Dimension estimates for the boundary of planar Sobolev extension domains
Danka Lučić, Tapio Rajala, Jyrki Takanen
利用边界的弱平均孔隙度，证明了有界单连通平面Sobolev $W^{1,p}$ -扩张域边界的渐近尖维数上界.我们的估计的尖锐性是通过例子来说明的。
We prove an asymptotically sharp dimension upper-bound for the boundary of bounded simply-connected planar Sobolev $W^{1,p}$-extension domains via the weak mean porosity of the boundary. The sharpness of our estimate is shown by examples.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A density result for homogeneous Sobolev spaces on planar domains
证明了在有界单连通平面区域$Ω$中，光滑Sobolev函数$W^{k,\infty}(Ω)\cap C^\infty(Ω)$在齐次索伯列夫空间$L^{k,p}(Ω)$中是稠密的.
Dimension estimate for the two-sided points of planar Sobolev extension domains
本文给出了$1<p<2$的有界单连通Sobolev $W^{1,p}$ -扩张整环的边界的双边点集的豪斯多夫维数的一个估计.并通过实例说明了估计的合理性。我们还证明了双边点的不同定义的等价性。
Diffeomorphic Approximation of $W^{1,1}$ Planar Sobolev Homeomorphisms
令$Ω\subseteq\mathbb R^2$是域，并且令$f\in W^{1,1}(Ω,\mathbb R^2)$是同胚（在$Ω$和$f(Ω)$之间）。则在$W^{1,1}(Ω,\mathbb R^2)$中存在一致收敛于$f$的光滑同态序列$f_k$.
A density problem for Sobolev spaces on planar domains
证明了对有界单连通域$Ω\subset \mathbb R^2$，索伯列夫空间$W^{1,\,\infty}(Ω)$对任何$1\le p<\infty$在$W^{1,\,p}(Ω)$中稠密.此外，我们证明了如果$Ω$是Jordan，那么对于$1\le p<\infty$，$C^{\infty}(\mathbb R^2)$在$W^{1,\,p}(Ω)$中是稠密的。
Two-sided boundary points of Sobolev-extension domains on Euclidean spaces
证明了欧几里得空间上一般Sobolev扩张域的双边边界点集的Hausdorff维数的一个估计。我们还提出的例子显示这种类型的可能的尺寸估计的下界。
Monotone Sobolev functions in planar domains: level sets and smooth approximation
我们证明了几乎每一个水平集的Sobolev函数在一个平面区域由点，约旦曲线，或同胚副本的一个区间。对于平面上的单调Sobolev函数，我们得到了几乎每个水平集都是平面上的嵌入$1$维拓扑子流形的更强结论。这里的单调性是在勒贝格的意义：最大值和最小值的功能在一个开集达到的边界。我们的结果是一个模拟的Sard定理，它断言，对于一个$C^2$ -光滑函数在一个平面域几乎每个值是一个正常的值。作为应用，我们证明了平面区域上的单调Sobolev函数可以用光滑单调函数在Sobolev范数下一致逼近。
A geometric characterization of planar Sobolev extension domains
该研究给出了1<p<2时平面有界单连通W^{1,p}-延拓区域的几何刻画，并结合已有结果证明了若尔当区域与其补区域在Sobolev延拓性质上的对偶关系。
On the measure of the boundary of a Hajłasz-Sobolev $(M^{1,p},M^{1,q})$-extension domain
该研究在Q加倍度量测度空间中，证明了满足特定参数条件的有界$(M^{1,p},M^{1,q})$-扩张域的边界测度为零。
Sobolev extension in a simple case
本文证明了当 $1<p<2$ 且 $E$ 为直线上有限子集时，存在有界线性延拓算子 $T: L^{2,p}(E) \to L^{2,p}(\mathbb{R}^2)$。
A Measure Characterization of Embedding and Extension Domains for Sobolev, Triebel-Lizorkin, and Besov Spaces on Spaces of Homogeneous Type
在这篇文章中，对于光滑参数$s$的最佳范围（定量地）取决于底层空间的几何构成，作者确定了完全表征Hajkasz-Triebel-Lizorkin空间$M^s_{p,q}$和Hajkasz-Besov空间$N^s_{p,q}$在齐型一般空间中的嵌入和扩张域的纯测度理论条件。虽然在准度量空间的上下文中陈述，但这些特征即使在度量设置中也改进了相关工作。特别地，作为本文主要结果的推论，在一般加倍度量测度空间的背景下，得到了Sobolev嵌入域和扩张域的一个新的刻画.
