Quantitative Transversal Theorems in the Plane
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Michigan（密歇根大学）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
研究平面中紧致凸集横截问题，通过定量一致排序条件，推广Hadwiger定理，给出横截满足定量要求的结果，证明方法推广自Wenger，还证了彩色版本。
2026-07-07 math.CO
Transversals in a collections of trees
该研究针对图族横贯问题，推导了不含彩虹元素时星族与特定阶树族对应的集合最大规模精确值，并刻画了全部极值结构，推进了组合数学中横贯与彩虹结构相关理论。
2023-10-10 math.CO
Erdős-Ko-Rado Theorems for Paths in Graphs
Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）
本文研究图中长度-r路径族的1-相交和s-相交性质，证明太阳图和theta图满足EKR性质，并给出Hilton-Milner型结果和横贯数结论。
2026-06-19 math.CO
On transversal and $2$-packing numbers in straight line systems on $\mathbb{R}^{2}$
线性系统是一对$(X,\mathcal{F})$，其中$\mathcal{F}$是基集$X$上的子集的有限族，并且对于每对不同的子集$A,B \in \mathcal{F}$，它满足$|A\cap B|\leq 1$。线性系统的一个例子是直线系统，其子集族是$\mathbb{R}^{2}$上的直线段。用$τ$和$ν_2$分别表示线性系统的最小断面的大小和2-堆积数。一个自然的问题是询问这两个参数的关系;不难证明存在一个二次函数$f$保持$τ\leq f(ν_2)$。然而，对于直线系统，我们认为$τ\leqν_2-1$。本文证明了对于任何具有$2$ -堆积数$ν_2$等于$2, 3$和$4$的线性系统，我们有$τ\leqν_2$ .进一步证明了满足等式的线性系统的横截数和$2$ -堆积数都等于$4$，并且它们是一类特殊的$3$阶射影平面上的线性子系统.利用这个结果，我们确认所有具有$ν_2\in\{2,3,4\}$的直线系统满足$τ\leqν_2-1$。
2015-09-12 math.CO
A necessary and sufficient condition for $k$-transversals
Princeton University（普林斯顿大学）；Max Planck Institute of Molecular Cell Biology and Genetics（马克斯·普朗克分子细胞生物学与遗传学研究所）；Center for Systems Biology Dresden（德累斯顿系统生物学中心）；Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
本文通过拓扑方法，给出了实数和复数域中凸集族存在$k$-截集的必要且充分条件，并推广了Helly定理和Goodman-Pollack-Wenger定理。
2026-01-23 math.CO math.MG
Pushed colorful polytopal KKMS Theorem and orthogonal star transversals
Facultad de Ciencias, UNAM（国立自治大学理学院）
该研究推广了彩色多面体KKMS定理，引入多面体彩虹可推性，将正交星形横截问题的颜色类需求从d+1减少到⌊log₂d⌋+2，还推广了相关彩色定理并证明d≥2时需三种颜色。
2026-10-14 math.CO
How do 9 points look like in $E^3$?
本文的目的是给出以下事实的一个初等证明：给定$\mathbb{E}^3$中的3个红凸集和3个蓝凸集，使得每个红与每个蓝相交，有一条线横切红或有一条线横切蓝。这是Montajano和Karasev \cite{MK}的定理的一个特例，并且在某种意义上推广了Lovász的彩色Helly定理（cf. \cite{BL}）。
2021-12-07 math.CO
A note on the transversal size of a series of families constructed over Cycle Graph
Paul Erdés和László Lovász通过一个例子证明了存在一个具有近似$(e-1)k!$块的极大交$k-$集族. László Lovász解释说，他们的例子是最有名的例子，它有最大数量的块。后来被推翻了。但对这些例子的追求直到今天仍然有效。本文通过计算在圈图上构造的一系列均匀相交族的横向尺寸，给出了一个具有多个$(\frac{k}{2})^{k-1}$（近似）块的例子.
