On the Hausdorff dimension of some sets of numbers defined through the digits of their $Q$-Cantor series expansions
继P. Erdens和A. Rényi我们计算的豪斯多夫维数的数字集的数字就其$Q$ -康托级数展开满足各种统计性质。特别是，我们认为差集与各种概念的正常性和一组数字与规定的数字范围。
2014-07-15 math.NT
Consecutive primes which are widely digitally delicate and Brier numbers
利用覆盖系统和D. Shiu等人证明了对于每一个正整数$k$，存在连续的$k$，它们是数字上的宽精细素数.他们还注意到，对于每一个正整数$k$，都存在$k$连续的素数，它们是Brier数。我们证明了对于每一个正整数$k$，都存在$k$连续素数，它们都是广泛的数字精致数和Brier数.
2022-09-21 math.NT
On a conjecture regarding primality of numbers constructed from prepending and appending identical digits
考虑将相同数目的相同数字加到数n的左边和右边的运算。在OEIS序列A090287中，证明了当且仅当n是具有偶数位的回文数时，该运算不会产生素数。我们证明了这一猜想是假的，证明了这一性质也适用于n=231，n=420，以及无穷多个其他的n值。
2015-10-20 math.NT
The sum of digits function of the base phi expansion of the natural numbers
在基phi展开中，任何自然数都被唯一地写成数字为0和1的黄金平均数的幂和，其中要求两个连续数字的乘积总是0。本文证明了这些展开式的模2数和函数是一个形态序列。特别是我们证明-像Thue-Morse序列-在这个序列中0和1的频率等于1/2。
2019-11-25 math.NT
Goldbach's Problem in short intervals for numbers with a missing digit
本文在狄利克雷L函数无零点区域假设下，证明了短区间内几乎所有缺失一位数字的偶数都是哥德巴赫数。
2024-12-28 math.NT
The digit exchanges in the rotational beta expansions of algebraic numbers
该研究针对代数数的β展开问题，给出了β为Pisot或Salem数时数字交换次数的新下界，定义了准Pisot数与准Salem数推广原有数类，方法可推广至复代数数展开，并研究了特定基下的旋转β展开与zeta展开的数字特性。
2022-05-17 math.NT
On the digital representation of smooth numbers
令$b \ge 2$为整数。在其他结果中，我们建立，在一个定量的形式，任何足够大的整数，这不是$b$的倍数不能同时只有少数不同的素因子和只有少数非零的数字在其表示基$b$。
2017-04-03 math.NT
The Prime Digit Distribution Conjecture: A Formal Proof of Average Digit Equidistribution in the Prime Numbers
Bangladesh Institute of Governance and Management（孟加拉国治理与管理研究所）；University of Dhaka（达卡大学）
研究素数数字分布，结合素数定理等方法证明素数中数字出现概率渐近为\(\frac{1}{10}\)，建立内部数字定量等分布，阐明与其他相关问题区别，得出素数数字汇总后渐近等分布的结论。
2026-07-14 math.NT
Significant Digits of Primes in Subsets
本福德定律描述了在许多整数集合中，小数作为数字的前导位数的普遍性。我们证明了一个变种的本福德定律的许多正密度子集的素数。这是从数域上的一个更一般的结果得出的。
2022-07-14 math.NT
A New Transcendental Number from $N^N$
本文首先对超越数的研究历史作了简要的回顾，然后利用G. Dresden证明了一个新的超越数。特别是，虽然以前的工作着眼于$n^n$的最后一个非零数字，我们认为数字的权利之前，其最后一个非零数字，并表明，建立从这些数字的无穷小数是超越的。
2020-01-08 math.NT
Triangular Numbers With a Single Repeated Digit
本文指出Ballew和Weger关于具有单一重复数字的三角形数列表的证明存在缺陷，并提供了一个新的初等证明来纠正该错误。
2024-11-04 math.NT
Numerical verification of the Collatz conjecture for billion digit random numbers
本研究针对数论中著名的未解决问题考拉兹猜想，提出一种可在标准PC上运行的验证算法，实现了对最高100亿位十进制大数的猜想数值验证，拓展了大数验证的可行性。
2025-02-23 math.NT
Digital functions along Squares of Prime Numbers
本文将Gelfond猜想中沿素数与沿平方的分布问题相结合，证明沿平方的q-可乘函数素数定理，并由此得到沿素数平方的良好分布结果。
2025-09-22 math.NT
