First variation of the Log Entropy functional along the Ricci flow
Junfang Li
本文建立了Ye在\cite{Y2}中引入的调整对数熵泛函$\mathcal Y_a$的一阶变分公式.作为一个直接的结果，我们也得到了$\mathcal Y_a$沿里奇流的单调性。
In this note, we establish the first variation formula of the adjusted log entropy functional $\mathcal Y_a$ introduced by Ye in \cite{Y2}. As a direct consequence, we also obtain the monotonicity of $\mathcal Y_a$ along the Ricci flow.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A relative entropy and a unique continuation result for Ricci expanders
证明了两个从同一锥中产生的扩展梯度Ricci孤子的最佳相对积分收敛速度。因此，我们得到一个独特的连续结果在无穷远，我们证明了一个相对熵的两个自相似的解决方案，里奇流是定义良好的。
The Volume Entropy of a Riemannian Metric Evolving by the Ricci Flow on a Manifold of Dimension 3 or Above
本文证明了由里奇流演化的黎曼度量的体积熵如果不坍缩则不减。因此，它提供了一个解崩溃的充分条件。然后，对于I型或III型极限解，极限熵是当$t$接近奇异（有限或非）时间时熵的极限。
Scalar curvature, entropy, and generalized Ricci flow
我们导出了一类广义里奇流的加权数量曲率单调性公式，其中包含由重整化群流驱动的反应扩散方程演化的辅助粒子场.这些数量曲率单调性通过耦合到相关加权共轭热方程的解而对偶于一个新的Perelman型能量和熵单调性公式族。在里奇流的背景下，我们进一步得到了一族新的凸Nash熵和伪局部性原理。
On equivalence between noncollapsing and bounded entropy for ancient solutions to the Ricci flow
在我们以前的工作中，我们表明，对于一个古老的解决方案的里奇流与非负曲率算子，假设有界的几何上的一个时间片，有界熵意味着在所有尺度上的非崩溃。本文从另一个方向证明了：对于具有有界非负曲率算子的古解，非坍缩蕴涵有界熵。因此，我们证明了佩雷尔曼的断言下的假设有界几何上的一个时间片。特别地，对于三维的古代解，我们只需要假设有界曲率。我们还建立了渐进熵和渐进约化体积之间的等式，这是与徐相似的结果，其中他假设非坍缩和I型曲率界。
The second variation of the Ricci expander entropy
我们计算了Ricci展开熵的二阶变分，并简要讨论了紧致负Einstein流形的线性稳定性。
Entropy and heat kernel bounds on a Ricci flow background
本文建立了里奇流的新的几何和解析界，为[Bam 20 a，Bam 20 b]中里奇流的紧性、部分正则性和结构理论奠定了基础.边界是最佳的常数，只取决于尺寸和可能的较低的数量曲率界。在流由爱因斯坦度量组成的特殊情况下，这些边界与具有里奇曲率的空间的最优边界一致。此外，我们的边界是局部的，在这个意义上，如果一个边界取决于底层流的boundedness，那么我们能够量化这种依赖性，使用点纳什熵的基础上，只有在点的问题。除其他外，我们将显示以下界限：上和下的距离球的体积界限，依赖于点纳什熵的基点在空间和时间，逐点高斯上限的热核和一个约束其衍生物和一个$L^1$ -庞加莱不等式。这些界限的证明将部分依赖于一个概念的单调性公式，称为共轭热核的方差。我们还将获得估计的依赖点纳什熵的基点，这是渐近最优的。这将使我们能够证明，在某种意义上邻近的时空中的点具有可比的纳什熵。因此，Nash熵是一个很好的度量里奇流局部收敛性的量.我们的结果包含了局部$\varepsilon$ -正则性定理，改进了Hein和Naber的一个结果.我们的一些结果也适用于超里奇流。
Stability and instability of Ricci solitons
我们认为体积归一化的里奇流接近于紧致的收缩里奇孤子。证明了如果紧致Ricci孤子$(M,g)$是Perelman收缩熵的一个局部极大值，则任何从它附近开始的归一化里奇流都存在，并且收敛到Ricci孤子.若$g$不是收缩熵的局部极大值，则存在一个非平凡的正规化里奇流，这些定理类似于Ricci平坦和Einstein情形下的结果.
