The volume of the boundary of a Sobolev $(p,q)$-extension domain II
Pekka Koskela, Riddhi Mishra
本文证明在参数满足 $1\leq q <p< \frac{qn}{(n-q)}$ 的条件下，有界 Sobolev $(p,q)$-延拓域的边界体积为零。
我们证明，当 $1\leq q <p< \frac{qn}{(n-q)}$ 时，有界 Sobolev $(p,q)$-延拓域的边界体积为零。
We show that the volume of the boundary of a bounded Sobolev $(p,q)$-extension domain is zero when $1\leq q <p< \frac{qn}{(n-q)}.$
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sobolev Extension on $L^p$-Quasidisks
本文研究了Lp-拟圆盘的Sobolev扩张性质，Lp-拟圆盘是经典拟圆盘的推广.然后，我们还得到了它们的Sobolev扩张性质的一些应用。
Fractional Orlicz-Sobolev extension/imbedding on Ahlfors $n$-regular domains
本文建立了Ahlfors $n$ -正则域上分数阶Orlicz-Sobolev扩张与嵌入域的一个判别准则.
On Sobolev extension domains in $R^n$
我们描述了一类由$Ω$中的某个内次双曲度量确定的Sobolev $W^k_p$ -扩张域$Ω\subset R^n$.这使我们能够表征每个$p>2$的$R^2$中的双连接Sobolev $W^1_p$ -延伸结构域。
An extension operator for Sobolev spaces with mixed weights
我们提供了一个扩张算子的加权索伯列夫空间上的有界多面体锥$K$涉及的混合权重，分别测量的顶点和边缘的距离，锥。我们的结果是基于索伯列夫空间的Stein扩张算子。
On extensions of Sobolev functions defined on regular subsets of metric measure spaces
刻画了一阶Sobolev函数对齐次度量空间的正则子集的限制，并证明了相应的线性扩张算子的存在性。
Sobolev extension via reflections
我们证明了Mazya和Poborchi关于多项式平面尖点的推广结果可以通过反射生成的复合算子来实现。
A note about extension of functions belonging to Sobolev-Grand Lebesgue Spaces
本文对定义在有限维欧几里得空间的适当子集上的Sobolev-GrandLebesgue空间给出了一个扩张定理，并估计了相应的扩张算子的范数，该扩张算子可被看作是线性的.
Trace and extension theorems relating Besov spaces to weighted averaged Sobolev spaces
已知的迹和延拓定理将域U中的加权索伯列夫空间中的函数与边界bU上的Besov空间中的函数联系起来。通过修改我们的索伯列夫空间来考虑Whitney球中函数的平均值，我们将这些定理推广到索伯列夫指数p小于1的情况。平均索伯列夫空间在p>1的情况下的应用中也很有趣，因此我们也提供了这种情况下的追踪和扩展结果。最后，我们提供了一些可比较的结果诺依曼迹和扩展。
Sobolev Versus Homogeneous Sobolev II
本文研究了Sobolev延拓域与齐次Sobolev延拓域的关系，构造了特定指数范围内一个非齐次延拓域的实例。
Extension operators on Sobolev spaces with decreasing integrability
在与算子范数相联系的集函数的基础上，研究了索伯列夫空间上的可积性递减的扩张算子。利用广义密度条件和欧氏度量与内禀度量的弱等价性，给出了精确的必要条件。
On Burenkov's extension operator preserving Sobolev-Morrey spaces on Lipschitz domains
我们证明了Brenkov扩张算子保持建立在一般Morrey空间（包括经典Morrey空间）上的索伯列夫空间.分析了n维欧几里得空间中具有Lipschitz边界的有界和无界开集。
Borderline case of traces and extensions for weighted Sobolev spaces
本文研究了加权索伯列夫空间在上半空间上的迹和扩张，当权达到边界情形时，给出了它们的一些性质。本文首先给出了这些加权索伯列夫空间迹空间存在性的充分刻画，然后研究了加权索伯列夫空间与一类新的Besov型空间（超平面上）之间的迹部分和扩张部分，这类空间是用并元立方体的选定层上的积分平均定义的.