Digitally delicate primes
陶已经表明，在任何固定的基地，一个积极的比例素数不能有任何数字改变，并保持素数。换句话说，大多数素数都是“数字上很微妙的”。我们加强这一结果的方式建议道：一个积极的比例素数成为复合下的任何变化的一个单一的数字和任何插入一个固定数目的任意数字在开始或结束。
2015-10-13 math.NT
On sums of Fibonacci numbers with few binary digits
本文完全求解丢番图方程$F_n+F_m=2^{a_1}+2^{a_2}+2^{a_3}+2^{a_4}+2^{a_5}$，其中$F_k$表示$k$阶Fibonacci数.除了复杂的线性型的矩阵和Baker-Davenport减少方法，我们使用$p$ -adic版本的两个工具。
2021-04-26 math.NT
Asymptotic mean of digits of the $Q_s$-representation of the fractional part of a real number and related problems of fractal geometry and fractal analysis
Institute of Mathematics of NAS of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）；Dragomanov Ukrainian State University（德拉戈马诺夫乌克兰国立大学）
本文研究了实数小数部分$Q_s$-表示中数字的渐近均值概念，探讨其与数字频率的关系及相关分形几何和分形分析问题。
2026-03-05 math.NT
A 60,000 digit prime number of the form $x^{2} + x + 41$
欧拉的观察，多项式$x^{2} + x + 41$采取的$0 \leq x \leq 39$的素数值的动机，我们寻找大值的$x$为$N = x^{2} + x + 41$是素数。为了应用基于$N-1$的因式分解的经典素性证明结果，我们选择$x$具有$g(y)$的形式，选择使得$g(y)^{2} + g(y) + 40$是可约的。我们的主要结果是一个明确的，60,000位素数的形式$x^{2} + x + 41$。
2012-07-31 math.NT
Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits
Institute of Mathematics, Ukrainian National Academy of Sciences（乌克兰国家科学院数学研究所）；Drahomanov National Pedagogic University（德拉霍马诺夫国立师范大学）
本文研究了数的三进制表示中数字频率与渐近均值的关系，揭示了存在无频率但有渐近均值的数集。
2026-03-05 math.FA math.NT
Leading Digits of Mersenne Numbers
人们早就知道，诸如$2$和因子的幂之类的序列满足本福德定律;也就是说，这些序列中的前导数字以由$P(d)=\log_{10}(1+1/d)$，$d=1,2,\dots,9$给出的频率出现。本文研究了Mersenne数$M_n=2^{p_n}-1$的前导数，其中$p_n$是第$n$个素数.根据素数分布中已知的不规则性，人们可能会认为$\{M_n\}$的前导数字序列比具有类似增长率的“平滑”序列（例如$\{2^{n\log n}\}$）具有\emph{worse}分布特性。令人惊讶的是，相反的似乎是真实的，事实上，我们目前的数据，基于序列$\{M_n\}$的第一个十亿项，显示梅森数的前导位在许多方面的行为\emph{more regularly}比那些在上述光滑序列。我们状态几个apturtures，这种效果，我们提供了一个启发式的解释所观察到的现象的基础上经典模型的分布素数。
2018-10-27 math.NT
Power residues, digit expansions and relative class numbers
本文综述了模素数幂剩余分布与相对类数的联系，重点在二次和六次幂剩余，狄利克雷类数公式及几何在推广中起关键作用。
2025-09-25 math.NT
On the computation of the n^th decimal digit of various transcendental numbers
本文提出了一种计算圆周率的第n位十进制数字的方法，其时间复杂度为O（n^3 log（n）^3），占用的内存很少。计算是基于最近发现的Bailey-Borwein-Plouffe算法和使用一种新的算法，简单地分裂成其组成部分的普通分数。该算法可用于计算其他数字，如zeta（3），pi*sqrt（3），pi^2和2/sqrt（5）ln（phi），其中phi是黄金比例。计算可以在不必计算前面的数字的情况下实现。我声称该算法具有更多的理论而不是实际利益，我没有找到更快的算法或证明它不存在。
2009-12-02 math.NT
About Some Relatives of Palindromes
我们引入两类新的整数。第一类由数$N$组成，对于这些数至少存在一个非负整数$A$，使得$A$的和与$N$的位数之和加上和的逆，得到$N$。第二类由数$N$组成，其中至少存在一个非负整数$A$，使得$A$的和与$N$的位数之和乘以和的逆，得到$N$。所有具有偶数位数或奇数位数且中间位数为偶数的回文都属于第一类，所有具有至少两位数的回文都属于第二类。这些类包含并严格大于$b$ -ARH数类，分别是在Ni \c tic \u a \cite{N1}中引入的$b$ -MRH数.
