Monotonicity formulas under rescaled Ricci flow
Jun-Fang Li
在这篇短文中，我们讨论了各种重新标度的里奇流下的单调性公式。主要结果是定理\ref{theo rescaled}。
In this short notes, we discuss monotonicity formulas under various rescaled versions of Ricci flow. The main result is Theorem \ref{theo rescaled}.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Ricci curvature and monotonicity for harmonic functions
本文将[C]中的单调性公式推广到具有非负里奇曲率的流形上.单调量在分析和几何中起着关键作用;参见，例如，[A]，[CM 1]和[GL]的单调性唯一性的应用。在这里的应用之一是，水平集的格林函数的开放流形上的非负里奇曲率是渐近脐。
Monotonicity and Kaehler-Ricci flow
本文证明了Kaehler-里奇流的线性迹Li-Yau-Hamilton不等式与正流的单调性公式之间的联系。作为Li-Yau-Hamilton线性迹和Chow-Hamilton线性迹的应用，我们给出了Kaehler-Ricci（Ricci）流极限解分类的另一个证明.
Eigen-value monotonicity for the Ricci-Hamilton flow
本文已被作者撤回，并发表在AGAG上
Monotonicity formulas of eigenvalues and energy functionals along the rescaled List's extended Ricci flow
本文研究了再标度List的扩展里奇流的特征值和熵的单调性公式。本文导出了Laplacian特征值的单调性公式，推广了文献[8]和文献[3]中的结果。此外，我们还考虑了对应于稳定Ricci呼吸子的广义$\mathcal{F}$-泛函的$\mathcal{F}_k$-泛函和对应于扩展Ricci呼吸子的广义$\mathcal{W}$ -泛函的$\mathcal{W}_k$ -泛函的单调性公式.
Parabolic frequency monotonicity for two nonlinear equations under Ricci flow
本文研究闭流形Ricci流下两类非线性抛物方程正解的抛物频率单调性，并据此推导出积分型Harnack不等式。
Monotonicity of functionals along conformal Ricci flow
本文的主要目的是构造与共形里奇流在闭流形上发展的度量有关的共轭热方程正解的两个泛函。通过计算这些泛函的显式演化公式，我们证明了它们是非减的。对于熵泛函，我们通过建立一个逐点公式给出单调性的另一个证明。此外，我们表明，增加是严格的，除非度量是爱因斯坦。
Eigenvalues and energy functionals with monotonicity formulae under Ricci flow
本文构造了Perelman的$\mathcal{F}$ -泛函和$\mathcal{W}$ -泛函型泛函族.我们证明了这些新泛函在里奇流下是非减的。作为应用，我们证明了紧致定常Ricci呼吸子必为Ricci平坦的定理。利用这些新的泛函，我们也给出了Perelman非平凡扩张呼吸子定理的一个新的证明。此外，我们还用直接法证明了紧膨胀Ricci呼吸子必为Einstein呼吸子。在本文中，我们还推广了X. Cao的特征值\cite{C}方法，改进了其结果.
Sharp gradient estimates and monotonicity in positive Ricci curvature
本文在正 Ricci 曲率闭流形上证明了尖锐梯度估计，并将其与单调性公式联系起来，同时给出了 Bishop 定理的新证明。
Parabolic frequency monotonicity on Ricci flow and Ricci-harmonic flow with bounded curvatures
本文研究Ricci流与Ricci-调和流下抛物频率的单调性，分别针对有界Bakry-Émery Ricci曲率和有界Ricci曲率两种情况，推广了相关结果。
Monotonicity Formulas for Bakry-Emery Ricci Curvature
受Colding [5]和Colding-Minicozzi [6]最近工作的启发和启发，我们得到了具有非负Bakry-Emery里奇曲率的流形的几个单调性公式族，推广了[5，6]中的公式.
