辅助函数的渐近展开
Asymptotic Expansions of the auxiliary function
AI总结：
本文明确给出 Siegel 所建议的辅助函数 R(s) 的渐近展开，扩展其有效范围并确定无零点区域，同时完整证明 Siegel 的部分论断，还分析了 R(1/2-it) 的渐近行为。
摘要：
Siegel 于 1932 年发表了一篇关于 Riemann 遗稿的论文，其中包括对 Riemann-Siegel 公式的研究。本文明确给出了 Siegel 所建议的 $\mathop{\mathcal R }(s)$ 的渐近展开式。我们扩展了这些渐近展开式的有效范围。作为推论，我们确定了一个 $\mathop{\mathcal R }(s)$ 无零点的区域。我们还对 Siegel 的一些论断给出了完整证明。此外，本文还包含一个关于 $\mathop{\mathcal R }(\frac12-it)$ 在 $t \to+\infty$ 时渐近行为的定理。尽管 $e^{-i\vartheta(t)}\mathop{\mathcal R }(\frac12-it)$ 的实部是 $Z(t)$，但其虚部呈指数增长，这就是为什么在研究 $Z(t)$ 的零点时，更倾向于考虑 $t>0$ 时的 $\mathop{\mathcal R }(\frac12+it)$。
英文摘要：
Siegel in 1932 published a paper on Riemann's posthumous writings, including a study of the Riemann-Siegel formula. In this paper we explicitly give the asymptotic developments of $\mathop{\mathcal R }(s)$ suggested by Siegel. We extend the range of validity of these asymptotic developments. As a consequence we specify a region in which the function $\mathop{\mathcal R }(s)$ has no zeros. We also give complete proofs of some of Siegel's assertions. We also include a theorem on the asymptotic behaviour of $\mathop{\mathcal R }(\frac12-it)$ for $t \to+\infty$. Although the real part of $e^{-i\vartheta(t)}\mathop{\mathcal R }(\frac12-it)$ is $Z(t)$ the imaginary part grows exponentially, this is why for the study of the zeros of $Z(t)$ it is preferable to consider $\mathop{\mathcal R }(\frac12+it)$ for $t>0$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
