Failure of strong unique continuation for harmonic functions on RCD Spaces
$RCD$空间上的调和函数的唯一延拓是一个长期存在的公开问题，即使在Alexandrov空间中也知之甚少。本文建立了$RCD(K,2)$空间上调和函数的弱唯一延拓定理，并给出了$ RCD(K,N)$空间中任意$N\geq 4$和任意$K\in \mathbb{R}$的强唯一延拓的反例。
2022-11-02 math.AP math.DG
Boundary Regularity of Harmonic maps from $RCD(K,N)$-space to $CAT(0)$-space
本文研究从 $RCD(K,N)$ 度量测度空间到 $CAT(0)$ 空间的调和映射，证明了其边界正则性。
2024-02-29 math.DG
Boundary regularity of harmonic map heat flows from RCD spaces into $CAT(0)$ spaces
Sun Yat-sen University（中山大学）
研究从RCD空间到CAT(0)空间的调和映射热流的边界正则性，针对广义Ricci曲率下有界情形。
2026-09-15 math.DG
Lipschitz regularity of harmonic map heat flows from $\mathrm{RCD}$ spaces into $\mathrm{CAT}(0)$ spaces
Shandong University（山东大学）；Sun Yat-sen University（中山大学）
该研究证明从有限维RCD(K,N)空间到完备CAT(0)目标的Korevaar-Schoen能量的EVI梯度流在正时间的局部Lipschitz正则性，结合度量Hamilton-Jacobi论证与椭圆接触估计完成证明。
2026-08-25 math.AP math.DG math.MG
Perelman's entropy and heat kernel bounds on RCD spaces
本文研究了有限维RCD空间上的Perelman W-熵泛函，严格论证了其时间导数公式并推导单调性与刚性性质，同时建立了具有独立意义的热方程解的界。
2025-03-04 math.DG
Optimal boundary regularity of harmonic maps from $RCD(K,N)$-spaces to $CAT(0)$-spaces
本文在$RCD(K,N)$度量测度空间中建立Gauss-Green公式，并应用于证明从$RCD(K,N)$空间到$CAT(0)$空间的调和映射的最优边界正则性，该结果对欧氏空间中Lipschitz域上的调和函数也是新的。
2025-05-26 math.DG math.MG
Local Li-Yau's estimates on $RCD^*(K,N)$ metric measure spaces
本文主要研究度量测度空间上的（线性）几何分析。在黎曼曲率维数条件$RCD^*(K,N).$下，我们建立了热方程弱解的局部Li-Yau估计，并证明了度量测度空间上调和函数的一个尖锐的Yau梯度
2016-07-20 math.DG math.MG
Lipschitz continuity and Bochner-Eells-Sampson inequality for harmonic maps from $\mathrm{RCD}(K,N)$ spaces to $\mathrm{CAT}(0)$ spaces
本文研究RCD(K,N)空间到CAT(0)空间调和映射的正则性，利用最优输运与热流相互作用及粘性摄动论证，证明其Lipschitz连续性并建立含Hessian项的Bochner-Eells-Sampson不等式，推广了经典理论。
2023-11-04 math.AP math.DG math.MG
Weyl's lemma on $RCD(K,N)$ metric measure spaces
本文将经典的Weyl引理推广到$RCD(K,N)$度量测度空间.作为应用，我们给出了泊松方程解的局部正则性和$RCD(K,N)$空间上$L^1$极弱调和函数的Liouville型结果.同时，得到了一类非连续系数椭圆型方程解的梯度估计。
2022-12-18 math.AP math.DG math.MG
An almost rigidity Theorem and its applications to noncompact RCD(0,N) spaces with linear volume growth
本文的主要结果由两部分组成。首先，我们得到了一个几乎刚性定理，即在RCD（0，N）空间上，当距离函数的两个水平集之间的区域的体积与圆柱的体积相比几乎最大时，则这部分作为度量空间接近于圆柱.其次，我们应用这个几乎刚性定理研究了具有线性体积增长的非紧RCD（0，N）空间。更精确地说，我们得到了测地球直径的次线性增长，并研究了在这样的RCD（0，N）空间上多项式增长的调和函数的不存在性。
2017-10-16 math.DG
