The Quotient of Milnor Number by Tjurina Number of Hypersurface Singularities in Arbitrary Characteristic
Tsinghua University（清华大学）
本文通过Hilbert-Samuel乘数等工具，建立了任意特征下孤立hypersurface奇异性的广义Milnor数与Tjurina数商的精确上界，并推导出特征零下的上界，证明了孤立表面奇点的μ/τ≤3/2，回应了Almirón猜想并验证了Durfee猜想的弱形式。
2026-10-14 math.AG
On the quotient of Milnor and Tjurina numbers for two-dimensional isolated hypersurface singularities
本文对Dimca和Greuel提出的关于平面曲线奇点的Milnor数和Tjurina数之商的问题给出了完整的回答。我们把这个问题纳入一个一般框架的研究Milnor和Tjurina数的差异孤立的完全相交奇点显示其与奇点理论中的其他问题的联系。
2021-09-10 math.AC math.AG
On combinatorial bounds for the total Tjurina numbers of certain curves and surfaces with isolated singularities
本文研究仅具有普通拟齐次奇点的平面线-圆锥曲线排列，导出多重交点分布的结构不等式，从而建立自由线排列和自由圆锥曲线排列的总Tjurina数的下界，并推广到三维空间中的超曲面。
2026-09-16 math.AG math.CO
The minimal Tjurina number of irreducible germs of plane curve singularities
本文对Dimca和Greuel提出的关于平面曲线奇点的不可约芽的Milnor数与Tjurina数之商的问题给出了肯定的回答。这一结果是基于一个闭公式的最小Tjurina数的equisingularity类的严格变换沿决议的多重性的序列。证明的关键点是Genzmer，Wall和Mattei以前的结果。
2020-01-07 math.AC math.AG
Milnor and Tjurina numbers for smoothings of surface singularities
对于孤立的超曲面奇点$f=0$，Milnor数$μ$大于或等于Tjurina数$τ$（半万有变形的基底的维数），如果$f$是拟齐次的，则相等。K.齐藤证明了相反的情况。同样的结果也适用于完全相交，但要困难得多。对于Gorenstein曲面奇点$(V,0)$，无论$V$是否光滑，都可以定义差$μ- τ$;在[23]中证明了它是非负的，并且等于0当且仅当$(V,0)$是拟齐次的。我们猜想一个类似的结果，非Gorenstein表面奇点。这里，必须修改$μ- τ$，使其独立于任何平滑。这个表达式涉及对数导数丛在极小好分辨上的外幂的上同调，它是非负的，且等于0当且仅当它具有拟齐次性。我们证明了“如果”的一部分，确定特殊情况下的猜想是特别有趣的，验证它在一些非平凡的情况下，并证明它的$\Q$ Gorenstein平滑时，指数一覆盖是一个超曲面。这个猜想是关于有理同调圆盘光滑的表面奇点分类的兴趣，如[1]，[18]，[24]。
2016-03-25 math.AG
Hessian ideals of a homogeneous polynomial and generalized Tjurina algebras
利用黑塞矩阵中的子式，引入了一个新的与齐次多项式相关联的分次代数。当伴随的射影超曲面具有孤立奇点时，这些代数与一些新的与孤立超曲面奇点相关联的局部代数相联系，推广了它们的Tjurina代数.我们的结果的一个后果是一个新的方法来确定这样的超曲面的加权齐次奇点的数量。
2014-12-08 math.AC math.AG
Hodge--Tjurina Numbers, Tjurina Spectra, and Thom--Sebastiani Formulas
Tsinghua University（清华大学）
本文研究孤立超曲面奇点的 Hodge--Tjurina 数与 Tjurina 子谱，建立其与 Hodge 理想和微局部 V-滤过的联系，证明 Thom--Sebastiani 性质成立当且仅当 Tjurina 数乘法性，并讨论谱重构与对称性界。
2026-10-07 math.AG
