Regions without zeros for the auxiliary function of Riemann
我们给出了明确的和扩展的版本西格尔的一些结果。我们延长西格尔的渐近发展的有效性在第二象限的第三象限的大部分。我们还给出了精确的误差范围，这使我们能够给出一个明确的区域免费的零，或只有平凡的零。将上半平面上零点的左极限从Siegel的$1-σ\ge a t^{3/7}$推广到$1-σ\ge A t^{2/5}\log t$。Siegel声称可以证明对于任何$\varepsilon>0$，区域$1-σ\ge t^\varepsilon$中不存在零。我们表明，西格尔的指数$3/7$的证明并没有扩展到证明他的主张。
2024-06-06 math.NT
Density theorems for Riemann's auxiliary function
本研究证明了黎曼辅助函数$\u27e8\uc1e0(s)$的密度定理，给出其零点数量的上界估计，揭示其零点分布特征，并阐明了与$\u03b6(s)$零点的关联。
2024-06-21 math.NT
Mean Values of the auxiliary function
本文研究与Riemann zeta函数相关的Siegel辅助函数的均值，采用更标准的推导路径得到两类均值的主项，给出Siegel相关结果的完整证明，并阐释了理解Siegel论证的难点。
2024-06-19 math.NT
Riemann's auxiliary Function. Basic Results
本文介绍了Riemann辅助函数$\mathop{\mathcal R }(s)$的定义、性质、积分表达式及在整数处的值，并给出了其与Riemann Zeta函数相关的表达式。
2024-06-04 math.HO math.NT
Explicit estimates for $ζ(s)$ in the critical strip under the Riemann Hypothesis
假设黎曼假设，我们提供有效的上限和下限估计$\left|ζ(s)\right|$的权利的临界线。作为应用，我们给出了Mertens函数的Titchmarsh条件界和无$k$数的Montgomery-Vaughan条件界.
2021-10-13 math.NT
A renormalization approach to the Riemann zeta function at -1, 1+2+3+... ~ -1/12
一个缩放和重整化方法的黎曼ζ函数，$ζ$，评估$-1$提出了两种方式。在第一种情况下，取$U_{n}:=\sum_{q=1}^{n}q$和$4U_{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }$之间的差，其中$\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor $是最大整数函数。使用Cesaro平均值两次，即，$\left( C,2\right) $，收敛到适当的值。对于zeta函数由收敛的无穷和表示的$z$的值，双重Cesaro平均也产生$ζ\left( z\right) ,$，这表明这可以用作从$z.$的收敛区域延伸的替代方法。在第二种方法中，$U_{n}$和特定平均值$\bar{U}_{n/k}$之间的差$U_{n}-k^{2}\bar{U}_{n/k}$，对于所有的$k<n$，涉及高达$k<n$并由$k^{2}$缩放的项的值被示出为精确地等于$-\frac{1}{12}\left( 1-k^{2}\right) $。这就引出了解释$ζ\left( -1\right) $的另一个视角
2018-06-16 math.NT
Counting zeros of the Riemann zeta function
在这篇文章中，我们表明，$$ \left| N (T) - \frac{T}{ 2 π} \log \left( \frac{T}{2πe}\right) \right| \le 0.1038 \log T + 0.2573 \log\log T + 9.3675 $$其中$N(T)$表示的非平凡零点$ρ$，与$0<\Im(ρ) \le T$，黎曼ζ函数的数量。这改进了Trudgian以前对足够大的$T$的结果。改进来自使用各种次凸性界限和想法的工作贝内特$et$ $al.$计数零狄利克雷$L$ -功能。
2021-07-14 math.NT
A monotonicity property of Riemann's xi function and a reformulation of the Riemann Hypothesis
我们证明了Riemann的xi函数是严格增加（分别，严格减少）的模沿任何零自由，开放的右（分别，左）半平面中的每一个水平半线。一个推论是对黎曼假设的重新表述。
2010-05-06 math.NT
Discrete mean square of the Riemann zeta-function over imaginary parts of its zeros
假设黎曼假设。在临界带的右侧，我们得到了黎曼ζ函数在其零点的虚部上的离散均方的渐近公式。
2017-12-07 math.NT
Mean values of the logarithmic derivative of the Riemann zeta-function near the critical line
