Monotonicity formulas for minimal submanifolds involving Möbius transformations
Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学北京国际数学研究中心）
本文证明了欧氏空间中极小子流形在Möbius变换下的同心球像的（加权）体积的单调性公式。
2026-05-22 math.DG
Monotonicity formulas of eigenvalues and energy functionals along the rescaled List's extended Ricci flow
本文研究了再标度List的扩展里奇流的特征值和熵的单调性公式。本文导出了Laplacian特征值的单调性公式，推广了文献[8]和文献[3]中的结果。此外，我们还考虑了对应于稳定Ricci呼吸子的广义$\mathcal{F}$-泛函的$\mathcal{F}_k$-泛函和对应于扩展Ricci呼吸子的广义$\mathcal{W}$ -泛函的$\mathcal{W}_k$ -泛函的单调性公式.
2015-11-27 math.DG
A monotonicity formula for mean curvature flow with surgery
本文证明了带手术的中曲率流的单调性公式。这个公式不同于Huisken的单调性公式的一个额外的条款涉及的中曲率。因此，我们表明，一个手术修改的流动，这是足够接近的光滑流动的意义上的几何测度论，事实上，免费的手术。这一结果对黎曼三流形中具有外科手术的中曲率流的长期行为有应用。
2015-08-29 math.DG
Uniqueness of stable capillary hypersurfaces in a ball
本文证明了空间型中球的浸入稳定毛细超曲面是全脐的。这就彻底解决了一个长期存在的问题。证明中的一个关键要素是一个新的Minkowski型公式。我们还证明了球中超曲面的Heintze-Karcher-Ros型不等式，它与新的Minkowski公式一起给出了具有自由边界的球中嵌入CMC超曲面的Alexandrov定理的一个新证明.
2019-05-22 math.DG
Willmore type inequality using monotonicity formulas
得到了双曲空间$\mathbb{H}^n$和$\mathbb{S}^n$中Willmore泛函$\int | \mathbf{H} |^2$的Simon型单调性公式.该公式给出了$\int_Σ | \mathbf{H} |^2$的下界，其中$Σ^2$是$\mathbb{H}^n$中的任何闭曲面。
2018-11-25 math.DG
Almost Monotonicity Formula for H-minimal Legendrian Surfaces in the Heisenberg Group
证明了Heisenberg群${\mathbb H}^2$中H-极小Legendrian曲面（也称{ \it接触平稳Legendrian浸入}）的几乎单调性公式.从这个公式我们推出了一个Bernstein-Liouville型定理的H-极小Legendrian曲面。这最后一个结果恰好是作者在arXiv：2007.05467中给出的Willmore猜想证明的分析部分的一个特别的中心成分
2021-08-22 math.DG
Monotonicity formulas and Hessian of the Green function
本文在非抛物流形上，基于格林函数Hessian的假设推导单调性公式，并给出满足该假设的扭曲积流形显式例子。
2024-10-02 math.DG
Monotonicity formula for complete hypersurfaces in the Hyperbolic space and applications
本文证明了双曲空间中完备真超曲面的平均曲率积分的单调性公式，并由此得到了中曲率积分的一个下界和中曲率积分为无穷大.
2015-05-04 math.DG
Isoperimetric inequalities and monotonicity formulas for submanifolds in warped product manifolds
本文首先证明了de Sitter-Schwarzschild流形和Reissner-Nordstrom流形中子流形的几个线性等周不等式。此外，平等是实现的。其次，我们证明了翘曲积流形中具有有界中曲率向量的子流形的一些单调性公式，作为结果，我们给出了这些子流形的体积关于翘曲函数的下界估计.最后给出了关于极小曲面的一个等周不等式。
2017-04-11 math.DG
Quantitative Rigidity Using Colding's Monotonicity Formulas for Ricci Curvature
Brown University（布朗大学）；Korea Advanced Institute of Science and Technology (KAIST)（韩国科学技术院）
本文基于Colding单调性公式，研究Ricci曲率的定量化刚性，通过构造格林函数和k-分割函数，定量控制正则性并控制到近锥体的距离。
2026-05-01 math.DG
A note on Huisken monotonicity-type formula for the mean curvature flow in a gradient shrinking extended Ricci soliton background
Universidade Federal de São Carlos（圣卡洛斯联邦大学）；Carl von Ossietzky Universität Oldenburg（奥登堡卡尔·冯·奥西茨基大学）；University of Tsukuba（筑波大学）
本文在扩展Ricci流的收缩自相似解背景下，应用Huisken单调性型公式研究平均曲率流，建立了紧致和非紧致情形下的新结果。
2026-06-08 math.DG
A monotonicity formula for free boundary surfaces with respect to the unit ball
证明了在$\mathbb R^n$中单位球边界内具有自由边界且具有平方可积〔的〕中曲率的紧致曲面的单调性恒等式。作为一个结果，我们得到了一个Li-Yau型不等式，从而推广了Oliveira和Soret，Fraser和Schoen的结果。在本文的最后一节中，我们得到了在任意可定向支撑曲面类$C^2$内具有自由边界的紧致曲面的一些尖锐的几何不等式。此外，我们还得到了$\mathbb R^3$中闭曲线的$L^1$ -切点能量的一个尖锐的下界，从而回答了Strzelecki，Szumaiska和von der Mosel提出的一个问题.
