$2$-distance, injective, and exact square list-coloring of planar graphs with maximum degree 4
在过去，各种基于距离的染色可平面图被介绍。我们把我们的重点放在其中的三个，即$2$ -距离着色，内射着色和确切的平方着色。$2$ -距离着色是顶点的真着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色;内射着色是顶点的着色，其中具有共同邻居的两个顶点不接收相同的颜色;精确正方形着色是顶点的着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色。证明了最大度为$Δ= 4$且围长至少为$4$的可平面图是$2$ -距离列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和注入列表$(Δ+ 5)$ -可着色图.此外，我们还证明了具有$Δ= 4$的可平面图是单射列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和精确正方形列表$(Δ+ 6)$ -可着色图.
2022-05-16 math.CO
Frugal coloring in planar graphs with maximum degree 4 and 5
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；University of West Bohemia（西波希米亚大学）
该研究针对最大度为4和5的平面图，证明其2-节俭着色分别可使用7种和10种颜色，是Wegner猜想的部分变体结果。
2026-10-12 math.CO
On 2-distance 16-coloring of planar graphs with maximum degree at most five
针对最大度不超过5的平面图的2-距离染色问题，证明其可进行2-距离16染色，改进了Hou等人2023年的相关研究结果。
2023-11-23 math.CO
On Wegner's 8-Coloring Theorem for Planar Graphs of Maximum Degree Three
该研究简化了Wegner猜想特殊情况（最大度≤3的平面图可8色距离2着色）的证明，重点简化了原证明中移除5-环这一技术难点部分。
2025-11-12 math.CO
Maximizing $H$-colorings of connected graphs with fixed minimum degree
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$G$的顶点到$H$的顶点的保持边邻接的映射。考虑如下极值计数问题：对于给定的$H$，哪个连接$n$ -顶点图的最小度$δ$最大化$H$ -着色数？我们证明了对于非正则$H$和足够大的$n$，完全二部图$K_{δ,n-δ}$是唯一的最大化器。作为推论，对于非正则$H$和足够大的$n$，图$K_{k,n-k}$是唯一的$k$ -连通图，它使得所有$k$ -连通图中$H$ -着色的个数最大化.最后，我们表明，这一结论并不适用于所有定期$H$展示一个连接的$n$顶点图与最低程度$δ$有更多的$K_{q}$染色（足够大的$q$和$n$）比$K_{δ,n-δ}$。
2016-10-20 math.CO
2-distance 20-coloring of planar graphs with maximum degree 6
本文证明最大度至多6的平面图具有2-距离20染色，将已知上界从21改进至20。
2024-06-25 math.CO
Improved 2-Distance Coloring of Planar Graphs with Maximum Degree 5
本文研究了平面图的2-距离染色问题，证明了最大度不超过5的平面图的2-距离色数上界可由18改进至17。
2023-07-31 math.CO
Injective edge-coloring of graphs with given maximum degree
一个图$G$的边的着色是内射的，如果对于任意两条不同的边$e_1$和$e_2$，如果它们在距离$1$处在$G$中或在一个公共三角形中，则$e_1$和$e_2$的颜色是不同的.自然地，$G$的内射色指数$χ'_{inj}(G)$是$G$的内射边着色所需的最小颜色数。研究了当对$G$的围长和色数有限制时，$G$的内射色指数根据$G$的最大度可以达到多大.我们还比较了我们的边界与类似的强色指数的边界。
2021-04-23 math.CO
List strong edge-coloring of graphs with maximum degree 4
