$W^{1,1}$平面Sobolev同胚的同态逼近

Injectivity almost everywhere for weak limits of Sobolev homeomorphisms

Let $Ω\subset\mathbb{R}^n$ be an open set and let $f\in W^{1,p}(Ω,\mathbb{R}^n)$ be a weak (sequential) limit of Sobolev homeomorphisms. Then $f$ is injective almost everywhere for $p>n-1$ both in the image and in the domain. For $p\leq n-1$ we construct a strong limit of homeomorphisms such that the preimage of a point is a continuum for every point in a set of positive measure in the image and a topological image of a point is a continuum for every point in a set of positive measure in the domain.

Sobolev空间W_2^{1/2}：通过圆圈的自同胚同时改进函数

The Sobolev space $W_2^{1/2}$: Simultaneous improvement of functions by a homeomorphism of the circle

研究通过单个变換同时改进函数在W_2^{1/2}(T)空间中的性质，证明不存在自同胚使所有Lip_{1/2}(T)函数的复合落入该空间。

通过层的低秩梯度Sobolev同胚

Sobolev homeomorphisms with gradients of low rank via laminates

设$Ω\subset \mathbb{R}^{n}$是有界开集.给定$2\leq m\leq n$，构造一个凸函数$ϕ:Ω\to \mathbb{R}$，其梯度$f= \nabla ϕ$是Hölder连续同胚，$f$是$\partial Ω$上的恒等式，其导数$D f$的秩为$m-1$ a.e.在$Ω$和$D f$中，在弱$L^{m}$空间$L^{m,w}$中。证明是基于凸积分和阶梯层压板。

利用层合板的低秩$f$与PDMATHAAB和$Df^{-1}$的Bi-Sobolev同胚

Bi-Sobolev homeomorphisms $f$ with $Df$ and $Df^{-1}$ of low rank using laminates

设$Ω\subset \mathbb{R}^{n}$是有界开集.给定$1\leq m_1,m_2\leq n-2$，我们构造了一个Hölder连续的同胚$f :Ω\to Ω$，$f$是$\partial Ω$上的恒等式，其导数$D f$具有秩$m_1$ a. e.在$Ω$中，逆的导数$D f^{-1}$具有秩$m_2$ a.e.\在$Ω$、$Df\in W^{1,p}$和$Df^{-1}\in W^{1,q}$中，用于$p<\min\{m_1+1,n-m_2\}$、$q<\min\{m_2+1,n-m_1\}$。证明是基于凸积分和层。我们还表明，可积性的函数和逆是尖锐的。

基于面积公式的 Sobolev 同胚的 Jacobi 矩阵的 $L^{1}_{loc}$-收敛性

$L^{1}_{loc}$-convergence of Jacobians of Sobolev homeomorphisms via area formula

本文基于 Federer 面积公式，证明了在特定 Sobolev 范数下收敛的同胚序列，其 Jacobi 矩阵在 $L^1_{loc}$ 中收敛于极限同胚的 Jacobi 矩阵。

Bohr-Pál定理与索伯列夫空间$W_2^{1/2}$

The Bohr--Pál Theorem and the Sobolev Space $W_2^{1/2}$

著名的Bohr-Pál定理断言，对于圆$\mathbb T$上的每个连续实值函数$f$，存在变量的变化，即，- $\mathbb T$到自身上的同胚$h$，使得叠加$f\circ h$的傅立叶级数均匀收敛。这个结果的后续改进意味着实际上存在将$f$带入索伯列夫空间$W_2^{1/2}(\mathbb T)$的同胚。这个玻尔-帕尔定理的改进版本并不适用于复值函数。证明了若$α<1/2$，则存在一个复值$f$，它满足$α$阶的Lipschitz条件，同时对$\mathbb T$的每一个同胚$h$都有$f\circ h\notin W_2^{1/2}(\mathbb T)$.