Tjurina and Milnor numbers of matrix singularities
为了理解矩阵变形引起的行列式变形和矩阵变形，我们研究了具有孤立奇点的复合材料$f\circ F$的变形理论，其中$f:Y\to\C$具有Cohen-Macaulay奇异轨迹，$F:X\to Y$ .我们确定相应的$T^1(F)$作为（类似于）一个导出函子的上同调，并构造一个规范的长正合序列，从该序列可以得出$$τ=μ(f\circ F)-β_0+β_1,$$，其中$τ$是$T^1(F)$的长度，$β_i$是$Tor_i(Ø_Y/J_f,Ø_X)$的长度。这就解释了在布鲁斯、塔里、戈留诺夫、扎卡留金和哈斯林格的简单矩阵奇异点列表中观察到的数值巧合。
2003-07-11 math.AC math.AG
On Tjurina Ideals of Hypersurface Singularities
本文通过引入 T-满性与 T-依赖性两个可验证性质，刻画了超曲面奇点中哪些理想可作为某全纯函数芽的 Tjurina 理想，从而给出方程 I=T(f) 可解的充要条件。
2022-12-10 math.AG
Plane curve singularities and Fitting ideals
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；Simion Stoilow Institute of Mathematics（西奥多·斯托伊洛瓦数学研究所）；Ovidius University（奥维迪乌斯大学）
研究非拟齐次平面曲线奇点的Tjurina理想相关的Fitting理想，发现Milnor数与Tjurina数之差不超过2时的特殊性质。
2026-06-19 math.AC math.AG
A Note on 1-Forms for Reduced Curve Singularities
我们收集了一些关于约化复曲线奇点，特别是完全交的全纯1-形式的经典结果，并利用它们比较了1-形式的Milnor数、Tjurina数和挠部分的维数.
2017-09-11 math.AG
Deformation and Smoothing of Singularities
本文综述了孤立奇点变形的一些方面。除了介绍的一般理论，我们报告的问题的光滑性的奇异性和不同的不变量之间的关系，如米尔诺数，Tjurina数，和尺寸的平滑组件。
2019-03-08 math.AG
Deformations of functions and F-manifolds
研究了孤立奇点上的函数，证明了Milnor数= Tjurina数的一些结果.我们利用它们来赋予其极小变形的底空间F-流形的结构。
2005-03-16 math.AG
Moduli spaces of semiquasihomogeneous singularities with fixed principal part
我们构造了关于右等价和切触等价的半拟齐次超曲面奇性的粗模空间。我们必须确定半拟齐次奇点的主部。对于关于切触等价的模空间，我们也固定了由权诱导的Tjurina代数的Hilbert函数。
1995-03-22 alg-geom math.AG
Mather-Yau's type theorem for higher Nash blowup algebras
本文针对任意域上的超曲面奇点，证明其局部环同构类型由高阶Nash爆破代数完全决定，先证该代数在接触等价下的稳定性，再用Samuel经典结果证逆命题，推广了经典Mather-Yau定理。
2024-12-10 math.AG
Jacobian schemes of conic-line arrangements and eigenschemes
该研究针对射影平面圆锥线配置，给出达到全局Tjurina数上下界的几何刻画，并应用于刻画Jacobian概型为三元张量特征概型的配置及极映射几何。
2023-05-05 math.AG
On the k-th Milnor and k-th Tjurina Numbers of a Foliation
Federal University of Minas Gerais（米纳斯吉拉斯联邦大学）
本文引入并系统研究了全纯叶状结构的第 k 个 Milnor 数与第 k 个 Tjurina 数，建立显式公式与拓扑性质，解决并反驳了相关猜想，还推广了 Teissier 引理并给出拟齐次情形的闭公式。
2026-10-14 math.AC math.AG math.CV
Hodge ideals and spectrum of isolated hypersurface singularities