On Stein's extension operator preserving Sobolev-Morrey spaces
我们证明了Stein扩张算子保持Sobolev-Morrey空间，即在Morrey空间中具有弱导数的函数空间。分析了n维欧几里得空间中具有Lipschitz边界的有界和无界域上的经典和广义Morrey空间。
Trace and extension operators for fractional Sobolev spaces with variable exponent
本文研究变指数分数阶 Sobolev 空间的迹与延拓问题，证明在特定正则性条件下存在线性延拓算子。
Lipschitz spaces generated by the Sobolev-Poincaré inequality and extensions of Sobolev functions
设$d$是$R^n$上的一个度量，$C^{m,(d)}(R^n)$是$R^n$上的$C^m$ -函数的空间，其$m$阶偏导数属于空间$Lip(R^n;d)$ .证明了齐次Sobolev空间$L^{m+1}_p(R^n),p>n,$可以表示为$C^{m,(d)}(R^n)$ -空间的并集，其中$d$属于$R^n$上的一个度量族，具有某些“好”的性质.这使我们能够在几个重要的情况下，给内在的特征的限制Sobolev空间的任意闭子集的$R^n$。特别地，我们将经典的Whitney扩张定理推广到Sobolev空间$C^m(R^n)$的情况下，只要$m\ge 1$和$p>n$。
Product of extension domains is still an extension domain
证明了索博列夫扩张整环的积仍然是索博列夫扩张整环。
Sobolev Versus Homogeneous Sobolev Extension
本文研究了 Sobolev 延拓域与齐次 Sobolev 延拓域之间的关系，并在不同参数条件下给出了两类延拓域相互蕴含或存在反例的严格数学刻画。
A note on Sobolev type inequalities on graphs with polynomial volume growth
证明了多项式体积增长图上的广义$L^p$ -Poincaré不等式和Sobolev型不等式的一个标度.它们在Vicsek图上是最优的。
Extension in generalized Orlicz--Sobolev spaces
研究了扩张算子$Λ\colon W^{1,φ}(Ω)\to W^{1,ψ}(\mathbb{R}^n)$的存在性.我们假设$φ\in Φ_\mathrm{w}(Ω)$具有广义Orlicz增长，$ψ\in Φ_\mathrm{w}(\mathbb{R}^n)$是$φ$的扩展，$Ω\subset\mathbb{R}^n$是$(ε,δ)$ -结构域.特殊情况包括经典的常指数情况、Orlicz情况、变指数情况和双相情况。
Extension criteria for homogeneous Sobolev space of functions of one variable
对于每个$p>1$和正整数$m$，我们给出了齐次索伯列夫空间$L^m_p(R)$对实数线的任意闭子集$E$的限制的内在刻画.我们证明了经典的一维Whitney扩张算子在以下意义上对$L^m_p(R)$空间的尺度是“普适的”：对于每个$p\in(1,\infty]$，它提供了几乎最优的$L^m_p$ -定义在$E$上的函数的扩张.该扩张算子的算子范数由仅依赖于$m$的常数限定。这使我们能够证明几个建设性的$L^m_p$ -扩展标准表示的$m^{th}$顺序均差的功能。
Sobolev extensions, interpolation inequalities and consequences
本文引入Lebesgue W^{1,p}扩展域概念，证明任何W^{1,p}扩展域（1<p<∞）都是Lebesgue W^{1,p}扩展域，并推导出类似全空间形式的Sobolev插值不等式，讨论其应用。
The extension problem for fractional Sobolev spaces with a partial vanishing trace condition
构造了分数阶索伯列夫空间中函数的全空间延拓和开集$O$上的可积性$p\in (0,\infty)$，开集$O$在$O$的边界$\partial O$的一部分$D$上在适当的意义下消失.假设集合$O$满足$\partial O \setminus D$中所谓的内部厚度条件，该条件比全局内部厚度条件弱得多。证明工作的手段减少到情况$D=\emptyset$使用尺规作图法。
Extension Operators for Fractional Sobolev Spaces on Lipschitz Submanifolds