假设黎曼假设和zeta零点之间的小间隙的假设，我们证明了一个猜想贝利，Bettin，Blower，Conrey，Prokhorov，Rubinstein和Snaith，其中指出，对于任何正整数$K$和实数$a>0$，\begin{align*} \lim_{a \to 0^+}\lim_{T \to \infty} \frac{(2a)^{2K-1}}{T (\log T)^{2K}} \int_{T}^{2T} \left|\frac{ζ'}ζ\left(\frac{1}{2}+\frac{a}{\log T}+it\right)\right|^{2K} dt = \binom{2K-2}{K-1}. \end{align*}当$K=1$，这基本上是一个结果Goldston，Gonek和蒙哥马利。
2023-03-15 math.NT
Hardy-Littlewood-Riesz type equivalent criteria for the Generalized Riemann hypothesis
本文证明了Dirichlet $L$ -函数$L(s,χ)$的广义黎曼假设等价于如下界：设$k \geq 1$和$\ell$为正实数.对于任何$ε>0$，我们有\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{χ(n) μ(n)}{n^{k}} \exp \left(- \frac{ x}{n^{\ell}}\right) = O_{ε,k,\ell} \bigg(x^{-\frac{k}{\ell}+\frac{1}{2 \ell} + ε}\bigg), \quad \mathrm{as}\,\, x \rightarrow \infty, \end{align*}，其中$χ$是模$q$的原始狄利克雷特征标，$μ(n)$表示莫比乌斯函数。这个界推广了Riesz和Hardy-Littlewood给出的上界。
2022-08-16 math.NT
An approximate functional equation for the Riemann zeta function with exponentially decaying error
它是已知的一个公式的Hasse-Sondow的黎曼ζ函数给出，对于任何$ s=σ+it \in \mathbb{C}$，由$ \sum_{n=0}^{\infty} \widetilde{A}(n,s)$其中$$ \widetilde{A}(n,s):=\frac{1}{2^{n+1}(1-2^{1-s})} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{(k+1)^s} .$$我们证明了以下近似函数方程的Hasse-Sondow介绍：对于$ \vert t \vert = πxy $和$ 2y \neq (2N-1)π$然后$$ ζ(s)= \sum_{n \leq x } \widetilde{A}(n,s)+\frac{χ(s)}{1-2^{s-1}} \left (\sum_{k \leq y} (2k-1)^{s-1} \right ) +O \left (e^{-ω(x,y) t} \right ), $$其中$ 0 <ω(x,y)$是一个特定的超越数确定的$ x$和$ y$。新的近似函数方程的一个主要特点是它的误差项是指数衰减的。证明是基于一项研究，通过鞍点技术，函数$$ \widetilde{A}(u,s):= \frac{1}{2^{u+1} (1-2^{1-s}) Γ(s)} \int_{0}^{\infty} \left ( e…
2020-02-07 math.NT
Asymptotic Expansions of the auxiliary function
本文明确给出 Siegel 所建议的辅助函数 R(s) 的渐近展开，扩展其有效范围并确定无零点区域，同时完整证明 Siegel 的部分论断，还分析了 R(1/2-it) 的渐近行为。
2024-06-07 math.NT
Zeros of partial sums of the Riemann zeta-function
我们研究了黎曼ζ函数，sum_{n\leq X} n^{-s}的部分和的零点的分布，估计了到高度T的零点数，给定垂直线右边的零点数，以及它们水平分布的其他方面。
2008-07-02 math.NT
Extreme values of the Riemann zeta function at its critical points in the critical strip
我们估计$|ζ(ρ')|$的大值和小值，其中$ρ'$在临界带的右半部分中的zeta函数的临界点上运行，即$ζ'(ρ')=0$和$1/2<\Re ρ'<1$的点。
2021-10-27 math.NT
Mean values of ratios of the Riemann zeta function
本文证明了黎曼ζ函数在临界线上与1+2it处值的比值的二阶矩的渐近公式，并推广到一般a的情形，给出了极限结果。
2024-05-29 math.NT
On explicit estimates for $S(t)$, $S_1(t)$, and $ζ(1/2+\mathrm{i}t)$ under the Riemann Hypothesis
