The Multiplicative Persistence Conjecture: Resolving the \(2\)-Adic Obstruction for Nonzero Even Targets
Bowling Green State University（鲍灵格林州立大学）
本文证明了乘法持久性猜想中关于非零偶目标的2进指数一致有界的部分，得到显式界并推广至任意基，结合已有方法得到分析非零偶终端数字的有限算法。
2026-08-31 math.NT
Counting numbers that are divisible by the product of their digits
本文研究 base-b Zuckerman 数的计数问题，改进其上下界，提出启发式估计，并设计计数与枚举算法验证结果。
2024-04-03 math.NT
The Last Digit of $\binom{2n}{n}$ and $\sum\binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$
令$f_{n}=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$，$g_{n}= \sum_{i=1}^n \binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$。令$\{a_k\}_{k=1}$是所有正整数n的集合，按递增顺序，其中$\binom{2n}{n}$不能被5整除，令$\{b_k\}_{k=1}$是所有正整数n的集合，按递增顺序，其中$g_n$不能被5整除。本说明找到了$a_k$、$b_k$、$\binom{2n}{n}\ mod\ 10$、$ f_{n}\ mod\ 10$和$ g_{n}\ mod\ 10$的简单公式。
2013-02-01 math.CO math.NT
Integer group determinants for the elementary abelian group of order 49
Mahidol University International College（玛希隆大学国际学院）
本文通过分类能被7整除的取值，完整确定了$C_7\times C_7$的整数群行列式集合，给出赋值10和11的余因子条件，并求得最小正取值。
2026-09-10 math.NT
Products of integers with few nonzero digits
令$s(n)$为整数$n$的二进制数字扩展中的非零位数。研究了固定$k,\ell,m$的奇整数变量$a,b$中的丢番图系统$$ s(ab)=k, \quad s(a)=\ell,\quad \mbox{and }\quad s(b)=m, $$.当$k=2$或$k=3$时，我们根据$\ell$和$m$在$ab$上建立一个界限。虽然这样的界限不存在的情况下，$k=4$，我们给$\min\{a,b\}$在$\ell$和$m$的上限。
2021-12-06 math.CO math.NT
Average divisibility in character tables of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
研究 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$ 特征标表中不被固定素数 $\ell$ 整除的条目比例，证明该比例趋于 $1/2$，而非零条目中不被 $\ell$ 整除的比例趋于 $1$，并证明非零特征值的角度在 $[0,2\pi]$ 上均匀分布。
2026-06-29 math.CO math.NT math.RT
Digital semigroups
利用有理数在不同于$0, 1, -1$的任意整数基上的展开式，研究了数值么半群与非零整数乘法半群的某些子半群之间的关系.
2019-10-22 math.NT
On the digital representation of smooth numbers
令$b \ge 2$为整数。在其他结果中，我们建立，在一个定量的形式，任何足够大的整数，这不是$b$的倍数不能同时只有少数不同的素因子和只有少数非零的数字在其表示基$b$。
2017-04-03 math.NT
High degree $b$-Niven numbers
设$b$为一个计数基数。一个$b$ -尼文数是一个可以被它的基本$b$数字之和整除的数。引入了高阶$b$ -Niven数.这些是功效大于$1$（即$b$ -Niven数）的$b$-Niven数。我们的主要结果表明，对于每一个度，都存在一个无限集的基集$b$，对于该基集，存在该度的$b$ -Niven数.高次$b$ -Niven数是由显式公式给出的，并且所有数字都不为零.