我们引进霍奇理想谱孤立的超曲面奇点之间的差异，霍奇理想和微局部$V$-过滤模雅可比理想。通过Tjurina子谱，我们可以比较Hodge理想谱和由微局部$V$-过滤定义的Steenbrink谱.作为Mustata和Popa公式的结果，这两个光谱在加权均匀情况下重合。在定义函数为半加权齐次函数或大多数情况下具有非退化Newton边界的非加权齐次情形下，证明了它们重合与不重合的充分条件.我们还表明，方便条件可以避免在张公式的非退化的情况下，并提出了一个例子，其中的霍奇理想是不是弱减少，甚至模的雅可比理想。
2022-01-23 math.AG
Maximizing curves viewed as free curves
本文建立最大化曲线与自由平面曲线的联系，并研究奇数次平面曲线最大总丘里纳数问题。
2023-02-14 math.AG math.CO
On 1-forms on isolated complete intersection curve singularities
我们收集了关于约化复曲线奇点的全纯1-形式的一些经典结果。利用它们研究了全纯1-形式在孤立的完全交线奇点上的正规化态射下的拉回问题。我们想知道任一孤立平面曲线奇点的Milnor数$μ$和Tjurina数$τ$是否满足不等式$3μ<4τ$。
2018-03-15 math.AC math.AG math.CV
Bounds on the F-Pure Threshold of Isolated Hypersurface Singularities
本文在正特征代数闭域上，利用Milnor数和Tjurina数等经典奇点不变量，给出了孤立超曲面奇点F-纯阈值的界，并针对曲线奇点得到了基于值半群生成元的显式计算，推广了Igusa公式。
2026-10-26 math.AC math.AG
Milnor numbers of deformations of semi-quasi-homogeneous plane curve singularities II
本文给出了半拟齐次孤立平面曲线奇点的可能变形Milnor数。在定理1.1中，我们列出了给定的半拟齐次奇点的Milnor数所能得到的整数。
2016-08-12 math.AG
On the Zariski multiplicity conjecture for weighted homogeneous and Newton non-degenerate line singularities
我们提出了新的家庭的加权齐次和牛顿非退化线奇点，满足Zerkiki多重性猜想。
2019-02-28 math.AG
The Yau's characterization of isolated homogeneous hypersurface singularities
利用Milnor数的不连续性和Chaojasiewicz指数，给出了孤立齐次超曲面奇异性的简单证明.
2017-05-29 math.AG
Hodge ideal and spectrum of weighted homogeneous isolated singularities
本文在加权齐次孤立奇点的情况下，给出了Mustael-Popa最近发展的Hodge谱和Hodge理想之间的联系.
2018-12-24 math.AG
Milnor numbers in deformations of homogeneous singularities
设f_0为平面曲线的奇点。研究了f_0形变中奇点的Minor数。我们完整地描述了在非退化形变情况下齐次奇点f_0的Milnor数的集合，并在一般情况下得到了关于这个集合的一些部分结果。
2016-11-16 math.AG
Deformations of weighted homogeneous surface singularities with big central node
本研究证明了带大中心结点的加权齐次曲面奇点的Kollár猜想，指出此类奇点形变空间的各不可约分支均可由$P$-消解这种部分消解来参数化。
2023-06-10 math.AG
Milnor numbers of deformations of semi-quasi-homogeneous plane curve singularities
本文的目的是给出半拟齐次孤立平面曲线奇点的可能变形Milnor数。主要结果表明，若$f$不可约且非退化，则通过变形$f$可以得到从$μ(f)$到$μ(f)-r(p-r)$的所有Milnor数，其中$r$和$p$可由$f$的牛顿图方便地计算.
