Trivial zeros of Riemann auxiliary function
Juan Arias de Reyna
研究 Riemann 辅助函数 ℛ(s) 的平凡零点，证明对每个整数 n≥1，s=-2n 均为该函数的单零点。
本文证明，对于每个整数 n≥1，s=-2n 都是 ℛ(s) 的单零点。这里 ℛ(s) 是 Siegel 在 Riemann 的遗稿中发现的函数。
It is proved that $s=-2n$ is a simple zero of $\mathop{\mathcal R}(s)$ for each integer $n\ge1$. Here $\mathop{\mathcal R}(s)$ is the function found by Siegel in Riemann's posthumous papers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Riemann's Auxiliary Function. Right limit of zeros
针对辅助 Riemann 函数上半平面零点的实部上界问题，本文证明虚部超过 3.9211…10^65 的零点均满足 Re(ρ)<1，并猜想该性质对全部零点成立。
Infinite Product of the Riemann auxiliary function
本文推导 Riemann 辅助函数 $\mathcal R}(s)$ 的无穷乘积，并通过其临界线相位 $ω(t)$ 建立该函数零点与 $ζ(s)$ 临界线零点之间的关系。
Simple bounds for the auxiliary function of Riemann
该研究针对黎曼相关辅助函数的数值计算需求，给出了$\zeta(s)$等多个函数的简单数值界，虽无原创性但可作为相关研究的实用参考。
Statistic of zeros of Riemann auxiliary function
本文统计了黎曼辅助函数在给定范围内的全部零点，发现其中63.9%的零点实部小于1/2。
On Siegel results about the zeros of the auxiliary function of Riemann
本文完整证明 Siegel 关于 Riemann 辅助函数 $\mathcal R}(s)$ 零点的结果，确定正虚部零点的左移极限并给出可解释其统计周期行为的关键项，同时阐明其与临界线上 $ζ(s)$ 零点的位置联系。
Some sums over the non-trivial zeros of the Riemann zeta function
我们证明了一些恒等式，其中涉及到黎曼ζ函数的非平凡零点。由此我们得到了与Cramér的工作有关的一些收敛的渐近展开，以及一些数论函数关于非平凡零点的新表示.
Contributions to the study of the non-trivial roots of the Riemann zeta-function
这一工作有助于研究黎曼ζ函数的非平凡根。基于Hilbert-Polya猜想，构造了一系列希尔伯特空间上的自伴算子，它们的特征值逼近这些根.
The Mangoldt function and the non-trivial zeros of the Riemann zeta function
本文证明了Mangoldt函数的一个公式，它与黎曼ζ函数的所有非平凡零点之和有关，并分析了它的一个截断形式.
Integral Representations of Riemann auxiliary function
本文证明了黎曼辅助函数在 $\Re s>0$ 时的一个显式积分表示，并指出被积函数为整函数，故移动积分路径不产生留数。
On the Distribution of the non-trivial Roots of Riemann's Zeta Function. An alternative Approach
讨论了Weierstrass型无穷乘积的Stieltjes积分表示。特定类型的无穷乘积的渐近行为与黎曼ζ函数理论中众所周知的整个函数Xi（s）的渐近行为进行比较。得到了Riemann zeta函数非平凡根分布的一个近似公式。
Regions without zeros for the auxiliary function of Riemann
我们给出了明确的和扩展的版本西格尔的一些结果。我们延长西格尔的渐近发展的有效性在第二象限的第三象限的大部分。我们还给出了精确的误差范围，这使我们能够给出一个明确的区域免费的零，或只有平凡的零。将上半平面上零点的左极限从Siegel的$1-σ\ge a t^{3/7}$推广到$1-σ\ge A t^{2/5}\log t$。Siegel声称可以证明对于任何$\varepsilon>0$，区域$1-σ\ge t^\varepsilon$中不存在零。我们表明，西格尔的指数$3/7$的证明并没有扩展到证明他的主张。
A weighted one-level density of the non-trivial zeros of the Riemann zeta-function
我们计算了黎曼ζ函数的非平凡零点的一级密度的加权$|ζ(\frac12+it)|^{2k}$的$k=1$和测试功能与傅立叶支持$(-\frac12,\frac12)$，为$k=2$。因此，对于$k=1,2$，我们在黎曼假设下推导出$ζ$的$T(\log T)^{1-k^2+o(1)}$非平凡零点，直到$T$的虚部，使得$ζ$在距离零点$O(1/\log T)$内的点处达到大小为$(\log T)^{k+o(1)}$的值。
A modular relation involving non-trivial zeros of the Dedekind zeta function, and the Generalized Riemann Hypothesis
我们给出了Ramanujan，Hardy和Littlewood的一个结果的数域模拟，从而得到了包含戴德金ζ函数的非平凡零点的模关系.我们还为$ζ_K(s)$的广义黎曼假设提供了一个Riesz型判据。当$K$是二次扩张时，得到了新的优美变换，其中之一涉及第二类修正Bessel函数.