本文研究了分数Sobolev空间在Lipschitz子流形上的扩展算子，通过局部坐标图表构造并明确了扩展领域大小对估计的影响，应用于几何简化等数值分析领域。
Sobolev extensions over Cantor-cuspidal graphs
本文针对由单位区间经典三分Cantor集距离的α次幂函数定义的Cantor尖点图，研究其上下区域的Sobolev延拓性质。
Zero volume boundary for extension domains from Sobolev to $BV$
本文证明了$(W^{1, p}, BV)$ -扩张整环的边界是体积为零的，假设整环$\boz$在几乎每一个$x\in\partial\boz$处都是$1$ -fat.特别地，任何平面$(W^{1, p}, BV)$ -扩张域的边界都是体积为零的。
On planar Sobolev $L^m_p$-extension domains
对于每个$m\ge 1$和$p>2$，我们刻画了有界单连通Sobolev $L^m_p$ -扩张域$Ω\subset R^2$ .我们的标准表示在某些内在的次双曲度量$Ω$。它的证明是基于一系列的结果有关的特殊链的平方连接点$x$和$y$在$Ω$的存在。获得这些结果的一个重要的几何成分是一个新的“平方分离定理”。它指出，在对点$x$和正方形$S\subsetΩ$的相对位置的某些自然假设下，存在一个类似的正方形$Q\subsetΩ$，它接触$S$，并且具有$x$和$S$属于$Ω\setminus Q$的不同连通分量的性质。
Extension of Sobolev functions on balls in infinite dimensions
提出全新方法证明存在有界Sobolev延拓算子，解决了文献中的开放问题。
Remarks on Sobolev-Morrey-Campanato spaces defined on $C^{0,γ}$ domains
我们讨论了一些旧的结果有关嵌入定理Campanato和Sobolev-Morrey空间适应配方的情况下的域类$C^{0,γ}$，我们提出了更近期的结果有关的扩展功能从Sobolev-Morrey空间定义在这些领域。作为扩张定理的推论，我们得到了Sobolev-Morrey空间在任意$C^{0,γ}$域上的嵌入定理.
The volume of the boundary of a Sobolev $(p,q)$-extension domain
设$n\geq 2$和$1\leq q<p<\fz$。证明了如果$Ω\subset\mathbb R^n$是Sobolev $(p, q)$ -扩张域，在$q\leq n-1$，$n>2$的情况下，在边界上有附加的容量限制，则$|\partialΩ|=0$ .在$1\leq q<n-1$的情况下，我们给出一个带有$|\partialΩ|>0$的Sobolev $(p,q)$ -扩展域的例子。
Sobolev functions on closed subsets of the real line: long version
对于每个$p>1$和正整数$m$，我们给出了Sobolev空间$W^m_p(R)$和齐次Sobolev空间$L^m_p(R)$对实数线的任意闭子集$E$的限制的内在特征.特别是，我们表明，经典的一维惠特尼扩展算子是“通用”的规模的$L^m_p(R)$空间在以下意义上：对于每一个$p\in(1,\infty]$，它提供了几乎最佳的$L^m_p$ -扩展功能定义在$E$。该扩张算子的算子范数由仅依赖于$m$的常数限定。这使我们能够证明几个建设性的$W^m_p$ -和$L^m_p$ -扩展标准表示的$m^{th}$顺序均差的功能。
Dimension estimates for the boundary of planar Sobolev extension domains
利用边界的弱平均孔隙度，证明了有界单连通平面Sobolev $W^{1,p}$ -扩张域边界的渐近尖维数上界.我们的估计的尖锐性是通过例子来说明的。
Two-sided boundary points of Sobolev-extension domains on Euclidean spaces
证明了欧几里得空间上一般Sobolev扩张域的双边边界点集的Hausdorff维数的一个估计。我们还提出的例子显示这种类型的可能的尺寸估计的下界。
Whitney-type extension theorems for jets generated by Sobolev functions