Second-order estimates for the $p$-Laplacian in RCD spaces
本文在 RCD 空间中建立了 $p$-Laplacian 函数的二阶 Sobolev 正则性，并在有限维情形下获得 Lipschitz 正则性，结果适用于特征函数和 $p$-调和函数。
2025-05-22 math.AP math.DG math.MG
Unique Continuation Problem on RCD Spaces. I
本文建立了紧致$RCD(K,2)$空间上热函数的弱唯一延拓定理，并证明了存在一个$RCD(K,4)$空间，在该空间上存在Laplacian算子的非平凡本征函数和热方程的非定常解，这些解在一点处消失到无穷阶.我们还建立了频率估计的特征函数和热函数的度量喇叭。特别是，这给出了一个强大的独特的延续型结果的度量喇叭的调和函数具有高衰减率在喇叭尖端，它是已知的，标准的强唯一的延续属性失败。
2022-12-29 math.AP math.DG
On the regularity of harmonic maps from ${\sf RCD}(K,N)$ to ${\sf CAT}(0)$ spaces and related results
本文证明了从 RCD(K,N) 空间到 CAT(0) 空间的调和映射的 Lipschitz 估计，结合 Moser 迭代、Bochner 型不等式与逆 Poincaré 不等式，并提出了一个关键变分原理与 Rademacher 型结果。
2023-08-04 math.AP math.DG math.MG
Monotonicity of harmonic functions on $3$-manifolds with an asymptotically flat end
Department of Mathematics, University of Miami（迈阿密大学数学系）
研究了三维流形上具有渐近平坦端的正调和函数的单调性，并探讨了具有两个端的Schwarzschild流形的刚性特征。
2025-12-19 math.DG
Parabolic frequency monotonicity on Ricci flow and Ricci-harmonic flow with bounded curvatures
本文研究Ricci流与Ricci-调和流下抛物频率的单调性，分别针对有界Bakry-Émery Ricci曲率和有界Ricci曲率两种情况，推广了相关结果。
2022-05-16 math.DG
Minimal Surface Equation and Bernstein Property on RCD spaces
本文在RCD(K,N)空间中研究极小曲面方程，证明其解在图上调和，并在K=0时利用Harnack不等式推出Bernstein性质，进而给出乘积空间中极小图的振荡估计与Bernstein定理。
2025-03-11 math.AP math.DG
Green-Function Monotonicity under Positive Bakry-Émery Curvature
本文在正 Bakry-Émery 曲率条件下，通过格林函数建立加权单调性公式，推广了 Manea 的框架，并处理负有效维数情形，为相关研究提供新工具。
2026-10-01 math.DG
Ricci curvature and monotonicity for harmonic functions
本文将[C]中的单调性公式推广到具有非负里奇曲率的流形上.单调量在分析和几何中起着关键作用;参见，例如，[A]，[CM 1]和[GL]的单调性唯一性的应用。在这里的应用之一是，水平集的格林函数的开放流形上的非负里奇曲率是渐近脐。
2012-09-20 math.AP math.DG
Monotonicity Formulae and Holomorphicity of Harmonic Maps between Kähler manifolds
本文引入Kaehler流形间映射的偏能E '（f）和E”（f）的应力-能量张量。假设区域流形具有某些特殊的穷竭函数，利用这些应力能量张量分别建立了到任意Kaehler流形的多重调和映射和到具有强半负曲率的Kaehler流形的调和映射的部分能量的单调性公式.这些单调性不等式使我们能够得到这些多重调和映射和调和映射的一些全纯性和Liouville型结果。我们还利用应力-能量张量研究了CR映射的全纯扩张问题。
2011-12-15 math.CV math.DG
Monotonicity for p-harmonic vector bundle-valued k-forms
通过研究$p$ -调和向量丛值$k$ -形式的能量动量张量，研究了这种形式的单调性。由此得到了$p$ -调和映射和Yang-Mills联络的单调性公式的统一证明，并在此过程中证明了$p$ -Yang-Mills联络的单调性公式.此外，它示出了如何这种技术可以适应产生一个类似的单调性公式杨米尔斯希格斯对。最后，我们得到了这类形式的Liouville型定理和Yang-Mills-Higgs对作为应用。
2015-06-10 math-ph math.AP math.DG