Hamilton type entropy formula along the Ricci flow on surfaces with boundary
本文建立了带边界紧致曲面上沿里奇流的Hamilton型熵的单调性公式。我们还研究了我们的熵泛函与Perelman型的$\mathcal{W}$ -泛函之间的关系.
Nash Entropy and Heat Kernel on Generalized Ricci Flow
该研究引入类Nash熵等几何量，将相关几何与分析界结果拓展至广义Ricci流场景。
Boltzmann's Entropy and Kähler-Ricci Solitons
我们研究了玻尔兹曼型熵泛函（出现在现有文献中）定义的Kähler度量的一个固定Kähler类。该泛函的临界点是梯度Kähler-Ricci孤子，并且已知该泛函在正则类中沿Kähler-里奇流单调增加.本文推导并分析了该熵泛函的二阶变分公式，证明了所有梯度Kähler-Ricci孤子关于该熵泛函是稳定的.利用这一结果，给出了梯度收缩Kähler-Ricci孤子在固定Kähler类中相对于Perelman熵稳定的新证明.
Improved relative volume comparison for integral Ricci curvature and applications to volume entropy
我们给出了几个Bishop-Gromov相对体积与积分里奇曲率的比较，改进了\cite{PW1}的结果.使用这些体积的比较，我们得到的体积熵的估计积分里奇曲率，大大提高了早期的估计\cite{Au2}，并给出了应用程序的代数熵的基本群。我们还将\cite{BBCG}的几乎最小体积刚度推广到积分里奇曲率.
On the weighted forward reduced Entropy of Ricci flow
本文首先介绍了里奇流的加权前向约化体积。与里奇流的扩张子有关的加权向前约化体积在非紧流形上得到了定义，并且在里奇流下单调非增.此外，我们证明了与Perelman约化体积相同，加权约化体积熵具有$(4π)^{\frac{n}{2}}$的充要条件是里奇流是平坦欧几里得空间上的平凡流.
An equation linking $\mathscr{W}$-entropy with reduced volume
Perelman引入了里奇流的$\mathscr{W}$ -熵和约化体积，证明了它们在里奇流研究中的重要性. L. Ni研究了静态流形上线性热方程的类似概念，并建立了一个方程，将这两个方程的大时间行为联系起来。由于里奇流和线性热方程中的概念之间惊人的相似性，一个自然的问题是，这样的方程是否对里奇流的古解成立。倪本文给出了L.根据一种新的方法改进了Ni的原始方程。按照这个方法的相同原理，我们回答L。Ni的问题积极的I型$κ$ -解决方案的里奇流。
Ricci curvature, entropy and optimal transport
这是关于最优输运和黎曼几何之间相互作用的课堂讲稿。在黎曼流形上，概率测度空间中熵沿最优输运的凸性表征了里奇曲率的下界。然后讨论了满足这一凸性条件的一般度量测度空间的几何性质。
On the Shannon entropy power on Riemannian manifolds and Ricci flow
本文证明了完备黎曼流形上具有适当曲率维数条件的Laplacian或Witten Laplacian算子的热方程的Shannon熵幂在紧致超里奇流上的存在性.在适当的曲率维数条件下，证明了Shannon熵幂的刚性模型是具有Hessian孤子的Einstein流形或拟Einstein流形。此外，我们还证明了G. Perelman关于里奇流的理论，并指出相应的刚性模型是收缩的Ricci孤子.作为应用，我们证明了具有非负（Bakry-Emery）里奇曲率和最大体积增长条件的完备黎曼流形上的熵等周不等式.
