List-Edge-Coloring Triangulations with Maximum Degree at most 5
该研究证明了最大度不超过5的三角剖分满足列表边着色猜想，推进了图论中列表边着色相关问题的研究进展。
2023-12-14 math.CO
Injective coloring of product graphs
本文利用两步图染色、开 packing 划分及支配理论三种等价视角，研究直积、字典序乘积和冠积的单射染色，给出直积与字典序乘积的上下界，并完全确定两个圈的直积的单射色数及冠积的闭公式。
2023-06-02 math.CO
Partitioning random graphs into monochromatic components
Erdás，Gyárfás，and Pyber（1991）证明了每个$r$着色的完全图最多可以被划分为$r-1$单色分量;这是对Lovász（1975）猜想的加强，在Lovász（1975）猜想中，分量只需要形成覆盖。Haxell和Kohayakawa（1995）的一个重要的部分结果表明，对于足够大的$r$ -着色完全图，划分成$r$单色分量是可能的。我们首先将Haxell和Kohayakawa的结果推广到最小度大的图，然后给出了随机图的一些部分类似结果。特别是，我们表明，如果$p\ge \left(\frac{27\log n}{n}\right)^{1/3}$，那么a.a.s.在$G(n,p)$的每个$2$ -着色中，存在分成两个单色分量的分区，并且对于$r\geq 2$，如果$p\ll \left(\frac{r\log n}{n}\right)^{1/r}$，则a.a.s.存在$G(n,p)$的$r$ -着色，使得不存在具有有界分量数的覆盖。最后，我们考虑Gyárfás（1977）关于$r$ -着色完全图中大单色分量的经典结果的随机图形式。我们表明，如果$p=\frac{ω(1)}{n}$，那么a.a.s.在$G(n,p)$的每一个$r$ -着色中，存在阶至少为$(1-o(1))\frac{n}{r-1}$的单色分量。
2017-02-15 math.CO
2-Distance Coloring of Planar Graphs with Specific Maximum Degree
Kalma Laboratory, Lebanese Univeristy（黎巴嫩大学卡尔马实验室）；Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、LaBRI）
研究最大度数至少为6的平面图的2距离着色问题，探讨其着色方法及结果。
2026-01-18 math.CO
$2$-distance, injective, and exact square list-coloring of planar graphs with maximum degree 4
在过去，各种基于距离的染色可平面图被介绍。我们把我们的重点放在其中的三个，即$2$ -距离着色，内射着色和确切的平方着色。$2$ -距离着色是顶点的真着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色;内射着色是顶点的着色，其中具有共同邻居的两个顶点不接收相同的颜色;精确正方形着色是顶点的着色，其中距离$2$的两个顶点不接收相同的颜色。证明了最大度为$Δ= 4$且围长至少为$4$的可平面图是$2$ -距离列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和注入列表$(Δ+ 5)$ -可着色图.此外，我们还证明了具有$Δ= 4$的可平面图是单射列表$(Δ+ 7)$ -可着色图和精确正方形列表$(Δ+ 6)$ -可着色图.