Lipschitz regularity of sub-elliptic harmonic maps into CAT(0) spaces
该研究证明了从n维Heisenberg群到CAT(0)空间的次椭圆调和映射具备局部Lipschitz连续性，拓展了已有Hölder正则性结果，为次椭圆调和映射的一般正则性理论提供了通用方法。
2024-05-14 math.AP math.DG math.MG
Maximal first Betti number drop and collapsing RCD spaces
Kspectra Research Inc.（Kspectra研究公司）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文研究紧致RCD空间塌缩时第一贝蒂数达到最大下降$N-m$的情形，通过将极限对称性转化为Seifert纤维化，证明有限覆盖与环面乘积同胚，并证实Zamora-Zhu猜想。
2026-09-25 math.DG
Moving-centre monotonicity formulae for minimal submanifolds and related equations
单调性公式对于许多几何偏微分方程，特别是对于它们的正则性理论，起着至关重要的作用。对于欧氏球中的极小子流形，经典的单调性公式意味着，如果这样的子流形通过球的中心，那么它的面积至少是赤道盘的面积。最近Brendle和Hung证明了当指定点不是球心时极小子流形的一个有界的尖锐区域，解决了Alexander，Hoffman和Osserman的一个猜想.他们的证明包括对一个巧妙选择的向量场的渐近分析和发散定理。本文证明了极小子流形的一个尖锐的“动中心”单调性公式，它包含了上述面积界。我们还描述了类似的移动中心单调性公式的固定$p$调和映射，中曲率流和调和映射热流。
2017-05-01 math.AP math.DG
Liouville type theorem for several generalized maps between Riemannian manifold
本文主要利用守恒律导出了广义映射的单调性公式，包括度量测度空间中的$ϕ$-$F$调和映射与具有$m$形式和势的$ϕ$ - $F$交响映射耦合，具有势的$ p $调和映射，具有势的$ V $调和映射.作为推论，在某些有限能量条件下，我们可以得到这类映射的Liouville定理.在度量测度空间上，在渐近条件下，得到了$ϕ$ - $F$调和映射与$ϕ$ - $F$交响映射耦合的Liouville型定理.利用度量测度空间上的里奇曲率的上界和截曲率的上界，得到了$ϕ$-$F$ - $V$ -调和映射的Liouville定理.在度量测度空间上，不使用单调性公式，得到了$ϕ$ - $ F $ -调和映射的Liouville定理.
2022-12-15 math.DG
Variation of the first eigenvalue of $(p,q)$-Laplacian along the Ricci-harmonic flow
本文研究了一类$(p,q)$ -Laplacian算子第一特征值的单调性。通过对初始流形施加一定的条件，得到了在Ricci-调和流演化的闭黎曼流形上的$(p,q)$ -Laplacian算子的第一特征值的一阶变分公式，并构造了各种单调量.
2019-03-18 math.DG
Unimodal value distribution of Laplace eigenfunctions and a monotonicity formula
设$M$是紧致连通黎曼流形，其黎曼体积测度记为$σ$ .设$f: M \rightarrow \mathbb{R}$是拉普拉斯算子的非常数本征函数。随机波猜想表明，在某些情况下，$f$在$σ$下的值分布近似为高斯分布。对于相对于$σ$的密度为$|\nabla f|^2$的测量，写入$μ$。我们观察到$f$在$μ$下的值分布允许单峰密度在原点处达到其最大值。因此，在某种意义上，本征函数的零集是所有水平集中最大的。当$M$是一个带边流形的流形时，对于满足Dirichlet或Neumann边界条件的Laplace特征函数也是如此。此外，我们证明了一个单调性公式的水平集的固体球谐函数，本质上是通过查看节点集的调和函数作为加权极小超曲面。
2019-06-14 math.DG math.SP
Nonlinear Dirac equations, Monotonicity Formulas and Liouville Theorems
研究了完备黎曼流形上量子场论中的非线性Dirac方程的定性行为。特别是，我们推导出这些方程的解的单调性公式和刘维尔定理。最后，我们将我们的分析推广到具有曲率项的Dirac-调和映射。
2019-11-14 math-ph math.AP math.DG
Characterization of equality in Zhong-Yang type (sharp) spectral gap estimates for metric measure spaces