New monotonicity formulas for Ricci curvature and applications; I
证明了三个新的具有里奇曲率下界的流形的单调性公式，并证明了它们与切锥的收敛速率有关。事实上，我们证明了这三个单调量的导数是有界的，从下面的Gromov-Hausdorff距离最近的锥。该单调性公式与经典的Bishop-Gromov体积比较定理和Perelman著名的里奇流单调性公式有关。我们将解释所有这些之间的联系。此外，我们表明，这些新的单调性公式与我们证明的格林函数的一个新的尖锐梯度估计。这与Perelman的单调性与Li-Yau热核的锐梯度估计密切相关。在[CM 4]中，我们将使用这里证明的单调性公式来证明Einstein流形的某些切锥的唯一性，在[CM 3]中，我们将证明一些相关的单调性公式。最后，我们的单调性与舍恩-丘和威滕的正质量定理有明显的相似之处。
Parabolic frequency on Ricci flows
本文定义了里奇流上热方程解的抛物频率，并证明了它沿流的单调性。频率单调性是已知的，有许多有用的后果，在这里，它是提供一个简单的证明向后的唯一性。对于更一般的里奇流上的抛物型方程的解，本文给出了频率导数的界，这同样意味着向后唯一性。
Scalar curvature, entropy, and generalized Ricci flow
我们导出了一类广义里奇流的加权数量曲率单调性公式，其中包含由重整化群流驱动的反应扩散方程演化的辅助粒子场.这些数量曲率单调性通过耦合到相关加权共轭热方程的解而对偶于一个新的Perelman型能量和熵单调性公式族。在里奇流的背景下，我们进一步得到了一族新的凸Nash熵和伪局部性原理。
Gradient estimates and parabolic frequency monotonicity for positive solutions of the heat equation under generalized Ricci flow
本文在广义Ricci流和较弱Ricci曲率有界条件下建立热方程正解的Li-Yau型与Hamilton型梯度估计，并由此得到时空Harnack不等式及抛物频率单调性。
Evolution and Monotonicity of Geometric Constants under Extended Ricci Flows with Variable Coupling Parameters
研究在含可变耦合参数的扩展 Ricci 流下几何常数 λ 的演化，通过修改演化方程系数推导其在扩展与归一化流下的公式，并给出单调性成立条件。
Monotonicity of eigenvalues of geometric operaters along the Ricci-Bourguignon flow
本文研究了Laplacian型算子$-Δ+cR$的特征值沿Ricci-Bourguignon流的单调性，其中$c$为常数.对于$c\neq0$，我们得到了Laplacian型算子$-Δ+cR$的最低特征值的单调性，推广了Cao \cite{Cao2007}的一些结果.对于$c=0$，我们得到了Laplacian第一特征值的单调性，推广了Ma \cite{Ma2006}的一些结果.进一步证明了当$(M_{3}, g_{0})$是一个具有正Ricci曲率的闭三元流形时，Laplacian算子的特征值在一个有限的极大时间区间$[0, T)$上按$t \rightarrow T$发散，推广了Cerbo和Fabrizio \cite{Fabrizio2007}的一些结果.