Perelman's entropy on ancient Ricci flows
在[ZY2]中，第二作者证明了Perelman的断言，即对于一个具有有界非负曲率算子的古里奇流，有界熵等价于在所有尺度上的非坍缩。在本文中，我们继续这一讨论。结果表明，曲率算子的非负性不是一个必要条件，我们只需要假设哈密尔顿迹Harnack的一个推论。此外，我们还证明了这个条件对具有非负里奇曲率的稳定里奇孤子也成立。
$W$-entropy, super Perelman Ricci flows and $(K, m)$-Ricci solitons
本文利用各种泛函不等式和梯度估计，证明了具有不定常度量和位势的流形上Witten Laplacian生成的热半群的$(K, \infty)$ -超Perelman里奇流的特征.作为副产品，我们得到了具有$(K, \infty)$ -超Perelman里奇流的流形上的Hamilton型无量纲Harnack不等式.基于Witten Laplacian热方程Boltzmann-Shannon熵的一个新的二阶微分不等式，在完备黎曼流形上的$CD(K, \infty)$ -条件和紧致流形上的$(K, \infty)$ -超Perelman里奇流下，引入了一个新的$(K, \infty)$-熵量，并证明了它对Witten Laplacian热方程的单调性.我们的结果描述了$(K, \infty)$ -Ricci孤子和$(K, \infty)$ -Perelman里奇流.证明了$(K, m)$ -超里奇流的二阶微分熵不等式，该不等式可用于刻画$(K, m)$ -里奇孤子和$(K, m)$ -里奇流.最后，我们给出了流形上Witten Laplacian热方程在$CD(K, m)$ -条件下的$W$ -熵的概率解释。
The Log Entropy Functional Along the Ricci Flow
本文引入对数熵泛函并证明了它沿里奇流的单调性。它的一个结果是对数Sobolev常数沿里奇流的单调性。
Perelman's Entropies for Manifolds with conical Singularities
本文讨论了一类具有孤立锥奇点的流形上的Perelman λ-泛函、Perelman Ricci收缩熵和Ricci展开熵。在这样的流形上，我们的工作证明了一个保持孤立锥奇点的奇异Ricci de Turck流的存在。证明了奇异Ricci de Turck流的熵是单调的。我们利用这些熵表明，在奇异的设置，里奇孤子是梯度和稳定的或扩展的里奇孤子是爱因斯坦。
Entropy Functionals, Sobolev Inequalities and kappa-Noncollapsing Estimates along the Ricci Flow
在这次调查中，我们审查汉密尔顿的熵和佩雷尔曼的熵，并提供这些概念的动机。然后回顾了关于里奇流的Sobolev不等式、对数不等式和kappa-非塌缩估计的最新结果，包括带手术的里奇流.
Transverse $\mathcal F^T$-entropy and transverse Ricci flow for Riemannian foliations
在本文中，我们引入了一个熵泛函的黎曼叶理，启发的工作，这是单调沿横向里奇流。我们与他们的梯度流，通过同态保留的流形的叶状结构与黎曼叶状，横向里奇流。此外，受方福泉和张宇浩工作的启发，我们给出了余维4黎曼叶理允许横爱因斯坦度规的一个必要条件。
The local entropy along Ricci flow---Part B: the pseudo-locality theorems
我们将G的熵泛函局部化。Perelman推广了他的非局部坍缩定理和伪局部性定理。我们的推广在技术上受到进一步发展的李-丘估计沿里奇流。它有许多应用，包括证明了在里奇曲率有界的Gromov-Hausdorff拓扑中里奇流对初始度量的连续依赖性，以及证明了具有有界数量曲率和粗糙的局部几乎欧氏条件的Kähler流形的模的紧性。
On the Perelman's reduced entropy and Ricci flat manifolds with maximal volume growth
本文利用Perelman的里奇流的约化体积研究了具有最大体积增长的Ricci平坦流形。证明了若$(M^n,g)$是一个非紧完备Ricci平坦流形，其最大体积增长满足$|Rm|(x)\to 0$为$d(x)=d_g(x,p)\to \infty$，则$M^n$具有二次曲率衰减.最后给出了这一结果的一些应用。
Entropy, noncollapsing, and a gap theorem for ancient solutions to the Ricci flow