Both real and imaginary parts of the function F(s)=zeta(s)*Gamma(s/2)*pi**(-s/2)=xi(s)/(s*(s-1)), whose zeroes exactly coincide with the non-trivial zeroes of the Riemann zeta-function, have infinitely many zeroes for any value of Re(s)
下面的定理被证明：函数F（s）的实部和虚部定义为F（s）=zeta（s）*Gamma（s/2）*pi**（-s/2）=xi（s）/（s*（s-1）），并且其零点与黎曼ζ函数的非平凡零点完全一致，对于任何Re（s）值，都有无穷多个零点。
Analytical recurrence formulas for non-trivial zeros of the Riemann zeta function
本文给出了临界线假设（RH）上黎曼ζ函数非平凡零点的四种解析递推公式。因此，为了生成$n$ th+1个非平凡零，必须知道直到$n$ th阶的所有非平凡零。所有提出的公式是基于某些封闭形式表示的二次zeta函数的家庭，这是已经在文献中。我们还提出了一个公式，直接从素数产生的非平凡零。因此，所有的素数都可以转化为一个单独的非平凡零，我们还给出了一组公式，将所有的非平凡零转化为一个单独的素数。我们还将所得结果推广到其他Dirichlet- L函数，特别地，我们给出了Dirichlet β函数的非平凡零点的解析递推公式.在本文中，我们还数值计算这些公式，以高精度的各种测试情况下，并审查计算结果。
Density theorems for Riemann's auxiliary function
本研究证明了黎曼辅助函数$\u27e8\uc1e0(s)$的密度定理，给出其零点数量的上界估计，揭示其零点分布特征，并阐明了与$\u03b6(s)$零点的关联。
Mean Values of the auxiliary function
本文研究与Riemann zeta函数相关的Siegel辅助函数的均值，采用更标准的推导路径得到两类均值的主项，给出Siegel相关结果的完整证明，并阐释了理解Siegel论证的难点。
Riemann Hypothesis: Architecture of a conjecture "along" the lines of Pólya. From trivial zeros and Harmonic Oscillator to information about non-trivial zeros of the Riemann zeta-function
我们提出了一个关于黎曼假设的猜想的结构，它是对Pólya策略的“替代”：我们构造了一个哈密顿量H_Polya，它的谱与谐振子哈密顿量H_osc的谱完全重合当且仅当黎曼假设成立.换句话说，可以说我们通过实轴上的非对易结构来表述黎曼假设，即，通过H_Polya（H_osc）= H_osc型方程证明了谐振子的性质：谐振子算符，如果被看作是H_Polya的一个自变量，则能自我再生。
Riemann's auxiliary Function. Basic Results
本文介绍了Riemann辅助函数$\mathop{\mathcal R }(s)$的定义、性质、积分表达式及在整数处的值，并给出了其与Riemann Zeta函数相关的表达式。
On large gaps between zeros of the Riemann zeta-function
假设广义黎曼假设（GRH），我们证明了黎曼ζ函数的无限连续非平凡零点的差异至少是平均间距的3.072倍。
The inverse Riemann zeta function
在这篇文章中，我们开发了一个反黎曼ζ函数的公式，使得对于$w=ζ(s)$，我们有$s=ζ^{-1}(w)$的实域和复域$s$和$w$。所提出的工作是基于扩展的解析递归公式的平凡和非平凡的零，以解决一个方程$ζ(s)-w=0$为一个给定的$w$域使用对数微分和zeta递归根提取方法。我们进一步探讨公式平凡和非平凡的零的黎曼ζ函数在更详细的，接下来，我们还探讨了反zeta函数的扩张由吸引子的分支奇点，并开发一些身份，从他们出现。在最后一部分中，我们将所得结果推广为寻找许多其它函数的零点和逆的一般方法，如Γ函数、第一类贝塞尔函数、有限/无限次多项式和有理函数，我们进一步数值计算了所有的公式，并证明了这些公式确实收敛于黎曼ζ函数的逆，相关结果。我们还开发了一个快速算法来计算复杂的$w$的$ζ^{-1}(w)$。