2019-08-02 math.NT
The normality of digits in almost constant additive functions
我们考虑由加法函数f（n）中的一些基数b连接而成的数，这些加法函数f（n）非常类似于素计数函数Ω（n）。如果我们将每个f（n）的最后一个\lceil y \frac{\log \log \log n}{\log b} \rceil数字连续连接起来，那么这样创建的数字将是正常的，当且仅当0 < y \le 1/2。这提供了在Erdos-Kac定理失效后可加函数的数字模式的随机性的见解。
2012-06-06 math.NT
Primes with restricted digits
令$a_0\in\{0,\dots,9\}$。我们证明了有无穷多个素数在它们的十进制展开式中没有数字$a_0$。证明是一个应用程序的哈迪-利特尔伍德圆方法的一个二元问题，并依赖于获得适当的“I型”和“II型”的算术信息用于哈曼筛控制的小弧。这是通过将指示素数的傅里叶变换何时大的丢番图条件与指示具有受限数字的数的傅里叶变换何时大的数字条件解相关而获得的。这些估计依赖于结合的数的几何，大筛和矩估计通过比较与马尔可夫过程。
2019-10-28 math.NT
Properties of the cumulated deficient binary digit sum
本文研究了On-LineEncyclopediaofSequences中的序列A268289，即连续整数二进制展开式中1位数与0位数之差的累积.该序列恰好匹配某些特定集合的基数序列。此外，它也可以通过使用Takagi函数来表示。这三种不同的定义各有其性质，将它们结合在一起会产生一些新的恒等式。
2019-11-10 math.NT
On digit patterns in expansions of rational numbers with prime denominator
我们证明了，对于任何固定的$\varepsilon > 0$和几乎所有的素数$p$，任何分数$m/p$与$\gcd(m,p) = 1$的$g$ -ary展开包含几乎所有长度为$k < (5/24 - \varepsilon) \log_g p$的$g$ -ary串.这补充了J. Bourgain，S.科尼亚金和我。E. Shparlinski断言，对于几乎所有的素数，所有长度为$k < (41/504 -\varepsilon) \log_g p$的$g$元串都出现在$m/p$的$g$元展开式中.
2012-05-25 math.NT
Mahler's classification and a certain class of $p$-adic numbers
本文研究了$p$ -进数的位数与Mahler分类的关系。我们表明，无理$p$进数的数字是自动的，原始形态，或Sturmian是一个$S$ -，$T$ -，或$U_1$ -数的意义上的马勒的分类。进一步，我们给出了位数为Sturmian的$p$ -adic数的代数独立性准则.
2016-06-27 math.NT
On simply normal numbers with digit dependencies
本文研究基 b 展开中数字满足 Toeplitz 型依赖关系的数，利用完全加性算术函数构造出简单 Borel 正规数，并给出其正规性成立的充要条件及偏差的有效上界。
2023-05-28 math.NT
On the digital representation of integers with bounded prime factors
令$b \ge 2$为整数。关于素数或其素因子属于给定的有限集的数在基$b$中的表示，我们知之甚少。在其他结果中，我们建立了任何足够大的整数，这不是$b$的倍数，只有小（在适当的意义上）素因子至少有四个非零的数字在其表示基$b$。
2016-09-26 math.NT
Digits of primes
综述了关于素数位数的几个不同结果，给出了Maynard和Mauduit-Rivat的一个结果的弱形式的简化证明.
