在条目置换下具有整数特征值的方阵
Square matrices with integer eigenvalues under entry permutations
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中文总结 AI 辅助
研究整数多重集在任意方阵排列下是否总能产生整数特征值的问题，结合模约化与二进准则及块嵌入、秩约化方法，给出了零条目情形的完全刻画及非零情形下的部分精确准则。
中文摘要 AI 辅助
我们研究了这样一个问题：哪些整数条目的多重集在每种方阵排列下都能产生整数特征值？将模约化与三次多项式完全分裂的二进准则相结合，我们首先证明，如果多重集至少有一个零条目，则唯一可能的情况是至多有一个非零条目，或者恰好有两个非零条目且其乘积为完全平方数。然后，我们应用块嵌入将其推广到更高维度，通过获得零条目数量的线性阈值。对于任何接近非零常数的多重集，我们使用秩约化推导出一个例外条目的精确准则，从而在无限多个维度中产生非恒定示例，并且还推导出三维中两个不同例外条目的精确约化。一般完全非零的三维情况仍然开放。
英文摘要
We investigate the problem of which multisets of integer entries yield integer eigenvalues in every square matrix arrangement? Combining module reduction with a dyadic criterion for complete splitting of cubic polynomials, we first show that if the multiset has at least one zero entry, the only possibilities have either at most one nonzero entry or exactly two whose product is a perfect square. We then apply block embedding to extend it to higher dimensions, by obtaining a linear threshold on the number of zeros. For any multiset close to a nonzero constant, we use rank reduction to derive an exact criterion for one exceptional entry, thus yielding nonconstant examples in infinitely many dimensions, and to also derive an exact reduction for two distinct exceptional entries in dimension three. The general fully nonzero three-dimensional case remains open.
发表机构
- State Key Laboratory of Autonomous Intelligent Unmanned Systems, Shanghai Research Institute for Intelligent Autonomous Systems, Tongji University（同济大学自主智能无人系统国家重点实验室、上海智能无人系统研究院）
- Department of Control Science and Engineering, Tongji University（同济大学控制科学与工程学院）
- Research & Development Center BMW, BMW China Services Ltd.（宝马中国服务有限公司宝马研发中心）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