Asymptotic formulas for harmonic series in terms of a non-trivial zero on the critical line
本文给出了临界线上黎曼ζ函数的单非平凡零点表示的两类调和级数的渐近公式。该级数是通过计算黎曼ζ函数的交替和非交错级数表示的复幅度而获得的。因此，如果调和级数的渐近极限已知，那么我们用$\log(k)$得到Euler-Mascheroni常数。我们进一步数值计算这些系列不同的非平凡零。我们还研究了非平凡零点的递归公式。
Proportions of the non-trivial zeros of the Riemann zeta function
本文改进Lamzouri方法，将黎曼ζ函数非平凡零点中简单且位于临界线上的比例下界从67.25%微提至C0+δ0，互不相同比例下界从83.62%微提至C1+δ0/2，δ0约6.67×10^-8。
A Note on Quartic Equations with only Trivial Solutions
本文利用辅助方程对一类只有平凡解的四次方程进行了分类。为了证明四次方程的平凡解，我们使用了基于辅助方程解的素数个数的无穷下降法。只有平凡解的四次方程属于“高等算术”。他们研究的主要工具是算术算术基本定理、无穷下降和椭圆曲线。在1969年，L.J.莫德尔观察到$x^4 + y^4 = 2z^2$的解的平凡性意味着$x^4 + 6x^2y^2 + y^4 = z^2$的解的平凡性。在他的论文中，他没有研究这种关系的原因或机制，也没有猜想这种联系延伸到其他四度丢番图方程。我们已经发现，莫德尔确定的连接可以用“resolvents”的概念来描述。在目前的通知进行了简要的字符，我们展示了我们的研究结果，向读者提供了一个非常容易遵循和透明的例子，所提出的技术是如何工作的。
The impact of the infinite primes on the Riemann hypothesis for characteristic p L-series
在数学.NT/9907019中，我们基于Wan，Diaz-Vargas，Thakur，Poonen和Sheats对zeta函数$ζ_{\Fr[θ]}(s)$的工作，提出了特征p值L-级数的经典黎曼假设的模拟。在编写math.NT/9907019的过程中，我们做了两个后来被证明是不正确的假设。第一个假设是，我们可以忽略平凡零的特征p L-系列在制定我们的图表。相反，我们在这里显示如何平凡的零影响附近的零，从而导致反例原来的黎曼假设模拟。然后，我们通过Hensel和Krasner引理（而经典的是使用伽马因子）来处理这种“近乎平凡”的零。此外，我们发现，$ζ_{\Fr[θ]}(s)$是不代表一般的L-系列，令人惊讶的是，它的所有零点是近平凡的，就像Artin-Weil zeta函数的$\mathbb{P}^1/\Fr$是不代表一般复杂的L-函数的曲线在有限域。因此，特征p L-级数的“临界零点”（=不受平凡零点影响的所有零点）现在看来是相当神秘的。在写math.NT/9907019时所做的第二个假设是，数域的经典L-级数的某些泰勒展开式会表现出关于它们的零点的复杂行为。我们提出了一个简单的论点，这是不是这样，并在同一时间，给函数方程的特征。
Average Goldbach and the Quasi-Riemann Hypothesis
我们证明了一个好的平均阶哥德巴赫生成函数意味着黎曼ζ函数的非平凡零点的实部严格小于1。这与现有的结果一起建立了这样的渐近性和黎曼假设之间的等价性。
On gaps between zeros of the Riemann zeta function
假设的黎曼假设，我们表明，无限经常连续的非平凡零点的黎曼ζ函数相差至少2.7327倍的平均间距和无限经常他们相差最多0.5154倍的平均间距。
