由对数索博列夫不等式得到的尖锐小体积等周性
Sharp Small-Volume Isoperimetry from Log-Sobolev Inequalities
- Nankai University（南开大学）
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AI总结：
本文通过对数索博列夫不等式，建立了满足CD(0,∞)的加权黎曼流形乘积的渐近等周剖面在小体积下的尖锐极限恒等式，并推广到非光滑子空间，同时得到大偏差与中偏差渐近。
AI中文摘要：
设$I_{\inf}(a):=\lim_{n\to\infty}I_{n}(a)=\inf_{n\ge1}I_{n}(a)$为满足$\mathrm{CD}(0,\infty)$的加权黎曼流形乘积的渐近等周剖面，更广泛地，对于密度可由满足$\mathrm{CD}(0,\infty)$的密度序列逼近的非光滑子空间的乘积，我们建立如下恒等式：\\[ \lim_{a\downarrow0}\frac{I_{\inf}(a)}{a\sqrt{2\ln(1/a)}}=\sqrt{K_{\mathrm{LS}}}, \\] 其中$K_{\mathrm{LS}}$是最优对数索博列夫常数。同样的论证还给出了等周性的大偏差和中偏差渐近。
英文摘要：
Let $I_{\inf}(a):=\lim_{n\to\infty}I_{n}(a)=\inf_{n\ge1}I_{n}(a)$ be the asymptotic isoperimetric profile for product of a weighted Riemannian manifold satisfying $\mathrm{CD}(0,\infty)$ and, more broadly, for product of a nonsmooth subspace with density that can be approximated by a sequence of densities satisfying $\mathrm{CD}(0,\infty)$. We establish the following identity: \[ \lim_{a\downarrow0}\frac{I_{\inf}(a)}{a\sqrt{2\ln(1/a)}}=\sqrt{K_{\mathrm{LS}}}, \] where $K_{\mathrm{LS}}$ is the optimal log-Sobolev constant. The same argument also yields the large-deviation and moderate-deviation asymptotics for isoperimetry.