假设黎曼假设，我们提供明确的上界的$S(t)$，$S_1(t)$，和$ζ\left(1/2+\mathrm{i}t\right)$的模量，而最近证明的无条件的比较。作为推论，我们得到了黎曼ζ函数的连续零点间隙的条件显式界。
2021-10-13 math.NT
On some series connected with Riemann zeta function
利用Riemann zeta函数的性质，我们提出了两个新的大型评估系列。顺便说一句，第一类积分表示为非常不一致序列上的广义平均。第二类除其他外包含了很多新的系列与theta函数和有理数的指数函数。此外，我们提出了许多功能，可以取代黎曼zeta函数在类似的结构。举两个例子：1）如果$f(x)$的周期为1并且属于某些Lipschitz类，则对于任何自然的$M>1$，我们都有$$ \ln M\cdot\int_0^1f(x)dx = \sum_{n\geq 1} \sum_{k=1}^{M-1}\left[\frac{1}{Mn-k}f\left(\frac{\ln (Mn-k)}{\ln M}\right)-\frac{1}{Mn} f\left(\frac{\ln (Mn)}{\ln M}\right)\right],$$ 2）如果$φ_{J,M,N}(w) = (-1)^J\left(\frac{d^J}{dw^J}\right)\left(\frac{N}{e^{Nw}-1}-\frac{M}{(e^{Mw}-1}\right),$，其中$J,M,N$是整数，则为$M>N>1,$ $J\geq 0$，对于所有$n\in\mathbb{Z}$、$\left(e^{M\left(M/N\right)^{n+w}} - 1\right) \left(e^{N\left(M/N\righ…
2017-07-13 math.CA math.NT
Equivalent criteria for the Riemann hypothesis for a general class of $L$-functions
本文解决了一类“良好”L-函数的黎曼假设等价判据猜想，给出尖点形式L-函数的等价判据，并得到ζ(s)黎曼假设的全新等价形式，同时推广了Ramanujan-Hardy-Littlewood恒等式。
2024-09-28 math.NT
Maximum of the Riemann zeta function on a short interval of the critical line
本文证明了Fyodorov，Hiary和Keating关于临界线上任意区间上黎曼ζ函数最大值的一个猜想的首阶.更准确地说，作为测量$(1 - o(1)) T$的一组$t \in [T, 2T]$的$T \rightarrow \infty$，我们有$$ \max_{|t-u|\leq 1}\log\left|ζ\left(\tfrac{1}{2}+i u\right)\right|=(1 + o(1))\log\log T . $$
2018-01-14 math.NT math.PR
Joint value-distribution of shifts of the Riemann zeta-function
我们证明了任何非零的复值$z_1,\ldots,z_n$可以近似为以下的积分移位的黎曼ζ函数$ζ(s+id_1τ),\ldots,ζ(s+id_nτ)$无限多$τ$，提供$d_1,\ldots,d_n\in\mathbb{N}$和$s$是一个固定的复数躺在右开一半的临界带。
2020-10-16 math.NT
A synthetic algebraic approach to a discussion of Riemann's hypothesis
一个新的方法来长期争论的问题，提出了从GRAM-EQULUND分析连续的Zeta函数（G-B Zeta表达式）。考虑到对称（偶指数）和反对称（奇指数）的幂级数表示的G-B制定沿圆形路径包含4个假设的零点HADAMARD和DE LA VALLEE POUSSIN预测（H/DLVP“外围”四重奏）。从假设四重态的代表零点处的偶指数分量和奇指数分量所需的必要条件出发，导出了一些有趣的逻辑结论，并在黎曼假设的框架下作了简要的讨论.将假设的四重态的代表零点暂时映射到一个更高维的辅助域上，为关于存在这种外围零点的可能性的否定结论提供了一条有趣的捷径。
2013-12-16 math.NT
On expansions involving the Riemann zeta function and its derivatives
通过研究众所周知的可分希尔伯特空间中分数部分函数的谱方面，我们证明了黎曼ζ函数及其导数的有理逼近在右半平面$\Re s> 1/2$和$\Re s >0.$中的每条垂直线上都有效此外，我们还提供了一些与分数部分函数相关的讨论和显式计算。
2021-11-03 math.NT
Bounding $S(t)$ and $S_1(t)$ on the Riemann hypothesis
