Asymptotic statistics for finite continued fractions with restricted digits
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
本文研究了有限继续分数在受限数字下的渐近统计特性，通过分析特定分形集的ε-增厚大小，对Zaremba猜想进行了平均意义下的评论，并讨论了复继续分数在虚二次域上的推广。
2026-04-22 math.DS math.NT
Level sets of asymptotic mean of digits function for 4-adic representation of real number
本文研究了数的位数渐近平均的函数$r$在$4$ -adic表示中的水平集$x\in[0;1]$的拓扑、度量和分形性质，若至少一位数的渐近频率$ν_j(x)$不存在，则$$r(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits^{n}_{i=1}α_i(x)$$为$$ ν_j(x)=\lim_{n\to\infty}n^{-1}#\{k: α_k(x)=j, k\leqslant n\}, \:\: j=0,1,2,3. $$
2016-08-30 math.NT math.PR
Singular probability distributions and fractal properties of sets of real numbers defined by the asymptotic frequencies of their s-adic digits
详细研究了单位区间上“特别非正规数”集合$T_s$的性质（$T_s$由实数$x$组成，其s-adic数中的一些具有$x$的无限$s-$ adic展开式中的渐近频率，而另一些则不具有渐近频率）.证明了集合$T_s$在拓扑意义上是剩余的（即，它属于第一Baire类别），并且它在分形几何学的意义上是通用的（$T_s$是超分形集，即，其Hausdorff-Besicovitch维度等于~1）。通过分析数字在s-adic展开式中的渐近频率，给出了实数集的拓扑分形分类。
2006-05-30 math.NT math.PR
A Joint Central Limit Theorem for the Sum-of-Digits Function, and Asymptotic Divisibility of Catalan-like Sequences
本文证明了$s_q(A_jn)$的联合分布$1\le j \le d$的一个中心极限定理，其中$s_q$表示以$q$为基的数字和函数，$A_j$是与$q$互素的正整数.事实上，我们是在拟加性函数的框架内这样做的。作为应用，我们表明，大多数元素的“加泰罗尼亚”序列-我们的意思是整数序列定义的产品/因子-整除任何给定的正整数。
2018-08-12 math.CO math.NT
Digit frequencies of beta-expansions
令$β>1$为非整数。首先我们证明了勒贝格几乎每一个数都有一个给定频率的$β$ -展开当且仅当勒贝格几乎每一个数都有无穷多个相同给定频率的$β$ -展开。然后我们推出Lebesgue几乎每一个数都有无穷多个平衡的$β$ -展开式，这里有限字母表$\{0,1,\cdots,m\}$上的无穷序列称为平衡的，如果对于所有$k\in\{0,1,\cdots,m\}$，数字$k$的频率等于数字$m-k$的频率.最后，我们考虑可变频率，证明了对于每个伪黄金比例$β\in(1,2)$，存在一个常数$c=c(β)>0$，使得对于任何$p\in[\frac{1}{2}-c,\frac{1}{2}+c]$，Lebesgue几乎每个$x$都有无穷多个零频率等于$p$的$β$ -展开式.
2019-10-08 math.DS math.NT
Multi-Base Representations of Integers: Asymptotic Enumeration and Central Limit Theorems
在整数的多进制表示中（与二进制或十进制表示相反），基数（或基数）被替换为单个基数的幂的乘积。所得到的数字系统具有快速算术所需的属性。它通常是冗余的，这意味着每个整数可以有多个不同的数字扩展，因此自然会出现表示数的问题。本文给出了正整数$n$的多基表示个数的一般渐近公式。此外，我们证明了中心极限定理的数字和，汉明重量（非零数字的数量，这是一个衡量效率）和出现的一个固定的数字在一个随机表示。
2015-03-30 math.CO math.NT
On the asymptotic behaviour of the correlation measure of sum-of-digits function in base 2
令$s\_2(x)$表示任何$x \in \mathbb{N}$的二进制扩展中的位数“$1$“。本文研究了$s\_2(x+a)-s\_2(x)$的平均分布$μ\_a$，证明了方程$$ s\_2(x+a)-s\_2(x)= d $$的解是由$\{0,1\}^*$中的有限前缀集唯一确定的，而$d$的差的概率分布是由系数为$l^1(\mathbb{Z})$的算子的矩阵的无穷乘积给出的.然后，用$l(a)$表示$a$的二进制展开式中的模式数$01$，我们给出了当$l(a)$趋于无穷大时该概率分布的渐近性质以及概率测度$μ\_a$的方差估计
2017-12-11 math.CO math.NT math.PR
Niven numbers are an asymptotic basis of order 3