图$G$的强边染色是使得长度为3的路上的任意两条边接收不同颜色的边染色。我们用$χ_{s}'(G)$表示强色指数，它是允许$G$强边着色的最小颜色数。1985年Erdens和Nešetzil证明了$χ_{s}'(G)$的上界是$\frac{5}{4}Δ^{2}$，当$Δ$是偶数时，$Δ$是奇数时，$\frac{1}{4}(5Δ^{2}-2Δ+1)$是$\frac{1}{4}(5Δ^{2}-2Δ+1)$，其中$Δ$是$G$的最大次数。当$Δ\leq3$ .由于Cranston之前的研究，$Δ=4$最著名的上界是22。本文将Cranston的结果推广到列表强边染色，即证明了当$Δ=4$时，列表强边染色指数的上界为22。
2018-01-21 math.CO
Equitable Colorings of Planar Graphs without Short Cycles
图的\emph{equitable coloring}是图的一个正常顶点染色，使得每两个色类的大小相差至多1。Chen，Lih，and Wu证明了每个连通图$G$具有最大度$Δ\geq 2$都具有与$Δ$颜色相等的着色，除非$G$是完全图或奇圈或$Δ$是奇的，并且$G=K_{Δ,Δ}.$ Nakprasit证明了该猜想对最大度至少为9的可平面图成立。Zhu和Bu证明了对于每个最大度至少为8的无$C_3$的平面图和对于每个最大度至少为7的无$C_4$和$C_5$的平面图，该猜想成立.本文证明了该猜想对各种情况下的可平面图都成立，特别是对最大度至少为6的无$C_3$的平面图和最大度至少为7的无$C_4$的平面图都成立，改进或推广了朱和卜关于均匀着色的结果.此外，我们还证明了对于围长至少为6且最大度至少为5的平面图，该猜想成立。
2012-03-02 math.CO
On edge-colorings of bicubic planar graphs
在第一部分中，我们引入了双三次平面图的边染色度的概念，并证明了染色分次数的一些局部公式。在第二部分中，我们给出了Fisk关于平面双三次图的任意两个边3-染色是Kempe等价的一个结果的新证明。此外，我们表明，着色的程度表现良好的Kempe等价。
2013-12-02 math.CO
Total coloring graphs with large minimum degree
证明最小度至少为(1+ε)n/2的大图满足全染色猜想，即全色数不超过最大度加2。
2025-07-08 math.CO
Some Results on Cyclic Interval Edge Colorings of Graphs
如果图$G$的每个顶点$v$的与$v$关联的边都被连续的颜色着色，且颜色$1$与颜色$t$是连续的，则称图$G$的一个正常边着色为\emph{cyclic interval $t$-coloring}.证明了具有偶最大度$Δ(G)\geq 4$的二部图$G$允许循环区间$Δ(G)$ -染色，如果对每个顶点$v$，度$d_G(v)$满足$d_G(v)\geq Δ(G)-2$或$d_G(v)\leq 2$ .我们还证明了每一个最大度至多为$8$的欧拉二部图$G$都有循环区间染色。对于$(a,b)$ -双正则图，即一部分顶点的度均为$a$，另一部分顶点的度均为$b$的二部图，得到了一些结果，并证明了它们都有循环区间着色.我们证明了所有的$(4,7)$ -双正则图以及所有的$(2r-2,2r)$ -双正则（$r\geq 2$）图都有循环区间着色。最后，我们证明了所有完全多部图承认循环区间着色，这解决了肯定的，一个猜想的Petrosyan和Mkhitaryan。
2017-03-29 math.CO
Majority additive coloring and the maximum degree
TU Bergakademie Freiberg（弗莱贝格工业大学）；Ulm University（乌尔姆大学）
研究了图的多数加性着色问题，证明了最大度Δ的图存在O(Δ²)的多数加性着色，并指出该问题的NP难性。
2025-11-24 math.CO
Strong edge coloring of graphs with maximum degree $6$
Augustana College（奥古斯塔纳学院）
本文证明最大度不超过6的图的强色指数至多为57，改进了已知上界60。
2026-09-29 math.CO
Improved square coloring of planar graphs
正方形着色是图着色的一种变体，其中距离为2的顶点必须接收不同的颜色。当考虑可平面图时，最著名的猜想（Wegner，1977）指出，$\frac32Δ+1$颜色足以使每个最大度的平面图$Δ$平方着色。这个猜想已被证明是渐近图与大的最大程度。我们认为这里的可平面图与小的最大程度，并表明$2Δ+7$颜色是足够的，这提高了最好的已知的界限时，$6\leqslant Δ\leqslant 31$。
2021-12-23 math.CO
Acyclic Edge Coloring of Graphs with Maximum Degree 4
图的$acyclic$边染色是指不存在双色圈的正常边染色。图的\emph{acyclic chromatic index}是使得存在使用k种颜色的非循环边染色的最小数k，并且用$a'(G)$表示。Alon，Sudakov和Zaks证明了对任意简单有限图$G$，有$a'(G)\le Δ+2$，其中$Δ=Δ(G)$表示$G$的最大度.本文证明了具有$Δ(G) \le 4$的连通图的猜想，并附加了一个限制条件，即$m \le 2n-1$，其中$n$是$G $中的顶点数，$m$是边数.请注意，对于任何图形$G$，$m \le 2n$，当$Δ(G) \le 4$。因此，对于任何图$G$，如果$Δ(G) \le 4$，则$a'(G) \le 7$。
