On numbers divisible by the product of their nonzero base $b$ digits
对于每个整数$b \geq 3$和每个$x \geq 1$，令$\mathcal{N}_{b,0}(x)$是正整数$n \leq x$的集合，这些正整数可以被它们的非零基$b$数字的乘积整除。我们证明的形式$x^{ρ_{b,0} + o(1)} < \#\mathcal{N}_{b,0}(x) < x^{η_{b,0} + o(1)}$，作为$x \to +\infty$，其中$ρ_{b,0}$和$η_{b,0}$是常数${]0,1[}$只依赖于$b$的界限。特别是，我们表明，$x^{0.526} < \#\mathcal{N}_{10,0}(x) < x^{0.787}$，所有足够大的$x$。这改进了由De Koninck和Luca证明的界$x^{0.495} < \#\mathcal{N}_{10,0}(x) < x^{0.901}$。
2018-09-14 math.NT
Multiplicative functions which are additive on sums of two nonzero squares
设$f$是一个乘法函数，它对正整数$a$、$b$、$c$和$d$满足\[ f(a^2+b^2+c^2+d^2) = f(a^2+b^2)+f(c^2+d^2) \]。我们证明了$f$是恒等函数，条件是$f(3)\,f(11) \ne 0$。否则，对除$n=3,9,11$以外的所有$n \ge 2$执行$f(n)=0$。
2019-03-25 math.NT
Products of integers with few nonzero digits
令$s(n)$为整数$n$的二进制数字扩展中的非零位数。研究了固定$k,\ell,m$的奇整数变量$a,b$中的丢番图系统$$ s(ab)=k, \quad s(a)=\ell,\quad \mbox{and }\quad s(b)=m, $$.当$k=2$或$k=3$时，我们根据$\ell$和$m$在$ab$上建立一个界限。虽然这样的界限不存在的情况下，$k=4$，我们给$\min\{a,b\}$在$\ell$和$m$的上限。
2021-12-06 math.CO math.NT
A sum of three nonunit squares of integers
我们说一个正整数是三个非单位平方的和，如果它是三个非1整数的平方和。本文在广义黎曼假设（GRH）成立的条件下，求出了所有三个非单位平方和的整数。作为应用，我们在GRH下求出了$k=3$为唯一时的所有整数，它们分别是对任意整数$k\ge 3$的$k$非零三角数之和，$k$非零广义五边形数之和，$k$非零广义八边形数之和.
2019-09-11 math.NT
Digital semigroups
利用有理数在不同于$0, 1, -1$的任意整数基上的展开式，研究了数值么半群与非零整数乘法半群的某些子半群之间的关系.
2019-10-22 math.NT
Multiplicative functions additive on partitions of $2k$ nonzero squares
Indian Institute of Science Education and Research (IISER) Berhampur（印度科学教育研究所贝尔哈普尔分校）
研究满足特定加法条件的积性函数，证明对于 $k=3,4$ 且 $f(2)\neq 0$ 时函数为恒等函数，对于 $k\ge 5$ 则要么是恒等函数要么在大于 $2k+21$ 时为零。
2026-06-28 math.NT
On the digital representation of integers with bounded prime factors
令$b \ge 2$为整数。关于素数或其素因子属于给定的有限集的数在基$b$中的表示，我们知之甚少。在其他结果中，我们建立了任何足够大的整数，这不是$b$的倍数，只有小（在适当的意义上）素因子至少有四个非零的数字在其表示基$b$。
2016-09-26 math.NT
Ternary Codes Associated with $O(3,3^r)$ and Power Moments of Kloosterman Sums with Trace Nonzero Square Arguments
本文构造了两个三元线性码$C(SO(3,q))$和$C(O(3,q))$，分别对应于正交群$SO(3,q)$和$O(3,q)$ .这里，$q$是3的幂。在此基础上，我们得到了两个关于码中权的频率的具有$``$迹非零平方变量的Kloosterman和的幂矩的递推公式。这是通过Pless幂矩恒等式和利用正交群的高斯和的显式表达式来完成的。
2009-09-07 cs.IT math.IT math.NT
Primes from sums of two squares and missing digits
令$\mathcal{A}'$是从其十进制扩展中缺少任何三个固定数字的整数的集合。我们通过证明一个渐近公式来计算素数的形式$p = m^2 + \ell^2$，与$\ell \in \mathcal{A}'$在一个薄序列中产生素数。这个证明借鉴了Friedlander-Iwaniec关于$p = x^2+y^4$形式的素数的工作中的思想，以及Maynard关于带限制数字的素数的工作中的思想。