本文证明对于任意$g\geq 3$，所有足够大的自然数均可表示为三个base-$g$ Niven数之和，并给出了相应表示数量的渐近公式。
2025-11-04 math.NT
Prescribin the binary digits of the primes, II
我们得到的期望渐近公式的素数$p<N=2^n$与$r$规定（任意放置）的二进制数字，提供$r<cn$为一个合适的常数$c>0$。这个结果改进了我们早先的结果，其中假定$r$满足$r<c(\frac n{\log n})^{4/7}$。
2013-07-01 math.NT
A formula for the $n^{\rm th}$ decimal digit or binary of $π$ and powers of $π$
通过使用已知的欧拉和伯努利数的渐近公式，可以获得$π$的第n位的十进制或二进制的显式表达式，还可以获得$π^n$的幂的$n^{\rm th}$位。
2022-03-03 math.NT
Sums of proper divisors with missing digits
本文证明当目标集合为缺失数字的整数集时 EGPS 关于真因数和原像密度的猜想成立，并给出原像大小的精确上界。
2023-07-24 math.NT
Use of difference tables at studying of properties of binomial coefficients
研究了对角二项式系数关于其单位位频率的一些性质。制定了一种方法，导致使用差分表来预测某些单位数字是否可以出现在二项式定理的二次项处的二项式系数的值中。二项式系数的单位数字的频率分布在大多数常见的编号系统下包含间隙（零频率），假定排除2^n基的系统。二项式系数算法可用于模拟多细胞生物体中的细胞群体动力学，这意味着动力学服从幂函数定律。
2017-04-30 math.NT
On a Conjecture of Cusick Concerning the Sum of Digits of n and n + t
对于非负整数$t$，令$c_t$是自然数$n$的渐近密度，其中$s(n + t) \geq s(n)$，其中$s(n)$表示$n$在基$2$中的数字之和。本文证明了在渐近密度$1$集合中，对$t$的$c_t > 1/2$，从而部分地解决了T. W. Cusick指出，$c_t > 1/2$对所有t。有趣的是，这个问题有几个等价的公式，例如，多项式$X(X + 1)\cdots(X + t - 1)$具有小于$2^t$的零模$2^{t+1}$。主要结果的证明是基于切比雪夫不等式和三元有理函数的渐近分析，使用分析组合学的方法。
2016-05-02 cs.SC math.CO math.NT
The sum of digits function of the base phi expansion of the natural numbers
在基phi展开中，任何自然数都被唯一地写成数字为0和1的黄金平均数的幂和，其中要求两个连续数字的乘积总是0。本文证明了这些展开式的模2数和函数是一个形态序列。特别是我们证明-像Thue-Morse序列-在这个序列中0和1的频率等于1/2。
2019-11-25 math.NT
The Prime Digit Distribution Conjecture: A Formal Proof of Average Digit Equidistribution in the Prime Numbers
Bangladesh Institute of Governance and Management（孟加拉国治理与管理研究所）；University of Dhaka（达卡大学）
研究素数数字分布，结合素数定理等方法证明素数中数字出现概率渐近为\(\frac{1}{10}\)，建立内部数字定量等分布，阐明与其他相关问题区别，得出素数数字汇总后渐近等分布的结论。
2026-07-14 math.NT
Sharp extremal asymptotics for Cusick's sum-of-digits bias at fixed Hamming weight
China West Normal University（西华师范大学）
本文针对二进制数位和函数，解决Cusick猜想后进一步确定固定汉明重量下偏差的尖锐极值渐近尺度，证明最优偏差为多项式对数级并给出首项常数，结合相关方法完成证明并补充稳定性定理与常数的阴影能量解释。
2026-08-27 math.CO math.NT
Normal distribution of correlation measures of binary sum-of-digits functions
本文研究了\cite{emme_asymptotic_2017}中引入的相关测度。用$μ_a(d)$表示集合$\mathcal{E}_{a,d}=\{n \in \mathbb{N}, \ s_2(n+a)-s_2(n)=d\}$的渐近密度（其中$s_2$是以2为底的数字和函数）。然后，对于$\{0,1\}^\mathbb{N}$中的任何点$X$，定义整数序列$\left(a_X (n)\right)_{n\in \mathbb{N}}$，使得$a_X (n) $的二进制分解是$X$的长度$n$的前缀。证明了对于PDMATHAMR上的\textit{any}平移不变遍历概率测度$ν$，序列$\left(μ_{a_X(n)}\right)_{n \in \mathbb{N}}$满足中心极限定理.在$ν$是\cite{emme_central_2018}中的对称伯努利测度的情况下证明了该结果。
2018-10-26 math.DS math.NT math.PR