Complete Ricci-flat metrics through a rescaled exhaustion
关于Ricci平坦度量的典型存在性结果是在有限几何流形上，即在$F=\bar F-D$上，其中$\bar F$是紧致Kähler流形，$D$是光滑因子。我们从另一个角度来看待这个存在问题。对于给定的复流形$X$，我们取一个合适的穷举$\{X_r\}_{r>0}$，它允许负Ricci的完全\ke s.取正减序列$\{λ_r\}_{r>0}, \lim_{r\to\infty}λ_r=0$，我们重新标度该度量，使得$g_r$是Ricci曲率$-λ_r$的完全\ke \ in $X_r$。这个想法是为了证明极限度量$\lim_{r\to\infty} g_r$确实存在。如果是，则它是$X$中的Ricci平坦度量。本文研究了几个例子：$X=\mathbb C^n$和$X=TM$，其中$M$是紧致秩1对称空间.在有界全纯域上负Ricci的完全PDMATHAMR的存在性是众所周知的。然而，很少有已知的无界情况。在最后一节中，我们通过穷举法证明了这种度量在无界区域$T^πH^n$上的存在性。
Weighted volume comparison and monotonicity for $L^p$-bound of Bakry-Émery Ricci curvature
论文证明了Petersen-Wei的相对体积比较定理，涉及Bakry-Émery曲率的$L^p$界和势函数梯度，进而改进了Tian-Zhang-Zhang-Zhu-Zhu最近关于Kähler-Ricci流体积比较和单调性的结果。
Monotonicity of the Cheeger constant under Ricci flow on spheres
研究紧曲面上Ricci流下Cheeger等周常数的行为，证明微分同胚于$S^2$的曲面度量的Cheeger常数沿流非递减，并通过例子说明拓扑2-球面上存在Cheeger常数不变的非平凡Ricci流，严格单调性不成立。
Optimal Transport and Generalized Ricci Flow
本文联系了最优传输理论与广义 Ricci 流，利用 dilaton 流的解为测度定义了适配代价泛函，证明了关联熵泛函的测地凸性，并基于代价沿倒向热流的单调性，给出了广义 Ricci 流中能量泛函单调性的新证明。
Quantitative Rigidity Using Colding's Monotonicity Formulas for Ricci Curvature
本文基于Colding单调性公式，研究Ricci曲率的定量化刚性，通过构造格林函数和k-分割函数，定量控制正则性并控制到近锥体的距离。
A note on Huisken monotonicity-type formula for the mean curvature flow in a gradient shrinking extended Ricci soliton background
本文在扩展Ricci流的收缩自相似解背景下，应用Huisken单调性型公式研究平均曲率流，建立了紧致和非紧致情形下的新结果。
First variation of the Log Entropy functional along the Ricci flow
本文建立了Ye在\cite{Y2}中引入的调整对数熵泛函$\mathcal Y_a$的一阶变分公式.作为一个直接的结果，我们也得到了$\mathcal Y_a$沿里奇流的单调性。
Reduced distance based at singular time in the Ricci flow
在本文中，我们定义了一个约化的距离函数的基础上，在一个点的奇异时间$T<\infty$的里奇流。我们还证明了相应的约化体积在时刻T的单调性，当且仅当里奇流是梯度收缩孤子。我们的曲率界假设比I型条件更一般。
The Log Entropy Functional Along the Ricci Flow
本文引入对数熵泛函并证明了它沿里奇流的单调性。它的一个结果是对数Sobolev常数沿里奇流的单调性。
Ricci-mean curvature flows in gradient shrinking Ricci solitons
Huisken研究了欧几里得空间中的中曲率流在发生I型奇点时的渐近行为，证明了其重标度流在欧几里得空间中收敛于自收缩流.本文将这一结果推广到沿由梯度收缩Ricci孤子构成的里奇流运动的Ricci-中曲率流。
Matrix Li-Yau-Hamilton Estimates under Kähler-Ricci Flow
该研究证明了Kähler-Ricci流耦合下热方程与反向共轭热方程正解的矩阵Li-Yau-Hamilton估计，并推导得到单调性公式，丰富了几何分析相关理论。
Eigenvalue monotonicity for the Ricci-Hamilton flow, revised version
这是我们的短文[arxiv.math.DG/0403065]的一个修正版本，其中我们讨论了紧致或完备非紧致黎曼流形上Laplacian算子的特征值对Ricci-Hamilton流的单调性。我们证明了当数量曲率有一个非负的下界且Einstein张量不太负时，紧区域上Lapacian算子的特征值是非减的.这一结果对研究Ricci-Hamilton流的爆破模型是有用的。我们注意到，利用我们的思想，D.Kokotov和D.Korotkin [Normalized Ricci Flow on Riemann Surfaces and Determinant of Laplacian，Letters in数学物理，71（3）（2005）241-242]可以给出一个简单的证明，证明任意亏格g的紧致Riemann曲面上光滑度量中Laplace算子的行列式在归一化里奇流下单调增长.结合Hamilton和B.Chow的结果，在正规化里奇流的作用下，光滑度量渐近地趋向于常曲率度量，这导致Osgood-Phillips-Sarnak定理的简单证明，该定理指出在具有固定共形类和固定体积的光滑度量类内，拉普拉斯算子的行列式在常曲率度量上是最大的。人们可以考虑其他几何流和其他椭圆算子的类似问题，如Yamabe流或Kahler-里奇流。
New proofs of Perelman's theorem on shrinking Breathers in Ricci flow
利用I型解的奇异模型是收缩梯度Ricci孤子和非坍缩的I型古解的尺度极限是收缩梯度Ricci孤子的事实，给出了Perelman定理的两个新的证明：闭流形上里奇流的收缩呼吸子是梯度Ricci孤子.