2019-10-29 math.NT
Digit frequencies and class numbers
本文分类了在基b下1/p的周期数字频率可由虚二次域类数表示的情形（类数情形），并给出了不属于该类数的简单例子和类数情形的最复杂例子。
2026-06-03 math.NT
Non-expansive matrix number systems with bases similar to $J_n(1)$
我们研究了整数向量在具有矩阵基$M$和向量位数的数系中的表示。我们关注$M$与$J_n$相似的情况，即大小为$n$的$1$的Jordan块。如果$M=J_2$，我们分类大小为2的数字集，允许表示整个$\mathbb{Z}^2$。对于具有$n\geq 3$的$J_n$，证明了三位数足以表示所有的$\mathbb{Z}^n$。对于类似于$J_n$的碱基，除了$n=1$之外，最多需要$n$数字。此外，语言的字符串表示的零向量与$M=J_2$和数字$(0,\pm 1)^T$示出不是上下文无关的，但可识别的图灵机与对数记忆。
2021-10-22 math.NT
Bounds For The Tail Distribution Of The Sum Of Digits Of Prime Numbers
设s_q（n）表示以q为基的数字和函数，当n<x时，它以（q-1）/2 log_qx为中心.在Drmota、Mauduit和Rivat 2009年的论文中，他们研究了素数的位数和，并提供了集合{p<x，p prime：s_q（p）=alpha（q-1）log_q x}的大小的渐近性，其中alpha位于1/2附近的严格范围内。在本文中，我们研究了这个分布的尾部，并给出了它的下界|{p < x，p prime：s_q（p）>alpha（q-1）log_q x}|>>x^{2（1-alpha）}e^{-c（log x）^{1/2+ x}}，1/2<alpha<0.7375。为了达到这个下界，我们注意到，多项分布是尖锐的峰值，并适用于短时间间隔的素数的结果。这证明了在二进制展开式中，有无限多个素数的1比0多两倍。
2012-11-11 math.NT
Prescribing the binary digits of squarefree numbers and quadratic residues
本文研究了乘法定义的集合，如无平方整数，二次非剩余或原根，在加法描述的集合，如和集或希尔伯特立方体中的等分布.特别是，我们表明，如果一个固定的任何比例小于$40\%$的所有数字的一个给定的二进制位长度的数字，那么剩余的一组仍然具有渐近预期的squarefree整数的数量。其次，我们研究了模大素数$p$的原根的分布，建立了Hilbert立方体在原根集中的最大维数的一个新的上界，改进了作者以前的一个结果.最后，我们研究了有限域上的和集，并在基数足够大的情况下，渐近地找到了这种和集中的二次剩余和非剩余的期望个数。这大大改进了Dartyge，Mauduit和Sárközy最近的结果。我们的方法引入了一些新的思想，结合了各种方法，如指数和特征和的界，数的几何和加法组合。
2016-01-18 math.NT
On numbers divisible by the product of their nonzero base $b$ digits
对于每个整数$b \geq 3$和每个$x \geq 1$，令$\mathcal{N}_{b,0}(x)$是正整数$n \leq x$的集合，这些正整数可以被它们的非零基$b$数字的乘积整除。我们证明的形式$x^{ρ_{b,0} + o(1)} < \#\mathcal{N}_{b,0}(x) < x^{η_{b,0} + o(1)}$，作为$x \to +\infty$，其中$ρ_{b,0}$和$η_{b,0}$是常数${]0,1[}$只依赖于$b$的界限。特别是，我们表明，$x^{0.526} < \#\mathcal{N}_{10,0}(x) < x^{0.787}$，所有足够大的$x$。这改进了由De Koninck和Luca证明的界$x^{0.495} < \#\mathcal{N}_{10,0}(x) < x^{0.901}$。
2018-09-14 math.NT
Digitally Restricted Sets and the Goldbach Conjecture: An Exceptional Set Result
本文证明了在给定进制下数字受限集合中，不可表示为两素数之和的偶数例外集规模的上界结果。
2024-02-03 math.NT
Extremal orders of the Zeckendorf sum of digits of powers