2022-05-16 math.CO
Frugal coloring in planar graphs with maximum degree 4 and 5
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；University of West Bohemia（西波希米亚大学）
该研究针对最大度为4和5的平面图，证明其2-节俭着色分别可使用7种和10种颜色，是Wegner猜想的部分变体结果。
2026-10-12 math.CO
On 2-distance 16-coloring of planar graphs with maximum degree at most five
针对最大度不超过5的平面图的2-距离染色问题，证明其可进行2-距离16染色，改进了Hou等人2023年的相关研究结果。
2023-11-23 math.CO
On Wegner's 8-Coloring Theorem for Planar Graphs of Maximum Degree Three
该研究简化了Wegner猜想特殊情况（最大度≤3的平面图可8色距离2着色）的证明，重点简化了原证明中移除5-环这一技术难点部分。
2025-11-12 math.CO
Maximizing $H$-colorings of connected graphs with fixed minimum degree
对于图$G$和$H$，$G$的$H$ -染色是从$G$的顶点到$H$的顶点的保持边邻接的映射。考虑如下极值计数问题：对于给定的$H$，哪个连接$n$ -顶点图的最小度$δ$最大化$H$ -着色数？我们证明了对于非正则$H$和足够大的$n$，完全二部图$K_{δ,n-δ}$是唯一的最大化器。作为推论，对于非正则$H$和足够大的$n$，图$K_{k,n-k}$是唯一的$k$ -连通图，它使得所有$k$ -连通图中$H$ -着色的个数最大化.最后，我们表明，这一结论并不适用于所有定期$H$展示一个连接的$n$顶点图与最低程度$δ$有更多的$K_{q}$染色（足够大的$q$和$n$）比$K_{δ,n-δ}$。
2016-10-20 math.CO
2-distance 20-coloring of planar graphs with maximum degree 6
本文证明最大度至多6的平面图具有2-距离20染色，将已知上界从21改进至20。
2024-06-25 math.CO
Improved 2-Distance Coloring of Planar Graphs with Maximum Degree 5
本文研究了平面图的2-距离染色问题，证明了最大度不超过5的平面图的2-距离色数上界可由18改进至17。
2023-07-31 math.CO
Injective edge-coloring of graphs with given maximum degree
一个图$G$的边的着色是内射的，如果对于任意两条不同的边$e_1$和$e_2$，如果它们在距离$1$处在$G$中或在一个公共三角形中，则$e_1$和$e_2$的颜色是不同的.自然地，$G$的内射色指数$χ'_{inj}(G)$是$G$的内射边着色所需的最小颜色数。研究了当对$G$的围长和色数有限制时，$G$的内射色指数根据$G$的最大度可以达到多大.我们还比较了我们的边界与类似的强色指数的边界。
2021-04-23 math.CO
Backbone coloring for graphs with degree 4
Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文研究度数为4的图的骨干着色问题，针对路径、树等类别的骨干，对形如$BBC_λ(G, H) \le λ+ k$的问题给出了近乎完整的分类结果。
2026-10-20 math.CO
List strong edge-coloring of graphs with maximum degree 4
图$G$的强边染色是使得长度为3的路上的任意两条边接收不同颜色的边染色。我们用$χ_{s}'(G)$表示强色指数，它是允许$G$强边着色的最小颜色数。1985年Erdens和Nešetzil证明了$χ_{s}'(G)$的上界是$\frac{5}{4}Δ^{2}$，当$Δ$是偶数时，$Δ$是奇数时，$\frac{1}{4}(5Δ^{2}-2Δ+1)$是$\frac{1}{4}(5Δ^{2}-2Δ+1)$，其中$Δ$是$G$的最大次数。当$Δ\leq3$ .由于Cranston之前的研究，$Δ=4$最著名的上界是22。本文将Cranston的结果推广到列表强边染色，即证明了当$Δ=4$时，列表强边染色指数的上界为22。
2018-01-21 math.CO
Equitable Colorings of Planar Graphs without Short Cycles
图的\emph{equitable coloring}是图的一个正常顶点染色，使得每两个色类的大小相差至多1。Chen，Lih，and Wu证明了每个连通图$G$具有最大度$Δ\geq 2$都具有与$Δ$颜色相等的着色，除非$G$是完全图或奇圈或$Δ$是奇的，并且$G=K_{Δ,Δ}.$ Nakprasit证明了该猜想对最大度至少为9的可平面图成立。Zhu和Bu证明了对于每个最大度至少为8的无$C_3$的平面图和对于每个最大度至少为7的无$C_4$和$C_5$的平面图，该猜想成立.本文证明了该猜想对各种情况下的可平面图都成立，特别是对最大度至少为6的无$C_3$的平面图和最大度至少为7的无$C_4$的平面图都成立，改进或推广了朱和卜关于均匀着色的结果.此外，我们还证明了对于围长至少为6且最大度至少为5的平面图，该猜想成立。
2012-03-02 math.CO
On edge-colorings of bicubic planar graphs