证明了一个紧的$RCD^*(0,N)$（或等价的$RCD(0,N)$）度量测度空间$\left(X, d, m \right)$，具有$\diam X \le d$和它的Laplacian（在Ambrosio-Gigli-Savaré意义下）的第一个（非零）特征值$λ_1 = \frac{π^2}{d^2}$，必须是一个圆或一个具有直径的线段$π$。这完全刻画了在度量测度和Riemann Ricci下界下，Zhong-Yang型谱间隙估计的等价性。在这些空间中，有熟悉的黎曼流形与$\Ric \ge 0$，$(0,N)-$ Bakry-Émery流形，$(0,n)-$ Ricci极限空间和非负弯曲的Alexandrov空间。受Gigli的非光滑分裂定理证明的启发，我们结果证明的关键思想是，（也许减去余维的闭子集，当存在梯度流轨迹为测地线的弱调和势$f$时，（$1$）等距分裂出一个区间（即，$f$的倍数至少在短时间内和在合适的域上是康托洛维奇势）。这是标准的黎曼几何由于德拉姆的分解定理，这是一个关键成分的证明Cheeger Gromoll的著名分裂定理。
2019-01-23 math.DG
The harmonic heat flow of almost complex structures
定义并研究了与黎曼结构$(M, g)$相容的殆复结构的调和热流。这是调和映射热流的张量值版本。我们证明，如果初始几乎复杂的结构$J$有小的能量（取决于规范$|\nabla J|$），那么流存在的所有时间和收敛到Kähler结构。我们还证明了如果初始能量足够小，但在同伦类中不存在Kähler结构，则存在有限时间奇异性。一个主要的技术工具是一个版本的单调性公式，类似于调和映射热流理论。我们还构造了一个具有小能量的平面四圆环上的殆复结构，使得在这样的初始数据下，谐波热流在有限时刻爆破。
2019-07-29 math.AP math.DG
Almgren frequency and Agmon convexity on rotationally symmetric Cartan-Hadamard manifolds
University of Florida（佛罗里达大学）
本文在旋转对称 Cartan-Hadamard 流形上引入全局频率函数，并在实双曲空间中证明相关频率函数的单调性，进而得到对数凸性定理和双曲三球定理。
2026-10-05 math.DG
Monotone Quantities for $p$-Harmonic functions and the Sharp $p$-Penrose inequality
本文在带极小边界的渐近平坦三维流形上建立 $p$-调和函数的单调量，并据此推出联系 ADM 质量与边界 $p$-容量的尖锐 $p$-Penrose 不等式。
2024-01-19 math-ph math.CA math.DG
Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H-flow, and an entropy formula
本文的第一部分证明了一般黎曼流形上p-调和函数的局部内部梯度和边界梯度估计。在此基础上，根据R. Moser，我们证明了一个关于满足体积急剧增长假设的超曲面的1/H（逆中曲率）流的水平集形式的弱解的存在性定理.在本文的第二部分中，我们考虑了p-Laplace方程的两个抛物型类似方程，并证明了这两个方程在非负里奇曲率流形上的正解的Li-Yau型梯度估计.对于其中一个方程，我们还证明了一个熵单调性公式，推广了第二作者的线性热方程的一个较早的这样的公式。作为这个公式的应用，我们证明了具有非负里奇曲率和尖锐的L ^p-对数Sobolev不等式的完备黎曼流形必等距于欧几里得空间.
2007-11-14 math.AP math.DG
A Green's function proof of the Positive Mass Theorem
本文利用沿 Green 函数及 p-调和函数水平集的单调性公式，分别证明正质量定理与 Riemannian Penrose 不等式，并刻画标量曲率下界。
2023-06-06 math.AP math.DG
Heat flow of harmonic maps into CAT($0$)-spaces
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）；Dipartimento di Matematica “Felice Casorati”, Università di Pavia（帕维亚大学费利切·卡索拉蒂数学系）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）；Department of Mathematics, Purdue University（普渡大学数学系）
本文提出新方法证明调和映射到CAT(0)空间热流的全局存在性和唯一性，证明解的空间Lipschitz连续性，解决长期未解问题，引入新的动态变分原理和Eells-Sampson定理新证明。
2026-04-06 math.AP math.DG
The geometry of $Φ_{(3)}$-harmonic maps
本文通过统一几何分析方法研究 $Φ_{(3)}$-调和映射，建立其变分公式与刘维尔型结果，引入 $Φ_{(3)}$-SSU流形并由此导出拓扑消失定理和球面定理。
2023-05-31 math-ph math.AP math.DG