设$L^m_p(R^n)$，$p\in [1,\infty]$是齐次Sobolev空间，$E\subset R^n$是闭集.对于每个$p>n$和每个非负整数$m$，我们给出了由函数$F\in L^{m+1}_p(R^n)$生成的$m$ -喷流对$E$的限制的内在刻画.我们的跟踪标准表示在相应的$m$ -喷气机上的$E$的“分离良好”的两个点的子集的某个家庭的变化。对于$p=\infty$，这个结果与经典的Whitney-Glaeser扩张定理相一致。我们的方法是基于Sobolev空间$L^{m+1}_p(R^n)$，$p>n$，作为一个联盟的$C^{m,(d)}(R^n)$ -空间$d$属于一个家庭的度量$R^n$与某些“好”的属性。这里$C^{m,(d)}(R^n)$是$R^n$上的$C^m$ -函数的空间，其$m$阶的偏导数是关于$d$的Lipschitz函数。这使我们能够证明，对于每个非负整数$m$和每个$p\in (n,\infty)$，完全相同的经典线性Whitney扩张算子提供了由$L^{m+1}_p$ -函数生成的$m$ -喷流的几乎最优扩张.
Sobolev, BV and perimeter extensions in metric measure spaces
研究了一般度量测度空间中集合和函数的扩张。证明了一个开集具有强BV扩张性质当且仅当它对有限周长的集具有强扩张性质。我们还证明了强BV扩张性质和两个不同的非等价版本的Sobolev $W^{1,1}$ -空间的可拓性之间的几个影响，并通过例子表明，其余的影响失败。
Dimension estimate for the two-sided points of planar Sobolev extension domains
本文给出了$1<p<2$的有界单连通Sobolev $W^{1,p}$ -扩张整环的边界的双边点集的豪斯多夫维数的一个估计.并通过实例说明了估计的合理性。我们还证明了双边点的不同定义的等价性。
A new obstruction to the extension problem for Sobolev maps between manifolds
本文的主要结果结合Hardt和Lin的早期结果解决了$W^{1,p}(\mathcal M, \mathcal N)$的扩张问题，其中$\mathcal M$和$\mathcal N$是紧致黎曼流形，$\mathcal M$具有非空光滑边界，并假设$\mathcal N$是单连通的.本文研究的主要问题是：给定迹空间$W^{1-\frac{1}{p}, p} (\partial \mathcal M, \mathcal N)$中的一个映射，它在$W^{1,p}(\mathcal M, \mathcal N)$中是否有扩张？我们的答案是否定的情况下，$\mathfrak p_{c} +1\leq p<m={\rm dim} \, \mathcal M$，其中数$\mathfrak p_{c}$是有关的拓扑结构的$\mathcal N$。我们还讨论了$\mathcal N$不是简单连通的情况，提供了各种结果，并提出了一些悬而未决的问题。特别是，我们强调在这种情况下的扩张问题和提升问题之间的关系，以普遍覆盖流形。
Linear extension operators for Sobolev spaces on radially-symmetric binary trees
本文研究径向对称二叉树上叶子函数的最小加权 $W^{1,p}$ 延拓问题，证明存在范数仅依赖 $p$ 的线性算子，即关于由 $p$ 与权重确定的 Markov 核的调和延拓。
Extensions and approximations of Banach-valued Sobolev functions
在完备度量测度空间中，研究了定义在满足测度密度条件的子集上的Banach值Sobolev函数，何时是定义在整个度量空间上的Banach值Sobolev函数的限制.本文分别研究了Hajkasz-和Newton-索伯列夫空间的问题.首先，我们证明了Hajerasz-Sobolev可扩性与目标巴拿赫空间无关.我们还证明了每个$c_0$ -值Newton-Sobolev扩张集是Banach-值Newton-Sobolev扩张集。证明了在一定尺度下满足测度密度条件和弱Poincaré不等式的任何可测集都是Banach值Newton-Sobolev扩张集.相反，我们验证了一个民间传说的结果，即当$n\leq p<\infty$，每个$W^{1,p}$ -扩展域$Ω\subset \mathbb{R}^n$支持弱$(1,p)$ -庞加莱不等式到一定规模。作为一个独立的结果，我们证明了在任何度量测度空间中，当$1 \leq p < \infty$和有界支撑的实值Lipschitz函数在实值$W^{1,p}$ -空间中是范数稠密的时，则当Banach空间具有所谓的度量逼近性质时，有界支撑的Banach值Lipschitz函数在每个Banach值$W^{1,p}$ -空间中是能量稠密的.