在第一部分中，我们引入了双三次平面图的边染色度的概念，并证明了染色分次数的一些局部公式。在第二部分中，我们给出了Fisk关于平面双三次图的任意两个边3-染色是Kempe等价的一个结果的新证明。此外，我们表明，着色的程度表现良好的Kempe等价。
2013-12-02 math.CO
Total coloring graphs with large minimum degree
证明最小度至少为(1+ε)n/2的大图满足全染色猜想，即全色数不超过最大度加2。
2025-07-08 math.CO
Some Results on Cyclic Interval Edge Colorings of Graphs
如果图$G$的每个顶点$v$的与$v$关联的边都被连续的颜色着色，且颜色$1$与颜色$t$是连续的，则称图$G$的一个正常边着色为\emph{cyclic interval $t$-coloring}.证明了具有偶最大度$Δ(G)\geq 4$的二部图$G$允许循环区间$Δ(G)$ -染色，如果对每个顶点$v$，度$d_G(v)$满足$d_G(v)\geq Δ(G)-2$或$d_G(v)\leq 2$ .我们还证明了每一个最大度至多为$8$的欧拉二部图$G$都有循环区间染色。对于$(a,b)$ -双正则图，即一部分顶点的度均为$a$，另一部分顶点的度均为$b$的二部图，得到了一些结果，并证明了它们都有循环区间着色.我们证明了所有的$(4,7)$ -双正则图以及所有的$(2r-2,2r)$ -双正则（$r\geq 2$）图都有循环区间着色。最后，我们证明了所有完全多部图承认循环区间着色，这解决了肯定的，一个猜想的Petrosyan和Mkhitaryan。
2017-03-29 math.CO
Majority additive coloring and the maximum degree
TU Bergakademie Freiberg（弗莱贝格工业大学）；Ulm University（乌尔姆大学）
研究了图的多数加性着色问题，证明了最大度Δ的图存在O(Δ²)的多数加性着色，并指出该问题的NP难性。
2025-11-24 math.CO
Strong edge coloring of graphs with maximum degree $6$
Augustana College（奥古斯塔纳学院）
本文证明最大度不超过6的图的强色指数至多为57，改进了已知上界60。
2026-09-29 math.CO
Improved square coloring of planar graphs
正方形着色是图着色的一种变体，其中距离为2的顶点必须接收不同的颜色。当考虑可平面图时，最著名的猜想（Wegner，1977）指出，$\frac32Δ+1$颜色足以使每个最大度的平面图$Δ$平方着色。这个猜想已被证明是渐近图与大的最大程度。我们认为这里的可平面图与小的最大程度，并表明$2Δ+7$颜色是足够的，这提高了最好的已知的界限时，$6\leqslant Δ\leqslant 31$。
2021-12-23 math.CO
Number of Distinguishing Colorings and Partitions
如果图$G$的非单位自同构不保留它，则图$G$的顶点着色称为可区分的（或对称性破缺），并且由$D(G)$表示的可区分数是这种着色所需的最小颜色数。本文研究了具有$k$颜色的图的非等价可区别染色的计数问题。本文给出了一个参数$Φ_k (G)$，它是图$G$的最多含有$k$颜色的非等价可区别染色的个数，它在计算字典积和图的$X$ -联的可区别数中的应用.我们研究这个指数（和其他一些类似的指数），这是一般难以计算。然后，我们证明了，如果一个图$G$，这是最小的颜色数$θ(G)$的区别阈值，使$k\geq θ(G)$，每个$k$ -染色的$G$是可区别的，然后，在某些特殊情况下，计数的数量可区别的颜色与$k$是非常容易的。我们计算$θ(G)$的一些类的图，包括Kneser图$K(n,2)$。然后，我们转向顶点划分，通过研究图$G$的区别染色分区;一个分区的顶点$G$诱导区别染色$G$。在这里，我们引入了$Ψ_k (G)$作为最多有$k$细胞的非等价可区别染色划分的数量，这是其可区别染色对应物的推广。
2020-05-08 math.CO
Acyclic Edge Coloring of Graphs with Maximum Degree 4
图的$acyclic$边染色是指不存在双色圈的正常边染色。图的\emph{acyclic chromatic index}是使得存在使用k种颜色的非循环边染色的最小数k，并且用$a'(G)$表示。Alon，Sudakov和Zaks证明了对任意简单有限图$G$，有$a'(G)\le Δ+2$，其中$Δ=Δ(G)$表示$G$的最大度.本文证明了具有$Δ(G) \le 4$的连通图的猜想，并附加了一个限制条件，即$m \le 2n-1$，其中$n$是$G $中的顶点数，$m$是边数.请注意，对于任何图形$G$，$m \le 2n$，当$Δ(G) \le 4$。因此，对于任何图$G$，如果$Δ(G) \le 4$，则$a'(G) \le 7$。
2008-01-11 math.CO
List strong edge coloring of some classes of graphs
图的{ \em强边染色}是图的正常边染色，其中每个色类都是诱导匹配。图的{ \em强色数}是图的强边染色所需的最少颜色数。以类似的方式，我们可以定义列表形式的强边染色和列表形式的强色指数。本文证明了：如果$G$是一个最大度至多为4且最大平均度小于$3$的图，则其列表强色指数至多为$3Δ+ 1$，其中$Δ$是$G$的最大度.另外，我们证明了如果$G$是一个可平面图，其最大度至少为$4$，围长至少为$7$，则列表强色指数至多为$3Δ$ .
