Transformations and functions that preserve the asymptotic mean of digits in the ternary representation of a number
Institute of Mathematics of NAS of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）；Dragomanov Ukrainian State University（德拉戈马诺夫乌克兰国立大学）
本文研究了保持数的三进制表示中数字渐近均值的变换与函数，探讨了其必要且充分条件。
2026-03-05 math.FA math.NT
The joint distribution of binary and ternary digits sums
本文研究二进制与三进制数位和函数的联合分布，证明了$(s_2(n),s_3(n))$在渐近密度意义下几乎取遍$\mathbb N^2$，从而将已有的碰撞结果推广为任意正整数对$(a,b)$下方程$as_2(n)=bs_3(n)$都有无穷多个解。
2025-01-01 math.NT
Collisions of digit sums in bases 2 and 3
证明了一个关于二进制和三进制数和函数的猜想：存在无穷多个正整数$n$使得$n$的二进制数和等于$n$的三进制数和.
2022-04-20 math.NT
Frequency of a Digit in the Representation of a Number and the Asymptotic Mean Value of the Digits
Institute of Mathematics, Ukrainian National Academy of Sciences（乌克兰国家科学院数学研究所）；Drahomanov National Pedagogic University（德拉霍马诺夫国立师范大学）
本文研究了数的三进制表示中数字频率与渐近均值的关系，揭示了存在无频率但有渐近均值的数集。
2026-03-05 math.FA math.NT
Ternary expansions of powers of 2
Paul Erdos问2^n的三进制展开式有多频繁地省略数字2。他解释说，这种情况只会发生在n的100个值上。我们将这个问题推广到考虑两个离散动力系统的迭代。第一个是在实数上，并且考虑对于实数输入lambda的lambda 2^n的整数部分。第二个是在3-adic整数上，并考虑3-adic整数输入lambda的序列lambda 2^n。我们表明，输入值的数量，有无穷多个迭代省略数字2在他们的三进制扩展是小的，在适当的意义。对于每一个非零输入，我们给出了一个渐近上界的数量的第一个k迭代，省略数字2，因为k走向无穷大。我们还研究了3-adic Cantor集的乘法平移的交集的豪斯多夫维数的辅助问题。
2008-07-11 math.DS math.NT
On the last digit and the last non-zero digit of $n^n$ in base $b$
本文研究了基$b$中由$n^n$的最后一位和最后一位非零数字定义的序列。对于由基$b$中的$n^n$的最后一位数给出的序列，我们用不同于W. Sierpinski和R.汉佩尔在由基$b$中的$n^n$的最后非零数字给出的序列的情况下（仅针对$b=10$进行了研究），我们证明了当$b$是奇素数幂时以及当它是偶数且无平方时序列的非周期性。我们还表明，如果$b=2^{2^s}$的序列是周期性的，并推测这是唯一的情况。
2012-03-19 math.NT
Two Irrational Numbers That Give the Last Non-Zero Digits of $n!$ and $n^n$
如果我们构造一个小数，其中第n位是$n!$的最后一个非零位（同样，也是$n^n$的最后一个非零位），我们得到一个无理数
2019-04-23 math.NT
On the last nonzero digits of $n!$ in a given base
本文研究了在给定基$b$中$n!$的最后一个非零数字的$k$串序列。我们确定的$b$这个序列是自动的，并显示如何生成它使用一个统一的态射。我们还计算每个可能的$k$数字串作为$n!$的$k$最后一个非零数字出现的频率。
2018-09-18 math.NT
Automaticity of the sequence of the last nonzero digits of $n!$ in a fixed base
在2011年，Deshouillers和Ruzsa试图论证$n!$的最后一个非零数字在12进制中的序列不是自动的。这一说法在几年后被德肖利埃证实。在本文中，我们提供了替代证明，让我们推广的问题，并给出了一个确切的特征，其中基地的序列的最后非零数字的$n!$是自动的。
2018-06-07 math.NT
Non-periodicity of the sequence of the last nonzero digits of factorials and its applications to transcendence
该研究证明了任意大于2的整数基下阶乘最后非零数字序列非最终周期，将Adamczewski–Bugeaud准则推广到周期Cantor基展开，并据此证明满足条件的Cantor基展开实数为超越数。
2025-10-01 math.NT
On $k$-regularity of sequences of valuations and last nonzero digits
设$b \geq 2$是具有素因子$p_1, \ldots, p_s$的整数基。本文研究了“$b$ -adic赋值”序列和值$f(n) = (f_1(n), \ldots, f_s(n))$的$b$ -adic展开式中的最后一个非零数字，其中每个$f_i$是一个$p_i$ -adic解析函数.本文给出了这类序列的$k$ -正则性的一个完整分类，推广了Shu和Yao关于$b$素数的一个结果.作为应用，我们加强了Murru和Sanna关于第一类Lucas序列的$b$ -adic赋值的一个定理.此外，我们推导出一种方法，以确定这些序列的哪些条款可以表示为某些三元二次型。