2014-02-19 math.DG
Green-Function Monotonicity under Positive Bakry-Émery Curvature
本文在正 Bakry-Émery 曲率条件下，通过格林函数建立加权单调性公式，推广了 Manea 的框架，并处理负有效维数情形，为相关研究提供新工具。
2026-10-01 math.DG
Spacelike capillary surfaces in the Lorentz-Minkowski space
对于三维Lorentz-Minkowski空间中具有非空边界的紧致类空常中曲率曲面，引入了Choe \cite{Choe}提出的边界脐点处曲率线的旋转指数.利用内部脐点和边界脐点处的旋转指数的概念，并应用Poincaré-Hopf指数公式，证明了在由（类空或类时）全脐面围成的$\Bbb L^3$区域中，顶点小于$4$的紧致浸入类空盘型毛细曲面是（类空）平面或双曲平面的一部分.证明了在$\Bbb L^3$中，唯一浸入de Sitter曲面内的类空圆盘型毛细管曲面是类空平面或双曲平面的一部分.
2010-10-14 math.DG
The Boundary Term in Huisken's Monotonicity Formula and the Entropy of Translators
本文研究平均曲率流中带边流形的熵的边界项控制问题，并在温和假设下证明紧致平移孤立子的熵不超过其边界的熵与边界最大锥密度之和。
2023-08-05 math.DG
Monotonicity formulas under rescaled Ricci flow
在这篇短文中，我们讨论了各种重新标度的里奇流下的单调性公式。主要结果是定理\ref{theo rescaled}。
2007-11-10 math.AP math.DG
A local parabolic monotonicity formula on Riemannian manifolds
本文建立了黎曼流形上两相自由边界问题的一个局部抛物几乎单调性公式，它是Edquist-Petrosyan的一个工作的推广.
2009-06-08 math.AP math.DG
A monotonicity formula for minimal connections
本文在黎曼流形上证明极小连接的单调性公式，推导消失定理，证明大半径极限为杨-米尔斯连接，并证明dDT连接是极小连接且满足更强公式。
2025-10-19 math.DG
A monotonicity formula on complete Kähler manifolds with nonnegative bisectional curvature
本文给出了具有非负对分曲率的完备Kähler流形上的多重调和函数的一个新的单调性公式。作为应用，我们得到了具有多项式增长的全纯函数（段）空间维数的精确估计，特别地，部分地解决了Yau的一个猜想.
2003-07-21 math.CV math.DG
Moving-centre monotonicity formulae for minimal submanifolds and related equations
单调性公式对于许多几何偏微分方程，特别是对于它们的正则性理论，起着至关重要的作用。对于欧氏球中的极小子流形，经典的单调性公式意味着，如果这样的子流形通过球的中心，那么它的面积至少是赤道盘的面积。最近Brendle和Hung证明了当指定点不是球心时极小子流形的一个有界的尖锐区域，解决了Alexander，Hoffman和Osserman的一个猜想.他们的证明包括对一个巧妙选择的向量场的渐近分析和发散定理。本文证明了极小子流形的一个尖锐的“动中心”单调性公式，它包含了上述面积界。我们还描述了类似的移动中心单调性公式的固定$p$调和映射，中曲率流和调和映射热流。
2017-05-01 math.AP math.DG
New Monotonicity Formulae for Semi-linear Elliptic and Parabolic Systems
本文建立了下列椭圆系统$$ Δu_i+f_i(u_1,...,u_m)=0 \quad {\rm in} Ω, \label{0.1} $$的一般单调性公式，其中$Ω\subset\subset \mathbb{R}^n$是有界区域，$(f_i(u_1,...,u_m))=\nabla F(\vec{u})$，$F(\vec{u})$是$\vec{u}=(u_1,...,u_m)$的给定光滑函数，$m,n$是两个正整数.我们还建立了如下抛物系统$$ \partial_t u_i-Δu_i-f_i(u_1,...,u_m)=0, in (t_1, t_2)\times \mathbb{R}^n, $$的一个新的单调性公式，其中$t_1<t_2$是两个常数，$(f_i(\vec{u}))$如上所示。新的单调性公式更加关注非线性项的单调性。我们的观点是，我们引入了一个指数称为$β$来衡量的非线性项的单调性问题。单调性公式研究中的指数对于了解解的爆破序列的行为是非常有用的。对自由边界问题也给出了相应的单调性结果。