2018-06-07 math.NT
Sequences of odd numbers, even numbers and integer squares: gaps in frequency distributions of unit's digits of minor totals
本文考虑了几个整数序列的次和中单位数的出现。这些序列包括偶数序列、奇数序列和$p = 2$上的Faulhaber多项式。应用差分表可以预测哪些数字可以作为序列的次总计中的单元数字出现。某些数字的缺失（频率分布中的“间隙”）通常取决于所应用的编号系统。然而，在奇数“整数的情况下，在从3到10的基数的所有编号系统下都可以找到间隙。
2017-12-04 math.NT
The Rudin-Shapiro sequence and similar sequences are normal along squares
证明了模$m$的数字序列是正规的，它涵盖了一些重要的序列，如模$m$的基$q$中的数字和，Rudin-Shapiro序列以及一些推广.对于任何基数，这给出了一类可以有效生成的显式正规数。
2017-11-14 math.NT
Missing digits and sums of two prime squares
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）
本文研究了在特定基数下省略固定数字且可表示为两个素数平方之和的整数，利用圆方法和筛法分析了其计数行为并给出了非平凡下界。
2026-08-11 math.NT
Infinite Families of Recursive Formulas Generating Power Moments of Ternary Kloosterman Sums with Trace Nonzero Square Arguments: $O(2n+1,2^{r})$ Case
本文构造了$O(2n+1,q)$中关于特殊正交群$SO(2n+1,q)$的某个极大抛物子群的四个具有双陪集的三元线性码的无限族.这里$q$是三的幂。然后得到了两个无穷族递归公式，一个产生具有$``$迹非零平方参数的Kloosterman和的幂矩，另一个产生它们的偶次幂矩.这两个族都用与$O(2n+1,q)$中的那些双陪集相关联的码和与辛群$Sp(2n,q)$中的类似双陪集相关联的码中的权重的频率来表示。这是通过Pless幂矩恒等式和利用与正交群$O(2n+1,q)$的$"$高斯和的求值相关的双陪集上的指数和的显式来完成的。
2009-09-07 cs.IT math.IT math.NT
Prescribing the binary digits of squarefree numbers and quadratic residues
本文研究了乘法定义的集合，如无平方整数，二次非剩余或原根，在加法描述的集合，如和集或希尔伯特立方体中的等分布.特别是，我们表明，如果一个固定的任何比例小于$40\%$的所有数字的一个给定的二进制位长度的数字，那么剩余的一组仍然具有渐近预期的squarefree整数的数量。其次，我们研究了模大素数$p$的原根的分布，建立了Hilbert立方体在原根集中的最大维数的一个新的上界，改进了作者以前的一个结果.最后，我们研究了有限域上的和集，并在基数足够大的情况下，渐近地找到了这种和集中的二次剩余和非剩余的期望个数。这大大改进了Dartyge，Mauduit和Sárközy最近的结果。我们的方法引入了一些新的思想，结合了各种方法，如指数和特征和的界，数的几何和加法组合。
2016-01-18 math.NT
Binary-ternary collisions and the last significant digit of $n!$ in base 12
该研究在已有2进制与3进制数字和函数有无穷多碰撞结论的基础上进行细化，证明1到11的每个整数都能无穷次作为12进制下阶乘$n!$的最后非零数字出现，拓展了数论中数字和与阶乘数字特征的相关研究。
2024-12-12 math.NT
Doubly regular Diophantine quadruples
对于非零整数n，m个不同的非零整数{a_1，a_2，.，a_m}，使得a_i a_j + n是完满平方，对所有1 <= i < j <= m，称为D（n）-m-元组。本文利用正则丢番图m-元组和某些椭圆曲线族的性质，证明了存在无穷多个由完满平方构成的本质不同的集合，它们同时是具有不同非零平方n_1和n_2的D（n_1）-四元组和D（n_2）-四元组.
2020-08-11 math.NT
Quadratic forms with a strong regularity property on the representations of squares
一个（正定非经典积分）二次型称为强$s$ -正则的，如果它满足关于整数平方表示数的强正则性质.本文证明了：对于任意整数$k \ge 2$，若强$s$ -正则二次型的秩为$k$，则它们所表示的非零平方的最小值是固定的，则它们的等距类只有1000个.