2022-02-20 math.NT
On the last digits of consecutive primes
最近奥利弗和Soundararajan提出了计算枚举的基础上出现的频率对最后的数字连续素数。通过研究Eratosthenes筛，我们已经确定了离散的动态系统，准确地模拟人口的差距跨越阶段的Eratosthenes筛。我们的模型提供了一些观察到的偏见在连续素数的最后一个数字的出现，模型表明，偏见最终将被逆转足够大的素数。确切的模型为种群的差距在各个阶段的埃拉托斯特尼筛提供了一个建设性的补充概率模型植根于哈代和Littlewood的工作，它提供了时间常数，描述了人口的演变较大的差距。
2016-07-10 math.NT
A New Transcendental Number from $N^N$
本文首先对超越数的研究历史作了简要的回顾，然后利用G. Dresden证明了一个新的超越数。特别是，虽然以前的工作着眼于$n^n$的最后一个非零数字，我们认为数字的权利之前，其最后一个非零数字，并表明，建立从这些数字的无穷小数是超越的。
2020-01-08 math.NT
On the last digits of tetrations of base $2^{k}$ and $5^{k}$
本文将证明一个减少基$2^{k}$和$5^{k}$ $\mod 10^{n}$的四分之一的公式的存在性。事实上，从某个超指数开始，四分之一的最后几位是相同的;为了计算这些表达式的最后几位，我们将它们约简为$\mod 10^{n}$。对于$k$的不同情况，将推导出许多不同的公式（其中$k$是四分之一的底的指数）。这种操作很吸引人，因为四分之一的增长非常快。但是使用这些公式，我们实际上可以得到这些表达式的最后一位数字的信息。可以在软件上使用这些结果，以便更快地减少四分之$\mod 10^{n}$。
2022-03-21 math.HO math.NT
Local Extrema and Infinite Derivatives of the Delange Function of Base 3
University of Wisconsin–Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文研究基3的Delange函数T的局部结构，明确其局部极值点的特征，刻画T具有无穷导数的点的条件，推导有限立方体上边数最小值的性质、T的变差极限及傅里叶系数。
2026-10-22 math.CO math.NT
The Last Digit of $\binom{2n}{n}$ and $\sum\binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$
令$f_{n}=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$，$g_{n}= \sum_{i=1}^n \binom{n}{i}\binom{2n-2i}{n-i}$。令$\{a_k\}_{k=1}$是所有正整数n的集合，按递增顺序，其中$\binom{2n}{n}$不能被5整除，令$\{b_k\}_{k=1}$是所有正整数n的集合，按递增顺序，其中$g_n$不能被5整除。本说明找到了$a_k$、$b_k$、$\binom{2n}{n}\ mod\ 10$、$ f_{n}\ mod\ 10$和$ g_{n}\ mod\ 10$的简单公式。
2013-02-01 math.CO math.NT
Counting rationals and diophantine approximation in missing-digit Cantor sets
University of Warwick（华威大学）；Chongqing University（重庆大学）
本文通过傅里叶ℓ^1维度方法，研究了缺失数字康托集中的有理数计数和丢番图逼近问题，并对多个猜想做出了进展。
2026-01-16 math.NT
On the base $b$ expansion of the number of trailing zeroes of $b^k!$
让我们用$Z_{b}(n)$表示$n!$的基b展开式中尾随零的数目。本文研究了$\vartheta(b):=\lim_{n\to \infty}Z_{b}(n)/n$在$b$中的表达与$Z_{b}(b^{k})$表达之间的关系。特别地，如果$b$是素数幂，我们将证明$Z_{b}(b^{k})$的$k$数字与$\vartheta (b)$的小数部分的第一个$k$数字之间的相等性。在一般情况下，我们将看到，除了最后一位$\lfloor \log_{b}(k) +3\rfloor $之外，这个等式仍然成立。最后我们证明了如果$b$是无平方的，这个界可以得到改进，并给出了关于这个界的一些说明。
2010-02-22 math.NT
Memory Efficient Arithmetic
本文给出了一个计算整数n的第m个b进制数（m=1是最低有效数字）的算法（实际上，它找到了n/b^m mod 1的精确逼近），其中n定义为整数序列s1，s2，.中的最后一个数，sL=n，其中s1=0，s2=1，并且每个连续的si是序列中两个先前sj的和、积或差。在许多情况下，该算法将使用比写下n的所有b进制数字少得多的内存来找到第m个数字，而位操作的数量只会比数字数量的线性增长略差。这个结果的一个结果是，2^t的第m个以10为底的数字可以使用O（t^{2/3} log^C t）位的存储（对于某些C>0）和O（t log^C t）位操作来找到。该算法也是高度并行化的，并且可以使用M个处理器来实现运行时间的M倍减少，尽管所需的存储器随后将增长M倍。
2003-03-20 cs.DS math.NT
Structured Solutions of Prime-Base Binomial Congruences
Universidade Federal Rural de Pernambuco（伯南布哥联邦农村大学）
研究素数基 q 下二项式同余式 C(qn, n) ≡ q^n (mod n) 的解结构，将解 n = q^t p 转化为模 p 同余和数字和不等式两个独立条件，并用于生成新解及证明平方解与 Wieferich 素数等价。
2026-06-29 math.CO math.NT