On the asymptotic behaviour of the fractional Sobolev seminorms in metric measure spaces: asymptotic volume ratio, volume entropy and rigidity
本文研究一般度量测度空间中分数阶Sobolev半范数的渐近行为，给出Maz'ya-Shaposhnikova定理和Ludwig结果的新简短证明，建立渐近公式与渐近体积比之间的联系，并证明两个新的刚性结果。
Sobolev functions on infinite-dimensional domains
我们研究Sobolev和BV函数在无限维域上的扩张。随着一些积极的结果，我们提出了一个长期存在的问题的Sobolev扩张的函数在高斯索伯列夫空间从一个凸区域到整个空间的负解。
Zero-extension convergence and Sobolev spaces on changing domains
本文在不假设参考构型的前提下，将弱收敛与强收敛推广到底层区域同时变化的Sobolev函数序列，建立相应理论与紧性定理，并通过实例验证其有效性。
Radial extensions in fractional Sobolev spaces
给定$f:\partial (-1,1)^n\to{\mathbb R}$，考虑其径向延伸$Tf(X):=f(X/\|X\|_{\infty})$，$\forall\, X\in [-1,1]^n\setminus\{0\}$。在“On some questions of topology for $S^1$ -valued fractional索伯列夫空间“（RACSAM 2001）中，前两位作者（HB和PM）陈述了以下辅助结果（引理D. 1）。如果$0<s<1$、$1< p<\infty$和$n\ge 2$使得$1<sp<n$，则$f\mapsto Tf$是从$W^{s,p}(\partial (-1,1)^n)$到$W^{s,p}((-1,1)^n)$的有界线性算子。这一结果的证明包含了第三作者（IS）发现的缺陷。我们给出了正确的证明。我们还建立了这个结果的一个变种，涉及高阶导数和更一般的径向扩张算子。更具体地，令$B$是${\mathbb R}^n$中的标准欧几里德范数$|\ |$的单位球，并且设置$U_af(X):=|X|^a\, f(X/|X|)$、$\forall\, X\in \overline B\setminus\{0\}$、${\forall\,} f:\partial B\to{\mathbb R}$。设$a\in{\mathbb R}$、$s>0$、$1\…
Extensions of traces for Sobolev mappings into manifolds at the endpoint $p=1$
该研究针对边界紧的黎曼流形到完备黎曼流形的$W^{1,1}$型Sobolev映射，通过二进立方体格铺砌定义域的方法构造延拓，直接证明了迹与延拓定理，还得到了映射$L^1$能量的渐近刻画，结果可推广至半空间与带状区域。
Some functional inequalities on polynomial volume growth Lie groups
本文研究了多项式体积增长李群的Sobolev型不等式。我们特别表明，改进的Sobolev不等式可以扩展，而不使用Littlewood-Paley分解到这个一般的框架。
The extension of traces for Sobolev mappings between manifolds
本文刻画了使一阶Sobolev映射空间到分数阶Sobolev-Slobodecki\uı空间的迹算子为满射的紧致黎曼流形条件，并利用新构造在无已知障碍时实现迹的延拓，同时给出线性估计。
Traces of Sobolev functions and higher integrability
本文研究了Sobolev函数边界痕迹的积分性提升机制，通过非线性扩展算子给出了精确刻画。
On the measure of the boundary of a Hajłasz-Sobolev $(M^{1,p},M^{1,q})$-extension domain
该研究在Q加倍度量测度空间中，证明了满足特定参数条件的有界$(M^{1,p},M^{1,q})$-扩张域的边界测度为零。
Sobolev extension in a simple case
本文证明了当 $1<p<2$ 且 $E$ 为直线上有限子集时，存在有界线性延拓算子 $T: L^{2,p}(E) \to L^{2,p}(\mathbb{R}^2)$。
A Measure Characterization of Embedding and Extension Domains for Sobolev, Triebel-Lizorkin, and Besov Spaces on Spaces of Homogeneous Type