2014-09-23 math.AG
Nakai conjectures for isolated weighted homogeneous hypersurface singularities
Tsinghua University（清华大学）
本文验证了Nakai猜想在孤立齐次超曲面奇点情况下的成立，探讨微分算子与奇点检测的关系。
2026-10-09 math.AG
Hypersurface exceptional singularities
研究了非退化函数定义的$\mathbb C^n$中的超曲面例外奇点。对于每个正则超曲面奇点，存在一个加权齐次奇点，使得前者例外当且仅当后者例外。因此，我们研究了加权齐次情形，证明了加权齐次例外奇点的权数是有限的。然后，我们确定所有例外奇点的Brieskorn型的3维。
1999-11-06 math.AG
Weighted homogeneous surface singularities homeomorphic to Brieskorn complete intersections
Yamagata University（山形大学）
本文研究了与布里森完全交点奇点同胚的带权光滑表面奇点，探讨了几何亏格最大值及极小良好解析中最大理想环与基本环重合的条件。
2021-09-09 math.AG
Strong monodromy conjecture for defining polynomials of projective hypersurfaces having only weighted homogeneous isolated singularities
RIMS Kyoto University（京都大学理学研究所）
研究显示，在特定条件下，定义多项式的强monodromy猜想可通过已知结果和Denef-Loeser公式推导，且在某些情况下可能不存在反例。
2026-04-10 math.AG
On complex homogeneous singularities
本文通过对单值特征多项式$Δ_l(t)$的研究，以及单值zeta函数与奇点Hodge谱之间的关系，讨论了复系数齐次多项式$f(x_0,\dots,x_n)$在$\mathbb C^{n+1}$原点处的奇异性.在$n=2$的情况下，我们进一步使用$Δ_1(t)$。这项工作是基于知识的乘数理想和本地系统。
2017-11-13 math.AG
A characterization of quasi-homogeneous singularities of free and nearly free plane curves
本文通过 Jacobian 理想的第一 syzygy 矩阵，给出了自由与近自由平面曲线拟齐次孤立奇点的新刻画。
2024-11-21 math.AG
Matrix factorization for quasi-homogeneous singularities
给定一个孤立的、拟齐次的奇点$X$，证明了$X$上的秩为1的自反层群与由$\mathbb{C}^*$ -因子生成的自由阿尔贝群之间存在群同构，模线性等价.当$\dim(X)=2$，我们减少了寻找矩阵分解的任意自反$\mathcal{O}_X$ -模块的秩一自反层相同的问题。然后，我们列举了所有秩一自反层的矩阵分解。作为结果，我们证明了Etingof和Ginzburg关于点模的一个猜想.
2023-01-12 math.AG
The embedding dimension of weighted homogeneous surface singularities
Yamagata University（山形大学）
研究加权齐次表面奇点的嵌入维数及其与Seifert不变量的关系，通过显式公式和例子揭示其非拓扑性质。
2010-08-18 math.AG
Generic $\mathcal{A}$-finite determinacy and singularities of homogeneous polynomial mappings
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação（数学与计算科学研究所）
本文研究了多项式映射的通用性质，扩展并推广了Farnik、Jelonek和Ruas在2019年关于同源多项式映射的研究，将结果推广到二维及以上维度，尽管某些性质只能推广到四维。
2026-05-17 math.AG
The Bruce-Roberts number of a function on a hypersurface with isolated singularity