用s_F（n）表示将n写成斐波那契数之和所需的最小斐波那契数。对于任意h>= 2，我们得到了s_F（n^h）/s_F（n）的极值最小和极大序模.我们利用这一点来证明，对于所有$>N_0（h），存在一个n使得n是N个斐波那契数的和，而n^h是至多130个h^2斐波那契数的和。此外，我们还给出了s_F（n^h）/s_F（n）具有小值和大值的n的个数的上界和下界.这将Stolarsky的问题扩展到幂的Zeckendorf表示，并且它符合在斐波那契数及其有限和之间寻找完美幂的经典研究。
2010-09-27 math.NT
Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi
数学常数pi最近被计算到22，459，157，718，361个十进制数和18，651，926，753，033个十六进制数。作为对π的正态性的简单检查，提取了以10为基和以16为基表示的长度为1、2和3的所有序列的频率。所有评估的频率被认为是与假设的圆周率是一个正常的数字，在这些基地是一致的。
2016-11-30 math.NT
On the decimal and octal digits of $1/p$
研究1/p的十进制周期长度及各数字出现频率，基于数论中的二次域类数，探讨十进制和八进制数字分布特性。
2026-04-27 math.NT
Digit Preserving Multiplication in Continued Fraction Representations
置换数是一个数，它是它的数字的某种置换的整数倍。一个著名的例子是9801，因为它是它的反转1089的整数倍。在本文中，我们考虑在一个完全不同的设置：连分数的重数问题。我们提出的问题时，简单连分数表示的有理数是一个整数倍的置换，其部分同分之一（或数字，我们将称之为）。我们开发了一些一般性的结果，并将其应用于寻找新的例子。在这样做的时候，我们试图分类所有的2，3，和4位数的连分数permulple的基本permulple类型，我们发现沿途。我们还生成新的例子，从旧的条件，保证数字串串联产生其他permutiples。
2017-02-15 math.NT
Sums of Digits in q-ary Expansions
令$s_q(n)$表示以基数$q$表示的数$n$的位数之和。我们在此研究了$q$和$α$的不同值的比率$\frac{s_q(n^α)}{s_q(n)}$。1978年，肯尼斯·B. Stolarsky表明，$\lim\inf_{n\rightarrow\infty}\frac{s_2(n^2)}{s_2(n)}=0$和$\lim\sup_{n\rightarrow\infty}\frac{s_2(n^2)}{s_2(n)}=\infty$使用一个明确的建设。我们证明了对于$α=2$和$q\geq 2$，上述比率实际上可以是任何正的有理数。我们还研究了当$α$是一个非整数的有理数时会发生什么，通过使用floor函数来终止结果表达式。
2014-08-01 math.NT
Distribution of Nonzero Digits in a Greedy Sequence of Powers of Two
理解不同基的完全幂展开式中数字的分布是困难的。而不是考虑渐近数字分布，我们认为基地10位的限制序列的权力2。我们应用初等方法表明，这个序列的权力2可以构造为保留尾随数字，同时本地最大化的非零数字之间的零的数量。我们还提供了一个启发式的描述这些权力的尾随数字2。
2019-06-02 math.NT
Distributions of left prime truncations
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Université de Montréal（蒙特利尔大学）
研究了整数和多项式左素截断的分布特性，分析了其在所有ℓ位数或多项式中的比例、方差及最大比例。
2026-03-09 math.NT
Repdigits in Euler functions of Pell and associated pell numbers
如果一个自然数$n$的所有数字都相同，则称之为repdigit。本文证明了无Pell数的Euler函数是至少有两位数的代表数。本文的研究也被推广到相关Pell数的某些子类。
2018-02-13 math.NT
The Position-wise Prime Digit Distribution Theorem: A Formal Proof of Position-wise Digit Equidistribution in the Prime Numbers
Bangladesh Institute of Governance and Management（孟加拉国治理与管理研究所）；University of Dhaka（达卡大学）