2008-01-11 math.CO
List strong edge coloring of some classes of graphs
图的{ \em强边染色}是图的正常边染色，其中每个色类都是诱导匹配。图的{ \em强色数}是图的强边染色所需的最少颜色数。以类似的方式，我们可以定义列表形式的强边染色和列表形式的强色指数。本文证明了：如果$G$是一个最大度至多为4且最大平均度小于$3$的图，则其列表强色指数至多为$3Δ+ 1$，其中$Δ$是$G$的最大度.另外，我们证明了如果$G$是一个可平面图，其最大度至少为$4$，围长至少为$7$，则列表强色指数至多为$3Δ$ .
2017-04-14 math.CO
Partitioning and coloring with degree constraints
证明了如果$G$是一个点临界图，且对某些$p \in \mathbb{N}$和$ω(\fancy{H}(G)) \leq \frac{χ(G) + 1}{p + 1} - 2$有$χ(G) \geq Δ(G) + 1 - p \geq 4$，则有$G = K_{χ(G)}$或$G = O_5$ .这里$\fancy{H}(G)$是$G$在度至少为$χ(G)$的顶点上导出的子图。这简化和改进了Kostochka，Rabern和Stiebitz \cite{krs_one}的论文中的结果。
2012-09-17 math.CO
Total-coloring of planar graphs with maximum degree 6 and without prescribed 4-cycles
Guangzhou University（广州大学）；Peking University（北京大学）
本文改进了平面图全染色结果，证明最大度为6且不含某些特殊4环的平面图是7-全可染的，推进了全染色猜想在平面图上的研究。
2026-09-18 math.CO
Between proper and square colorings of planar graphs with maximum degree at most four
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究平面图最大度数不超过四的着色问题，证明了该类图可被(1,2^10)和(1^2,2^7)着色，为Wegner猜想提供新进展。
2026-04-01 math.CO
A polynomial time algorithm to find star chromatic index on bounded treewidth graphs with given maximum degree
本文针对给定最大度的有界树宽图，证明了星边着色问题（已知NP完全）可在多项式时间内求解，并给出了相应算法。
2024-02-07 math.CO
Majority Edge-Colorings of Graphs
本文提出了图$G$的多数$k$ -边染色的概念，它是$G$的边染色与$k$颜色，使得对于$G$的每个顶点$u$，与$u$关联的$G$的至多一半边具有相同的颜色.我们证明了最好的可能结果：最小度至少为$2$的图都有多数$4$ -边染色，最小度至少为$4$的图都有多数$3$ -边染色.此外，我们还讨论了多数边着色的一个自然变分以及一些相关的公开问题。
2022-05-23 math.CO
A Strong Edge-Coloring of Graphs with Maximum Degree 4 Using 22 Colors
1985年，Erdens和Neumetril证明了当$Δ$为偶数时，图的强边色数由${5/4}Δ^2$上有界，当$Δ$为奇数时，强边色数由${1/4}(5Δ^2-2Δ+1)$上有界.他们给出了一个简单的结构，需要这么多的颜色。对$Δ\leq 3$进行了验证。对于$Δ=4$，限制界限为20。以前，最著名的上界是23，这是由于Horak。在本文中，我们给出了一个算法，使用最多22种颜色。
2006-01-25 math.CO
Maximum average degree and relaxed coloring
如果$V(G)$可划分为$b$独立集$O_1,O_2,\ldots,O_b$和$a$集$D_1, D_2,\ldots, D_a$，且$D_1, D_2,\ldots, D_a$的导出图的最大度至多为$d$，则称一个图是$(d, d, \ldots, d, 0, \ldots, 0)$的$a$和$0$的$b$的$(d, d, \ldots, d, 0, \ldots, 0)$ -可着色图.图$G$的最大平均度$mad(G)$是$G$的所有子图的最大平均度。对非负整数$a, b$，证明了若$mad(G)< \frac{4}{3}a + b$，则$G$是$(1_1, 1_2, \ldots, 1_a, 0_1, \ldots, 0_b)$ -可着色的.
