\choose n}.$$这证实了Z. W.太阳给出了一些类似的整除性质。此外，我们证明了，对于所有的正整数m和n，产品$am{am+bm-1\choose am}{an+bn\choose an}$是由m+n整除。实际上，后一个结果可以推广到q-二项式系数和q-整数的情形，从而推广了q-Catalan数的正性.我们还提出了几个相关的建议。
2014-01-02 math.CO math.NT
$q$-Super Catalan Numbers: Combinatorial identities, Generating Functions, and Narayana Refinements
本文推导$q$-超级Catalan数的组合恒等式，引入Narayana型细化并证明其$\gamma$-正性及$q$-模拟的$q$-$\gamma$-正性，推广已知恒等式。
2025-05-14 math.CO math.NT
Pascal, Catalan, Motzkin triangles and tensor product multiplicities
Université de Reims Champagne-Ardenne（兰斯香槟-阿登大学）；Laboratoire de mathématiques de Reims, UMR CNRS 9008（兰斯数学实验室，CNRS联合研究单位9008）
本文通过表示论探讨了帕斯卡、卡塔兰和莫茨金三角及其一般化，揭示其通过初始条件由帕斯卡法则生成，并讨论了张量积多重性及平方和现象。
2026-03-19 math.CO math.RT
Some elementary observations on Narayana polynomials and related topics II: q-Narayana polynomials
证明了q-Catalan数、q-中心二项式系数和q- Narayana多项式是Fibonacci多项式和Lucas多项式及其相关多项式的q-模拟的矩。
2016-11-30 math.CA math.CO
Touchard's identity and a detailed determination of the radius of convergence of the Catalan series
CEA, DAM, DIF（法国原子能委员会）；Université Paris-Saclay, CEA, Laboratoire Matière en Conditions Extrêmes（巴黎萨克雷大学）
本文通过触德递推关系证明了卡特兰级数收敛半径为1/4，并结合经典下界得出精确结果。
2026-02-16 math.CO math.NT
On a divisor of the central binomial coefficient
众所周知，对于所有$n\geq1$，数字$n+ 1$是中心二项式系数${2n\choose n}$的约数。由于$n$第n个中心二项式系数等于从$(0,0)$到$(n,n)$向北或向东单位步长的格路径的数量，因此自然的问题是是否存在将这些路径划分成$n+ 1$路径集合或$n+1$等数量路径集合的方法。Chung-Feller定理对这个问题给出了一个优雅的答案。我们提出并提供了一个类似的问题的答案$2n-1$，另一个因子的${2n\choose n}$。然后，我们表明我们的主要结果如下从一个更一般的观察二项式系数${n\choose k}$与$n$和$k$相对素数。讨论的情况下，$n$和$k$不是相对的素数也给出了，突出我们的方法的局限性。最后，我们来完整的循环，并给出一个新的解释加泰罗尼亚数字。
2021-04-09 math.CO math.NT
Rectangular Symmetry for Catalan Functions
Department of Mathematics and Institute of Basic Science Sungkyunkwan University（成均馆大学数学系与基础科学研究院）
该研究针对卡塔兰函数的舒尔系数，通过证明表对合的性质，给出了其矩形对称性的双射证明。
2026-10-16 math.CO math.RT
Factors of sums involving $q$-binomial coefficients and powers of $q$-integers
证明了对所有正整数$n_1, \ldots, n_m$，$n_{m+1}=n_1$，以及任何非负整数$j$和$r$与$j\leqslant m$，表达式$$ \frac{1}{[n_1]}{n_1+n_{m}\brack n_1}^{-1} \sum_{k=1}^{n_1}[2k][k]^{2r}q^{jk^2-(r+1)k}\prod_{i=1}^{m} {n_i+n_{i+1}\brack n_i+k} $$是$q$中的Laurent多项式，其中$[n]=1+q+\cdots+q^{n-1}$和${n\brack k}=\prod_{i=1}^k(1-q^{n-i+1})/(1-q^i)$为整数.这给出了第一作者和曾文在Catalan三角形上得到的一个整除性结果的$q$ -模拟，同时也证实了第一作者和曾文的一个猜想。我们还提出了几个相关的建议。
2017-07-31 math.CO math.NT
Catalan Semirings
Institute of Natural Sciences and Mathematics, Ural Federal University（乌拉尔联邦大学自然科学与数学研究所）
本文提出了一种新的布尔矩阵表示方法，用于表示Catalan半环中的顺序保持递减变换。
2026-11-03 math.CO math.GR math.RA
$q,t$-Catalan numbers and generators for the radical ideal defining the diagonal locus of $(\C^2)^n$
令$I$是由两组$n$变量中的交替多项式生成的理想。Haiman证明了$q,t$-Catalan数是分次向量空间$M(=\bigoplus_{d_1,d_2}M_{d_1,d_2})$的生成元的极小集所张成的Hilbert级数。本文给出了$\text{dim}M_{d_1, d_2}$的一个简单的关于划分数的上界，并找到了所有的二度$(d_1,d_2)$使得$\dim M_{d_1, d_2}$达到上界.对于这样的双度，我们也发现明确的基地$M_{d_1, d_2}$。主要思想是定义和研究从$M$到多项式环$\C[ρ_1, ρ_2,...]$的非平凡线性映射。
2009-09-09 math.AC math.CO
The sequence of higher order Mersenne numbers and associated binomial transforms
本文提出高阶 Mersenne 整数序列，系统推导其 Binet 公式、恒等式、生成函数、求和关系及矩阵表示，并研究其二项式变换序列。
2023-07-16 cs.DM math.CO math.NT