该论文形式证明了素数的位置数字等分布定理，指出内部数字极限概率为1/10、首位数字为1/9，明确了两种机制并给出误差界。
2026-08-20 math.NT
On the binary digits of $\sqrt{2}$
我们表明，在$\sqrt{2}$的二进制扩展的第一个$N$位数的$1$的数量至少是$\sqrt{2N}(1+o(1))$，并表明，这个界限可以改善到周围$2\sqrt{N}/\sqrt{2\sqrt{2}-1}$无限经常。
2017-11-06 math.NT
Digit Reversal Without Apology
1966年，Alan Sutcliffe发表了一篇介绍性的论文，题目是“当数字颠倒时相乘的数字”。两年后，T。J. Kaczynski扩展了Sutcliffe的工作，证明了存在一个3位数的基数n具有此属性，当且仅当存在一个2位数的基数n具有此属性。本文试图将Kaczynski的证明推广到4位和5位整数的情况，并探讨了这种推广的一些意想不到的后果。
2006-10-17 math.HO math.NT
On Permutiples Having a Fixed Set of Digits
置换数是一个数字保持乘法的乘积，也就是说，一个数字是它的数字的某个置换的整数倍。某些置换问题，特别是转置，循环，以及最近，回文数，已经得到了很好的研究。本文研究一般保数乘法问题。我们展示了如何的数字和进行的permulple相关，并利用这些关系来开发方法，从旧的发现新的permulple的例子。特别是，我们将集中在从一个已知的例子具有相同的数字集找到新的permuliple的问题。
2017-01-27 math.NT
Arithmetics in number systems with cubic base
本文主要讨论贪婪展开式，一种可能的数字表示，以及用它们进行算术运算。执行加法或乘法时，可能会出现一些额外的数字。我们研究了这些数字的数量上的界限，假设所考虑的总和或产品的扩展的有限性，特别是对于立方皮索单位的情况下。
2019-07-22 math.NT
Rational approximation with digit-restricted denominators
本文证明了实数γ的“良好”逼近存在性，使用基b下由数字0和1构成分母的有理数，推导了基本估计并通过处理指数和增强该结果。
2023-12-02 math.NT
Multiplicative subsemigroups of the positive integers closed with respect to the number of digits
在本文中，我们提出了另一种方法来处理的问题Rosales等人。特别是，一旦一个基地$b$的整数的表示是固定的，我们描述了一个程序，用于构建最小的乘法子半群的正整数封闭的数字，其中包含一组正整数的数量。
2015-05-03 math.GR math.NT
Two algorithms for evaluation of the Newman digit sum, and a new proof of Coquet's theorem
本文给出了区间[0，x）中偶数与奇数和的3的倍数之差的两个简单算法，并给出了Coquet的精确估计的一个初等证明.
2012-09-17 math.NT
Digits of pi: limits to the seeming randomness
人们普遍认为$π$的小数位表现为统计独立的随机变量，其取值为具有相等概率$1/10$的值$0, 1, 2, 3, 4, 5$、$6, 7, 8, 9$。在这篇文章中，首先，另一个类似的猜想是探讨-在基地3表示的权力$2^n$的数字似乎几乎随机的行为。这个猜想似乎得到了很好的证实--它甚至通过了由中心极限定理和重对数定律所激发的检验。此后，对数字$π$、$e$和$\sqrt{2}$的十进制表示中的数字序列进行了类似的测试。结果看起来令人惊讶：与$2^n$的以3为底的表示中的数字不同，观察到收敛到零，而不是具有重对数定律所要求的振幅的振荡。如果对于这种“分析”定义的无理数，观察到的行为保持不变，直到无穷大，那么它们的数字的看似随机性只是有限的。
2014-11-14 math.NT
Prescribin the binary digits of the primes, II
我们得到的期望渐近公式的素数$p<N=2^n$与$r$规定（任意放置）的二进制数字，提供$r<cn$为一个合适的常数$c>0$。这个结果改进了我们早先的结果，其中假定$r$满足$r<c(\frac n{\log n})^{4/7}$。
2013-07-01 math.NT