2018-07-06 math.NT
On the digital representation of integers with bounded prime factors
令$b \ge 2$为整数。关于素数或其素因子属于给定的有限集的数在基$b$中的表示，我们知之甚少。在其他结果中，我们建立了任何足够大的整数，这不是$b$的倍数，只有小（在适当的意义上）素因子至少有四个非零的数字在其表示基$b$。
2016-09-26 math.NT
Niven numbers are an asymptotic basis of order 3
Mathematical Institute（数学研究所）
本文证明对于任意$g\geq 3$，所有足够大的自然数均可表示为三个base-$g$ Niven数之和，并给出了相应表示数量的渐近公式。
2025-11-04 math.NT
A generalization of Watson transformation and representations of ternary quadratic forms
设$L$是一个正定（非经典）三元$\z$ -格，$p$是一个素数，使得$L_p$的一个$\frac 12\z_p$ -模分量是非零各向同性的，并且$4\cdot dL$不能被$p$整除.对于非负整数$m$，令$\mathcal G_{L,p}(m)$是二次空间$L^{p^m}\otimes \q$上具有判别式$p^m\cdot dL$的亏格，使得对于每个格$T \in \mathcal G_{L,p}(m)$，$T_p$的$\frac 12\z_p$ -模分量是非零各向同性的，并且对于不同于$p$的任何素数$q$，$T_q$与$(L^{p^m})_q$等距。令$r(n,M)$是整数$n$由$\z$ -格$M$表示的数量。本文证明了如果$m \le 2$和$n$仅当$m=2$时才能被$p$整除，则对于任何$T \in \mathcal G_{L,p}(m)$，$r(n,T)$都可以表示为$r(pn,S_i)$和$r(p^3n,S_i)$的线性和，对于$S_i \in \mathcal G_{L,p}(m+1)$，在某些特殊情况下还需要增加一项.我们提供了一个简单的标准，当额外的条款是必要的，我们计算额外的条款明确。对于任意的整数$m$，我们也给出了一个递归关系式，利用某些整数在$\mathcal G_{L,p}(m+1)$中的格表示的个数，对任意的$T \in \mathcal G_…
2016-01-07 math.NT
On the divisibility of sums of Fibonacci numbers
本文证明存在无穷多个奇数 $n$，使前 $n$ 个非零斐波那契数之和能被 $n$ 整除，从而解决 Fatehizadeh 与 Yaqubi 的猜想。
2025-08-31 math.CO math.NT
A Joint Central Limit Theorem for the Sum-of-Digits Function, and Asymptotic Divisibility of Catalan-like Sequences
本文证明了$s_q(A_jn)$的联合分布$1\le j \le d$的一个中心极限定理，其中$s_q$表示以$q$为基的数字和函数，$A_j$是与$q$互素的正整数.事实上，我们是在拟加性函数的框架内这样做的。作为应用，我们表明，大多数元素的“加泰罗尼亚”序列-我们的意思是整数序列定义的产品/因子-整除任何给定的正整数。
2018-08-12 math.CO math.NT
Estimates of Newman Sum over Numbers Multiple of a Fixed Integer
本文证明了当求和的上极限趋于无穷大时，非3的整数倍的Newman和与可被3整除的整数倍的Newman和之比为o（1），并讨论了所得结果与素数的一个数字猜想的关系.
2008-08-20 math.NT
An explicit generating function arising in counting binomial coefficients divisible by powers of primes
对于素数$p$和非负整数$j$和$n$，令$\vartheta_p(j,n)$是帕斯卡三角形的第$n$行中可被$p^j$整除的条目数。此外，对于$\{0,\ldots,p-1\}$中的有限序列$w=(w_{r-1}\cdots w_0)\neq (0,\ldots,0)$，我们用$\lvert n\rvert_w$表示$w$作为$n$的基- $p$扩展$n=(n_{μ-1}\cdots n_0)_p$的因子（连续子序列）出现的次数.从Barat和Grabner的工作（二项式系数的数字函数和分布，J. London Math. Soc.（2）64（3），2001）得出，$\vartheta_p(j,n)/\vartheta_p(0,n)$由变量$X_w$中的多项式$P_j$给出，其中$w$是$\{0,\ldots,p-1\}$中的某些有限字，并且每个变量$X_w$被设置为$\lvert n\rvert_w$。这后来由Rowland（The number of nonzero二项式系数modulo $p^α$，J. Comb. Number Theory 3（1），2011）明确表示，独立于Barat和Grabner的工作，并且Rowland描述并实现了计算这些多项式$P_j$的算法。本文用生成函数表示$P_j$的系数，并证明了这些生成函数可以通过递推关系显式确定。此外，我们证明了$P…
