通过 Betti 数界定 Radon 数
Bounding Radon numbers via Betti numbers
AI总结：
本文利用同调复杂度与 Betti 数界定欧氏空间和曲面上集合族的 Radon 数，并推出分数 Helly、弱 ε-网及 $(p,q)$ 定理。
摘要：
我们证明了关于 $\mathbb R^d$ 中或曲面上集合的一般拓扑 Radon 型定理。结合 Holmsen 和 Lee 最近的一项结果，我们还得到了分数 Helly 定理，并由此获得弱 $\varepsilon$-网的存在性以及这些集合的 $(p,q)$ 定理。更具体地说，给定 $\mathbb R^d$ 的一个子集族 $\mathcal F$，我们将通过对所有非空 $\mathcal G \subseteq \mathcal F$ 取 $\bigcap \mathcal G$ 的前 $\lceil d/2\rceil$ 个约化 Betti 数的上确界，来度量 $\mathcal F$ 的同调复杂度。我们证明，如果 $\mathcal F$ 的同调复杂度至多为 $b$，则 $\mathcal F$ 的 Radon 数可以用 $b$ 和 $d$ 来界定。若 $\mathcal F$ 位于一个曲面上，并且对任意非空 $\mathcal G \subseteq \mathcal F$，$\bigcap \mathcal G$ 的连通分支数至多为 $b$，则 $\mathcal F$ 的 Radon 数由一个仅依赖于 $b$ 和该曲面本身的函数界定。对于曲面，如果进一步假设 $\mathcal F$ 中的集合是开集，我们证明 $\mathcal F$ 的分数 Helly 数关于 $b$ 是线性的。这一改进基于作者与 Kalai 最近的一项结果。具体而言，当 $b=1$ 时，我们得到分数 Helly 数至多为三，而这是最优的。这一情形还进一步解决了 Holmsen、Kim 和 Lee 关于曲面开子集存在 $(p,q)$ 定理的一个猜想。
英文摘要：
We prove general topological Radon-type theorems for sets in $\mathbb R^d$ or on a surface. Combined with a recent result of Holmsen and Lee, we also obtain fractional Helly theorem, and consequently the existence of weak $\varepsilon$-nets as well as a $(p,q)$-theorem for those sets. More precisely, given a family $\mathcal F$ of subsets of $\mathbb R^d$, we will measure the homological complexity of $\mathcal F$ by the supremum of the first $\lceil d/2\rceil$ reduced Betti numbers of $\bigcap \mathcal G$ over all nonempty $\mathcal G \subseteq \mathcal F$. We show that if $\mathcal F$ has homological complexity at most $b$, the Radon number of $\mathcal F$ is bounded in terms of $b$ and $d$. In case that $\mathcal F$ lives on a surface and the number of connected components of $\bigcap \mathcal G$ is at most $b$ for any nonempty $\mathcal G \subseteq \mathcal F$, then the Radon number of $\mathcal F$ is bounded by a function depending only on $b$ and the surface itself. For surfaces, if we moreover assume the sets in $\mathcal F$ are open, we show that the fractional Helly number of $\mathcal F$ is linear in $b$. The improvement is based on a recent result of the author and Kalai. Specifically, for $b=1$ we get that the fractional Helly number is at most three, which is optimal. This case further leads to solving a conjecture of Holmsen, Kim, and Lee about an existence of a $(p,q)$-theorem for open subsets of a surface.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