A discrete mean value of the derivative of the Riemann zeta function
在这篇文章中，我们计算离散平均值的衍生物的黎曼ζ函数。该平均值对于关于$ζ'(ρ)$的大小的几个应用将是重要的，其中$ζ(s)$是黎曼ζ函数并且$ρ$是黎曼ζ函数的非平凡零点。
On the exact location of the non-trivial zeros of Riemann's zeta function
本文通过引入由 zeta 函数导数比值隐式定义的实解析函数 kappa(t)，研究方程 kappa(t)=n，并在黎曼假设及零点单重性假设下证明 zeta(s) 零点纵坐标是该方程的唯一解。
A note on the gaps between consecutive zeros of the Riemann zeta-function
假设的黎曼假设，我们表明，无限经常连续的非平凡零的黎曼ζ函数相差最多0.5155倍的平均间距和无限经常他们相差至少2.69倍的平均间距。
On Prime Numbers and The Riemann Zeros
目前关于黎曼零点的研究表明，黎曼零点集上存在一个非平凡的代数/解析结构。素数与黎曼ζ函数零点之间的对偶性提出了一些新的研究目标和研究方向：{ \em adelic对偶}和{素数的\em POSet}。本文提出了计算证据的结构的虚部$t$的非平凡零点的黎曼ζ函数$ρ=1/2+it$，在本文中称为{ \em黎曼谱}，使用它们的分布的研究。新颖性代表在考虑相关的字符$p^{it}$，对代数的观点，而不是在意义上的解析数论。这种结构是试探性的解释，在adelic字符，和理性的二重性。其次，我们研究了素数的POSet结构，并尝试性地通过黎曼谱的对偶性来反映POSet结构。直接研究了它们的傅里叶级数沿Pratt树的收敛性。进一步的考虑，涉及的黎曼谱，adelic字符和分布，在Hecke idelic字符，局部zeta积分（梅林变换）和$ω$ -本征分布，探索以下。
Integer moments of the derivatives of the Riemann zeta function
本文猜想 Riemann zeta 函数在非平凡零点处乘积的渐近展开，通过位移求导得到混合导数的整数矩，推广了先前复矩结果，并分别用随机矩阵理论和比值猜想两种方法处理。
On the distribution of imaginary parts of zeros of the Riemann zeta function
我们调查的分数部分的分布的ag，其中a是一个固定的非零实数和g运行在虚部的非平凡零的黎曼ζ函数。修订包括几处小的更正。
Simple critical zeros and distinct zeros of the Riemann zeta function in short intervals
本文利用Lamzouri的方法，结合Montgomery对关联定理的短区间版本，给出黎曼zeta函数在短区间内非平凡零点数量的下界。
On a mollifier of the perturbed Riemann zeta-function
Feng提出的软化$ζ(s) + ζ'(s)$是利用$L$ -函数的比结构技术的解析方法计算的。目前的情况下，关于黎曼ζ函数的非平凡的零点的临界线上的百分比，然后澄清。
Sur certains espaces de Hilbert de fonctions entieres, lies a la transformation de Fourier et aux fonctions L de Dirichlet et de Riemann
我们在Sonine空间的整个功能的一个子空间有关的黎曼ζ函数，我们证明了商包含向量固有地附加到非平凡的零和他们的多重性。
Simultaneous distribution of fractional parts of Riemann zeta zeros
研究了$\{α_1 γ, α_2γ, \cdots, α_nγ\}$的分数部分的同时分布，其中$n\geq 2$，$α_1$，$α_2$，$\ldots$，$α_n$是固定的不同正实数，且$γ$遍历黎曼ζ函数的非平凡零点的虚部.