2018-06-19 math.CO
DP-Degree Colorable Hypergraphs
为了解决可平面图的列表着色问题，Dvopiák和Postle引入了DP-着色的概念，从而推广了列表着色的概念。Bernshteyn、Kostochka和Pron对图和重图的DP-染色进行了详细的分析;他们刻画了DP-度可染色重图，并由此导出了一个Brooks型结果。相应的“坏”封面的特征后来由Kim和Ozeki给出。本文将DP-染色的概念推广到具有多重边的超图。我们刻画了DP-度可着色超图，并进一步刻画了相应的“坏”覆盖。这给出了超图的DP-色数的Brooks型结果.在第四部分中，我们研究了DP-临界图，并建立了关于其结构的一些基本事实以及关于最小边数的Gallai型界。
2019-06-20 math.CO
On the cyclic coloring conjecture
平面图$G$的循环着色是指平面图的顶点的着色，使得与同一面关联的顶点具有不同的颜色。平面图$G$的循环染色的最小颜色数是它的循环色数$χ_c(G)$。设$Δ^*(G)$是图$G$的最大面度。证明了Borodin在1984年提出的循环着色猜想，即每个连通平面图$G$都有$χ_c(G) \leq \lfloor \frac{3}{2}Δ^*(G)\rfloor$，对于简单$3$ -连通平面图的剖分，证明了这一猜想.我们已经发现了四个新的不同的上界$χ_c(G)$的图$G$从这个限制家庭，其中三个界限是紧的。作为推论，我们证明了该猜想对平面三角剖分、简单$3$ -连通平面四边形剖分和具有偶数最大面度的简单$3$ -连通平面五角剖分成立，对最大度至少为10的简单$3$ -连通平面图的正则剖分成立，对于简单$3$ -连通平面图的最大面度与其最长路的顶点数相比足够大的图的剖分，本文给出了一个新的证明.
2020-09-22 math.CO
Equitable Coloring of Graphs with Intermediate Maximum Degree
如果图$G$的顶点都用$k$颜色着色，使得没有邻顶点接收相同的颜色，并且任何两个颜色类的大小相差至多一个，则称$G$是公平$k$可着色的。令$|G|$表示$G$的顶点数，$Δ=Δ(G)$表示$G$中顶点的最大度。证明了阶数至少为6的图$G$是公平$Δ$ -可着色的，如果$G$满足$(|G|+1)/3 \leq Δ< |G|/2$且它的任何分支都不是$K_{Δ+1}$ .
2014-08-26 math.CO
Injective edge-coloring of graphs with small maximum degree
本文证明最大度不超过4且平均度小于8/3的图的内射边色数至多为7。
2025-09-11 math.CO
Equitable coloring of planar graphs with maximum degree at least eight
本文证明了Chen-Lih-Wu猜想对最大度至少为8的平面图及最大度至少为9的可嵌入非负欧拉示性数曲面的图成立，扩展了已知结果。
2023-11-10 math.CO
The edge colorings of $K_{5}$-minor free graphs
1965年，Vizing证明了每个具有最大度$Δ\geq 8$的可平面图$G$是边$Δ$ -可着色的.证明了平面图$G$是边$Δ$ -可着色的，并且证明了平面图$G$的最大度为$Δ=7$.本文推广了上述结果，证明了最大度$Δ$至少为7的无$K_5$ -子图是边$Δ$ -可着色的.
