Regions without zeros for the auxiliary function of Riemann
我们给出了明确的和扩展的版本西格尔的一些结果。我们延长西格尔的渐近发展的有效性在第二象限的第三象限的大部分。我们还给出了精确的误差范围，这使我们能够给出一个明确的区域免费的零，或只有平凡的零。将上半平面上零点的左极限从Siegel的$1-σ\ge a t^{3/7}$推广到$1-σ\ge A t^{2/5}\log t$。Siegel声称可以证明对于任何$\varepsilon>0$，区域$1-σ\ge t^\varepsilon$中不存在零。我们表明，西格尔的指数$3/7$的证明并没有扩展到证明他的主张。
2024-06-06 math.NT
Density theorems for Riemann's auxiliary function
本研究证明了黎曼辅助函数$\u27e8\uc1e0(s)$的密度定理，给出其零点数量的上界估计，揭示其零点分布特征，并阐明了与$\u03b6(s)$零点的关联。
2024-06-21 math.NT
Mean Values of the auxiliary function
本文研究与Riemann zeta函数相关的Siegel辅助函数的均值，采用更标准的推导路径得到两类均值的主项，给出Siegel相关结果的完整证明，并阐释了理解Siegel论证的难点。
2024-06-19 math.NT
Riemann's auxiliary Function. Basic Results
本文介绍了Riemann辅助函数$\mathop{\mathcal R }(s)$的定义、性质、积分表达式及在整数处的值，并给出了其与Riemann Zeta函数相关的表达式。
2024-06-04 math.HO math.NT
Linear statistics for zeros of Riemann's zeta function
我们考虑黎曼ζ函数的标度零点在高度T附近的光滑计数函数。我们发现，前几个时刻往往高斯矩，与确切的数字取决于统计考虑。
2002-08-28 math.NT
On Statistics of the Riemann Zeros Differences
数值研究的分布的黎曼零点差的工作[1]显示的意义的函数的素数和表达式提出。与此定义相关的计算结果探索了各种素数截止。
2014-02-04 math.NT
Notes on the Phase Statistics of the Riemann Zeros
我们数值研究，为零$ρ=1/2+iγ$，统计的虚部的$\log(ζ^\prime(1/2+iγ))$，计算连续变化沿垂直线从$σ=4$到$4+iγ$，然后沿水平线到$1/2+iγ$。
2020-07-15 math.NT
A note on the statistics of Riemann zeros
证据的代数/解析结构的黎曼谱，包括相应的零的虚部，审查，重点是分布的图像下的Cramer字符$X_p(t)=p^{it}$的素数。利用素数与Riemann零点之间的对偶性，传统上用Riemann-Mangoldt精确方程表示，从统计学的角度进一步研究了素数的POSet结构与R-Spec的未知结构之间的对应关系，特别是计算了统计相关系数$c(p,q)=<X_p,X_q>$，注意有限域$F_p$的对称群$Aut_{Ab}(F_p)$的生成元$q$处的“共振”。本文给出了一个从亲代数观点进一步研究黎曼零点的程序。
2019-03-20 math.NT
Asymptotic Expansions of the auxiliary function
本文明确给出 Siegel 所建议的辅助函数 R(s) 的渐近展开，扩展其有效范围并确定无零点区域，同时完整证明 Siegel 的部分论断，还分析了 R(1/2-it) 的渐近行为。
2024-06-07 math.NT
A synthetic algebraic approach to a discussion of Riemann's hypothesis
一个新的方法来长期争论的问题，提出了从GRAM-EQULUND分析连续的Zeta函数（G-B Zeta表达式）。考虑到对称（偶指数）和反对称（奇指数）的幂级数表示的G-B制定沿圆形路径包含4个假设的零点HADAMARD和DE LA VALLEE POUSSIN预测（H/DLVP“外围”四重奏）。从假设四重态的代表零点处的偶指数分量和奇指数分量所需的必要条件出发，导出了一些有趣的逻辑结论，并在黎曼假设的框架下作了简要的讨论.将假设的四重态的代表零点暂时映射到一个更高维的辅助域上，为关于存在这种外围零点的可能性的否定结论提供了一条有趣的捷径。
2013-12-16 math.NT
Bounding $S(t)$ and $S_1(t)$ on the Riemann hypothesis