在这篇文章中，对于光滑参数$s$的最佳范围（定量地）取决于底层空间的几何构成，作者确定了完全表征Hajkasz-Triebel-Lizorkin空间$M^s_{p,q}$和Hajkasz-Besov空间$N^s_{p,q}$在齐型一般空间中的嵌入和扩张域的纯测度理论条件。虽然在准度量空间的上下文中陈述，但这些特征即使在度量设置中也改进了相关工作。特别地，作为本文主要结果的推论，在一般加倍度量测度空间的背景下，得到了Sobolev嵌入域和扩张域的一个新的刻画.
An Extension of the Bianchi-Egnell Stability Estimate to Bakry, Gentil, and Ledoux's Generalization of the Sobolev Inequality to Continuous Dimensions
本文推广了G. Bianchi和H. Egnell在他们的论文“关于Sobolev不等式的注释。Bianchi和Egnell的稳定性估计回答了H. Brezis和E. H. Lieb：“在Sobolev不等式中，是否有一种自然的方法从下面根据$φ$与优化器流形的”距离“来约束$\| \nabla φ\|_2^2 - C_N^2 \| φ\|_\frac{2N}{N-2}^2$？建立其他形式的索博列夫不等式以及其他尖锐不等式的稳定性估计-也称为尖锐不等式的定量版本-是一个活跃的话题。本文将Bianchi和Egnell的稳定性估计推广到“连续维数”的Sobolev不等式。Bakry，Gentil和Ledoux最近证明了$\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^n$上函数的Sobolev不等式的一个尖锐的推广，它可以被认为是“连续维数“的一个推广。“V.H. Nguyen决定了所有平等的情况。本文将Sobolev不等式的Bianchi-Egnell稳定性分析推广到这个“连续维”的推广。
Controlled singular extension of critical trace Sobolev maps from spheres to compact manifolds
给定$n \in \mathbb{N}_*$，紧黎曼流形$M$和Sobolev映射$u \in W^{n/(n + 1), n + 1} (\mathbb{S}^n; M)$，我们在Sobolev-Marcinkiewicz（或Lorentz-Sobolev）空间$W^{1, (n + 1, \infty)} (\mathbb{B}^{n + 1}; M)$中构造一个映射$U$，使得$u = U$在$\mathbb{S}^{n} = \partial \mathbb{B}^{n + 1}$上的迹的意义上，并且其导数是受控的：对于每个$λ> 0$，$$ λ^{n + 1} \big\vert\big\{ x \in \mathbb{B}^{n + 1} : \vert D U (x)\vert > λ\big\}\big\vert \le γ\Big(\int_{\mathbb{S}^n}\int_{\mathbb{S}^n} \frac{\vert u (y) - u (z)\vert^{n + 1}}{\vert y - z\vert^{2 n}} \,\mathrm{d} y \,\mathrm{d} z \Bigr)\ , $$其中函数$γ: [0, \infty) \to [0, \infty)$只依赖于维数$n$和流形$M$ .映射$U$的构造依赖于在球的适当覆盖上的超调…
Quantitative Sobolev extensions and the Neumann heat kernel for integral Ricci curvature conditions
证明了在黎曼流形中某些一致域类的Sobolev扩张算子的存在性，该流形在范数上有一个明确的一致界，该界仅依赖于边界附近的几何.利用这个定量估计，在积分里奇曲率条件和边界几何条件下，得到了Neumann热方程正解的一致Neumann热核上界和梯度估计.这些估计也意味着定量的下界上的第一个诺依曼特征值的考虑域。
The Logarithmic Sobolev Inequality in Infinite dimensions for Unbounded Spin Systems on the Lattice with non Quadratic Interactions
我们感兴趣的是没有二次相互作用的无限体积吉布斯测度的对数Sobolev不等式。考虑一维格点上的无界自旋系统，其相互作用超出通常的严格凸性，且二阶导数没有一致的界。我们假设一维单点边界测度在边界条件上一致满足Log-Sobolev不等式，并确定了Log-Sobolev不等式推广到无限体积Gibbs测度的条件.