2020-02-24 math.CO
Clustered Coloring of Graphs with Bounded Layered Treewidth and Bounded Degree
本文研究有界分层树宽图类的有界聚类着色问题，证明分层树宽至多k、最大度至多Δ的图可3着色且聚类数为O(k^19Δ^37)，给出首个多项式界，改进了已有相关结果。
2022-09-25 math.CO
Strong edge-coloring of sparse graphs with Ore-degree 7 or 8
University of Memphis（孟菲斯大学）
本文通过流方法和Hall定理，证明了Ore度为7或8的稀疏图的强色指数界，改进了之前的结果。
2026-01-27 math.CO
List 3-dynamic coloring of graphs with small maximum average degree
图$G$的$r$ -动态$k$ -染色是一种真$k$ -染色，使得对于任何顶点$v$，$N_G(v)$中至少有$\min\{r,°_G(v) \}$不同的颜色.图$G$的$r$ -动态色数$χ_r^d(G)$是使得存在$G$的$r$ -动态$k$ -染色的最小$k$.图$G$的{ \em列表$r$ -动态色数}记为$ch_r^d(G)$。最近，Loeb等人[UI]证明了平面图的$3$ -动态色数列表至多为10。Cheng等人[Lai-16]研究了具有$χ_3^d (G) \leq 4, \ 5$或$6$的最大平均条件。另一方面，Song等人[SLW]表明，如果$G$是周长至少为6的平面，则任何$r\ge 3$的$χ_r^d(G)\le r+5$。本文利用最大平均度研究了表3-动态染色。我们证明了$ch^d_3(G) \leq 6$如果是$mad(G) < \frac{18}{7}$，$ch^d_3(G) \leq 7$如果是$mad(G) < \frac{14}{5}$，以及$ch^d_3(G) \leq 8$如果是$mad(G) < 3$。所有的边界都很紧。
2017-09-22 math.CO
Coloring squares of planar graphs with small maximum degree
对于图$G$，我们用$χ_2(G)$表示最小整数$k$，使得存在$G$的顶点的$k$ -染色，其中距离至多为2的顶点接收不同的颜色。等价地，$χ_2(G)$是$G$平方的色数。在1977年，Wegner证明了如果$G$是平面的并且有最大次数$Δ$，那么$χ_2(G) \leq 7$是$Δ\leq 3$，$χ_2(G) \leq Δ+5$是$4 \leq Δ\leq 7$，而$\lfloor 3Δ/2 \rfloor +1$是$Δ\geq 8$。尽管广泛的工作，已知的上界是相当远的，特别是对于小值的$Δ$的。在这项工作中，我们表明，对于每一个平面图$G$最大程度$Δ$它认为，$χ_2(G) \leq 3Δ+4$。该结果提供了$6 \leq Δ\leq 14$的最佳已知上限。
2021-05-24 math.CO
Extremal H-colorings of graphs with fixed minimum degree
对于图$G$和$H$，从$G$到$H$的同态，或$G$的$H$ -着色，是从$G$的顶点到$H$的顶点的保持邻接的映射。当$H$是由一个有一个循环的端点的边组成时，$G$的$H$ -着色对应于$G$中的一个独立集。Galvin证明了，对于足够大的$n$，完全二部图$K_{δ,n-δ}$是具有最小度$δ$的$n$ -顶点图，它具有最大数目的独立集。在本文中，我们开始的项目推广这一结果任意$H$。写作$\hom(G,H)$的$H$ -着色的$G$的数量，我们表明，对于固定的$H$和$δ= 1$或$δ= 2$，\[ \hom(G,H) \leq \max \{\hom(K_{δ+1},H)^{\frac{n}{δ+1}}, \hom(K_{δ,δ},H)^{\frac{n}{2δ}}, \hom(K_{δ,n-δ},H)\} \]为任何$n$ -顶点$G$与最小程度$δ$（足够大的$n$）。我们还提供了通过$\hom(K_{δ+1},H)^{\frac{n}{δ+1}}$实现最大值的$H$和通过$\hom(K_{δ,δ},H)^{\frac{n}{2δ}}$实现最大值的其他$H$的示例。对于$δ\geq 3$（和足够大的$n$），我们提供了一个无限族的$H$，其中$\hom(G,H) \leq \hom(K_{δ,n-δ},H)$对于任何$n$ -顶点$G$具有最小度$δ$。所得结果推广…