2017-04-14 math.CO
A Catlin-type Theorem for Graph Partitioning Avoiding Prescribed Subgraphs
作为Brooks定理的一个推广，Catlin在1979年证明了如果$H$既不是奇圈也不是具有最大度$Δ(H)$的完全图，则$H$有一个点$Δ(H)$ -染色使得其中一个色类是最大独立集。设$G$是阶至少为$2$的连通图.图$H$的$G$ -free $k$ -染色是将图$H$的顶点集划分为$V_1,\ldots,V_k$，使得在图$V_i$上导出的子图$H[V_i]$不包含与图$G$同构的子图.作为Catlin定理的一个推广，我们证明了一个图$H$有一个$G$ -free $\lceil{Δ(H)\over δ(G)}\rceil$ -染色，其中一个色类是$V(H)$的一个最大$G$ -free子集，如果$H$满足下列条件;（1）如果$G$是正则的，则$H$不同构于$G$，（2）如果$G \simeq K_{δ(G)+1}$，则$H$不同构于$K_{kδ(G)+1}$，（3）若$G$同构于$K_2$，则$H$不是奇圈.事实上，我们证明了更多，通过证明，如果$G_1,\ldots,G_k$是连通图与最小度$d_1,\ldots,d_k$，分别，和$Δ(H)=\sum_{i=1}^{k}d_k$，则存在$H$到$V_1,\ldots,V_k$的顶点的划分，使得每个$H[V_i]$是无$G_i$的，并且此外可以以$H[V_i]$是最大$G_i$的方式来选择$V_i$中的一个。除了$k=1…
2020-02-11 math.CO
Total-coloring of planar graphs with maximum degree 6 and without prescribed 4-cycles
Guangzhou University（广州大学）；Peking University（北京大学）
本文改进了平面图全染色结果，证明最大度为6且不含某些特殊4环的平面图是7-全可染的，推进了全染色猜想在平面图上的研究。
2026-09-18 math.CO
Between proper and square colorings of planar graphs with maximum degree at most four
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究平面图最大度数不超过四的着色问题，证明了该类图可被(1,2^10)和(1^2,2^7)着色，为Wegner猜想提供新进展。
2026-04-01 math.CO
A polynomial time algorithm to find star chromatic index on bounded treewidth graphs with given maximum degree
本文针对给定最大度的有界树宽图，证明了星边着色问题（已知NP完全）可在多项式时间内求解，并给出了相应算法。
2024-02-07 math.CO
Majority Edge-Colorings of Graphs
本文提出了图$G$的多数$k$ -边染色的概念，它是$G$的边染色与$k$颜色，使得对于$G$的每个顶点$u$，与$u$关联的$G$的至多一半边具有相同的颜色.我们证明了最好的可能结果：最小度至少为$2$的图都有多数$4$ -边染色，最小度至少为$4$的图都有多数$3$ -边染色.此外，我们还讨论了多数边着色的一个自然变分以及一些相关的公开问题。
2022-05-23 math.CO
A Strong Edge-Coloring of Graphs with Maximum Degree 4 Using 22 Colors
