一个具有不同中心的彩色Steinitz定理
A colorful Steinitz theorem with different centers
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中文总结 AI 辅助
本文证明了不同中心颜色类的彩色Steinitz定理，给出彩虹凸包中球的半径下界，并推广到平移锥的彩色Helly定理。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了一个彩色的定量Steinitz定理，其中颜色类可以具有不同的中心。如果$\mathbb{R}^d$中$2d$个集合的每个凸包都包含欧几里得单位球的一个平移，那么一个彩虹凸包包含一个半径为$(3d)^{-2d^2}$的球，该球的中心属于给定中心的凸包。主要成分是一个关于线段平移的精确结果，通过提升和拓扑彩色Helly定理证明。同样的想法也产生了关于平移锥的尖锐彩色Helly定理：对于$1 \le k \le d-1$，如果从$\mathbb{R}^d$中$2d-k+1$个有限凸集族中的每个彩虹选择在其交集中都有一个$k$维锥，那么其中一个族的交集包含这样的锥。
英文摘要
We prove a colorful quantitative Steinitz theorem in which the color classes may have different centers. If the convex hull of each of $2d$ sets in $\R^d$ contains a translate of the Euclidean unit ball, then a rainbow convex hull contains a ball of radius $(3d)^{-2d^2}$ whose center belongs to the convex hull of the given centers. The main ingredient is an exact result for translates of a segment, proved by a lifting and a topological colorful Helly theorem. The same idea also yields a sharp colorful Helly theorem for translated cones: for $1 \le k \le d-1$, if every rainbow selection from $2d-k+1$ finite families of convex sets in $\mathbb{R}^d$ has a $k$-dimensional cone in its intersection, then the intersection of one of the families contains such a cone.