2015-01-09 math.CO
$k$-dimensional transversals for fat convex sets
本文研究胖凸集的 $k$ 维仿射平面横截问题，证明相应分数 Helly 定理，并给出球面、彩色变体及球情形的 $(p,k+2)$ 定理。
2024-12-06 cs.CG math.CO
Graphs of low average degree without independent transversals
具有顶点划分$\mathcal P$的图$G$的独立横截是在单个顶点中与$\mathcal P$的每个块相交的$G$的独立集。Wanless和Wood证明了如果$\mathcal P$的每个块的大小至少为$t$，且每个块中顶点的平均度至多为$t/4$，则存在$\mathcal P$的独立断面.我们提出了一个结构，表明这一结果是最优的：对于任何$\varepsilon > 0$和足够大的$t$，有一个家庭的森林的顶点分区的块大小至少是$t$，在每个块中的顶点的平均度是最多$(\frac14+\varepsilon)t$，并没有独立的横截。这出乎意料地表明，与熵压缩相关的方法，如Rosenwell-Wanless-Wood方案或局部切割引理，对于这个问题是严格的。进一步的构造给出了问题的变体，包括超图版本。
2022-05-10 math.CO
Transversals and bipancyclicity in bipartite graph families
一个二部图称为双泛圈图，如果它包含的圈的长度从4到图的顶点数都是偶数。Schmeichel和Mitchem的一个定理指出，对于$n \geq 4$，每个$2n$顶点上的平衡二部图，其中一个色类中的每个顶点的度大于$\frac{n}{2}$，另一个色类中的每个顶点的度至少为$\frac{n}{2}$，是双泛圈的。我们证明了这一定理的一个推广的设置图横截。也就是说，我们证明了：给定$2n$二部图族$\mathcal{G}$，它位于$2n$顶点的公共集合$X$上，具有公共平衡二划分，如果$\mathcal G$的每个图在一个色类中的最小度大于$\frac{n}{2}$，在另一个色类中的最小度至少为$\frac{n}{2}$，则在$X$上存在每个偶数长度$4 \leq \ell \leq 2n$的循环，其使用来自$\mathcal G$的每个图的至多一个边。我们还表明，给定一个家庭$\mathcal G$的$n$二部图的$2n$顶点满足相同的程度条件的共同集$X$，存在一个完美的匹配$X$，使用从每个图的$\mathcal G$的一个边缘。
2021-01-25 math.CO
A complex analogue of the Goodman-Pollack-Wenger theorem
本文将Goodman-Pollack-Wenger定理推广到复数域，给出了复空间中有限凸集族具有$(d-1)$-横截的充分必要条件，且不要求集合互不相交。
2024-01-18 math.CO math.MG
On transversal and 2-packing numbers in uniform linear systems
线性系统是一对$(P,\mathcal{L})$，其中$\mathcal{L}$是基有限集$P$上的子集族，使得对于每个$l,l^\prime \in \mathcal{L}$，$|l\cap l^\prime|\leq 1$。$P$和$\mathcal{L}$的元素分别称为点和线，如果任何一对线恰好相交于一个点，则线性系统称为相交。$P$的点的子集$T$是$(P,\mathcal{L})$的断面，如果$T$与任何直线相交，断面数$τ(P,\mathcal{L})$是断面的最小阶。另一方面，一个线性系统$(P,\mathcal{L})$的2-包装集是一个线的集合$R$，使得它们中的任何三个有一个公共点，那么$(P,\mathcal{L})$的2-包装数，$ν_2(P,\mathcal{L})$，是一个最大2-包装集的大小。已知横截数$τ(P,\mathcal{L})$由$ν_2(P,\mathcal{L})$的二次函数上界。一个公开的问题是寻找满足$τ(P,\mathcal{L})\leq λν_2(P,\mathcal{L})$的线性系族，对于某些$λ\geq1$。本文给出了满足$τ(P,\mathcal{L})=ν_2(P,\mathcal{L})$且$\mathcal{L}$的基数最小的线性系$(P,\mathcal{L})$的无穷族，以及$r$ -一致相交线性系$(P,\m…
2019-03-28 math.CO
Line transversals in families of connected sets the plane
证明了如果平面上的一个紧连通集族具有每三个成员被一条直线包围的性质，则存在三条直线与该族中的所有集合相交。这回答了Eckhoff在1993年提出的一个问题，他证明了在相同的条件下，有四条线与所有的集合相交。事实上，我们证明了这个结果的一个丰富多彩的版本，在削弱的条件下的集合。一个三元组$A,B,C$在平面上说是一个{ \em紧}，如果$\textrm{conv}(A\cup B)\cap \textrm{conv}(A\cup C)\cap \textrm{conv}(B\cap C)\neq \emptyset.$这一概念首先介绍了霍姆森，他表明，如果$\mathcal{F}$是一个家庭的紧凑凸集在平面上的每三个集形成一个紧三元组，然后有一条线相交至少$\frac{1}{8}|\mathcal{F}|$成员的$\mathcal{F}$。本文证明了：如果$\mathcal{F}_1,\dots,\mathcal{F}_6$是平面上的紧连通集族，使得从三个不同的族$\mathcal{F}_i$中选出的每三个集合构成一个紧三元组，则存在$1\le j\le 6$和与$\mathcal{F}_j$的每个成员相交的三条直线.特别地，这将Holmsen结果中的$\frac{1}{8}$改进为$\frac{1}{3}$。