2016-10-20 math.CO
Square Coloring of Planar Graphs with Maximum Degree at Most Five
本文研究了最大度至多为5的平面图的平方染色问题，证明了其平方图可用至多17种颜色正常顶点染色，改进了此前18种颜色的上界。
2023-08-13 math.CO
Strong edge-colorings of sparse graphs with large maximum degree
图$G$的{ \em强$k$ -边着色}是从$E(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得每两个相邻边或与同一条边相邻的两个边接收不同的颜色。图$G$的{ \em强色指数} $χ_s'(G)$是使得$G$允许强$k$ -边染色的最小整数。我们给出了图$G$的最大度$Δ(G)$对$χ_s'(G)$的界。当$G$稀疏时，即当$G$是$2$ -退化时或者当最大平均度${\rm Mad}(G)$小时。证明了每个$2$ -退化图$G$的强色指数至多为$5Δ(G) +1$ .此外，我们表明，对于图$G$，如果${\rm Mad}(G)< 8/3$和$Δ(G)\geq 9$，那么$χ_s'(G)\leq 3Δ(G) -3$（绑定$3Δ(G) -3$是尖锐的），如果${\rm Mad}(G)<3$和$Δ(G)\geq 7$，那么$χ_s'(G)\leq 3Δ(G)$（限制${\rm Mad}(G)<3$是尖锐的）。
2018-01-22 math.CO
Strong edge-coloring of 2-degenerate graphs
图$G$的强边染色是指每个色类都是诱导匹配的边染色，强色指数$χ_s'(G)$是$G$的强边染色所需的最少颜色数.一个图是$2$ -退化的，如果每个子图的最小度至多为$2$ . Choi，Kim，Kostochka，and Raspaud（2016）证明了$χ_s'(G) \leq 5Δ+1$，如果$G$是具有最大度$Δ$的$2$ -退化图。在本文中，我们将其改进为$χ_s'(G)\le 5Δ-Δ^{1/2-ε}+2$时，$Δ>4^{1/(2ε)}$的任何$0<ε<1/2$。
2023-01-30 math.CO
The Strong Chromatic Index of graphs with maximum degree $Δ$
图$G$的强边染色是使得距离至多为2的两条边不具有相同颜色的边染色。强色指数$χ'_s(G)$是$G$的强边染色中的最小颜色数。P. ErdŸ和J. Nešetřil在1985年推测，当$Δ$为偶数时，$χ'_s(G)$上界为$\frac54Δ^2$，当$Δ$为奇数时，上界为$\frac14(5Δ^2-2Δ+1)$，其中$Δ$是$G$的最大次数。本文对围长至少为$5$的图给出了一个最多使用$2Δ^2-3Δ+2$颜色的算法。特别地，我们证明了任何具有最大度$Δ=5$的图都具有带有$37$颜色的强边染色。
2015-10-03 math.CO
Majority Colorings of Sparse Digraphs
有向图的多数染色是指每一个顶点与其外邻顶点颜色相同的顶点染色。Kreutzer，Oum，Seymour，van der Zypen和Wood证明了每个有向图都有多数4-染色，并证明了每个有向图都允许多数3-染色。我们对色数不超过6或二色数不超过3的有向图验证了这个猜想。对于列表染色，我们得到了类似的结果：我们证明了列表色数不超过6或列表色数不超过3的有向图是多数3-可选的。我们证明了最大出度不超过4或最大出度不超过7的有向图是多数3-可选图。在得到这些结果的过程中，我们研究了允许多数2-着色的有向图。我们证明了任何不含奇有向圈的有向图都是多数2-可选的。我们回答了Kreutzer等人提出的一个公开问题。否定地，通过证明判定给定的有向图是否多数2-可着色是NP-完全的。最后讨论了Kreutzer等人提出的多数染色的分数松弛，证明了每个有向图都有分数多数3.9602-染色。我们证明了每一个具有最小出度$Ω\left((1/\varepsilon)^2\ln(1/\varepsilon)\right)$的有向图都有分数多数$(2+\varepsilon)$ -染色。