Bi-Lipschitz invariance of planar $BV$- and $W^{1,1}$-extension domains
证明了平面$BV$ -扩张域的双Lipschitz像也是$BV$ -扩张域，平面$W^{1,1}$ -扩张域的双Lipschitz像也是$W^{1,1}$ -扩张域.
Sobolev regularity of the Beurling transform on planar domains
考虑Lipschitz域$Ω$及其特征函数$\mathcal{B} χ_Ω(z)= - {\rm p.v.}\frac1{πz^2}*χ_Ω(z) $的Beurling变换.证明了如果域的边界的向外单位法向量$N$在$W^{n,p}(Ω)$的迹空间中（即，Besov空间$B^{n-1/p}_{p,p}(\partialΩ)$），然后是$\mathcal{B} χ_Ω\in W^{n,p}(Ω)$。此外，当$p>2$时，$W^{n,p}(Ω)$上的Beurling变换的有界性如下。这一事实在Beltrami方程拟共形解的正则性研究中具有深远的影响。
Singular extension of critical Sobolev mappings under an exponential weak-type estimate
本文针对临界Sobolev空间中的球面到紧黎曼流形映射，构造了满足指数弱型Sobolev估计的球内部延拓，并将结果推广到半空间和双曲空间情形。
A necessary condition for Sobolev extension domains in higher dimensions
给出了定义域在值域$1 < p < 2$上有从$L^{1,p}(Ω)$到$L^{1,p}(\mathbb R^n)$的有界扩张算子的一个必要条件.这个条件是用到$Ω$的边界的距离的幂来表示的，它是沿着一组局部有限周长及其扩张的测度论边界积分的。这推广了平面单连通域的特征曲线条件和$W^{1,1}$ -扩张的条件。我们用这个必要条件给出曲线条件的一个定量形式。我们还构造了一个同胚的球，并有$n$维边界的扩张域的例子。
Optimal extension to Sobolev rough paths
该研究证明满足α>1/p>0的Sobolev路径可提升为Lyons意义下的Sobolev粗糙路径，且存在关于严格凸泛函的唯一最优提升，给出了最小范数提升与布朗运动Stratonovich提升的实例，并提及Besov空间推广。
Haj\lasz-Sobolev Imbedding and Extension
本文建立了Haj \lasz -Sobolev $\dot M^{s,\,p}_\ball$ -扩张的几何判据（分别为：${\mathbb R}^n$的$\dot M^{s,\,p}_\ball$ -嵌入）结构域与$n\ge2$、$s\in(0,\,1]$和$p\in[n/s,\,\infty]$（分别为$p\in(n/s,\,\infty]$）。特别地，作者证明了有界平面连通域$\boz$是具有$α\in(0,\,1)$的弱$α$ -雪茄域当且仅当对部分/全部$s\in[α,\,1)$和$p=(2-\az)/(s-α)$有$\dot F^s_{p,\,\infty}({\mathbb R}^2)|_\boz=\dot M^{s,\,p}_\ball(\boz)$，其中$\dot F^s_{p,\,\infty}({\mathbb R}^2)|_\boz$表示Triebel-Lizorkin空间$\dot F^s_{p,\,\infty}({\mathbb R}^2) $对$\boz$的限制.