2021-08-01 math.CO
A colorful Goodman-Pollack-Wenger theorem
本文证明 Goodman-Pollack-Wenger 定理的多彩版本，证实 Arocha、Bracho 和 Montejano 的猜想，证明采用拓扑方法并利用 Borsuk-Ulam 定理。
2024-09-05 math.CO math.MG
Transversals to colorful intersecting convex sets
本文证明Dolnikov猜想在常宽体或接近圆盘情形下的更强版本，并给出8点穿透的一般结果，同时优化了二维情形下穿透点与横截线的数量。
2023-06-20 math.CO
From one to many rainbow Hamiltonian cycles
给定图$G$和$G$的子图族$\mathcal{G} = \{G_1,\ldots,G_n\}$，$\mathcal{G}$的断面是一对$(T,ϕ)$，使得$T \subseteq E(G)$和$ϕ: T \rightarrow [n]$是对每个$e \in T$满足$e \in G_{ϕ(e)}$的双射。如果$T$对应于$G$中哈密尔顿圈的边集，我们称之为横截哈密尔顿算子。证明了在$G$的最大次数和$G_i \in \mathcal{G}$的最小次数满足一定条件下，对每个包含Hamilton断面的$\mathcal{G}$，包含在$\mathcal{G}$中的Hamilton断面的个数由$G$的最大次数的函数有界.这推广了Dahassen的一个定理，即对于$m \geq 300$，没有$m$ -正则图是唯一的Hamilton图.我们还扩展了Joos和Kim最近的结果，即如果$G = K_n$和每个$G_i \in \mathcal{G}$的最小度至少为$\frac{n}{2}$，则$\mathcal{G}$有一个Hamilton断面：我们证明，在这种情况下，$\mathcal{G}$有指数级多个Hamilton断面。最后，我们证明了类似物这两个定理的横截形成完美匹配的$G$。
2021-04-14 math.CO
Variations of Helly's theorem for convex splinters
Baruch College & The Graduate Center, City University of New York（巴鲁克学院与纽约市立大学研究生院）；The University of Chicago Booth School of Business（芝加哥大学布斯商学院）
研究凸碎片（凸集的并集，满足每个最小仿射相关集包含于其中一个集合）上Helly定理的分数和彩色变体，并推广Tverberg定理。
2026-06-23 math.CO
Codimension two and three Kneser Transversals
令$k,d,λ\geqslant 1$是具有$d\geqslant λ$的整数，并且令$X$是$\mathbb{R}^{d}$中的有限点集。横截$X$的所有$k$ -集的凸包的$(d-λ)$ -平面$L$称为Kneser横截.如果$L$还包含$X$的$(d-λ)+1$点，则$L$称为完全Kneser断面。在本文中，我们给出了关于$λ=2,3$的（完全）Kneser断面存在性的各种结果。为了做到这一点，我们引入的概念（完整）Kneser断面的稳定性和不稳定性。我们首先给出了一个稳定性的结果$\mathbb{R}^d$与$k-λ\geqslant 2$和$λ=2,3$的$d+2(k-λ)$点的集合。然后，我们提出了一个描述的Kneser横$L$的$\mathbb{R}^d$与$k-λ\geqslant 2$的$λ=2,3$的$d+2(k-λ)$点的集合。我们表明，无论是$L$是一个完整的Kneser横截或它包含$d-2(λ-1)$点和其余的$2(k-1)$点的$X$匹配在$k-1$对这样一种方式，$L$相交的相应的封闭段由它们确定。后者导致了新的上下界（在$λ=2$和$3$的情况下）$m(k,d,λ)$定义为最大正整数$n$使得$\mathbb{R}^{d}$中的每一组$n$点（不一定在一般位置）允许Kneser断面.最后，利用定向拟阵机器，我们给出了一些计算结果（与稳定性和不稳定性概…
2017-11-15 cs.DM math.CO math.MG
A family of convex sets in the plane satisfying the $(4,3)$-property can be pierced by nine points
证明了平面上满足$(4,3)$ -性质的凸集的有限族可以被$9$点穿透。这改进了Gyárfás、Kleitman和Tóth在2001年证明的$13$的界。
2020-10-25 math.CO