令$πS(t)$表示黎曼ζ函数$ζ(s)$在点$s=\frac{1}{2}+it$处的辐角。在黎曼假设下，给出了大$t$的有界性$$ |S(t)| \leq \left(\tfrac{1}{4} + o(1) \right)\tfrac{\log t}{\log \log t} $$的两个证明.这将Goldston和Gonek的结果改进了2倍。第一种方法包括在边界上的辅助功能$S_1(t) = \int_0^{t} S(u) du$使用极值函数构造的Escheriro，Littmann和Vaaler。然后我们将$S(t)$的大小与函数$S_1(t\pm h)-S_1(t)$的大小联系起来，当$h\asymp 1/\log\log t$。另一种方法直接限制$S(t)$，依赖于奇函数$f(x) = \arctan\left(\tfrac{1}{x}\right) - \tfrac{x}{1 + x^2}$的Beurling-Selberg极值问题的解。这一点借鉴了最近的工作，由Escheriro和Littmann。
2013-09-06 math.NT
A further generalisation of sums of higher derivatives of the Riemann Zeta Function
本文证明了$ζ^{(n)} (ρ)X^ρ$和的一个渐近性，其中$ζ^{(n)} (s)$表示黎曼ζ函数的$n$阶导数，$X$是正实数，$ρ$表示黎曼ζ函数的非平凡零点.和是在零上的，虚部达到高度$T$，作为$T \rightarrow \infty$。我们还指定当$X$是一个正整数时，渐近公式会变成什么样，突出显示当$X$改变其算术性质时渐近展开式的差异。
2021-11-04 math.NT
An Expression For The Argument of $ζ$ at Zeros on the Critical Line
当$t=t_n$是临界线上$ζ$的第n个零的虚部时，函数$S_n (t) = π\left( \frac{3}{2} - {frac} \left( \frac{\vartheta(t)}π \right) + \left( \lfloor \frac{t \ln \left( \frac{t}{2 πe}\right)}{2 π} + \frac{7}{8} \rfloor - n \right) \right)$被证明等于$S (t_n)_{} = \arg ζ\left( \frac{1}{2} + i t_n \right)$。如果$S(t_n)=S_n(t_n)$，则黎曼零点的精确超越方程对于每个正整数$n$都有解，这证明了黎曼假设是正确的，因为如果超越方程对于每个$n$都有解，则临界线上的零点的计数函数等于临界带上的零点的计数函数。
2020-05-24 math.NT
A note on log-type GCD sums and derivatives of the Riemann zeta function
本文证明了对数型GCD和的上界，推广了Gál定理，并分别用无条件的谱范数方法和基于黎曼zeta函数导数条件上界的方法给出两种证明。
2023-07-05 math.NT
Large deviations of the argument of the Riemann zeta function
本文无条件证明了 Riemann zeta 函数幅角 $S(t)$ 在特定范围内的大偏差测度下界，其高斯型结果在端点处蕴含了 Tsang 的最佳 $Ω$-定理，并在 Riemann hypothesis 下扩展了适用范围。
2024-03-25 math.NT
Large GCD sums and extreme values of the Riemann zeta function
证明了在$T^{1/2}\le t \le T$上的$|ζ(1/2+it)|$的最大值至少为$\exp\left((1/\sqrt{2}+o(1)) \sqrt{\log T \log\log\log T/\log\log T}\right)$ .我们的证明使用Soundararajan的共振方法和一定的大GCD总和。本文证明了我们最近建立的不等式\[ \sup_{1\le n_1<\cdots < n_N} \sum_{k,{\ell}=1}^N\frac{\gcd(n_k,n_{\ell})}{\sqrt{n_k n_{\ell}}} \ll N \exp\left(A\sqrt{\frac{\log N \log\log\log N}{\log\log N}}\right), \]中的绝对常数$A$不能小于$1$。
2016-11-23 math.NT
The vortex-like behavior of the Riemann zeta function to the right of the critical strip
基于最近建立的指数和的等价关系，本文研究了半带$\{s\in\mathbb{C}:\operatorname{Re}s>1\}$中与黎曼ζ函数等价的函数类.关于这类函数，我们首先确定最大横坐标的值，其中任何函数的图像都不能取前缀参数。主要结果表明，这些功能的实验在这个意义上，其图像的主幅角无限变化的垂直线$\operatorname{Re}s=1$附近的涡状行为。特别地，关于黎曼ζ函数$ζ(s)$，对于每个$σ_0>1$，我们可以确保存在一个相对密集的实数集$\{t_m\}_{m\geq 1}$，使得由点$(\operatorname{Re}(ζ(σ+it_m)),\operatorname{Im}(ζ(σ+it_m)))$和$σ\in(1,σ_0)$跟踪的参数化曲线绕原点有预定的有限圈。
2020-05-29 math.CV math.NT