本文讨论了里奇流古解的渐近熵。我们证明了古代的解决方案，这可以被视为一个熵对应横田的工作的间隙定理。此外，我们还证明了在一定的假设下，对于具有非负曲率算子的完全古解的一个时间片，有限渐近熵蕴涵着在所有尺度上的kappa-非坍缩.这为Perelman的更一般的断言提供了证据，即在具有非负曲率算子的完全古解上，有界熵等价于kappa-非坍缩。
The Entropy of Ricci Flows with Type-I Scalar Curvature Bounds
本文推广了在有限时间奇点处满足I型数量曲率条件的里奇流理论。在[Bam16]中，Bamler证明了第一类重标度过程将产生一个奇异收缩梯度Ricci孤子，其奇点余维为4。我们证明了基于奇异时间的共轭热核的熵收敛于奇异孤子的孤子熵，并利用这一结果用热核密度函数刻画了里奇流解的奇异集.这推广了以前只知道与较强的假设的I型曲率界的结果。我们还证明了在4维情形下，奇异Ricci孤子在远离多个点处是光滑的，这些点是圆锥光滑轨道奇点
Ricci-Yamabe maps for Riemannian flows and their volume variation and volume entropy
这篇短文的目的是给出与给定黎曼流$g(t)$相关的几何流的新例子。所考虑的协变对称$2$ -张量场中的流称为Ricci-Yamabe映射，因为它涉及Ricci张量和$g(t)$的数量曲率的标量组合。由于所考虑的标量的符号，Ricci-Yamabe流也可以是黎曼流、半黎曼流或奇异黎曼流。我们研究了体积变分的相关函数以及体积熵。最后，由于二维的情况下是最处理的情况下，我们表示的里奇流方程在所有四个正交可分离的坐标系的平面。
The Transverse Entropy Functional and the Sasaki-Ricci Flow
受Perelman工作的启发，我们在Sasaki流形上引入了两个新的泛函，它们沿着Sasaki-里奇流是单调的.我们将它们的梯度流，通过保持流形的叶状结构的同态，与横里奇流联系起来。最后，当基本的第一类陈省身是积极的，我们使用这些新的泛函证明了一个统一的$C^{0}$界的横向数量曲率，和一个统一的$C^{1}$界的横向Ricci势沿Sasaki-里奇流。
Supremum of Perelman's entropy and Kähler-Ricci flow on a Fano manifold
本文推广了文[TZhu 5]的方法，研究了Fano流形上Kähler-里奇流的Perelman熵$λ(\cdot)$的能级$L(\cdot)$.因此，我们首先计算$λ(\cdot)$的上确界的Kähler类$2πc_1(M)$的修改Mabuchi的K-能量$μ(\cdot)$定义在[TZhu 2]的假设下。其次，对文[TZhu 3]中关于Kähler-里奇流收敛性的主要定理给出了另一种证明.
Bounds on the volume entropy and simplicial volume in Ricci curvature $L^p$ bounded from below
设$(M,g)$是一个具有里奇曲率几乎有界的紧致流形，$π:\bar{M}\to M$是一个正规的黎曼覆盖.我们表明，对于任何非负函数$f$上的$M$，平均值$føπ$上的测地球的$\bar{M}$是可比的平均值$f$上的$M$。结合对数体积估计，这意味着在里奇曲率$L^p$的几个拓扑不变量（体积熵，单纯体积，第一贝蒂数和介绍的基本组）的界限-有界从下面。
A uniform Sobolev inequality for ancient Ricci flows with bounded Nash entropy
本文是[CMZ 21]的续篇。我们将证明具有一致有界Nash熵的古里奇流也必须具有一致有界的$ν$ -泛函。因此，在这样一个古老的解决方案有一致的对数Sobolev和Sobolev不等式。我们强调，只要[Bam 20 c]中的理论是有效的，特别是当基础流形是闭的时，本文中的主要定理是正确的。
The local entropy along Ricci flow---Part A: the no-local-collapsing theorems
我们将G的熵泛函局部化。Perelman推广了他的非局部坍缩定理和伪局部性定理。我们的推广在技术上受到进一步发展的李-丘估计沿里奇流。它可以用来证明Kähler里奇流在一般型极小射影流形上的格罗莫夫-豪斯多夫收敛。
Perelman's Entropy Functional at Type I Singularities of the Ricci Flow
利用Perelman的W-泛函研究了闭流形上里奇流在第一类奇点处的不动点爆破.首先，我们给出了Naber和Enders-Müller-Topping关于爆破极限是非平坦梯度收缩Ricci孤子的结果的另一种证明。我们的第二个和主要的结果涉及到一个极限W-密度在一个I型奇点的熵的极限梯度收缩孤子通过爆破在这一点上。特别是，我们表明，没有熵在无穷大的爆破过程中丢失。