Stability of hyperbolic manifolds with cusps under Ricci flow
证明了维数大于等于3的有限体积双曲流形在重标里奇流下是稳定的，即双曲度量的每一个小扰动都流回到双曲度量.注意，我们不需要对这个微扰做任何衰减假设。证明中的主要困难来自与极小尖点变形有关的尖点的弱稳定性。我们将克服这种弱稳定性通过使用一个新的分析方法开发的Koch和Lamm。
Weighted volume monotonicity and isoperimetric comparison under a lower Ricci curvature bound
本文在Ricci曲率下有界的完备黎曼流形上，建立了加权Bishop-Gromov体积比较定理，证明了在权函数比非递减时加权体积比的单调性，并应用于推导加权等周不等式。
Local monotonicity and mean value formulas for evolving Riemannian manifolds
我们推导出一般流动的黎曼度量，可以被视为局部均值，单调性，或李雅普诺夫公式的身份。这些推广了第一作者以前的工作中曲率流和其他非线性扩散。我们的结果特别适用于里奇流，在那里，它们产生一个局部单调量直接类似于Perelman的约化体积V和一个局部恒等式有关的Perelman的平均能量F。
Structure of collapsing solutions of generalized Ricci flow
我们推导了在主丛上具有对称性的广义里奇流方程解的修正Perelman型单调性公式，从而得到了非奇异解的刚性和分类结果.
The Kähler-Ricci flow, Ricci-flat metrics and collapsing limits
本文研究了全纯纤维空间上的Kahler-里奇流，其中纤维是Calabi-Yau流形.我们建立一致度量收敛到一个度量的基础上，远离奇异纤维，并表明纤维上的重新缩放的度量收敛到Ricci平坦的Kahler度量。这加强了宋田和其他人以前的工作。我们得到类似的结果退化的Ricci平坦的Kahler度量。
Monotonicity of topological entropy along the Ricci flow near a hyperbolic metric
本文解决了Manning提出的问题，证明了带双曲度量的闭黎曼流形的测地流拓扑熵，在与双曲度量足够接近的变负截面曲率度量出发的归一化Ricci流中严格递减。
$L^2$ Forms and Ricci flow with bounded curvature on Complete Non-compact manifolds
本文研究了非紧Riemann流形上具有有界曲率的里奇流下$L^2$ 1形式的演化.我们证明了在这样的流形上，具有紧支集的光滑形式的$L^2$范数沿着具有有界曲率的里奇流是非增的。证明了$L^{\infty}$范数也具有单调性。然后利用具有紧支集的一种形式的$L^{\infty}$上同调，研究了$S^1\times \mathbb{R}^{n-1}$上的里奇流的奇异性模型.
