There are infinitely many rational Diophantine sextuples with square denominators
有理丢番图m元组是m个非零有理数的集合，使得它们中的任何两个的乘积加1是完满平方。丢番图发现了第一个有理丢番图四元组，而欧拉证明了有无穷多个有理丢番图五元组。1999年，吉布斯发现了第一个有理丢番图六元组的例子，2016年，杜杰拉、卡扎利茨基、米基奇和西克赛证明了有无穷多个这样的例子。本文证明了存在无穷多个有理丢番图六元组，使得六元组中所有元素的乘子都是完满平方。
2019-03-07 math.NT
On the size of Diophantine $m$-tuples in imaginary quadratic number rings
丢番图$m$元组是一组$m$不同的整数，使得任何两个不同元素的乘积加一是完满平方。最近证明了在正整数中不存在丢番图五元组。我们在虚二次域的整数环中研究了同样的问题。通过使用间隙原理证明丢番图逼近，我们表明，$m\leqslant 42$。与正整数中类似结果的证明相比，我们的证明相对简单。
2018-07-05 math.NT
The Eisenstein and winding elements of modular symbols for odd square-free level
对于$N$无奇平方的同余子群$Γ_0(N)$，我们在整系数Eisenstein级数的模符号空间中显式地写出Eisenstein元.我们还计算绕组元素明确这些同余子群。这给出了一个问题的答案Merel在这些情况下。我们的结果是Manin-Drinfeld定理[Thm. 6]。这些结果是文[1]结果在无奇平方水平上的推广。
2022-08-08 math.NT
Computing the Length of Sum of Squares and Pythagoras Element in a Global Field
本文提出算法，用于计算特征非2的全局域中平方和长度，并构造长度等于毕达哥拉斯数的毕达哥拉斯元素。
2022-02-07 math.NT
Sums of squares of integer-multiple of an integral element on real bi-quadratic fields
本文在实双二次域中构造全正代数整数，给出其正整数倍不能表示为整数平方和的必要条件，并分两类整数以表格示例验证。
2024-02-09 math.NT
Iwasawa theory for Symmetric Square of non-$p$-ordinary eigenforms
设$f$是$p$与$a_p(f)=0$水平互质的规范尖点特征新形式。我们将积分的符号Iwasawa主图和解析的Iwasawa主图都附加到由辅助Dirichlet特征标扭曲的$f$的对称平方模上.我们表明，Beilinson-Flach元素附加到对称的平方动机分解成积分签署Beilinson-Flach元素，提供证据对存在的秩2欧拉系统预测的Perrin-Riou。利用这些整元证明了Iwasawa积分和解析主图中的一个包含.
2021-01-15 math.NT
Prime Plus a Non-Square-Free Integer: An Elementary Approach
The University of Queensland（昆士兰大学）
本文用初等同余和有限计算，无条件证明了 Lee-O'Clarey 猜想对不被 997# 整除的 n>24 成立，反例必被所有≤997 的素数整除且大于 10^415。
2026-09-15 math.NT
On squares in subsets of finite fields with restrictions on coefficients of basis decomposition
本文考虑由$\mathbb{F}_p$上的有限域$\mathbb{F}_q$的元素构成的线性向量空间.设${a_1,\ldots,a_r}$是这个空间的基。那么$\mathbb{F}_q$的元素$x$具有唯一的表示形式$\sum_{j=1}^r c_ja_j$和$c_j\in\mathbb{F}_p$。令$D$是$\mathbb{F}_p$的子集。我们考虑$\mathbb{F}_q$的元素的集合$W_D$，使得对于所有$j=1,\ldots,r$，$c_j\in D$。我们给出了一个估计数的平方在集合$W_D$这意味着一个较弱的充分条件存在的平方在集合$W_D$比最近的文件C.Dartyge，C.Mauduit，A.Sárközy。
2016-02-21 math.NT
On squares in special sets of finite fields
本文考虑由$\mathbb{F}_p$上的有限域$\mathbb{F}_q$的元素构成的线性向量空间.设$\{a_1,\ldots,a_r\}$是这个空间的基。那么$\mathbb{F}_q$的元素$x$具有唯一的表示形式$\sum_{j=1}^r c_ja_j$和$c_j\in\mathbb{F}_p$。设$D_1,\ldots,D_r$是$\mathbb{F}_p$的子集。我们考虑$\mathbb{F}_q$的元素的集合$W=W(D_1,\ldots,D_r)$，使得对于所有$j=1,\ldots,r$，$c_j \in D_j$。我们给出了一个估计的平方数的集合$W$这意味着一个渐近公式，这个数量的情况下，当集合$D_1,\ldots,D_r$是“大的平均”和一个充分条件的平方存在于集合$W$。
2016-10-16 math.NT
Infinite sets of Mutually Coprime Locally Square-free Elements, Inside the Range of Polynomials with Values in Principal Ideal Domains