An $(\aleph_0,k+2)$-Theorem for $k$-Transversals
Ariel University（阿里埃勒大学）；Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University（希伯来大学爱因斯坦数学研究所）
本文证明了关于$k$-横截的$(\u2135_0,k+2)$-定理：若无限闭球族中每可数多个元素有$k+2$个可被$k$维平面刺穿，则整个族可被有限个$k$维平面刺穿，并推广到近球族。
2025-10-16 cs.CG math.CO
Transversal Hamilton cycle in hypergraph systems
本文证明在满足最小$(k-1)$度条件$(1/2+\gamma)n$的$k$-图系统中存在横向紧哈密顿圈，推广了Rödl等人关于单个$k$-图的结果。
2023-05-11 math.CO
Depth with respect to a family of convex sets
本文提出了关于$\mathbb{R}^d$中凸集的有限族$\mathcal{F}$的深度的概念，我们称之为$\text{dep}_\mathcal{F}$。我们开始表明，$\text{dep}_\mathcal{F}$满足一些预期的深度测量的属性，这个定义是密切相关的J. Tukey提出的深度的概念。我们表明，Tukey深度的一些性质扩展到$\text{dep}_\mathcal{F}$，我们指出了一些关键的区别。然后，我们重点关注以下中心点类型的问题：在家族$\mathcal{F}$是$k$ -相交的假设下，我们可以保证的最佳深度$α_{d,k}$是多少？我们展示了这个问题和一个纯粹的组合问题之间的一个关键连接击中集。这种关系在两个方向上都是有用的。一方面，对于接近$d$的$k$的值，组合解释给出了$k$的良好界限。另一方面，对于低值的$k$，我们可以使用经典的Rado的中心点定理，得到独立的利益的组合结果。对于$k$的中间值，我们提出了一个概率框架，以提高界限，并说明其使用的情况下$k\approx d/2$。这些结果可以看作是Helly定理和Rado中心点定理之间的一种插值。作为这些结果的一个应用，我们发现了一个Helly型定理的分数超平面断面。我们还对A的一个横截结果给出了另一种更简单的证明。霍姆森
2016-12-11 math.CO
Packing and coloring r-bounded axis-parallel rectangles
设$\mathcal{R}$是平面上的平行轴矩形族。横向数$τ(\mathcal{R})$是穿透所有矩形所需的最小点数。独立数$ν(\mathcal{R})$是成对不相交矩形的最大数目。给定一个正实数$r$，我们说$\mathcal{R}$是r-有界族，如果对$\mathcal{R}$中的任何矩形，长边与短边的长宽比至多为$r$。Gyárfás和Lehel问是否有可能用独立数$ν(\mathcal{R})$的线性函数来约束横截数$τ(\mathcal{R})$。Ahlswede和Karapetyan对$r$ -有界族的特殊情况给出了肯定的答案，但没有提供证据。Chudnovsky等人证实了证明$τ\leq (14 + 2r^2) ν$界的结果。本文给出了$τ\leq 2(r+1)(ν-1) + 1$的一个简单证明，改进了已有的结果。作为这种新方法的结果，我们还推出了一个常数因子界的比例$\fracχω$的情况下，$r$-有界的家庭。
2021-01-08 math.CO
On a problem of Henning and Yeo about the transversal number of uniform linear systems whose 2-packing number is fixed
线性系统是一对$(P,\mathcal{L})$，其中$\mathcal{L}$是基有限集$P$上的子集族，使得对于每个$l,l^\prime \in \mathcal{L}$，$|l\cap l^\prime|\leq 1$。如果$\mathcal{L}$的所有元素都是一个线性系统$(P,\mathcal{L})$，那么这个线性系统叫做$r$ -均匀线性系统。线性系统$(P,\mathcal{L})$的横截数$τ(P,\mathcal{L})$是满足$l\cap\hat{P}\neq\emptyset$的子集$\hat{P}\subseteq P$对每个$l\in\mathcal{L}$的最小基数。一个线性系统$(P,\mathcal{L})$的2-堆积数，$ν_2(P,\mathcal{L})$，是一个子集$R\subseteq\mathcal{L}$的最大基数，使得$R$的任何三个元素没有公共点（三重不相交），即如果在$R$中选择三个元素，则它们不在一个公共点上发生。对于$r\geq2$，令$(P,\mathcal{L})$是$r$ -一致线性系统。在“{ \sc M. A. Henning和A. Yeo：} { \it Hypergraphs with large transverse number，} Discrete Math. { \bf 313}（2013），no.…
2020-02-27 math.CO
A counterexample to conjecture 18.5 in "Geometric Etudes in Combinatorial Mathematics", second edition