2019-09-04 math.NT
On the largest element in D(n)-quadruples
令$n$为非零整数。一组非零整数$\{a_1,\ldots,a_m\}$使得$a_ia_j+n$对于所有$1\leq i<j\leq m$都是完满平方称为$D(n)$ - $m$ -元组。本文考虑了对于给定的非完满平方的整数$n$，$D(n)$ -四元组中的最大元素有多大和多小的问题.我们构造了$D(n)$ -四元组族，其中最大元素的数量级分别为$|n|^3$. $|n|^{2/5}$。
2019-04-13 math.NT
Squares with three digits
我们考虑平方只有三个十进制数字的整数。例如，由$2108436491907081488939581538^2 = 4445504440405440505004450045555054500055550554550445444$和$10100000000010401000000000101^2 = 102010000000210100200000110221001000002101002000000010201$给出实例。本文的目的是总结当前关于三位数正方形的知识，分散在网页和新闻组帖子中，并添加一些新的见解。虽然我们将主要集中在基础$B=10$，几个结果是一般值的$B$。使用的数学工具是完全初级的。然而，我们给出所有陈述的完整证明，或者明确地将它们陈述为证明。
2022-01-10 math.CO math.NT
Seven squares from three numbers
University of Zagreb（萨格勒布大学）；Josip Juraj Strossmayer University of Osijek（约瑟普·尤拉伊·斯特罗斯马耶尔奥西耶克大学）
研究三个不同非零有理数使得其和及乘积均构成平方数，证明存在无限多个此类三元组，但正整数解不存在。
2026-04-09 math.NT
D(n)-quintuples with square elements
对于整数n，m个不同的非零整数{a_1，a_2，.，a_m}，使得a_i a_j+n是完满平方，对所有0<i<j<m+1，称为D（n）-m-元组。本文证明了存在无穷多个本质不同的具有平方元的D（n）-五元组。我们通过在A^2的某个双覆盖上构造亏格为1的曲线，得到了这个结果。
2020-11-03 math.NT
Square matrices with integer eigenvalues under entry permutations
State Key Laboratory of Autonomous Intelligent Unmanned Systems, Shanghai Research Institute for Intelligent Autonomous Systems, Tongji University（同济大学自主智能无人系统国家重点实验室、上海智能无人系统研究院）；Department of Control Science and Engineering, Tongji University（同济大学控制科学与工程学院）；Research & Development Center BMW, BMW China Services Ltd.（宝马中国服务有限公司宝马研发中心）
研究整数多重集在任意方阵排列下是否总能产生整数特征值的问题，结合模约化与二进准则及块嵌入、秩约化方法，给出了零条目情形的完全刻画及非零情形下的部分精确准则。
2026-09-30 math.NT math.RA
Ellipsephic harmonic series revisited
该研究针对椭圆（类肯普纳）调和级数，推广了文献中部分结果，给出了任意底数下任意数字或数字块对应的级数的完整结论。
2024-03-08 math.NT
Largest square divisors of shifted primes
The High School Affiliated to Renmin University of China（中国人民大学附属中学）
该论文证明存在无穷多个素数 $p$，使得对任意非零整数 $a$，$p-a$ 有大于 $p^{1/2+1/700}$ 的平方因子，改进了 Merikoski 的指数，并使用了 Harman 筛法中的强力工具。
2025-10-17 math.NT
Diophantine quadruples with the properties $D(n_1)$ and $D(n_2)$
对于一个非零整数$n$，一组$m$不同的非零整数$\{a_1,a_2,...,a_m\}$，使得$a_ia_j+n$是所有$1 \leq i < j \leq m$的完全平方，称为$D(n)$ - $m$ -元组。本文证明了存在无穷多个本质不同的四元组，它们同时是$D(n_1)$ -四元组和$D(n_2)$ -四元组与$n_1\neq n_2$ .