设$(X,0)$是由$ϕ\colon(\mathbb C^n,0)\to(\mathbb C,0)$和$f\colon(\mathbb C^n,0)\to\mathbb C$定义的孤立超曲面奇点，使得Bruce-Roberts数$μ_{BR}(f,X)$是有限的.首先证明了$μ_{BR}(f,X)=μ(f)+μ(ϕ,f)+μ(X,0)-τ(X,0)$，其中$μ$和$τ$分别是函数或孤立完全相交奇点的Milnor数和Tjurina数.其次，我们证明了对数特征簇$LC(X,0)$是Cohen-Macaulay。这两个定理都推广了某些作者的前一篇文章的结果，其中超曲面$(X,0)$被假定为加权齐次的。
2019-07-04 math.AG
Hodge filtration and Hodge ideals for $\mathbb{Q}$-divisors with weighted homogeneous isolated singularities
给出了与有效$\mathbb{Q}$ -除数$D=α\cdot Z$相关的$\mathscr{D}_X$ -模$O_X(*Z)f^{1-α}$上的Hodge滤子的显式公式，其中$0<α\le1$和$Z=(f=0)$是由$f$定义的不可约超曲面，$f$是一个在原点具有孤立奇点的加权齐次多项式.特别地，这给出了$D$的Hodge理想的公式。我们推导出一个公式的生成水平的霍奇过滤，以及进一步的性质霍奇理想在此设置。我们还将主要定理推广到$f$是一个方便的具有非退化牛顿边界的全纯函数芽的情形。
2019-01-30 math.AG
Criteria of isolated weighted homogeneous hypersurface singularities using Logarithmic vector fields
Peking University（北京大学）；Tongji University（同济大学）
本文证明了da Silva Machado和Seade的猜想：通过存在横截于链环的对数向量场来刻画加权齐次孤立超曲面奇点，并给出了等价形式。
2026-06-29 math.AG
Fast loops on semi-weighted homogeneous hypersurface singularities
证明了半加权齐次超曲面奇异性上的（$w_1\geq w_2>w_3$）-快速环的存在性。特别地，我们证明了半权齐次超曲面奇点只有在其两个低权相等时才具有度量锥结构。
2010-03-22 math.AG math.MG
On the contravariant of homogeneous forms arising from isolated hypersurface singularities
设${\mathcal Q}_n^d$是${\mathbb C}^n$上的次数齐次形式$d\ge 3$的向量空间，其中$n\ge 2$。我们的研究对象是图$Φ$，它是由J. Alper，M. Eastwood和作者，即分配给每一个形式的判别$Δ$不消失的所谓的联合形式躺在空间${\mathcal Q}_n^{n(d-2)*}$。该映射是从仿射簇$X_n^d:=\{f\in{\mathcal Q}_n^d:Δ(f)\ne 0\}$到仿射空间${\mathcal Q}_n^{n(d-2)*}$的态射。令$p$为乘积$Δ^pΦ$扩展为从${\mathcal Q}_n^d$到${\mathcal Q}_n^{n(d-2)*}$的态射的最小整数，观察到扩展映射定义了${\mathcal Q}_n^d$中形式的逆变。在本文中，我们得到了上界$p$，从而提供估计的逆变的程度。
2016-09-25 math.AG
Topologically equisingular deformations of homogeneous hypersurfaces with line singularities are equimultiple
证明了：如果$\{f_t\}$是一族具有常数Lê数的线奇点，且$f_0$是齐次多项式，则$\{f_t\}$是等重的.这将A. M. Gabrièlov和A. G. Kušnirenko关于孤立奇点的研究作为应用，我们证明了如果$\{f_t\}$是拓扑$\mathscr{V}$ -等奇异线奇点族，且$f_0$是齐次的，则$\{f_t\}$是等倍的.这为著名的Zagliki多重性猜想提供了一个新的部分肯定答案。
2015-06-26 math.AG math.CV
Log-terminal smoothings of graded normal surface singularities
最近的工作（[18]，[1]）产生了一个完整的列表加权齐次表面奇点承认smoothings的米尔诺纤维只有平凡的有理同调（一个“有理同调盘”）。虽然这些特殊的奇点形成一个陌生的类，甚至很少对数正则，我们证明定理。加权齐次曲面奇点的有理同调圆盘光滑总是可以选择的，使得全空间是对数终结的。特别地，该平滑是$\Q$ -Gorenstein。其核心思想是定义一个具有$\Q$ -Cartier典范除子的正态分次区域的有限“分次差”，并研究其光滑性.
