关于$b^k!$尾随零个数的基$b$展开
On the base $b$ expansion of the number of trailing zeroes of $b^k!$
摘要：
让我们用$Z_{b}(n)$表示$n!$的基b展开式中尾随零的数目。本文研究了$\vartheta(b):=\lim_{n\to \infty}Z_{b}(n)/n$在$b$中的表达与$Z_{b}(b^{k})$表达之间的关系。特别地，如果$b$是素数幂，我们将证明$Z_{b}(b^{k})$的$k$数字与$\vartheta (b)$的小数部分的第一个$k$数字之间的相等性。在一般情况下，我们将看到，除了最后一位$\lfloor \log_{b}(k) +3\rfloor $之外，这个等式仍然成立。最后我们证明了如果$b$是无平方的，这个界可以得到改进，并给出了关于这个界的一些说明。
英文摘要：
Let us denote by $Z_{b}(n)$ the number of trailing zeroes in the base b expansion of $n!$. In this paper we study the connection between the expression of $\vartheta(b):=\lim_{n\to \infty}Z_{b}(n)/n$ in base $b$, and that of $Z_{b}(b^{k})$. In particular, if $b$ is a prime power, we will show the equality between the $k$ digits of $Z_{b}(b^{k})$ and the first $k$ digits in the fractional part of $\vartheta (b)$. In the general case we will see that this equality still holds except for, at most, the last $\lfloor \log_{b}(k) +3\rfloor $ digits. We finally show that this bound can be improved if $b$ is square-free and present some conjectures about this bound.
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