Explicit zero density estimate for the Riemann zeta-function near the critical line
1946年，A. Selberg证明了$N(σ,T) \ll T^{1-\frac{1}{4} \left(σ-\frac{1}{2}\right)} \log{T}$其中$N(σ,T)$是黎曼ζ函数的非平凡零点$ρ$的个数，用$\Re\{ρ\}>σ$和$0<\Im\{ρ\}\leq T$。我们提供了一个明确的版本，这个估计，连同一个明确的近似函数方程和一个明确的上界的第二个权力时刻的ζ-功能的临界线。
2019-11-29 math.NT
Extreme values of the Dirichlet $L$-functions at the critical points of the Riemann zeta function
本文估计了 Dirichlet $L$-函数在 Riemann zeta 函数临界点处的极值，证实了 $L$-函数在这些特殊点处的行为与其在直线 $\Re s=1$ 右侧的行为非常接近且相互独立。
2023-10-18 math.NT
Zeros of high derivatives of the Riemann Zeta function
本文的主要目的是双重的。首先，我们推广，在一个新的方式，大多数已知的非零结果的黎曼ζ函数的衍生物，通过建立存在的无穷序列的区域，这些衍生物不能有任何零的右半平面;然后，在复平面的包含zeta函数的k阶导数的零点的罕见区域中，我们描述了一种意想不到的现象，这意味着在它们的零分布中有很大的不确定性。特别是，我们证明了尖锐的估计，在这些新的临界带的零的数量，我们解释了他们如何收敛，在一个非常精确的，定期的方式，他们的中心，临界线，随着k的增加。这不仅表明零点并不是随机地分散到线Re（s）=1的右边，而且在许多方面，它们的二维分布最终变得比线Re（s）=1/2上zeta函数零点的一维行为更简单和更可预测。
2023-02-10 math.NT
On a hybrid fourth moment involving the Riemann zeta-function
我们提供明确的范围$σ$的渐近公式\begin{equation*} \int_0^T|ζ(1/2+it)|^4|ζ(σ+it)|^{2j}dt \;\sim\; T\sum_{k=0}^4a_{k,j}(σ)\log^k T \quad(j\in\mathbb N) \end{equation*}持有$T\rightarrow \infty$，当$1\leq j \leq 6$，其中$ζ(s)$是黎曼ζ函数。所获得的范围改善了作者的早期结果[Annales Univ. Sci.布达佩斯，{ \bf 38}（2012），233-244]。最后给出了一个除数问题的应用
2013-05-13 math.NT
Some identities involving the Cesàro average of Goldbach numbers
设$Λ\left(n\right)$为von Mangoldt函数，$r_{G}\left(n\right) := \sum_{m_1 + m_2=n} Λ\left(m_1 \right) Λ\left(m_2 \right)$为可写成两个素数之和的数的计数函数（为简洁起见，我们将称之为“哥德巴赫数”），并设$\widetilde{S }\left(z\right) := \sum_{n\geq1} Λ\left(n\right) e^{-nz}$和$z\in\mathbb{C}$为$\mathrm{Re}\left(z\right)>0$。本文证明了$$\widetilde{S}\left(z\right) = \frac{e^{-2z}}{z}-\sum_ρz^{-ρ} Γ\left(ρ\right) + \sum_ρ \left(z^{-ρ} γ\left(ρ,2z\right) - \frac{2^ρe^{-z}}ρ \right) + G\left(z\right)$$的恒等式，其中$γ\left(ρ,2z\right)$是下不完全Gamma函数，$ρ=β+iγ$遍历Riemann Zeta函数的非平凡零点，$G\left(z\right)$是初等函数与复指数积分之和.此外，我们将证明\begin{align*} \sum_{n\leq N} r_G \left(n\r…
2018-02-19 math.NT
Improved estimates for the argument and zero-counting function of the Riemann zeta-function
本文通过引入临界带内若干 σ_k-线上 ζ(σ+it) 的新次凸界，改进了黎曼 zeta 函数零点计数函数 N(T) 的显式误差估计。
2025-07-07 math.NT
An identity concerning the Riemann-zeta function
对于某个函数$J(s)$，证明了恒等式$$\frac{ζ(2s)}{ζ(s)}-\left(s-\frac{1}{2}\right)J(s)=\frac{ζ(2s+1)}{ζ(s+1/2)}, $$在半平面Re $(s)>1/2$中成立，且等式的两边在该半平面中解析.
2021-01-04 math.CV math.NT