如果在$\Fscr$的每个$p$元素中，有$q$具有公共点，则集合$\Fscr$具有$(p,q)$ -属性。集合$\Fscr$的截线是与$\Fscr$的每个成员相交的集合$A$。Grünbaum证明了每个家庭$\Fscr$的封闭，凸集在平面上的$(4,3)$ -财产和至少两个元素是紧凑的有一个断面的有界基数。在这里，我们构造一个反例，他的猜想。在积极的一面，我们还表明，如果这样的集合$\Fscr$包含两个{ \em disjoint}的矩阵，那么有一个横的基数最多为13。
2011-12-31 math.CO
On colorful generalizations of the Goodman--Pollack transversal problem
Center for Systems Biology Dresden（德累斯顿系统生物学中心）；Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）；Max Planck Institute of Molecular Cell Biology and Genetics（马克斯·普朗克分子细胞生物学与遗传学研究所）
本文通过颜色和更一般地，通过组合学的方法，解决了Goodman和Pollack关于凸集族中存在一个F-仿射k维截面的问题，统一了多个经典和最新定理，并提出了颜色和组合学的Dol'nikov型截面定理。
2026-05-18 math.CO math.GT math.MG
A variant of the Hadwiger-Debrunner (p,q)-problem in the plane
设$X$是平面（比如单位圆）中的凸曲线，并且设$\mathcal S$是平面凸体族，使得它们中的每两个在$X$的一点处相交。则$\mathcal S$具有大小至多为$1.75\cdot 10^9$的横向$N\subset\mathbb R^2$。相反，假设$\mathcal S$仅满足以下“$(p,2)$ -条件”：在$\mathcal S$的每个$p$元素中，有两个元素在$X$的公共点处相遇。则$\mathcal S$具有大小为$O(p^8)$的横截。为了比较，最有名的边界Hadwiger-Debrunner $(p, q)$ -问题在平面上，与$q=3$，是$O(p^6)$。如果$X\subset \mathbb R^d$是力矩曲线，则我们的结果适当地推广到$\mathbb R^d$。
2014-09-03 cs.CG cs.DM math.CO
A census of graph-drawing algorithms based on generalized transversal structures
提出两种基于grand-Schnyder woods的线性时间图绘制算法，统一了多种定义在不同平面图类上的已知图绘制算法。
2025-03-01 cs.CG math.CO
Blockers for simple Hamiltonian paths in convex geometric graphs of even order
设G是一个顶点数为2 m的完全凸几何图，F是G的一个子图族. F的一个Blocker是满足F的每个元素的一组尽可能小的边。在[C. Keller和M. A. Perles，关于凸几何图中阻塞简单完美匹配的最小集合，Israel J. Math. 187（2012），pp. 465-484]，我们给出了G.在本文中，我们表明，家庭的简单的哈密顿路径（SHP）在G中有完全相同的阻滞剂家庭的SPM。我们的论证相当简短，并为[KP 12]的结果提供了一个简单得多的证明。
2016-07-04 math.CO
Piercing intersecting convex sets
针对Martínez等人提出的Helly型问题，本文证实当ℝ³中两相交凸集族𝒜、ℬ分别位于平行平面时，存在与族无关的常数γ，使某直线与𝒜中γ|𝒜|个集合或ℬ中γ|ℬ|个集合相交，且其中一族所有集合有直线横截线。
2025-02-11 math.CO
On the hollow enclosed by convex sets
对于$n\leq d$，如果$R^d$中的任何$n$成员都有非空交集，但$\bigcap_{i=0}^n C_i=\varnothing$不是，则称$n\leq d$中的紧致凸集族${\cal F}=\{C_0,C_1,\ldots, C_n\}$为$n$ -临界族.如果$n=d$然后一个引理的交集凸集由于克利意味着$d+1$成员的$d$ -关键家庭包含一个“空心”在$R^d$，有界连通组件的$R^d\setminus\bigcup_{i=0}^n C_i.$在这里，我们证明了封闭的凸包空心在$R^d$是一个$d$ -单纯形。
2021-10-19 math.CO
Arbitrarily Large Neighborly Families of Congruent Symmetric Convex 3-Polytopes
对于任意正整数n，我们在R^3中构造一族n个全等凸多面体，使得每对凸多面体相交于一个公共小平面。以前，最大的此类族仅包含八个多面体。我们的多面体是螺旋线上均匀分布的点的Voronoi区域（t，cos t，sin t）。通过一个简单的修改，我们可以确保族中的每个多面体都有一个点、一条线和一个对称面。我们还推广我们的建设更高的维度，并介绍了一个新的家庭循环多面体。
2001-06-12 math.CO math.MG