2017-11-08 math.CO math.NT
Binary-ternary collisions and the last significant digit of $n!$ in base 12
该研究在已有2进制与3进制数字和函数有无穷多碰撞结论的基础上进行细化，证明1到11的每个整数都能无穷次作为12进制下阶乘$n!$的最后非零数字出现，拓展了数论中数字和与阶乘数字特征的相关研究。
2024-12-12 math.NT
Analysis of Width-$w$ Non-Adjacent Forms to Imaginary Quadratic Bases
我们考虑对$τ$的基数的数字展开，其中$τ$是一个代数整数。对于一个$w \geq 2$，容许数的集合由0和一个代表不能被$τ$整除的每个剩余类模$τ^w$组成。通过施加宽度$w$ -NAF条件，即，在扩展中，每个$w$连续数字块最多包含一个非零数字。这样的结构可以有效地用于椭圆曲线密码结合Koblitz曲线。本工作涉及分析一个固定的非零数字的出现次数。在一般情况下，我们研究所有的$w$ -NAF的给定长度的扩展。我们给出了一个明确的表达式的期望和方差的出现这样的数字在所有的扩展。进一步证明了一个中心极限定理。在一个假想的二次$τ$和数字集的最小范数代表的情况下，分析是更精细：我们给出了一个渐近公式的数字出现在$w$ -NAFs的所有元素的$\Z[τ]$在某些区域（例如，一个磁盘）。主项与全块长分析一致，但在二阶项中也表现出周期性波动。证明遵循Delange的方法。我们还表明，在虚二次$τ$和$w \geq 2$的情况下，最小范数代表的数字集导致$\Z[τ]$的\emph{all}元素的$w$-NAF。此外还讨论了基本区的一些性质。
2012-08-03 math.NT
Ellipsephic harmonic series revisited
该研究针对椭圆（类肯普纳）调和级数，推广了文献中部分结果，给出了任意底数下任意数字或数字块对应的级数的完整结论。
2024-03-08 math.NT
Additive bases and Niven numbers
在胡利黎曼假设下，证明基$g$的Niven数集是加性基，即每个自然数可表示为至多$C_g$个此类数之和。
2021-02-03 math.NT
Wendt's determinant and finiteness of prime characteristics for permutation binomials
School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）
本研究针对置换二项式，结合Wendt行列式，证明对固定参数，仅有限个素特征存在满足条件的置换二项式，确定了特定情形下的可允许特征及相关整除条件。
2026-10-14 math.NT
Smooth Subsum Search: A heuristic for practical integer factorization
本文提出一种基于可被因子基素数整除的和来表示平滑性候选的整数分解启发式方法，其Python实现比最快的自初始化二次筛法快5至10倍。
2023-07-11 math.NT
The Multiplicative Persistence Conjecture Is True for Odd Targets
1973年，Neil Sloane发表了一篇非常简短的论文，介绍了一个有趣的问题：选择一个十进制整数$n$，并将其所有数字相乘。重复该过程，直到获得一位数的$Δ(n)$。$Δ(n)$称为\textsl{multiplicative digital root of $n$}或\textsl{the target of $n$}。到达$Δ(n)$所需的$Ξ(n)$的步数，称为$n$或\textsl{the height of $n$}的乘法持续性，被证明总是至多为$11$。像许多其他非常简单的数论命题一样，乘法持久性之谜抵制了无数的解释尝试。本文证明了对于所有奇数目标值，猜想成立：即如果$Δ(n)\in\{1,3,7,9\}$，则$Ξ(n) \leq 1$;如果$Δ(n)=5$，则$Ξ(n) \leq 5$ .自然，我们概述了目前阻止我们将方法扩展到（非零）偶数目标的困难。
2021-10-08 math.NT
Perrin numbers that are concatenations of two distinct repdigits
令$ (P_n)_{n\ge 0}$为Perrin数的序列，其由三元关系$ P_0=3 $、$ P_1=0 $、$ P_2=2 $和$ P_{n+3}=P_{n+1}+P_n $定义，用于所有$ n\ge 0 $。本文利用Baker关于代数数中非零线性型的理论和涉及连分数理论的约化过程，明确地确定了由两个不同的重复数串接而成的所有Perrin数.