A note on Ricci flow and optimal transportation
在这篇文章中，我们描述了一个新的联系佩雷尔曼的单调性公式的约化体积和思想从最优输运理论。
Matrix Li-Yau-Hamilton estimates under Ricci Flow and parabolic frequency
该研究证明了与Ricci流耦合的热方程及反向共轭热方程正解的矩阵Li-Yau-Hamilton估计，借此确立带修正因子的抛物频率单调性，并得到曲率非负条件下的唯一延拓结果。
Generalized $\Cal{L}$-geodesic and monotonicity of the generalized reduced volume in the Ricci flow
假设$M$是一个完备的n维流形$n\ge 2$，其度量$\bar{g}_{ij}(x,t)$由$M\times (0,T)$中的里奇流$\partial_t \bar{g}_{ij}=-2\bar{R}_{ij}$演化。对于任何$0<p<1$，$(p_0,t_0)\in M\times (0,T)$，$q\in M$，我们定义$\Cal{L}_p$-$p_0$和$q$之间的长度，$\Cal{L}_p$ -测地线，广义约化距离$l_p$和广义约化体积$\widetilde{V}_p(τ)$，$τ=t_0-t$，对应于时间$t_0$点$p_0$处的$\Cal{L}_p$ -测地线.在$M\times (0,t_0)$上的条件$\bar{R}_{ij}\ge -c_1\bar{g}_{ij}$下，对于某个常数$c_1>0$，我们将证明存在一条$\Cal{L}_p$ -测地线，它使得对于任何$\barτ>0$，$p_0$和$q$之间的$\Cal{L}_p(q,\barτ)$ -长度最小化.这一结果的情况$p=1/2$是证明和使用了很多次，但没有证明它是在佩雷尔曼的文件里奇流。我的结果是新的和答案肯定存在这样的$\Cal{L}$ -测地线极小的$L_p(q,τ)$ -长度这是至关重要的证明许多结果在佩雷尔曼的文件里奇流。我们还得到了广义$\Cal{L}_p$ -测地线和广义约化体积的许多其他…
Hamilton type entropy formula along the Ricci flow on surfaces with boundary
本文建立了带边界紧致曲面上沿里奇流的Hamilton型熵的单调性公式。我们还研究了我们的熵泛函与Perelman型的$\mathcal{W}$ -泛函之间的关系.
Ricci-pinched 3-Manifolds with second-fundamental-form-pinched Boundary
本文证明了在超二次体积增长下，具有凸边界、受夹Ricci张量和第二基本形式的完备连通三维流形等距于欧几里得半空间，采用位势论方法。
First Eigenvalues of Geometric Operators under the Ricci Flow
本文证明了在里奇流下$-Δ+ cR$（$c\geq \frac14$）的第一特征值是不减的.我们还证明了$c=1/4$和$r\le 0$的情况下的归一化流的单调性。
A new Li-Yau-Hamilton estimate for Kahler-Ricci flow
本文证明了Kähler-里奇流的一个新的矩阵Li-Yau-Hamilton估计。利用\cite{Ch1}中的插值考虑，得到了新的Li-Yau-Hamilton估计的形式.这个新的不等式被证明是连接到佩雷尔曼的熵公式通过一个家庭的微分方程。在本文的其余部分，我们展示了这个新的估计和它的线性版本的几个应用程序证明在\cite{CN}较早。这些包括一个尖锐的热核比较定理，推广了早期的结果李和田，一个多方面的版本斯托尔定理的表征'代数因子'，和一个本地化的单调性公式解析子品种。受Perelman的热核估计与约化体积单调性之间的联系的启发，我们证明了含时热方程的一个尖锐的下界热核估计，该估计在某种意义上与Perelman的“约化体积”单调性是对偶的。作为这个新单调性公式的应用，我们证明了一类III型不朽解的爆破极限是一个梯度扩展孤子。在最后一节中，我们还说明了新的李-游-汉密尔顿估计和早期的海森比较定理的“减少距离”，证明在\cite{FIN}之间的联系。