令$πS(t)$表示黎曼ζ函数$ζ(s)$在点$s=\frac{1}{2}+it$处的辐角。在黎曼假设下，给出了大$t$的有界性$$ |S(t)| \leq \left(\tfrac{1}{4} + o(1) \right)\tfrac{\log t}{\log \log t} $$的两个证明.这将Goldston和Gonek的结果改进了2倍。第一种方法包括在边界上的辅助功能$S_1(t) = \int_0^{t} S(u) du$使用极值函数构造的Escheriro，Littmann和Vaaler。然后我们将$S(t)$的大小与函数$S_1(t\pm h)-S_1(t)$的大小联系起来，当$h\asymp 1/\log\log t$。另一种方法直接限制$S(t)$，依赖于奇函数$f(x) = \arctan\left(\tfrac{1}{x}\right) - \tfrac{x}{1 + x^2}$的Beurling-Selberg极值问题的解。这一点借鉴了最近的工作，由Escheriro和Littmann。
2013-09-06 math.NT
Statistics on Riemann zeros
本文数值研究了黎曼ζ函数与eñe积理论预言的L-函数零点差的统计性质。特别是，这提供了一个简单的算法，可以从非常大的黎曼零点计算任何非实黎曼零点（“黎曼零点的自我复制特性”）。该算法还从任意Dirichlet L-函数的非实零点序列计算出黎曼ζ函数的非实零点的全序列（“L-函数的零点知道黎曼零点”）。我们还检查了收敛到0附近的经典GUE统计量的第一个误差是菲涅耳分布。
2011-12-01 math.CV math.NT
Elliptic curves of high rank and the Riemann zeta function on the one line
我们描述了一些实验，显示之间的连接高秩椭圆曲线和黎曼ζ函数的一条线。我们还讨论了一对夫妇的统计涉及$L$ -功能的zeta功能的一条线上起着突出的作用。
2013-08-31 math.NT
Jensen polynomials are not a plausible route to proving the Riemann Hypothesis
最近的工作对詹森多项式的黎曼xi函数及其衍生物发现了连接到厄米多项式。这些结果被认为是黎曼假设的证据，而且这些结果还被认为是zeta函数零点的随机矩阵统计的一个重要结果。我们把这项工作的背景下，以前的结果，并解释为什么厄米多项式的外观是有趣的和令人惊讶的，并可能代表一种新的类型的普遍规律，细化M。贝瑞的“余弦是一个普遍吸引子”原理。然而，我们发现没有理由建议连接到黎曼假设，也没有建议连接到约束随机矩阵统计的L-函数的零点。这些考虑表明，詹森多项式，以及一大类相关的多项式，是没有用的攻击黎曼假设。我们提出了一般的标准，以确定是否等价的黎曼假设可能是有用的。
2022-11-09 math.NT
Selberg's Central Limit Theorem weighted by Linear Statistics of Zeta Zeros
本文研究以 zeta 零点局部统计量加权的黎曼 zeta 函数对数值分布，证明其在 Fourier 支撑足够小时满足复中心极限定理，并在 Riemann 假设下将虚部支撑条件推广到自然障碍，同时刻画了 log ζ 与单层密度相关性的缓慢衰减。
2025-07-05 math.NT
Prime zeta function statistics and Riemann zero-difference repulsion
我们提出了一个推导的数值现象，黎曼zeta函数的非平凡的零之间的差异往往避免等于零本身的虚部，一个属性称为统计“排斥”之间的零和他们的差异。我们的推导依赖于素zeta函数的统计特性，其奇异性结构指定的黎曼零点的位置。我们表明，总理zeta函数的临界线是渐近正态分布的协方差函数，是密切接近的对数的黎曼zeta函数的幅度上的1线。这在近似等于黎曼零点的虚部的间隔处产生显著的负协方差。该协方差函数和素zeta函数的奇异性结构相结合，以在黎曼零点的位置处创建预测零差排斥效应的条件统计偏差。我们的方法很容易推广到描述类似的效果在相关的L-函数的零点。
2021-10-27 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
On the self-replicating properties of Riemann zeta zeros: A statistical study