$W$-entropy formulas on super Ricci flows and Langevin deformation on Wasserstein space over Riemannian manifolds
本文综述了我们最近对黎曼流形上Wasserstein空间上的超里奇流和Langevin形变下的Witten Laplacian热方程的$W$ -熵的研究.受Perelman关于Ricci流的熵公式的开创性工作的启发，我们证明了在具有$CD(K, m)$ -条件的$n$维完备黎曼流形上与Witten Laplacian相关的热方程的$W$ -熵公式，和$n$ -维紧致流形上与含时Witten Laplacian相关的热方程的$W$ -熵公式，其中$n$ -维紧致流形上具有一个$(K, m)$ -超Ricci流，其中$K\in \mathbb{R}$和$m\in [n, \infty]$。此外，我们还证明了黎曼流形上Wasserstein空间上测地线流的$W$ -熵公式的一个类似形式。我们的结果重新获得了Lott和Villani关于具有非负Ricci曲率的黎曼流形上Boltzmann-Shannon熵的位移凸性的一个重要结果.为了更好地理解这两个$W$ -熵公式之间的相似性，我们引入了Wasserstein空间上余切丛上几何流的Langevin变形，并证明了$W$ -熵公式在Langevin变形下的推广.最后，从统计力学和概率论的角度讨论了Ricci流的$W$ -熵。
On Perelman's $W$-entropy and Shannon entropy power for super Ricci flows on metric measure spaces
本文将Perelman的W-熵公式、Shannon熵幂凹性及Li-Yau-Hamilton-Perelman Harnack不等式推广到度量测度空间上的超Ricci流，并证明RCD(0,N)空间中体积非局部坍缩与W-熵下界等价，进而研究最优对数Sobolev不等式。
Quantitative rigidity of almost maximal volume entropy for both RCD spaces and integral Ricci curvature bound
紧致测度空间的体积熵是度量在无穷远处提升到其泛覆盖的指数增长性。对于具有负里奇曲率下界和直径上界的紧致黎曼$n$ -流形，已知它存在几乎极大体积熵当且仅当它是双纯的且Gromov-Hausdorff接近于双曲空间形式.证明了具有负里奇曲率下界的$\operatorname{RCD}$ -空间和具有负$L^p$ -积分里奇曲率下界的黎曼流形的几乎极大体积熵的定量刚性.
Sharp decay estimates for the logarithmic fast diffusion equation and the Ricci flow on surfaces
本文证明了对数快速扩散方程的局部L^1 - L^PDMATHAMM光滑估计，或者等价地证明了曲面上里奇流的局部L^1 -L ^PDMATHAMM光滑估计.我们的估计几乎立即意味着对p大于1的已知L^p - L^ \infty估计的改进。它也有几个应用在几何学中，提供了缺失的步骤，以构成里奇流与粗糙的初始数据在非紧的情况下，例如开始与一般的非紧亚历山德罗夫表面，并给予尖锐的渐近收缩尖里奇流，因为我们在其他地方显示。
Perelman's W-functional and stability of Kähler-Ricci flow
本文研究了Kähler-Ricci孤子下Perelman熵在Kahler度量空间上的二阶变分.我们证明了熵在变分意义下是稳定的。特别地，Perelman熵沿着Kähler-里奇流是稳定的。这篇笔记的中文版已经出现在一本纪念张国祥教授的书中（Scientia Sinica Math.，46（2016），685-696）。
Extremals of Log Sobolev inequality on non-compact manifolds and Ricci soliton structures
本文证明了具有里奇曲率和严格正内射半径的完备非紧流形上的LogSobolev泛函在无穷远条件下极值的存在性.当里奇曲率也是有界的时，我们得到极值在无穷远处的指数衰减。作为这些分析结果的结果，我们建立，在相同的假设下，非平凡的收缩Ricci孤子支持梯度Ricci孤子结构。在此基础上，我们证明了两个独立的结果：在具有有界里奇曲率和严格正内射半径的完备非紧流形上具有一致控制梯度和Hessian的类距离函数的存在性，以及在具有有界里奇曲率的流形上孤子向量场范数的一般增长估计.