2013-05-17 math.AG
Topological Invariants and Moduli Spaces of Gorenstein Quasi-Homogeneous Surface Singularities
我们描述了双曲Gorenstein准齐次表面奇点空间的所有连通分量。证明了任意连通分支同胚于R^d的商。
2010-11-28 math.AG math.GT
Normal reduction numbers of normal surface singularities
Yamagata University（山形大学）
本文研究了正常表面奇点的正常还原数，综述了相关结果并证明了Brieskorn完全交集的新结论。
2019-11-21 math.AG
Freeness of arrangements of lines and one conic with ordinary quasi-homogeneous singularities
本文研究由线和一个光滑圆锥组成的自由排列，通过弱组合学方法对具有准齐次普通奇点的排列进行不完全分类。
2024-11-19 math.AG math.CO
Quasi-homogeneous singularities of projective hypersurfaces and Jacobian syzygies
该研究发现射影超曲面Jacobian合冲与奇点性质的一般关系，提出识别拟齐次孤立奇点的新方法，推广了此前关于自由与殆自由平面曲线的研究成果。
2025-05-20 math.AC math.AG
A formula for Euler characteristic of line singularities on singular spaces
本文证明了具有孤立奇点的加权齐次完全交空间中临界轨迹为平滑曲线的函数的Milnor纤维的欧拉示性数的一个代数公式。
2000-01-13 math.AG
On Poincaré polynomials for plane curves with quasi-homogeneous singularities
本文定义组合庞加莱多项式，证明自由圆锥曲线-直线配置在普通拟齐次奇点下满足Terao型因式分解，并给出自由$d$-配置的组合约束。
2025-05-29 math.AG math.CO
On Igusa's conjectures for weighted homogeneous polynomials with isolated singularities
KU Leuven（荷语鲁汶大学）；Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science and Technology（越南科学技术院数学研究所）；Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe, The University of Tokyo（东京大学宇宙物理数学研究所（Kavli））；Department of Mathematics, Graduate School of Science, the University of Osaka（大阪大学理学研究科数学系）
本文推广p进McKay对应，将Denef的Igusa局部zeta函数公式拓展至Q-嵌入奇点消解情形，证明了相关强单值群猜想与指数和猜想对特定加权齐次多项式成立。
2026-10-09 math.AG math.NT
Finite $\mathcal{A}$-determinacy of generic homogeneous map germs in $\mathbb{C}^3$
用$H(d_1,d_2,d_3)$表示所有齐次多项式映射$F=(f_1,f_2,f_3): \C^3\to\C^3$的集合，使得$°f_i=d_i$。我们表明，如果$\gcd(d_i,d_j)\leq 2$为$1\leq i<j\leq 3$和$\gcd(d_1,d_2,d_3)=1$，那么有一个非空的Zapriki开子集$U\subset H(d_1,d_2,d_3)$，使每个映射$F\in U$的地图胚芽$(F,0)$是$\mathcal{A}$ -确定。此外，在这种情况下，我们计算的离散奇点（$0$ -稳定奇点）的一般映射$(f_1,f_2,f_3):\C^3\to\C^3$，其中$°f_i=d_i$。
2019-08-28 math.AG
Syzygies of Jacobian ideals and weighted homogeneous singularities
设$V$是仅有孤立奇点的射影超曲面.我们证明了这些奇异性是加权齐次的当且仅当$V$的方程的偏导数之间的Koszul syzygies恰好是$V$的奇异轨迹子方案上的一般第一分量为零的syzygies。在这种情况下，这尤其对斋藤守彦和第一提交人提出的一个问题作出了肯定的回答。最后，我们解释了如何我们的结果可以被用来改善上市的雅可比合冲给定程度的计算机代数系统，如奇异，CoCoA或Macaulay2。
2014-07-09 math.AC math.AG
Bi-Lipschitz geometry of weighted homogeneous surface singularities
我们证明了加权齐次复曲面奇点是度量圆锥的（即，bi-Lipschitz等价于一个度量锥），只有当它的两个最低权重相等时。我们还给出了一个例子，一对加权齐次复杂的表面奇点，拓扑等价，但不bi-Lipschitz等价。
2007-12-07 math.AG math.GT math.MG