2005-10-10 math.AP math.DG
A note on monotonicity and Bochner formulas in Carnot groups
本文证明了卡诺群中$Δ_H f = c$和$Δ_H f - \p_t f = c$解的两个单调性公式。这样的公式涉及函数的右不变\emph{carré du champ}，并且它们对于左不变函数是假的。主要结果，定理1.1和1.2，分别与Alt-Caffarelli-Friedman关于标准Laplacian和Caffarelli关于热方程的两个深度单调性公式相似。关于这一方面，我们提出一个问题，即“几乎单调性”公式是否可能。在最后一节中，我们讨论了Almgren型泛函非减单调性的失效。
2022-08-02 math.AP math.DG
Local monotonicity and mean value formulas for evolving Riemannian manifolds
我们推导出一般流动的黎曼度量，可以被视为局部均值，单调性，或李雅普诺夫公式的身份。这些推广了第一作者以前的工作中曲率流和其他非线性扩散。我们的结果特别适用于里奇流，在那里，它们产生一个局部单调量直接类似于Perelman的约化体积V和一个局部恒等式有关的Perelman的平均能量F。
2006-08-18 math.AP math.DG
New monotonicity formulas for Ricci curvature and applications; I
证明了三个新的具有里奇曲率下界的流形的单调性公式，并证明了它们与切锥的收敛速率有关。事实上，我们证明了这三个单调量的导数是有界的，从下面的Gromov-Hausdorff距离最近的锥。该单调性公式与经典的Bishop-Gromov体积比较定理和Perelman著名的里奇流单调性公式有关。我们将解释所有这些之间的联系。此外，我们表明，这些新的单调性公式与我们证明的格林函数的一个新的尖锐梯度估计。这与Perelman的单调性与Li-Yau热核的锐梯度估计密切相关。在[CM 4]中，我们将使用这里证明的单调性公式来证明Einstein流形的某些切锥的唯一性，在[CM 3]中，我们将证明一些相关的单调性公式。最后，我们的单调性与舍恩-丘和威滕的正质量定理有明显的相似之处。
2011-11-21 math.AP math.DG math.MG
Monotonicity formulas for harmonic functions in ${\rm RCD}(0,N)$ spaces
本文将Colding和Minicozzi关于具有非负里奇曲率的黎曼流形中正调和函数的一族单调性公式推广到${\rm RCD}(0,N)$集.刚性和几乎刚性的陈述也被证明，第二个似乎是新的，即使在顺利的设置。受[AFM]最近工作的启发，我们还在${\rm RCD}$空间中引入了静电势的概念，它也满足我们的单调性公式。我们的论点主要是基于${\rm RCD}(K,N)$空间中调和函数的新估计和“（几乎）外体积锥蕴涵（几乎）外度量锥”定理的新泛函形式。
2021-12-30 math.DG math.MG
A Monotonicity Formula for the Extrinsic Biharmonic Map Heat Flow
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Technical University of Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
该研究针对外在双调和映射热流，利用双调和热核性质推导出熵型量，并证明其在$n\leq 4$时具有单调性。
2026-09-24 math.AP math.DG
Hamilton's Gradient Estimates and A Monotonicity Formula for Heat Flows on Metric Measure Spaces
本文将光滑黎曼流形上热流的Hamilton梯度估计\cite{har93}和熵的单调性公式\cite{ni04}推广到（非光滑）度量测度空间，并给出了适当的黎曼曲率维数条件.