An example of how the Ricci Flow can increase topological entropy
我们给出了一个曲面，在该曲面上，里奇流应用于度量将增加测地流的拓扑熵。具体来说，我们首先适应Melnikov方法适用于里奇流扰动，然后我们构建一个表面，这是密切相关的旋转曲面，但不太具有旋转对称性。这是通过调整旋转曲面的刘维尔度量表示来完成的。Melnikov方法的最后步骤需要数值积分。
Entanglement entropy and the Ricci flow
我们分析了描述二维黑洞的非紧度规的Ricci流。我们考虑了二维黑洞的纠缠熵，它是由两个子系统之间的量子关联引起的：一个在黑洞视界内，另一个在视界外。结果表明，纠缠熵沿Ricci流是单调的.
The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications
我们提出了一个单调的表达式的里奇流，有效的所有维度和曲率假设。它被解释为某个正则系综的熵。几个几何应用。特别地，（1）在模同态和标度的黎曼度量空间上考虑的里奇流没有非平凡的周期轨道（2）在有限时间内形成奇点的区域内，曲率控制着注入半径;（3）里奇流不能迅速地把一个几乎欧几里德区域变成一个非常弯曲的区域，无论远处发生什么。我们还验证了几个断言有关理查德·汉密尔顿的程序的证明Thurston几何化猜想封闭的三个流形，并给出了一个草图的折衷证明这一猜想，利用早期的结果塌缩与局部曲率下限。
From the Boltzmann $H$-theorem to Perelman's $W$-entropy formula for the Ricci flow
19世纪70年代，L.玻尔兹曼证明了气体运动论中玻尔兹曼方程的著名的$H$ -定理，并给出了热力学熵的统计解释。2002年，G. Perelman引入了$W$ -熵的概念，并证明了里奇流的$W$ -熵公式.这在证明非局部坍缩定理以及最终解决庞加莱猜测和Thurston的几何化猜想中起着至关重要的作用。在我们以前的论文\cite{Li11a}中，作者用Boltzmann-Shannon-Nash熵给出了$W$ -熵的概率解释。本文通过对玻尔兹曼方程的$H$ -定理和里奇流的Perelman $W$-熵公式的比较，进一步加深了对$W$ -熵的理解.我们还提出了一种方法来构造“态密度”的措施，玻尔兹曼$H$ -熵正是$W$ -熵的里奇流。
Almost maximal volume entropy rigidity for integral Ricci curvature in the non-collapsing case
在这篇注记中，我们将证明在非坍缩情形下具有下积分里奇曲率界的流形的几乎最大体积熵刚性：给定$n, d, p>\frac{n}{2}$，存在$δ(n, d, p), ε(n, d, p)>0$，使得对于$δ<δ(n, d, p)$，$ε<ε(n, d, p)$，如果紧致$n$ -流形$M$满足积分里奇曲率有下界$\bar k(-1, p)\leq δ$，直径$diam(M)\leq d$和体积熵$h(M)\geq n-1-ε$，然后$M$的通用覆盖是Gromov-Hausdorff接近双曲空间形式$\Bbb H^k$，$k\leq n$ ;如果另外$M$的体积，$vol(M)\geq v>0$，然后$M$是双纯的和Gromov-Hausdorff接近双曲流形其中$δ, ε$也依赖于$v$。
Lower Bound for Weighted Intermediate Ricci Curvature and Tensorial Entropy Convexity
本研究引入加权中间里奇曲率，建立其下界的等价刻画，推广相关结果并对比不同学者的刻画，为几何分析领域提供了新的理论进展。