2019-02-09 math.NT
Cardinalities of Jordan Diophantine sets of upper triangular integer matrices
University of Zagreb（萨格勒布大学）
该研究确定了上三角整数矩阵环中Jordan D(N)-集存在无限集的N的条件，明确了有限集的最大基数，还给出了两类特殊无限集存在的充要条件。
2026-10-09 math.NT
Sum of two repdigits a square
\emph{repdigit}是一个大于大于10的自然数，它的所有以10为基数的数字都是相同的。在本文中，我们发现所有的例子，两个repdigits添加到一个广场。这些证明引出了关于连续二次剩余和非剩余的有趣问题，并提供了椭圆曲线的一个初步应用。
2016-07-22 math.NT
Twists of hyperelliptic curves by integers in progressions modulo $p$
设$f(x)$是具有整数系数和非零判别式的非常数多项式。研究了无平方因子整数集合$d$的模素数分布，使得曲线$dy^2=f(x)$具有非平凡有理点或整数点.
2019-03-20 math.NT
On the last digit and the last non-zero digit of $n^n$ in base $b$
本文研究了基$b$中由$n^n$的最后一位和最后一位非零数字定义的序列。对于由基$b$中的$n^n$的最后一位数给出的序列，我们用不同于W. Sierpinski和R.汉佩尔在由基$b$中的$n^n$的最后非零数字给出的序列的情况下（仅针对$b=10$进行了研究），我们证明了当$b$是奇素数幂时以及当它是偶数且无平方时序列的非周期性。我们还表明，如果$b=2^{2^s}$的序列是周期性的，并推测这是唯一的情况。
2012-03-19 math.NT
Dead ends in square-free digit walks
Axiom Math
该研究证明了在平方自由数位走行中，死胡同的渐近密度远低于预测值，且通过形式化方法给出了闭合表达式。
2026-02-06 math.CO math.NT math.PR
Homeomorphisms of the space of non-zero integers with the Kirch topology
$Golomb$（分别由等差数列$a+b\mathbb Z=\{a+bn:n\in\mathbb Z\}$构成的基生成非零整数集合$\mathbb Z^\bullet$上的拓扑（$Kirch$），其中$a\in\mathbb Z^\bullet$和$b$是与$a$互质的（无平方）数。在2019年，达里奥·斯皮里托证明了具有Golomb拓扑的非零整数空间只允许两个自同胚。在本文中，我们证明了一个类似的事实，赋予Kirch拓扑的非零整数空间：它也允许正好两个自同胚。
2020-12-31 math.GN math.NT
Analysis of the binary asymmetric joint sparse form
我们考虑整数向量的冗余二进制联合数字展开。冗余用于最小化汉明权重，即，非零数字向量的数量。这导致在阿贝尔群中的有效的线性组合算法，其例如用于椭圆曲线密码学中。如果数字集是一组包含零的连续整数，则已知一个特殊的语法条件来最小化权重。我们分析了所有最大项小于N的非负整数向量的最优权值。给出了具有主项和二阶周期波动项的期望和方差。最后，我们证明了渐近正态性。
2014-02-10 math.CO math.NT
Restricted sumsets in multiplicative subgroups
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文研究了有限域上乘法子群及整数完美幂中的受限和集，扩展了Shkredov的结果，并提出了一个受限和集的van Lint-MacWilliams猜想的类比。
2024-10-01 math.CO math.NT
A proof that the square root of s for s not a perfect square is simply normal to base 2
自E.博雷尔证明，在1909年，几乎所有的实数关于勒贝格测度是正常的所有基地，一个开放的问题是是否简单的无理数一样，平方根的2是正常的任何基地。我们证明了s的平方根形式的每一个数，对于s不是完满平方，都是简单地正规于基数2，也就是说，它的并矢展开式的前n位数的平均值收敛于1/2。证明主要是初等的和自包含的，但使用了一些基本的概率。主要思想集中在扩展的尾部的概念上，即索引大于任何固定整数n的数字序列。
2018-09-19 math.CA math.NT math.PR
Ternary expansions of powers of 2
Paul Erdos问2^n的三进制展开式有多频繁地省略数字2。他解释说，这种情况只会发生在n的100个值上。我们将这个问题推广到考虑两个离散动力系统的迭代。第一个是在实数上，并且考虑对于实数输入lambda的lambda 2^n的整数部分。第二个是在3-adic整数上，并考虑3-adic整数输入lambda的序列lambda 2^n。我们表明，输入值的数量，有无穷多个迭代省略数字2在他们的三进制扩展是小的，在适当的意义。对于每一个非零输入，我们给出了一个渐近上界的数量的第一个k迭代，省略数字2，因为k走向无穷大。我们还研究了3-adic Cantor集的乘法平移的交集的豪斯多夫维数的辅助问题。
2008-07-11 math.DS math.NT