2015-12-28 math.DG math.MG
Monotonicity formula and stratification of the singular set of perimeter minimizers in RCD spaces
本文在RCD(0,N)度量测度锥中建立周长极小化集合的单调性公式及刚性陈述，并由此得到非塌缩RCD空间中奇异分层的尖锐Hausdorff维数估计，以及非负Ricci曲率流形中全局周长极小化子blow-down锥的存在性。
2025-02-03 math.DG math.MG
A Monotonicity Formula and a Liouville-type Theorem for a Fourth Order Supercritical Problem
我们考虑非线性四阶问题$$ Δ^2 u=|u|^{p-1}u\ \{in} \ \R^n,$$的Liouville型和部分正则性结果，其中$ p>1$和$n\ge1$ .我们给出了一个完整的分类的稳定和有限的莫尔斯指数的解决方案（无论是积极的或符号变化），在整个指数范围。我们还计算了奇异极值解集的豪斯多夫维数的上界。我们的方法是由Fleming的切锥分析技术的极小曲面和Federer的降维原理的部分正则性理论。其中一个重要工具是双调和方程的单调性公式。
2013-03-25 math.AP math.DG
Generalized Li-Yau estimates and Huisken's monotonicity formula
本文证明了一类二阶线性抛物型方程的Li-Yau估计的推广。由此得到了这类方程的一个新的Cheeger-Yau不等式和一个新的Harnack不等式。我们还证明了Hamilton-Li-Yau估计，这是一个矩阵版本的Li-Yau估计，这些方程。这导致在一个推广的Huisken的单调性公式的一个家庭的发展超曲面。最后，我们还表明，所有这些推广是尖锐的意义上的不等式成为一个家庭的基本解，但不同的高斯热核上实现的平等在经典的情况下的等式。
2013-09-03 math.AP math.DG
Nonlinear Dirac equations, Monotonicity Formulas and Liouville Theorems
研究了完备黎曼流形上量子场论中的非线性Dirac方程的定性行为。特别是，我们推导出这些方程的解的单调性公式和刘维尔定理。最后，我们将我们的分析推广到具有曲率项的Dirac-调和映射。
2019-11-14 math-ph math.AP math.DG
Monotonicity of functionals along conformal Ricci flow
本文的主要目的是构造与共形里奇流在闭流形上发展的度量有关的共轭热方程正解的两个泛函。通过计算这些泛函的显式演化公式，我们证明了它们是非减的。对于熵泛函，我们通过建立一个逐点公式给出单调性的另一个证明。此外，我们表明，增加是严格的，除非度量是爱因斯坦。
2019-10-10 math.AP math.DG
Unimodal value distribution of Laplace eigenfunctions and a monotonicity formula
设$M$是紧致连通黎曼流形，其黎曼体积测度记为$σ$ .设$f: M \rightarrow \mathbb{R}$是拉普拉斯算子的非常数本征函数。随机波猜想表明，在某些情况下，$f$在$σ$下的值分布近似为高斯分布。对于相对于$σ$的密度为$|\nabla f|^2$的测量，写入$μ$。我们观察到$f$在$μ$下的值分布允许单峰密度在原点处达到其最大值。因此，在某种意义上，本征函数的零集是所有水平集中最大的。当$M$是一个带边流形的流形时，对于满足Dirichlet或Neumann边界条件的Laplace特征函数也是如此。此外，我们证明了一个单调性公式的水平集的固体球谐函数，本质上是通过查看节点集的调和函数作为加权极小超曲面。
2019-06-14 math.DG math.SP
Monotonicity formulas in positively curved settings with applications to two-phase free boundary problems
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文针对二维正曲率环境构造ACF泛函的变体并证明其几乎单调性公式，借此得到两相自由边界问题极小元的新利普希茨界，常数仅依赖总积分曲率，还恢复了特定情形下的已有利普希茨界。
2026-09-15 math.AP math.DG
Alexandrov-Fenchel inequality for convex hypersurfaces with capillary boundary in a ball
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；Xiamen University（厦门大学）
本文通过局部约束非线性曲率流，推导了具有毛细边界的凸超曲面的Alexandrov-Fenchel不等式，扩展了自由边界情况下的相关结果。
2022-09-28 math.AP math.DG
Monotonicity formulas for static metrics with non-zero cosmological constant
本文研究了具有非零宇宙常数的非奇异真空静态时空。我们引入新的积分量，并在适当的假设下，我们证明了他们的单调性沿水平集流的静态潜力。然后，我们展示了如何使用这些属性，以获得一些尖锐的几何和分析不等式，其平等的情况下，可以用来描述旋转对称的基本静态解决方案。因此，我们能够证明一些新的唯一性声明的德西特和反德西特度量。特别是，我们证明了德西特解在具有连通边界和正宇宙学常数的三维静态度规中具有最小可能的表面重力。