1985年，Erdens和Neumetril证明了当$Δ$为偶数时，图的强边色数由${5/4}Δ^2$上有界，当$Δ$为奇数时，强边色数由${1/4}(5Δ^2-2Δ+1)$上有界.他们给出了一个简单的结构，需要这么多的颜色。对$Δ\leq 3$进行了验证。对于$Δ=4$，限制界限为20。以前，最著名的上界是23，这是由于Horak。在本文中，我们给出了一个算法，使用最多22种颜色。
2006-01-25 math.CO
Maximum average degree and relaxed coloring
如果$V(G)$可划分为$b$独立集$O_1,O_2,\ldots,O_b$和$a$集$D_1, D_2,\ldots, D_a$，且$D_1, D_2,\ldots, D_a$的导出图的最大度至多为$d$，则称一个图是$(d, d, \ldots, d, 0, \ldots, 0)$的$a$和$0$的$b$的$(d, d, \ldots, d, 0, \ldots, 0)$ -可着色图.图$G$的最大平均度$mad(G)$是$G$的所有子图的最大平均度。对非负整数$a, b$，证明了若$mad(G)< \frac{4}{3}a + b$，则$G$是$(1_1, 1_2, \ldots, 1_a, 0_1, \ldots, 0_b)$ -可着色的.
2018-06-19 math.CO
DP-Degree Colorable Hypergraphs
为了解决可平面图的列表着色问题，Dvopiák和Postle引入了DP-着色的概念，从而推广了列表着色的概念。Bernshteyn、Kostochka和Pron对图和重图的DP-染色进行了详细的分析;他们刻画了DP-度可染色重图，并由此导出了一个Brooks型结果。相应的“坏”封面的特征后来由Kim和Ozeki给出。本文将DP-染色的概念推广到具有多重边的超图。我们刻画了DP-度可着色超图，并进一步刻画了相应的“坏”覆盖。这给出了超图的DP-色数的Brooks型结果.在第四部分中，我们研究了DP-临界图，并建立了关于其结构的一些基本事实以及关于最小边数的Gallai型界。
2019-06-20 math.CO
On the cyclic coloring conjecture
平面图$G$的循环着色是指平面图的顶点的着色，使得与同一面关联的顶点具有不同的颜色。平面图$G$的循环染色的最小颜色数是它的循环色数$χ_c(G)$。设$Δ^*(G)$是图$G$的最大面度。证明了Borodin在1984年提出的循环着色猜想，即每个连通平面图$G$都有$χ_c(G) \leq \lfloor \frac{3}{2}Δ^*(G)\rfloor$，对于简单$3$ -连通平面图的剖分，证明了这一猜想.我们已经发现了四个新的不同的上界$χ_c(G)$的图$G$从这个限制家庭，其中三个界限是紧的。作为推论，我们证明了该猜想对平面三角剖分、简单$3$ -连通平面四边形剖分和具有偶数最大面度的简单$3$ -连通平面五角剖分成立，对最大度至少为10的简单$3$ -连通平面图的正则剖分成立，对于简单$3$ -连通平面图的最大面度与其最长路的顶点数相比足够大的图的剖分，本文给出了一个新的证明.
2020-09-22 math.CO
Equitable Coloring of Graphs with Intermediate Maximum Degree
如果图$G$的顶点都用$k$颜色着色，使得没有邻顶点接收相同的颜色，并且任何两个颜色类的大小相差至多一个，则称$G$是公平$k$可着色的。令$|G|$表示$G$的顶点数，$Δ=Δ(G)$表示$G$中顶点的最大度。证明了阶数至少为6的图$G$是公平$Δ$ -可着色的，如果$G$满足$(|G|+1)/3 \leq Δ< |G|/2$且它的任何分支都不是$K_{Δ+1}$ .