Asymptotic Expansions of the auxiliary function
本文明确给出 Siegel 所建议的辅助函数 R(s) 的渐近展开，扩展其有效范围并确定无零点区域，同时完整证明 Siegel 的部分论断，还分析了 R(1/2-it) 的渐近行为。
Zeta Regularized Trigonometric Products Over Zeros Of The Riemann Zeta Function
本文证明黎曼 zeta 函数非平凡零点上三角乘积的 zeta 正则化公式，计算其偏差，并讨论其与弱黎曼假设的猜想性联系。
A further generalisation of sums of higher derivatives of the Riemann Zeta Function
本文证明了$ζ^{(n)} (ρ)X^ρ$和的一个渐近性，其中$ζ^{(n)} (s)$表示黎曼ζ函数的$n$阶导数，$X$是正实数，$ρ$表示黎曼ζ函数的非平凡零点.和是在零上的，虚部达到高度$T$，作为$T \rightarrow \infty$。我们还指定当$X$是一个正整数时，渐近公式会变成什么样，突出显示当$X$改变其算术性质时渐近展开式的差异。
A spectral interpretation for the zeros of the Riemann zeta function
基于Alain Connes的工作，构造了L-函数零点的谱解释。在这里，我们专门这个建设的黎曼ζ函数。我们构造了一个核弗雷歇空间，其频谱是zeta的非平凡零点的集合上的操作。我们给出了黎曼ζ函数零点的显式公式作为特征公式。
Complex moments of the derivative of the Riemann zeta function
本文通过两种随机矩阵方法（Selberg积分精确公式与混合方法）猜想黎曼zeta函数导数在非平凡零点处的复矩结果。
The Riemann Hypothesis: A Qualitative Characterization of the Nontrivial Zeros of the Riemann Zeta Function Using Polylogarithms
构造了一个参数化的一致绝对全局收敛的$ζ$（s）级数，记为Z（s，x）.当以封闭形式表示时，它由Z（s，x）=（s - 1）$ζ$（s）+ 1 x Li s z z- 1 dz给出，其中Li s（x）是多对数函数。作为新的参数化级数的直接第一应用，$ζ$（s）的新表达式如下：（s - 1）$ζ$（s）= - 1 0 Li s z z- 1 dz。作为第二个重要的应用，使用函数方程并利用定义Z（s，x）的级数的一致收敛性，我们对于任何非平凡零点s
On the uniform distribution modulo $1$ of zeros and $a$-points of zeta functions
本文给出适用于更广泛序列类模1均匀分布的四个充分条件，方法依赖计数函数渐近行为，证明了包括黎曼zeta函数导数非平凡a点等序列的模1均匀分布，并通过埃尔德什 - 图兰不等式得到序列偏差上界。
Some series equivalent to the extended Riemann hypothesis for Dedekind zeta functions
本文研究 Dedekind zeta 函数的 ERH，证明若干基于其非平凡零点的无穷级数闭式与 ERH 逻辑等价，为该猜想提供新的级数刻画。
Perturbations of L-functions with or without non-trivial zeros off the critical line
存在满足适当的函数方程的L函数的小扰动，对于这种扰动，黎曼假设的类似物根本不成立。此外，这种现象是普遍的。然而，也存在小的扰动，对于这种扰动，类似的黎曼假设成立。
A Dynamical Key to the Riemann Hypothesis
我们研究了黎曼假设（RH）的动力学基础，即黎曼ζ函数的非平凡零点位于临界线x = 1/2。在这个过程中，我们图形化地探索，在尽可能丰富的方式，zeta和L-功能的多样性，寻找在临界线和其他零之间的边界的例子。该方法为各种形式的zeta函数和L函数在临界线上具有非平凡零点的原因提供了动力学基础。它表明RH是数制的一个额外的不可证明公设，类似于选择公理，源于素数趋于无穷大的渐进行为。
Polylogarithm approaches to Riemann Zeta function zeroes
我们使用可见的点矢量身份检查多面体的黎曼ζ函数零点附近。给出了限制于zeta函数平凡零点和临界线的新公式。Bailey，Borwein和Crandall [4]中给出的Euler-Zagier和也得到了类似的结果，提供了新的无穷乘积恒等式.