设$\mathcal R$是主理想整环，$\mathcal K = {\rm quot}(\mathcal R)$ .假设$P_1,\ldots P_n\in \mathcal K[X]$是取$\mathcal R$到$\mathcal R$的多项式，并且$P$是它们的乘积。如果$P_i$满足必要条件，则存在无限集合$S$，使得当$m$在$S$中变化时，元素$P(m)$互质，并且对于每个$i\ne j$，$P_i(m)$与$P_j(m)$互质。我们证明，除了上述性质，如果$P_i$没有重根时，$i$属于$\{1,\ldots n\}$的某个子集，$S$可以构造在这样一种方式，$P_i(m)$是整除一些素数$p$，但不是由$p^2$。这个结果是本文最后提出的一个猜想的基础，根据这个猜想，只要$P$没有重根，就可以从$P$的值集中提取出无穷多个无平方根的元素。在这篇文章的过程中，全本原多项式的概念被引入和阐述，以提供一个方便的框架，这些问题，或其他问题的多项式的值集。这一框架使得著名的布尼亚科夫斯基和辛泽尔理论的陈述更有启发性，似乎更普遍。
2022-09-08 math.NT
Computing singular elements modulo squares
该集团的奇异元素首先介绍了赫尔穆特哈塞，后来它已研究了许多作者，包括这些著名的数学家：卡塞尔，富特文格勒，赫克，Knebusch，高木和当然哈塞本人;仅举几例。本论文的目的是提出算法，明确地构造组的奇异和$S$ -奇异元素（模平方）在一个全球性的功能领域。
2020-08-24 cs.SC math.NT
Consecutive non-square non-primitive tuples in finite fields
College of Science, North China University of Technology（华北理工大学科学院）
研究有限域中连续非平方非本原元组问题，通过得到非平方\(\ell\)次幂连续元组存在性定理并结合有限计算，证明\(\theta_q<4/15\)保证有三个连续NSNP元素，且\(4/15\)最优。
2026-09-01 math.NT
On the largest element in D(n)-quadruples
令$n$为非零整数。一组非零整数$\{a_1,\ldots,a_m\}$使得$a_ia_j+n$对于所有$1\leq i<j\leq m$都是完满平方称为$D(n)$ - $m$ -元组。本文考虑了对于给定的非完满平方的整数$n$，$D(n)$ -四元组中的最大元素有多大和多小的问题.我们构造了$D(n)$ -四元组族，其中最大元素的数量级分别为$|n|^3$. $|n|^{2/5}$。
2019-04-13 math.NT
Sums of squares in Quaternion rings
拉格朗日四平方定理指出，任何正整数都可以表示为四个整数的平方和。我们研究了四元数环上的类似问题，重点是整数系数四元数环元素的平方。确定了无穷多个四元数环的最小必要平方数，并给出了其整体上界和下界。
2016-10-23 math.NT
Sums of Integral Squares In Certain Complex Bi-quadratic Fields
设K是代数数域，O_K是它的整数环.设S_K是O_K中的元素集合，它们是O_K中的平方和，s（O_K）是表示O_K中-1所需的最小平方数。设g（S_K）是最小正整数t，使得S_K中的每个元素都是O_K中的t个平方和。这里K是由m和-n的平方根在有理数域上生成的，其中m同余3 mod 4和n同余1 mod 4是两个不同的无平方因子的正整数，我们证明了$ S_K= O_K.我们还证明了g（O_ K）小于或等于s（O_K）+1或s（O_K）+2。应用这一点，我们证明了如果s（O_K）=2，则g（O_K）=3。这项工作是张和纪最近发起的一项研究的继续。
2020-05-28 math.NT
Two sets of integers such that all elements of the sumset of the two sets are perfect squares
本文研究寻找两个整数集合使其所有两两之和均为完全平方数的问题，在 $(m,n)$ 为 $(3,3)$、$(5,3)$ 和 $(4,4)$ 三种情况下获得了多个多参数解，并指出了获取更多解的方法。
2025-08-11 math.NT
Solving sums of squares in global fields
将一个完全正的元素写成平方和的问题在数学中有着悠久的历史，可以追溯到Bachet和Lagrange。虽然对于某些特定的环（如整数或有理数上的多项式），有已知的方法可以将元素分解为平方和，但对于许多其他重要的环和域，这个问题仍然是广泛开放的。本文给出了一个将任意整体域（数域或整体函数域）的元素分解为最小长度平方和的显式算法。
2021-11-16 cs.SC math.NT
Approximate Pythagoras Numbers on $*$-algebras over $\mathbb{C}$
平方和的毕达哥拉斯数是平方和表示中长度最短的。在许多代数中，例如两个或多个变量的实多项式代数，对于所有平方和，不存在毕达哥拉斯数的上界。本文研究了$\mathbb{C}$上$*$ -代数中的毕达哥拉斯数对元素的小扰动的行为。更准确地说，一个元素的近似毕达哥拉斯数是它的$\varepsilon$ -球中所有元素中最小的毕达哥拉斯数。我们发现，这些近似的毕达哥拉斯数往往是显着小于他们的确切版本，并允许（几乎）尺寸无关的上界。我们的结果使用低秩近似的革兰氏矩阵的平方和和估计的操作规范的革兰氏映射。
2022-07-26 math.AG math.NT math.OC
