AI 中文总结
本文在正 Bakry-Émery 曲率条件下，通过格林函数建立加权单调性公式，推广了 Manea 的框架，并处理负有效维数情形，为相关研究提供新工具。
AI 中文摘要
受 Colding、Minicozzi 和 Manea 的格林函数单调性公式启发，我们在满足 ${\rm Ric}_f^m \ge (m-1)kg$ 的闭加权黎曼流形上建立了加权单调性公式，其中 $m>n\ge 3$ 且 $k>0$。我们的结果将 Manea 的椭圆单调性框架推广到有限维 Bakry-Émery 曲率情形，并为 Song-Wei-Wu 的加权公式提供了正曲率对应物。从 $-\Delta_f+m(m-2)k/4$ 的格林函数出发，我们推导出一个精确的加权 Bochner 恒等式，并在显式极点可积性条件下证明了三个单调性公式，以及一个针对 $\beta\ge (m-2)/(m-1)$ 的单参数族。我们还处理了负有效维数 $m<0$ 的情形，此时非负平方分解仍然有效，而格林极点附近行为的变化导致有限子水平集上的面积和体积单调性反转。最后，我们给出关于熵单调性公式和正曲率 RCD 空间的比较与问题。
英文摘要
Inspired by the Green-function monotonicity formulas of Colding, Minicozzi, and Manea, we establish weighted monotonicity formulas on closed weighted Riemannian manifolds satisfying ${\rm Ric}_f^m \ge (m-1)kg$, where $m>n\ge 3$ and $k>0$. Our results extend Manea's elliptic monotonicity framework to the setting of finite-dimensional Bakry-Émery curvature and provide a positive-curvature counterpart to the weighted formulas of Song-Wei-Wu. Starting from the Green function of $-Δ_f+m(m-2)k/4$, we derive an exact weighted Bochner identity and prove three monotonicity formulas, together with a one-parameter family for $β\ge (m-2)/(m-1)$, under explicit pole-integrability conditions. We also treat the case of negative effective dimension $m<0$, for which the nonnegative square decomposition remains valid, while the change in the behavior near the Green pole leads to reversed area and volume monotonicity on finite sublevel sets. We conclude with comparisons and questions concerning entropy monotonicity formulas and positive-curvature RCD spaces.
Comments38 pages