2014-08-26 math.CO
Injective edge-coloring of graphs with small maximum degree
本文证明最大度不超过4且平均度小于8/3的图的内射边色数至多为7。
2025-09-11 math.CO
Equitable coloring of planar graphs with maximum degree at least eight
本文证明了Chen-Lih-Wu猜想对最大度至少为8的平面图及最大度至少为9的可嵌入非负欧拉示性数曲面的图成立，扩展了已知结果。
2023-11-10 math.CO
Partitioning an $S$-packing coloring into broadcast dominating sets
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, Ljubljana（卢布尔雅那数学、物理与力学研究所）；Faculty of Education, University of Maribor（马里博尔大学教育学院）
本文研究打包$k$-控制染色，证明在最小度至少2的连通图中$\u03c7_{\u03c1,3}=\u03c7_{\u03c1}$，并给出路径和圈上的精确值与界，同时推广到$S$-打包$k$-控制染色。
2026-10-05 math.CO
The edge colorings of $K_{5}$-minor free graphs
1965年，Vizing证明了每个具有最大度$Δ\geq 8$的可平面图$G$是边$Δ$ -可着色的.证明了平面图$G$是边$Δ$ -可着色的，并且证明了平面图$G$的最大度为$Δ=7$.本文推广了上述结果，证明了最大度$Δ$至少为7的无$K_5$ -子图是边$Δ$ -可着色的.
2020-02-24 math.CO
Clustered Coloring of Graphs with Bounded Layered Treewidth and Bounded Degree
本文研究有界分层树宽图类的有界聚类着色问题，证明分层树宽至多k、最大度至多Δ的图可3着色且聚类数为O(k^19Δ^37)，给出首个多项式界，改进了已有相关结果。
2022-09-25 math.CO
Strong edge-coloring of sparse graphs with Ore-degree 7 or 8
University of Memphis（孟菲斯大学）
本文通过流方法和Hall定理，证明了Ore度为7或8的稀疏图的强色指数界，改进了之前的结果。
2026-01-27 math.CO
List 3-dynamic coloring of graphs with small maximum average degree
图$G$的$r$ -动态$k$ -染色是一种真$k$ -染色，使得对于任何顶点$v$，$N_G(v)$中至少有$\min\{r,°_G(v) \}$不同的颜色.图$G$的$r$ -动态色数$χ_r^d(G)$是使得存在$G$的$r$ -动态$k$ -染色的最小$k$.图$G$的{ \em列表$r$ -动态色数}记为$ch_r^d(G)$。最近，Loeb等人[UI]证明了平面图的$3$ -动态色数列表至多为10。Cheng等人[Lai-16]研究了具有$χ_3^d (G) \leq 4, \ 5$或$6$的最大平均条件。另一方面，Song等人[SLW]表明，如果$G$是周长至少为6的平面，则任何$r\ge 3$的$χ_r^d(G)\le r+5$。本文利用最大平均度研究了表3-动态染色。我们证明了$ch^d_3(G) \leq 6$如果是$mad(G) < \frac{18}{7}$，$ch^d_3(G) \leq 7$如果是$mad(G) < \frac{14}{5}$，以及$ch^d_3(G) \leq 8$如果是$mad(G) < 3$。所有的边界都很紧。
2017-09-22 math.CO
Coloring squares of planar graphs with small maximum degree
对于图$G$，我们用$χ_2(G)$表示最小整数$k$，使得存在$G$的顶点的$k$ -染色，其中距离至多为2的顶点接收不同的颜色。等价地，$χ_2(G)$是$G$平方的色数。在1977年，Wegner证明了如果$G$是平面的并且有最大次数$Δ$，那么$χ_2(G) \leq 7$是$Δ\leq 3$，$χ_2(G) \leq Δ+5$是$4 \leq Δ\leq 7$，而$\lfloor 3Δ/2 \rfloor +1$是$Δ\geq 8$。尽管广泛的工作，已知的上界是相当远的，特别是对于小值的$Δ$的。在这项工作中，我们表明，对于每一个平面图$G$最大程度$Δ$它认为，$χ_2(G) \leq 3Δ+4$。该结果提供了$6 \leq Δ\leq 14$的最佳已知上限。