2021-05-16 math.NT
Analysis of the binary asymmetric joint sparse form
我们考虑整数向量的冗余二进制联合数字展开。冗余用于最小化汉明权重，即，非零数字向量的数量。这导致在阿贝尔群中的有效的线性组合算法，其例如用于椭圆曲线密码学中。如果数字集是一组包含零的连续整数，则已知一个特殊的语法条件来最小化权重。我们分析了所有最大项小于N的非负整数向量的最优权值。给出了具有主项和二阶周期波动项的期望和方差。最后，我们证明了渐近正态性。
2014-02-10 math.CO math.NT
The spinor type number formula for totally definite quaternion orders
School of Mathematics and Statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）
本文研究了完全确定四元数代数的旋量类型数公式，证明了类型数可被相关商群阶整除，并扩展了类数可被类数整除的结果。
2026-01-12 math.NT
On the rational approximation to $p$-adic Thue--Morse numbers
设$p$是素数，$ξ$是无理$p$-adic数.它的乘性无理性指数${μ^{\times}} (ξ)$是实数${μ^{\times}}$的上确界，对于该上确界，不等式$$ |b ξ- a|_{p} \leq | a b |^{- {μ^{\times}} / 2} $$在非零整数$a, b$中有无穷多个解。我们表明，${μ^{\times}} (ξ)$可以表示在一个新的指数的逼近附加到一个序列的有理数定义的$ξ$。我们建立了${μ^{\times}} ({{ξ_{{\bf t}, p}}}) = 3$，其中${{ξ_{{\bf t}, p}}}$是$p$-adic数$1 - p - p^2 + p^3 - p^4 + \ldots$，其数字序列由$\{-1, 1\}$上的Thue-Morse序列给出.
2021-10-05 math.NT
Ternary expansions of powers of 2
Paul Erdos问2^n的三进制展开式有多频繁地省略数字2。他解释说，这种情况只会发生在n的100个值上。我们将这个问题推广到考虑两个离散动力系统的迭代。第一个是在实数上，并且考虑对于实数输入lambda的lambda 2^n的整数部分。第二个是在3-adic整数上，并考虑3-adic整数输入lambda的序列lambda 2^n。我们表明，输入值的数量，有无穷多个迭代省略数字2在他们的三进制扩展是小的，在适当的意义。对于每一个非零输入，我们给出了一个渐近上界的数量的第一个k迭代，省略数字2，因为k走向无穷大。我们还研究了3-adic Cantor集的乘法平移的交集的豪斯多夫维数的辅助问题。
2008-07-11 math.DS math.NT
On the minimal Hamming weight of a multi-base representation
给定一个有限的基集合$b_1$，$b_2$，\dots，$b_r$（大于$1$的整数），整数~ $n$的多基表示是一个与被和项$db_1^{α_1}b_2^{α_2} \cdots b_r^{α_r}$的和，其中$α_j$是非负整数，数字$d$取自一个固定的有限集合。我们考虑至少有两个基地是乘法独立的多基地表示。我们的主要结果表明，整数~ $n$的最小汉明重量的数量级，即，在~ $n$的表示中，非零被加数的最小数目是$\log n / (\log \log n)$。这与碱基数、碱基本身和数字集无关。为了证明，将已有的素基上界推广到乘法独立基上，为了分析自然贪婪算法，得到了丢番图逼近中的一个辅助结果.下界之后的计数参数，或者通过使用通信复杂性，从而提高现有的界限和关闭的差距的数量级。这也意味着贪婪算法在$\mathcal{O}(\log n/\log \log n)$步骤之后终止，并且该边界是尖锐的。
2019-07-12 math.NT
Powers in prime bases and a problem on central binomial coefficients
Niels Bohr Institute, University of Copenhagen（哥本哈根大学尼尔斯玻尔研究所）；Department of Mathematics, University of Copenhagen（哥本哈根大学数学系）
研究素数底数下幂的表示特性，证明关于中心二项式系数的整除性问题的渐近密度为零。
2026-01-14 math.NT
Sharp Diameter Bounds for Nonnegative Cyclotomic Multiples
Academy of Mathematics and Systems Science Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences Soochow University（苏州大学数学科学学院）
本文证明非负循环分圆倍式的支撑直径下界为(p-1)N/p，并刻画等式情形，证实Steinberger猜想，进而建立Coven-Meyerowitz直径界及其改进。
2026-09-09 math.CO math.NT
Bernoulli numbers and the integer group determinants of $C_p \times C_p$
Mahidol University International College（玛希隆大学国际学院）
该研究针对素数$p\ge7$，结合伯努利数与圆单位，确定$C_p\times C_p$的整数群行列式集合的最小指数$e(p)$，给出其下界、等式成立条件及正则素数下的行列式性质。
2026-10-14 math.NT
On Logarithmically Benford Sequences
本文研究受多项式界控制且归一化系数关于对称测度等分布的序列，刻画其在算术密度下不服从而在对数密度下可服从 Benford 定律的条件，并应用于偶权 newform 的 Frobenius 迹。
2015-12-25 math.NT