Multiplicative chaos measures for a random model of the Riemann zeta function
证明了Riemann $ζ$函数的幂的随机逼近收敛于一个非高斯乘性混沌测度，并证明了该测度是一个非平凡的多重分形随机测度.结果涵盖了亚临界和临界混沌。一个基本成分的证明是一个'好'的高斯近似的诱导随机场，是潜在的独立利益。
Mean Staircase of the Riemann Zeros: a comment on the Lambert W function and an algebraic aspect
在这篇文章中，我们明确讨论了与zeta函数中出现的平均阶梯相关联的两个简单零点集的结构，并使用Lambert W函数指定了一个解决方案。它的幅角可以被设置为等于与Mehta-Dyson模型的哈密顿量相关的特殊$N \times N$经典矩阵（对于每个$N$）。这样，我们指定一个厄米算符的函数，其特征值是临界线上的“平凡零点”。第一组平凡零点由关系$\tmop{Im} (ζ({1/2} + i \cdot t)) = 0 \wedge \tmop{Re} (ζ({1/2} + i \cdot t)) \neq 0$定义，第二组平凡零点由关系$\tmop{Im} (ζ({1/2} + i \cdot t)) = 0 \wedge \tmop{Re} (ζ({1/2} + i \cdot t)) \neq 0$定义。(To区别于通常的平凡零（$s = ρ+ i \cdot t = - 2 n$、$n \geqslant 1$整数）
Other representations of the Riemann Zeta function and an additional reformulation of the Riemann Hypothesis
本文给出了与Zeta函数有关的一些函数的Pochhammer多项式展开式（系数b（k），d（k），d_（k），d_（k））.在某种形式的极限下，我们通过交错级数得到的展开式b（k）给出了Zeta函数的Maslanka正则化展开式。得到了临界线上函数的实部和虚部，其精度可达Im（s）= t < 35。然后，我们给出了ln（（s-1）<$（s））的导数的展开式（系数d_（k））.导数的检验函数，其有界值Re（s）> 1/2，在大值k应确保真理的黎曼假设（RH），是通过素数或通过零（平凡和非平凡）的Zeta函数。在一个数值实验中，当k达到很高的值，即k = 10 ^[13]时，我们得到了两个函数之间非常好的一致性，出现了12个振幅稳定的振荡。对于一般Pochhammer展开式中的两个参数的值的特殊情况，认为检验函数的界应该由欧拉常数γ给出。
Some Riemann Hypotheses from Random Walks over Primes
这篇文章的目的是研究各种黎曼假设如何只从素数的性质得出。为此，我们考虑两类$L$ -函数，即非主Dirichlet和那些基于尖点形式。后者最简单的例子是基于Ramanujan tau算术函数。对于这两个类，我们证明，如果一个特定的三角级数涉及的乘法字符的总和超过素数是$O(\sqrt{N})$，那么欧拉产品收敛在右半边的临界带。当这个结果与函数方程相结合时，非平凡零点被限制在临界线上。我们认为，这$\sqrt{N}$增长是一个后果的系列表现得像一个一维的随机游走。基于这些结果，我们得到了一个方程，它涉及每个个人的非平凡零的$L$ -函数的总和，包括所有的素数。最后，我们简要地提到重要的差异主要狄利克雷$L$ -函数由于极点的存在，在$s=1$，其中黎曼$ζ$ -函数是一个特殊的情况。
On the Physics of the Riemann Zeros
我们讨论了一个正式的推导的积分表达式的Li系数与黎曼的xi-功能，特别是，表明他们的积极性标准是服从，从而导致的非平凡的零的临界性。我们猜想的有效性，而不需要黎曼假设和相关的表达式，并讨论这一结果的物理解释内的希尔伯特-波利亚方法。在这方面，我们也概述了弦论和黎曼假设之间的关系。
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