2021-05-24 math.CO
Extremal H-colorings of graphs with fixed minimum degree
对于图$G$和$H$，从$G$到$H$的同态，或$G$的$H$ -着色，是从$G$的顶点到$H$的顶点的保持邻接的映射。当$H$是由一个有一个循环的端点的边组成时，$G$的$H$ -着色对应于$G$中的一个独立集。Galvin证明了，对于足够大的$n$，完全二部图$K_{δ,n-δ}$是具有最小度$δ$的$n$ -顶点图，它具有最大数目的独立集。在本文中，我们开始的项目推广这一结果任意$H$。写作$\hom(G,H)$的$H$ -着色的$G$的数量，我们表明，对于固定的$H$和$δ= 1$或$δ= 2$，\[ \hom(G,H) \leq \max \{\hom(K_{δ+1},H)^{\frac{n}{δ+1}}, \hom(K_{δ,δ},H)^{\frac{n}{2δ}}, \hom(K_{δ,n-δ},H)\} \]为任何$n$ -顶点$G$与最小程度$δ$（足够大的$n$）。我们还提供了通过$\hom(K_{δ+1},H)^{\frac{n}{δ+1}}$实现最大值的$H$和通过$\hom(K_{δ,δ},H)^{\frac{n}{2δ}}$实现最大值的其他$H$的示例。对于$δ\geq 3$（和足够大的$n$），我们提供了一个无限族的$H$，其中$\hom(G,H) \leq \hom(K_{δ,n-δ},H)$对于任何$n$ -顶点$G$具有最小度$δ$。所得结果推广…
2016-10-20 math.CO
Square Coloring of Planar Graphs with Maximum Degree at Most Five
本文研究了最大度至多为5的平面图的平方染色问题，证明了其平方图可用至多17种颜色正常顶点染色，改进了此前18种颜色的上界。
2023-08-13 math.CO
Strong edge-colorings of sparse graphs with large maximum degree
图$G$的{ \em强$k$ -边着色}是从$E(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得每两个相邻边或与同一条边相邻的两个边接收不同的颜色。图$G$的{ \em强色指数} $χ_s'(G)$是使得$G$允许强$k$ -边染色的最小整数。我们给出了图$G$的最大度$Δ(G)$对$χ_s'(G)$的界。当$G$稀疏时，即当$G$是$2$ -退化时或者当最大平均度${\rm Mad}(G)$小时。证明了每个$2$ -退化图$G$的强色指数至多为$5Δ(G) +1$ .此外，我们表明，对于图$G$，如果${\rm Mad}(G)< 8/3$和$Δ(G)\geq 9$，那么$χ_s'(G)\leq 3Δ(G) -3$（绑定$3Δ(G) -3$是尖锐的），如果${\rm Mad}(G)<3$和$Δ(G)\geq 7$，那么$χ_s'(G)\leq 3Δ(G)$（限制${\rm Mad}(G)<3$是尖锐的）。
2018-01-22 math.CO
Minimum degree conditions for monochromatic cycle partitioning
Erdés，Gyárfás和Pyber的一个经典结果指出，任何$r$ -边着色完全图都有一个划分为$O(r^2 \log r)$单色圈。在这里，我们确定该属性的最小度阈值。更确切地说，我们表明，存在一个常数$c$，使任何$r$ -边着色图的$n$顶点与最低程度至少$n/2 + c \cdot r \log n$有一个分区成$O(r^2)$单色周期。我们还提供了结构，表明最小度条件和圈数基本上是紧的。
2020-08-05 math.CO
Strong edge-coloring of 2-degenerate graphs
图$G$的强边染色是指每个色类都是诱导匹配的边染色，强色指数$χ_s'(G)$是$G$的强边染色所需的最少颜色数.一个图是$2$ -退化的，如果每个子图的最小度至多为$2$ . Choi，Kim，Kostochka，and Raspaud（2016）证明了$χ_s'(G) \leq 5Δ+1$，如果$G$是具有最大度$Δ$的$2$ -退化图。在本文中，我们将其改进为$χ_s'(G)\le 5Δ-Δ^{1/2-ε}+2$时，$Δ>4^{1/(2ε)}$的任何$0<ε<1/2$。
2023-01-30 math.CO