我们研究的差异的未标度的黎曼zeta零点，$γ-γ^{'}$，在大的距离。我们表明，独立的高度，一个子集的有限数量的连续零知道的位置较低级别的零。包含在零的子集中的信息与$ln(γ/(2π))$成反比，其中$γ$是子集的平均ζ。因为零的平均差也与$ln(γ/(2π))$成反比地减小，所以线$\Re(z)=1/2$的每个相等长度的段包含相等量的信息。差异的分布偏向最近的zeta零点，或者至少在非常接近的零点的情况下，当zeta零点在增加的方向上交叉时，偏斜度总是减小。我们还表明，分布的方差具有局部最大值，或者至少在每个zeta零点处有一个转折点，即，方差的二阶导数的局部最小值。此外，似乎零点越高，位于偏峰度平面中的差异的分布越复杂。约翰逊分布的灵活性使我们能够很好地拟合分布，尽管分布的偏度和峰度值。
2020-06-07 math.NT nlin.CD
Evidence of Long Range Order in the Riemann Zeta Function
本文对黎曼ζ函数的等值线Im $(ζ(s))$ = 0的一些性质作了统计分析。我们发现，这个功能被分解成带的临界线上的平均宽度似乎不随高度而变化。我们还计算了最低的200条带的主零点的位置，并发现这个概率分布似乎也是尺度不变的。
2012-10-14 cond-mat.stat-mech math.NT
Statistical and other properties of Riemann zeros based on an explicit equation for the $n$-th zero on the critical line
我们表明，有一个无穷多个黎曼零点的临界线上，列举的正整数$n=1,2,\dotsc$，其纵坐标可以得到一个新的超越方程，只依赖于$n$的解决方案。在弱的假设下，我们表明，这样的零的数量已经饱和的计数公式为零的数量在整个临界带上。因此，这些结果构成了一个具体的建议，以验证黎曼假设。我们对精确方程进行了数值分析，并讨论了其大纵坐标的渐近极限。出发点是一个明确的解析公式的近似解的确切方程的兰伯特$W$功能。这样，我们既不需要使用Gram点，也不需要处理违反Gram定律的问题。因此，我们的数值方法构成了一种新的方法来计算零点。采用这些数值解，我们验证了渐近版本的解决方案是足够准确的，以确认蒙哥马利和Odlyzko的对相关图，也重建素数计数功能。
2014-03-10 hep-th math-ph math.MP
Distributions of differences of Riemann zeta zeros
我们研究了未标度的黎曼zeta零点，$γ-γ'$，在大的差异的分布。我们表明，独立的零点的位置，他们的差异有类似的统计性质。差异的分布偏向最近的zeta零点，在每个zeta零点处或附近具有方差的局部极大值和峰度的局部极小值。此外，我们表明，分布可以拟合与约翰逊密度函数，尽管值的偏度或峰度的分布。
2020-01-12 math.NT stat.OT
The Riemann zeta function and Gaussian multiplicative chaos: statistics on the critical line
我们证明了，如果$ω$是均匀分布的$[0,1]$，然后作为$T\to\infty$，$t\mapsto ζ(iωT+it+1/2)$收敛到一个非平凡的随机广义函数，这反过来又被确定为一个产品的一个非常好的表现随机光滑函数和随机广义函数称为一个复杂的高斯乘性混沌分布。这证明了数论和乘性混沌理论之间的一种新的严格联系-后者被称为与许多其他数学领域有关。我们还研究了zeta函数在介观尺度上的统计行为。证明了如果$δ_T$和$T\to\infty$一样缓慢地趋近于零，则$t\mapsto ζ(1/2+iδ_T t+iωT)$渐近地是由Selberg中心极限定理提出的发散标量与严格高斯乘性混沌的乘积.对于Haar分布的随机酉矩阵的特征多项式，我们也证明了类似的结果，其中标量略有不同，但乘性混沌部分是相同的。这实质上是说，直到标量倍数，Zeta函数和Haar分布随机酉矩阵的特征多项式在介观尺度上具有相同的分布。
2018-02-22 math.NT math.PR
Freezing Transition, Characteristic Polynomials of Random Matrices, and the Riemann Zeta-Function
我们认为，冻结过渡的情况下，以前探索的统计力学的1/f-噪声随机能量模型，也决定了大N × N随机酉（CUE）矩阵的特征多项式的模的最大值的值分布。我们假定我们的结果推广到黎曼zeta函数zeta（s）在临界线s=1/2+it的定长截面上取的极值，并给出数值计算结果作为支持。我们的主要目的是提请注意随机能量景观的统计力学，随机矩阵理论和黎曼zeta函数的理论之间可能的联系。
2012-04-27 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