2019-11-05 math.CO
Kőnig's Line Coloring and Vizing's Theorems for Graphings
经典的Vizing定理指出，每个最大度$d$的图允许至多有$d+1$色的边染色。此外，正如Kynnig先前所示，如果图是二分图，则$d$颜色就足够了。研究了图的可测边着色的存在性。图是有界度图的一种分析推广，它出现在各种领域，如稀疏图极限、轨道等价理论和可测群论。我们证明了最大度$d$的每一个图都有一个用$d + O(\sqrt{d})$颜色的可测边染色;此外，如果图没有奇圈，那么$d+1$颜色就足够了。事实上，如果关于有限图的某个猜想加强了Vizing定理，那么我们的方法将表明$d+1$颜色总是足够的。
2016-08-21 math.CO
A note on the injective edge coloring of graphs with bounded maximum degree
Middle Tennessee State University（中田纳西州立大学）；Augustana College（奥古斯塔纳学院）
本文针对最大度至少为4的图，将单射边色数的上界从2(Δ-1)²改进为2(Δ-1)²-Δ+3。
2026-10-06 math.CO
Extracting list colorings from large independent sets
我们将Kostochka和Yancey的核引理应用于其逻辑结论。其结果是一种神奇的方法，可以从一个独立集的存在性中得出关于列表着色（和在线列表着色）的结论。我们用它来证明在线列表着色的布鲁克斯定理的Ore度版本。图$G$中边$xy$的Ore度为$θ(xy) = d_G(x) + d_G(y)$。$G$的矿石级为$θ(G) = \max_{xy\in E(G)}θ(xy)$。我们证明了每个具有$θ\ge18$和$ω\le\fracθ{2}$的图都是在线$\left\lfloor \fracθ{2}\right\rfloor $可选择的。此外，我们还证明了在线列表着色无三角形图的一个上界：$χ_{OL}\leΔ+1-\lfloor\frac{1}{4}\lg(Δ)\rfloor$。最后，我们把Gallai树刻画为连通图$G$，它至少有$|G|$边没有独立集。
2015-12-26 math.CO
List-Edge-Coloring with Bounded Maximum Degree
本研究探讨图的列表边着色问题，证明当图的最大平均度小于依赖最大度Δ的阈值m时，列表色指数不超过Δ+1，并给出不同Δ范围下m的取值特征。
2023-05-04 math.CO
Strong edge-colorings for k-degenerate graphs
本文证明了每个最大度$Δ$的$k$ -退化图的强色指数至多为$(4k-2)Δ-k(2k-1)+1$ .
2013-03-31 math.CO
Simultaneous coloring of vertices and incidences of Outerplanar graphs
图的$vi$ -同时正确$k$ -染色是图的所有顶点和关联的染色，其中集合$V(G)\cup I(G)$中的任何两个相邻或关联元素接收不同的颜色，其中$I(G)$是$G$的关联集合。$vi$ -同时色数，记作$χ_{vi}(G)$，是使$G$有一个$vi$ -同时真$k$ -染色的最小整数$k$。在[M. Mozafari-Nia，M. N.研究了具有最大度$4$的图的$vi$ -同时真染色，证明了对于任何具有最大度$Δ\geq 2$的图$G$，$vi$ -同时真染色至多是$2Δ+1$ .在[M. Mozafari-Nia，M. N. Iradmasa，图的顶点同时着色和关联度，arXiv：2205.07189，2022]研究了某些图类（例如$k$ -退化图、圈、森林、完全图、正则二部图）的猜想的正确性。本文证明了外平面图$G$的$vi$ -同时色数是$Δ+2$或$Δ+3$，其中$Δ$是$G$的最大度.