Minimizers of the sharp Log entropy on manifolds with non-negative Ricci curvature and flatness
考虑标度不变的，尖锐的对数熵（泛函）介绍了Weissler \cite{W:1}非紧流形上的非负里奇曲率。它也可以被看作是一个锐化版本的Perelman的W熵\cite{P:1}在平稳的情况下。证明了它有极小元当且仅当流形与$\R^n$等距。利用这个结果，证明了一类具有非负里奇曲率的非紧流形等距于$\R^n$ .与\cite{An:1}、\cite{Ba:1}和\cite{BKN:1}中关于渐近平坦流形和渐近局部欧氏（ALE）流形的平坦性结果相比，它们关于曲率张量的衰减或积分条件被度量在无穷远处在$C^1$意义下收敛到欧氏度量的条件所取代.不需要度量的二阶条件。
Ricci curvature of finite Markov chains via convexity of the entropy
研究了离散空间上马尔可夫链的里奇曲率的一个新概念。这个概念依赖于熵的测地凸性，类似于洛特、斯特姆和维拉尼为测地测度空间引入的概念。为了适用于离散设置，沃瑟斯坦度量的作用由不同的度量接管，具有连续时间马尔可夫链是熵的梯度流的性质。利用这个概念的里奇曲率，我们证明离散类似物的基本结果由巴克里-埃默里和奥托-维拉尼。此外，我们证明了张量化下的里奇曲率的界限。作为特例，我们得到了离散超立方体的锐里奇曲率的下界.
Quantization of the Kähler-Ricci flow and optimal destabilizer for a Fano manifold
本文研究Fano流形上Kähler-Ricci流的几何量子化及相关熵泛函，证明了其向原始流和熵的收敛性，并提出了反典范极化下最优退化的有限维类似物。
An entropy formula for the heat equation on manifolds with time-dependent metric, application to ancient solutions
本文引入了一个新的熵泛函，证明了流形上具有不定常黎曼度量的热方程的非负解。在一定的积分假设下，我们证明了这个熵是非减的，而且如果度量在超里奇流（包括里奇流和具有非负里奇曲率的固定度量）下演化，则这个熵是凸的.作为应用，我们根据熵对热传导方程的非负古解进行了分类。特别地，我们证明了在超里奇流下演化的流形上熵次线性增长的非负古解必须是常数。假设是尖锐的意义上说，确实存在非常数的积极永恒的解决方案，其熵增长的时间正好线性。还得到了其它一些结果。
Harnack inequalities and $W$-entropy formula for Witten Laplacian on Riemannian manifolds with $K$-super Perelman Ricci flow
本文证明了具有$K$ -超Perelman里奇流的完备黎曼流形上Witten Laplacian热半群的对数Sobolev不等式，并得到了其Hamilton Harnack不等式.建立了Witten Laplacian热方程的$W$ -熵公式，证明了满足$CD(K, m)$条件的完备黎曼流形上的一个刚性定理，并将$W$ -熵公式推广到具有$(K, m)$ -超Perelman里奇流的紧致黎曼流形上的含时Witten Laplacian，其中$K\in \mathbb{R}$和$m\in [n, \infty]$是两个常数.最后，我们证明了在具有$(K, m)$ -super里奇流的变形的紧致流形或完备流形上与含时Witten Laplacian相关的热方程$\partial_t u=Lu$的正解的Li-Yau和Li-Yau-Hamilton Harnack不等式.