The Sobolev extension problem on trees and in the plane
本文构造平面集合 $E$，证明带径向衰减权重有限树上的一阶加权 Sobolev 延拓问题与 $\mathbb{R}^2$ 中 $E$ 上的二阶 Sobolev 延拓问题等价。
The Structure of Sobolev Extension Operators
令$L^{m,p}(\R^n)$表示其$m$阶导数位于$L^p(\R^n)$中的函数的Sobolev空间，并假设$p>n$。对于$E \subset \R^n$，用$L^{m,p}(E)$表示对函数$F \in L^{m,p}(\R^n)$的$E$的限制空间。已知存在有界线性映射$T : L^{m,p}(E) \rightarrow L^{m,p}(\R^n)$使得对于任何$f \in L^{m,p}(E)$，$Tf = f$在$E$上。我们证明了$T$不能有一个简单的形式称为“有界深度”。"
Smooth extensions of Sobolev boundary data in corkscrew domains with uniformly rectifiable boundaries
针对具有一致可求长边界的螺旋域，本文构造了从含梯度非切向极大函数和Hessian锥形平方函数的Lⁿ范数函数空间到边界Lⁿ Hajlasz-Sobolev空间的满射迹映射，其关键依赖配套论文中UR集的Dorronsoro定理。
Approximate Extension in Sobolev Space
设$L^{m,p}(\mathbb{R}^n)$是$p \in (n,\infty)$的齐次索伯列夫空间，$μ$是$\mathbb{R}^n$上的Borel正则测度，$L^{m,p}(\mathbb{R}^n) + L^p(dμ)$是具有有限个Borel可测函数的空间$\|f\|_{L^{m,p}(\mathbb{R}^n) + L^p(dμ)} := \text{inf}_{f_1 +f_2 = f} \{ \|f_1\|_{L^{m,p}(\mathbb{R}^n)}^p + \int_{\mathbb{R}^n} |f_2|^p dμ\}^{1/p}$ .我们构造了一个线性算子$T:L^{m,p}(\mathbb{R}^n) + L^p(dμ) \to L^{m,p}(\mathbb{R}^n)$，它几乎最优地分解和空间中的每个函数：$\|Tf\|_{L^{m,p}(\mathbb{R}^n)}^p + \int_{\mathbb{R}^n} |Tf-f|^p dμ\leq C \|f\|_{L^{m,p}(\mathbb{R}^n) + L^p(dμ)}^p$，其中$C$仅依赖于$m$，$n$和$p$。对于$E \subset \mathbb{R}^n$，令$L^{m,p}(E)$表示对函数$F \in L^{m,p}(\mathbb{R}^n)$的$E$的所有限制的空间，…
Sobolev Extension By Linear Operators
设$L^{m,p}(\R^n)$是函数的Sobolev空间，其$m^{th}$导数位于$L^p(\R^n)$中。假设$n< p < \infty$ .对于$E \subset \R^n$，令$L^{m,p}(E)$表示对$L^{m,p}(\R^n)$中的函数的$E$的限制空间。证明了存在一个有界线性映射$T : L^{m,p}(E) \rightarrow L^{m,p}(\R^n)$，使得对任何$f \in L^{m,p}(E)$，都有$Tf = f$在$E$上.当$E$是有限的时，我们还给出了给定$f : E \rightarrow \R$的$\|f\|_{L^{m,p}(E)}$的数量级的公式。
Sobolev homeomorphic extensions from two to three dimensions
我们研究的基本问题的特征，哪些边界同胚的单位球可以扩展到一个Sobolev同胚的内部在3D空间。虽然这个问题的平面变体是很好理解的，但在3D中需要构建扩展的全新和直接的方法。我们证明，除其他事项外，索伯列夫同胚$φ\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$在$W_{loc}^{1,p} (\mathbb R^2 , \mathbb R^2)$的一些$p\in [1,\infty )$承认同胚扩展$h \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$在$W_{loc}^{1,q} (\mathbb R^3, \mathbb R^3) $的$1\le q < \frac{3}{2}p$。这样的扩展结果几乎是尖锐的，因为由于Hölder嵌入，约束$q=\frac{3}{2}p$不能得到改善。案例$q=3$获得了额外的兴趣，因为它也提供了著名的Beurling-Ahlfors扩展结果的$L^1$变体。
A Bounded Linear Extension Operator for $L^{2,p}(\R^2)$