Quantum wormhole as a Ricci flow
我们认为时空泡沫中的量子虫洞可以用里奇流来描述。在这种解释中，Ricci流是一个统计系统，Ricci流中的每个度量都是微观状态。微观状态的概率密度与重新标度的Ricci流的Perelman泛函有关。
Four-Dimensional Steady Gradient Ricci Solitons with $3$-Cylindrical Tangent Flows at Infinity
本文考虑$4$维稳定孤子奇异性模型，即，完整的稳定梯度Ricci孤子，它是在封闭的$4$流形上里奇流的有限时间奇异解的重新标度极限时产生的。特别地，我们研究了这种Ricci孤子在无穷远处的几何形状，假设它们在无穷远处的切流是$\mathbb{R}$与$3$维球面空间型的乘积。我们还对$4$维定常孤子奇异性模型的无穷远切流进行了一般的分类。
A complete proof of Hamilton's conjecture
本文给出了R.Hamilton的一个猜想的充分证明：对于具有有界曲率的完备黎曼3-流形$(M^3, g)$，在满足Ricci pinching条件$Rc\geq \ep R g$的情况下，$M^3$是紧的，其中$R>0$是正数量曲率，$\ep>0$是一致常数.排除里奇流奇点局部坍缩的关键因素之一是使用箍缩-衰减估计。本文的另一个重要部分是给出了具有正Ricci箍缩条件的III型奇性完全非紧里奇流。我们得到这个目标，通过获得一个基于加权约化体积的单调性公式的Ricci展开。
Monotonicity of the Liouville entropy along the Ricci flow on surfaces
研究显示，在非常数负曲率闭合曲面上，规范里齐流下里奥维勒熵最终严格递增，并推导出二维任一共形变形下里奥维勒熵导数的新表达式，证明其在1/6弯曲度指标方向上为正，部分回答了曼宁2004年的问题。
Variation of the first eigenvalue of $(p,q)$-Laplacian along the Ricci-harmonic flow
本文研究了一类$(p,q)$ -Laplacian算子第一特征值的单调性。通过对初始流形施加一定的条件，得到了在Ricci-调和流演化的闭黎曼流形上的$(p,q)$ -Laplacian算子的第一特征值的一阶变分公式，并构造了各种单调量.
First eigenvalue of the $p$-Laplace operator along the Ricci flow
研究了闭流形上里奇流中$p$-拉普拉斯算子第一个特征值的连续性、单调性和可微性，证明其在一定曲率条件下几乎处处可微，并在无曲率假设下推导出$p$-特征值比较定理。
Various Covering Spectra for Complete Metric Spaces
研究了具有泛覆盖的完备非紧长度空间的各种覆盖谱（包括黎曼流形和黎曼流形的点Gromov-Hausdorff极限及其里奇曲率的下界）.我们将覆盖谱与这样一个空间的（标记的）移位谱联系起来。我们定义了由平移长度为0的基本群元素生成的滑动群。我们引入了重标尺子、重标覆盖谱和重标滑动群。应用这些概念，我们证明了某些具有非负或正里奇曲率的完备非紧黎曼流形具有有限个基本群。在整个过程中，我们提出了进一步的问题，为那些有兴趣在黎曼几何和那些有兴趣在度量空间理论。
L2 p-Forms and Ricci flow with bounded curvature on manifolds
本文研究了完备非紧或紧黎曼流形上具有有界曲率的里奇流下L2 p-形式的演化.我们证明了在这样的流形上的曲率拼挤条件下，光滑p-形式的L2范数沿着里奇流是不增加的。证明了L^{ \infty }范数也具有单调性.