Rigidity and gap theorems for Ricci shrinkers
本文证明了Ricci收缩体的局部Ricci曲率和ν-熵间隙定理，扩展了Munteanu-Wang和作者与Ma之前的成果，并提供了一种局部去除Ricci流I型奇点的标准。
On second variation of Perelman's Ricci shrinker entropy
本文给出Perelman的ν-熵第二变分公式的详细证明，纠正了已有文献中稳定性算子的错误，并通过相关Lichnerowicz型算子的最小特征值及其重数得到线性稳定收缩子的必要条件。
A compactness result for Fano manifolds and Kähler Ricci flows
我们得到了Fano流形和Kähler里奇流的一个紧性结果.与Anderson和Hamilton的更一般的黎曼形式相比，在这种Fano情形下，曲率假设要弱得多，并且被Kähler里奇流所保持。一个假设是Ricci势的有界性，另一个假设是Perelman熵的小性。作为应用，我们得到了Kähler里奇流的一个新的局部正则性准则和结构结果.证明是基于对调和函数的梯度的Hölder估计，这可能是独立的兴趣。
The logarithmic Sobolev inequality along the Ricci flow in dimension 2
本文给出了二维里奇流上对数Sobolev不等式的一些结果。
Entropy and lowest eigenvalue on evolving manifolds
本文确定了一般发展流形上共轭热方程的经典Boltzmann-Shannon熵的前两阶导数。基于Boltzmann-Shannon熵的二阶导数，我们构造了抽象几何流中的Perelman F熵和W熵。当满足一个技术条件时，熵的单调性成立。在具有非负里奇曲率的静态黎曼流形上，当周围空间具有非负截面曲率时，Hamilton里奇流、List推广里奇流、Müller里奇流与调和映射流耦合以及Lorentz中曲率流都满足这个条件.在最低本征值随时间可微的额外假设下，得到了抽象情形下带位势的Laplace-Beltrami算子最低本征值的演化公式.
The Entropy of Lagrange-Finsler Spaces and Ricci Flows
我们制定了一个统计类比的定期拉格朗日力学和芬斯勒几何来自Grisha Perelman的泛函推广的非完整里奇流。当非完整约束流的黎曼度量的结果在芬斯勒一样的配置时，有详细的明确的建设，反之亦然，几何力学建模的黎曼空间与首选的非完整框架结构。
Static Vacuum Spacetimes with $Λ<0$ as Attractors of the Ricci-Harmonic Flow
研究了Λ<0的静态渐近超几何解的动态稳定性，证明了正质量定理与Ricci-谐波流的稳定性之间的关系。
The entropy formula for linear heat equation
给出了具有非负里奇曲率的完备黎曼流形上线性热方程的熵公式。作为应用，我们研究了不同尺度球的熵值与体积的关系。所得结果是Perelman最近关于体积不坍缩的结果的简化版本，不考虑里奇流.
Monotonicity of functionals along conformal Ricci flow
本文的主要目的是构造与共形里奇流在闭流形上发展的度量有关的共轭热方程正解的两个泛函。通过计算这些泛函的显式演化公式，我们证明了它们是非减的。对于熵泛函，我们通过建立一个逐点公式给出单调性的另一个证明。此外，我们表明，增加是严格的，除非度量是爱因斯坦。
The logarithmic Sobolev inequality along the Ricci flow: the case $λ_0(g_0)=0$
我们将以前关于$λ_0(g_0)>0$情形下沿里奇流的对数Sobolev不等式的结果推广到$λ_0(g_0)=0$情形.
Entropy and reduced distance for Ricci expanders
Perelman发现了两个积分量，收缩熵$\cW$和（后向）约化体积，它们在Ricci流$\pa g_{ij}/\pa t=-2R_{ij}$下是单调的，而在收缩孤子上是常数。调整一些符号，我们发现类似的公式对应于扩展的情况。{ \it膨胀熵} $\ctW$在任何紧致Ricci流上是单调的，在展开式上是精确的常数;正如Perelman中的那样，它由共轭热方程的Harnack类量的微分不等式得出，并导出泛函$μ_+$和$ν_+$。{ \it向前约化体积} $θ_+$一般是单调的，在展开式上是精确常数。一个自然的猜想断言$g(t)/t$作为$t\to\infty$收敛到一个在某种弱意义上的负爱因斯坦流形（特别是忽略坍缩部分）。如果先验地知道极限是光滑的和紧的，那么这个陈述可以很容易地从任何在展开式上为常数的单调量中得出;这些量包括$\Vol(g)/t^{n/2}$（Hamilton）和$\barλ$（Perelman），以及我们的新量。在一般情况下，我们表明，如果$\Vol(g)$增长像$t^{n/2}$（最大体积增长），然后$\ctW$，$θ_+$和$\barλ$保持有界（在其适当的方式）的所有时间。我们试图对这一猜想作出一个清晰的表述。
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