The Strong Chromatic Index of graphs with maximum degree $Δ$
图$G$的强边染色是使得距离至多为2的两条边不具有相同颜色的边染色。强色指数$χ'_s(G)$是$G$的强边染色中的最小颜色数。P. ErdŸ和J. Nešetřil在1985年推测，当$Δ$为偶数时，$χ'_s(G)$上界为$\frac54Δ^2$，当$Δ$为奇数时，上界为$\frac14(5Δ^2-2Δ+1)$，其中$Δ$是$G$的最大次数。本文对围长至少为$5$的图给出了一个最多使用$2Δ^2-3Δ+2$颜色的算法。特别地，我们证明了任何具有最大度$Δ=5$的图都具有带有$37$颜色的强边染色。
2015-10-03 math.CO
Kőnig's Line Coloring and Vizing's Theorems for Graphings
经典的Vizing定理指出，每个最大度$d$的图允许至多有$d+1$色的边染色。此外，正如Kynnig先前所示，如果图是二分图，则$d$颜色就足够了。研究了图的可测边着色的存在性。图是有界度图的一种分析推广，它出现在各种领域，如稀疏图极限、轨道等价理论和可测群论。我们证明了最大度$d$的每一个图都有一个用$d + O(\sqrt{d})$颜色的可测边染色;此外，如果图没有奇圈，那么$d+1$颜色就足够了。事实上，如果关于有限图的某个猜想加强了Vizing定理，那么我们的方法将表明$d+1$颜色总是足够的。
2016-08-21 math.CO
A note on the injective edge coloring of graphs with bounded maximum degree
Middle Tennessee State University（中田纳西州立大学）；Augustana College（奥古斯塔纳学院）
本文针对最大度至少为4的图，将单射边色数的上界从2(Δ-1)²改进为2(Δ-1)²-Δ+3。
2026-10-06 math.CO
Extracting list colorings from large independent sets
我们将Kostochka和Yancey的核引理应用于其逻辑结论。其结果是一种神奇的方法，可以从一个独立集的存在性中得出关于列表着色（和在线列表着色）的结论。我们用它来证明在线列表着色的布鲁克斯定理的Ore度版本。图$G$中边$xy$的Ore度为$θ(xy) = d_G(x) + d_G(y)$。$G$的矿石级为$θ(G) = \max_{xy\in E(G)}θ(xy)$。我们证明了每个具有$θ\ge18$和$ω\le\fracθ{2}$的图都是在线$\left\lfloor \fracθ{2}\right\rfloor $可选择的。此外，我们还证明了在线列表着色无三角形图的一个上界：$χ_{OL}\leΔ+1-\lfloor\frac{1}{4}\lg(Δ)\rfloor$。最后，我们把Gallai树刻画为连通图$G$，它至少有$|G|$边没有独立集。
2015-12-26 math.CO
List-Edge-Coloring with Bounded Maximum Degree
本研究探讨图的列表边着色问题，证明当图的最大平均度小于依赖最大度Δ的阈值m时，列表色指数不超过Δ+1，并给出不同Δ范围下m的取值特征。
2023-05-04 math.CO
Strong edge-colorings for k-degenerate graphs
本文证明了每个最大度$Δ$的$k$ -退化图的强色指数至多为$(4k-2)Δ-k(2k-1)+1$ .
2013-03-31 math.CO
Simultaneous coloring of vertices and incidences of Outerplanar graphs
图的$vi$ -同时正确$k$ -染色是图的所有顶点和关联的染色，其中集合$V(G)\cup I(G)$中的任何两个相邻或关联元素接收不同的颜色，其中$I(G)$是$G$的关联集合。$vi$ -同时色数，记作$χ_{vi}(G)$，是使$G$有一个$vi$ -同时真$k$ -染色的最小整数$k$。在[M. Mozafari-Nia，M. N.研究了具有最大度$4$的图的$vi$ -同时真染色，证明了对于任何具有最大度$Δ\geq 2$的图$G$，$vi$ -同时真染色至多是$2Δ+1$ .在[M. Mozafari-Nia，M. N. Iradmasa，图的顶点同时着色和关联度，arXiv：2205.07189，2022]研究了某些图类（例如$k$ -退化图、圈、森林、完全图、正则二部图）的猜想的正确性。本文证明了外平面图$G$的$vi$ -同时色数是$Δ+2$或$Δ+3$，其中$Δ$是$G$的最大度.
2022-06-03 math.CO
