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乘积集的改进 Helly 数

Improved Helly numbers of product sets

Srinivas Arun, Travis Dillon

备注：
11 pages, 2 figures. The results in this version (v2) are a subset of those in v1 after splitting v1 into two papers
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AI总结：

本文改进了形如 $A^d$ 的乘积集的 Helly 数上界，涵盖指数网格及同余关系定义的整数集，给出了更紧的界。

摘要：

设 $\mathcal F$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中凸集的有限族，若 $\mathcal F$ 中任意 $k$ 个凸集的交集都包含 $S \subseteq \mathbb{R}^d$ 中的一点，则称 $\mathcal F$ 在 $S$ 中是 $k$-相交的。$S$ 的 Helly 数是最小的 $k$（若存在），使得每个 $k$-相交族的所有成员的交集中都含有 $S$ 中的一点。本文改进了形如 $A^d$ 的乘积集的 Helly 数的界，其中 $A \subseteq \mathbb{R}$ 取多种集合，包括“指数网格” $A = \{\alpha^n : n \in \mathbb{N}\}$ 以及由同余关系定义的集合 $A \subseteq \mathbb{Z}$。

英文摘要：

A finite family $\mathcal F$ of convex sets is $k$-intersecting in $S \subseteq \mathbb{R}^d$ if the intersection of every subset of $k$ convex sets in $\mathcal F$ contains a point in $S$. The Helly number of $S$ is the minimum $k$, if it exists, such that every $k$-intersecting family contains a point of $S$ in its intersection. In this paper, we improve bounds on the Helly number of product sets of the form $A^d$ for various sets $A \subseteq \mathbb{R}$, including the ``exponential grid'' $A = \{α^n : n \in \mathbb{N}\}$ and sets $A\subseteq \mathbb{Z}$ defined by congruence relations.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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