对于有限的$E \subset \R^2$，$f:E \rightarrow \R$和$p>2$，我们产生一个连续的$F:\R^2 \rightarrow \R$线性依赖于$f$，采取相同的值作为$f$对$E$，并与$L^{2,p}(\R^2)$半范数最小的一个因素$C=C(p)$。这解决了Sobolev空间$L^{2,p}(\R^2)$的Whitney扩张问题。解决扩张问题的一个标准方法是找到一个局部扩张的集合，每个局部扩张定义在一个小正方形上，如果选择相互一致，可以将它们拼凑在一起，形成一个定义在整个平面上的全局扩张。对于Sobolev空间，由于迹范数的（一般）非局部结构，相容性的标准形式不适用。在本文中，我们定义了一个新的概念之间的局部Sobolev扩张的一致性，并将其应用于构造一个有界线性扩张算子。我们的方法推广到产生类似的结果为$n$维的情况下，并可能适用于了解更高的光滑度Sobolev扩展问题。
The Fourier extension operator of distributions in Sobolev spaces of the sphere and the Helmholtz equation
本文用$α\in \mathbb{R}$刻画了由分布在球面$H^α(\mathbb{S}^{d-1}),$的索伯列夫空间中的Fourier延拓算子引起的齐次Helmholtz方程的全部解（$\mathbb{R}^d$中的解）.我们提出了两个特征。第一个是书面的某些$L^2$加权规范涉及的球拉普拉斯的真实权力。第二种方法是在P.Hartman和C.威尔科克斯对于$α>0$，该特征涉及在亥姆霍兹方程的整体解的向量中评估的多变量平方函数，而对于$α<0$，其被写在充当分数积分算子的球形积分算子方面。最后，我们也刻画了所有的解决方案，是傅立叶扩展运营商的分布在球。
Fitting a Sobolev function to data
给出了一个求解如下扩张问题的算法：给定一个有限集$E \subset \mathbb{R}^n$和一个函数$f: E \rightarrow \mathbb{R}$，在Sobolev空间中计算一个扩张$F$ $L^{m,p}(\mathbb{R}^n)$，$p>n$，其中范数具有最小可能的数量级，然后计算$F$范数的数量级.这里，$L^{m,p}(\mathbb{R}^n)$表示由$\mathbb{R}^n$上的函数组成的Sobolev空间，其$m$阶偏导数属于$L^p(\mathbb{R}^n)$。我们的算法的运行时间最多是$C N \log N$，其中$N$表示$E$的基数，$C$是一个常数，只依赖于$m$，$n$和$p$。
Fractional Besov Trace/Extension Type Inequalities via the Caffarelli-Silvestre extension
设$u(\cdot,\cdot)$是$f.$的Caffarelli-Silvestre扩张本文的第一个目的是建立涉及$f.$的Caffarelli-Silvestre扩张$u(\cdot,\cdot)$的分数迹型不等式。为此，首先，我们建立了关于$\nabla_{(x,t)}u(x,t).$的分数Sobolev/对数Sobolev/ Hardy迹不等式，然后，证明了仅用$ {\partial_{t} u(x,t)}$或$(-Δ)^{-γ/2}u(x,t)$表示的分数阶各向异性Sobolev/对数Sobolev/ Hardy迹不等式.此外，基于Caffarelli-Silvestre扩张核的傅里叶变换的估计和尖锐的仿射加权$L^p$ Sobolev不等式，我们证明了$f(x)$的$\dot{H}^{-β/2}(\mathbb{R}^n)$范数可以由加权$L^p-$仿射能量和${\partial_{t} u(x,t)}.$的加权$L^p-$范数的乘积来控制。负测量$\mathbb{R}^{n+1}_+$上的$μ$，使得嵌入$$\|u(\cdot,\cdot)\|_{L^{q_0,p_0}_μ(\mathbb{R}^{n+1})}\lesssim \|f\|_{\dotΛ^{p,q}_β(\mathbb{R}^n)}$$对于一些$p_0$和$q_0$成立，这取决于$p$和$q$，它们被分…
Monotone Sobolev functions: approximation, critical points, and level sets
该论文研究单调Sobolev函数的逼近、临界点与水平集，给出平面局部光滑性的肯定答案及高维问题部分肯定与否定答案，提出光滑单调逼近并应用于多个领域。
The mapping properties of fractional derivatives in weighted fractional Sobolev space
本文利用Calderón–Lions插值定理，证明了Riemann–Liouville和Marchaud分数阶导数在加权分数阶Sobolev空间中的具体映射关系。
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