On the local character of the extension of traces for Sobolev mappings
本文证明Sobolev映射的迹延拓具有局部性质，即延拓存在的障碍在全局情形下纯粹是局部的。
Strong and weak sharp bounds for Neural Network Operators in Sobolev-Orlicz spaces and their quantitative extensions to Orlicz spaces
本文研究了神经网络算子在Sobolev-Orlicz和Orlicz空间中的强弱sharp界，并引入了新的工具和方法，扩展到Orlicz空间的定量分析。
Trace and extension theorems for Sobolev-type functions in metric spaces
本文研究了度量空间中Sobolev型函数的迹类。特别是，域上的边界有一个上余维$θ$界的功能被认为是。基于Poincaré不等式，证明了当“梯度”的可积幂超过$θ$时，存在Borel可测迹.迹$T$被证明是一个紧算子，它将定义域上的Sobolev型空间映射到边界上的Besov空间。找到了$T$满射的充分条件，并给出了满射可能失效的反例.当“梯度”的可积性指数等于$θ$时的情况，即，还讨论了边界的余维数。在一些附加的假设下，迹位于边界上的$L^θ$中。这些额外的假设的本质锋利度说明了一个例子。
Trace theory for gauge-covariant Sobolev spaces
本文研究了 Riemann 向量丛上规范协变 Sobolev 空间的迹理论，证明了在联络曲率有界时其迹可刻画为规范协变分数阶 Sobolev 空间，且相关常数仅依赖于曲率，并在阿贝尔联络下还原了磁 Sobolev 空间的已知结果。
Sharp Small-Volume Isoperimetry from Log-Sobolev Inequalities
本文通过对数索博列夫不等式，建立了满足CD(0,∞)的加权黎曼流形乘积的渐近等周剖面在小体积下的尖锐极限恒等式，并推广到非光滑子空间，同时得到大偏差与中偏差渐近。
Singular extension of critical Sobolev mappings under an exponential weak-type estimate
本文针对临界Sobolev空间中的球面到紧黎曼流形映射，构造了满足指数弱型Sobolev估计的球内部延拓，并将结果推广到半空间和双曲空间情形。
A necessary condition for Sobolev extension domains in higher dimensions
给出了定义域在值域$1 < p < 2$上有从$L^{1,p}(Ω)$到$L^{1,p}(\mathbb R^n)$的有界扩张算子的一个必要条件.这个条件是用到$Ω$的边界的距离的幂来表示的，它是沿着一组局部有限周长及其扩张的测度论边界积分的。这推广了平面单连通域的特征曲线条件和$W^{1,1}$ -扩张的条件。我们用这个必要条件给出曲线条件的一个定量形式。我们还构造了一个同胚的球，并有$n$维边界的扩张域的例子。
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