Eigenvalues and entropies under the harmonic-Ricci flow
本文讨论调和-里奇流，即与调和映射流耦合的里奇流下的特征值和熵。我们给出了另一种证明的结果，紧凑的稳定和扩大谐波里奇呼吸。在第二部分中，我们得到了调和-里奇流下Laplacian特征值的单调性公式。最后，我们得到了调和里奇流的收缩熵和扩张熵的一阶变分。
Monotonicity formulas and Hessian of the Green function
本文在非抛物流形上，基于格林函数Hessian的假设推导单调性公式，并给出满足该假设的扭曲积流形显式例子。
Ricci flow on asymptotically conical surfaces with nontrivial topology
作为有限全曲率的完备曲面上的里奇流的一般性研究的一部分，我们研究了具有渐近圆锥（包括作为特例的渐近欧氏）几何的曲面上的里奇流.在建立了长时间存在性，特别是流保持渐近圆锥几何的事实之后，我们证明了解度量$g(t)$以局部一致线性速率扩展;此外，重新缩放的度量族$t^{-1}g(t)$在无限时间处表现出转变，因为它局部一致地收敛到完整的，有限区域双曲度量是初始度量$g_0$的共形类中唯一的一致化度量。
Singularities of Connection Ricci Flow and Ricci Harmonic Flow
本文利用新定义的曲率量研究了两个推广的里奇流系统--连接里奇流和Ricci调和流的奇异性。具体地，我们给出了三种类型的奇点的定义和相应的奇点模型，然后证明了收敛性。另外，对于Ricci调和流，我们利用泛函$ν_α$的单调性来说明有限时间奇异性与收缩Ricci调和孤子之间的联系。最后，我们讨论了Ricci调和流古解的性质。
Mean curvature flow in a Ricci flow background
继Ecker的工作之后，我们考虑了带边界的黎曼流形上的加权Gibbons-Hawking-York泛函.在Perelman修正的里奇流下计算了它的变分性质和时间导数。答案有一个边界项，其中涉及到扩展的欧几里得空间中的中曲率流的Hamilton Harnack表达式。在里奇流背景下，导出了中曲率流的第第二基本型和中曲率的发展方程。在梯度Ricci孤子背景下，我们讨论了中曲率孤子和Huisken单调性。
Lower bounds for the scalar curvatures of Ricci flow singularity models
在一系列文件中，Bamler [Bam 20 a，Bam 20 b，Bam 20 c]进一步发展了高维理论的汉密尔顿的里奇流，包括新的单调性公式，一个完全一般的紧性定理，以及长期寻求部分正则性理论类似于Cheeger-冷理论。在本文中，我们给他的理论的应用，里奇流的奇异模型的数量曲率的下界。在$4$维非Ricci平坦稳定孤子奇异性模型的情况下，我们得到了数量曲率的二次衰减下界。
Volume comparison for 3-manifolds with 2-Ricci curvature lower bound and Ricci flow
本文研究2-Ricci曲率下界3流形的体积比较，建立测地球面面积和球体积的单调性与刚性，并推导预紧性、Ricci流下曲率下界的保持及非负标量曲率的拓扑刚性。
Monotone Volume Formulas for Geometric Flows
我们考虑一个具有黎曼度量g（t）的闭流形M在方向-2S（t）上演化，其中S（t）是（M，g（t））上的对称双张量.我们证明了如果S满足一定的张量不等式，那么可以构造一个向前和向后的约化体积量，前者沿着流动不增加，后者沿着流动不减少。在S=Ric是M的里奇曲率的情况下，结果对应于Perelman著名的里奇流的约化体积单调性。本文的第二部分给出了一些其他的例子，主要的例子和动机是List的推广里奇流系统，里奇流与调和映射热流的耦合以及具有非负截面曲率的Lorentz流形中的中曲率流。我们的方法，我们发现这些流量的新的单调性公式。
A local Sobolev inequality on Ricci flow and its applications
本文证明了完备里奇流的一个局部Sobolev不等式。我们的主要结果是，当地PDMATHAMM-功能的磁盘上的里奇流只依赖于纳什熵的中心的磁盘，因此只依赖于体积的磁盘。此外，我们还介绍了这个局部Sobolev不等式的一些应用。这些应用揭示了局部几何沿里奇流演化的方式。特别是，我们表明，几个经典的定理相关的佩雷尔曼的单调性公式可以从我们的结果。
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