2016-05-15 math.AP math.DG
Ricci curvature and monotonicity for harmonic functions
本文将[C]中的单调性公式推广到具有非负里奇曲率的流形上.单调量在分析和几何中起着关键作用;参见，例如，[A]，[CM 1]和[GL]的单调性唯一性的应用。在这里的应用之一是，水平集的格林函数的开放流形上的非负里奇曲率是渐近脐。
2012-09-20 math.AP math.DG
Index Estimates for CMC and Minimal Surfaces with Capillary Boundary
本文研究具有毛细边界的CMC曲面的指数，证明其受亏格、边界组件数和分支阶数及Willmore型能量的线性限制。主要辅助定理比较了分支共形映射边界的面积和能量二阶变分。
2026-03-19 math.AP math.DG
Monotonicity for p-harmonic vector bundle-valued k-forms
通过研究$p$ -调和向量丛值$k$ -形式的能量动量张量，研究了这种形式的单调性。由此得到了$p$ -调和映射和Yang-Mills联络的单调性公式的统一证明，并在此过程中证明了$p$ -Yang-Mills联络的单调性公式.此外，它示出了如何这种技术可以适应产生一个类似的单调性公式杨米尔斯希格斯对。最后，我们得到了这类形式的Liouville型定理和Yang-Mills-Higgs对作为应用。
2015-06-10 math-ph math.AP math.DG
Monotonicity formulas for coupled elliptic gradient systems with applications
考虑以下耦合椭圆方程组\begin{equation*} \label{} (-Δ)^s u_i = (u^2_1+\cdots+u^2_m)^{\frac{p-1}{2}} u_i \quad \text{in} \ \ \mathbb{R}^n , \end{equation*}，其中$0<s\le 2$、$p>1$、$m\ge1$、$u=(u_i)_{i=1}^m$和$u_i:\mathbb R^n\to \mathbb R$。在文献中从不同的角度研究了上述系统解的定性行为，包括自由边界问题和解的分类。对于局部标量方程的情况，即当$m=1$和$s=1$，Gidas和Spruck在\cite{gs}和后来的Caffarelli，Gidas和Spruck在\cite{cgs}中提供了Sobolev次临界和临界指数的解决方案的分类。最近，对于局部方程组的情况，即当$m\ge1$和$s=1$时，Druet、Hebey和Vétois在\cite{dhv}及其参考文献中给出了类似的分类结果。本文给出了上述局部系统当为$s=1,2$时，以及非局部系统当为$0<s<1$和$1<s<2$时，整体解的单调性公式.由于Alt-Caffarelli-Friedman \cite{acf}著名的单调性公式的对应物对于方程组来说似乎是具有挑战性的，因此这些单调性公式是非常有趣的。然后，我们应用这些公式给…
2019-01-09 math-ph math.AP math.DG
Local monotonicity for the Yang-Mills-Higgs flow
证明了$\mathbb{R}^{n}$上$G$ -丛（$n>4$）上的Yang-Mills-Higgs流的局部单调性公式.结果表明，Yang-Mills流和Yang-Mills-Higgs流的某些自相似解上的单调量与已有的非局部单调性公式中的单调量一致.
2015-06-05 math-ph math.AP math.DG
Fine properties of nonlinear potentials and a unified perspective on monotonicity formulas
本文研究非线性势的细特性，统一了单调性公式的视角，证明了$p$-容量势与逆平均曲率流的关联，并推导了高斯-博内型定理。
2026-02-09 math.AP math.DG math.FA
Time flat surfaces and the monotonicity of the spacetime Hawking mass II
在这篇后续论文中，我们给出了满足主导能量条件的时空中类空均匀面积扩张流下时间平坦表面霍金质量单调性的较短的第二个证明。我们还包括第三个证明建立在一个已知的公式，并描述了一类充分条件的发散型的单调性的霍金质量。这些表面的流动可能与广义相对论中的问题有关，即时空中类空2-表面的准局部质量从下面限制了时空的总质量。
2014-02-13 gr-qc math.DG
Minkowski Inequalities via Nonlinear Potential Theory
本文证明了Minkowski不等式的一个推广，它对任何光滑有界集$Ω\subset \mathbb R^n$，$n\geq 3$成立.我们的证明依赖于有效的单调性公式的发现，保持沿水平集流的$p$ -电容潜力与$Ω$，为每一个$p$足够接近$1$。除了构成一个整洁的改进介绍了在[雾_马兹_平]治疗的情况下，凸区域，这些公式证明了存在的联系之间的单调性公式推导的Colding和Minicozzi的水平集流的格林函数和单调性公式采用Huisken，Ilmanen和其他几个作者在研究的几何意义的反中曲率流。在维度$n\geq 8$中，我们的结论比迄今为止通过后一种技术获得的结论更强。
2021-01-04 math.AP math.DG