2022-06-03 math.CO
Injective edge-coloring of claw-free graphs with maximum degree 4
本文证明了最大度不超过4的无爪图的单射色指数至多为13，给出了该图类单射边染色的上界。
2025-09-11 math.CO
2-Distance Coloring of 4-Irregular Planar Graphs
Kalma Laboratory, Lebanese University（卡尔马实验室，黎巴嫩大学）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学，法国国家科学研究中心，波尔多理工学院，LaBRI）
本文研究4-非正则平面图的2-距离着色问题，将其2-距离色数上界从Zhu证明的13改进为10，推进了平面图着色相关理论的研究。
2026-08-26 math.CO
Solution of Vizing's Problem on Interchanges for Graphs with Maximum Degree 4 and Related Results
设$G$是一个具有最大度$4$的1类图，$t\geq 5$是一个整数.我们证明了，任何适当的$t$边染色的$G$可以转换到任何适当的$4$边染色的$G$仅使用转换的$2$着色的子图（所谓的互换）。这解决了最小的以前未解决的情况下，一个众所周知的问题Vizing的立交桥，在1965年提出的。利用我们的结果，我们对两类图的Mohar问题给出了肯定的回答：我们证明了最大度为4的第一类图的所有真$5$-边染色都是Kempe等价的，即可以通过交换相互转化;最大度为5的第二类图的所有真7-边染色都是Kempe等价的.
2014-03-23 math.CO
Proper path-factors and interval edge-coloring of (3,4)-biregular bigraphs
图G的区间染色是E（G）的正整数真染色，使得与任意顶点关联的边的颜色是连续的.（3，4）-双正则二部图是一个二部图，其中一部分的每个顶点的度为3，另一部分的每个顶点的度为4;它们是否都有区间着色是未知的。证明了当G是一个（3，4）-双正则偶图，其生成子图的分支是端点在3-价点且长度在{2，4，6，8}内的路时，G有6种颜色的区间染色.我们给出了这样一个子图存在的充分条件。
2007-04-20 math.CO
Degree-choosability of proper conflict-free list coloring of sparse graphs
Faculty of Science and Technology, Keio University（庆应义塾大学理工学部）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）；Faculty of Information Studies, Novo Mesto（新梅斯托信息学院）；Rudolfovo - Science and Technology Centre Novo Mesto（鲁多尔福沃-新梅斯托科学与技术中心）；School of Mathematical and Science, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数理学院）
本文研究了稀疏图的正冲突自由列表着色问题，证明了最大平均度受限的图在特定度数加常数条件下具有正冲突自由可选择性。
2026-01-22 math.CO
Coloring hypergraphs with bounded cardinalities of edge intersections
本文讨论了边度有界的超图的染色的极值问题。考虑$b$ -简单超图族，其中任意两条边共享的公共顶点不超过$b$。证明了对于$n\geqslant n_0(b)$，任何最大边度至多为$c\cdot nr^{n-b}$的$n$ -均匀$b$ -简单超图都是$r$ -可染的，其中$c>0$是一个绝对常数.我们还建立了主要结果的一些应用。
2019-09-01 math.CO
On group choosability of total graphs
本文研究了全图的群染色和列表群染色，给出了全图和列表全图的两种群染色。我们对以下几类图建立了群版的全染色猜想：最大度小的图，二退化图，最大度至少为11的规划图，不含某些小圈的规划图，外平面图和近外平面图.此外，还对森林、外平面图和最大度不超过2的图建立了列表全染色猜想的群版本。
2011-05-25 math.CO
