Regions without zeros for the auxiliary function of Riemann
我们给出了明确的和扩展的版本西格尔的一些结果。我们延长西格尔的渐近发展的有效性在第二象限的第三象限的大部分。我们还给出了精确的误差范围，这使我们能够给出一个明确的区域免费的零，或只有平凡的零。将上半平面上零点的左极限从Siegel的$1-σ\ge a t^{3/7}$推广到$1-σ\ge A t^{2/5}\log t$。Siegel声称可以证明对于任何$\varepsilon>0$，区域$1-σ\ge t^\varepsilon$中不存在零。我们表明，西格尔的指数$3/7$的证明并没有扩展到证明他的主张。
2024-06-06 math.NT
A Parabolic Cylinder Function in the Riemann-Siegel Integral Formula
我们证明了Riemann-Siegel积分公式中的两个积分可以转化为包含抛物柱面函数$U(a,z)$作为核函数的整表示。
2015-12-03 math.NT
Universality theorem for the iterated integrals of the logarithm of the Riemann zeta-function
本文证明了黎曼ζ函数的对数在平行于实轴的直线上的迭代积分的普适性定理。
2021-05-14 math.NT
A few equalities involving integrals of the logarithm of the Riemann zeta-function and equivalent to the Riemann hypothesis II
本文是我们最近的论文相同的标题，arXiv：0806.1596v1 [math.NT]，其中一些积分等式涉及积分的对数的黎曼ζ函数的介绍，它表明，其中一些是等价的黎曼假设。建立了一些新的这种类型的等式;与前面的论文相反，现在的重点是积分涉及的参数的黎曼ζ函数（虚部的对数），而不是对数的模块（实部的对数）。使用这些等式进行数值研究，以测试黎曼假设的初步结果。我们的积分等式，连同在以前的文件中给出的等式，包括所有早期已知的这种标准，即王，Volchkov和Balazard-Saias-Yor标准，这是某些特殊情况下的一般方法提出。
2009-04-08 math.NT
Density theorems for Riemann's auxiliary function
本研究证明了黎曼辅助函数$\u27e8\uc1e0(s)$的密度定理，给出其零点数量的上界估计，揭示其零点分布特征，并阐明了与$\u03b6(s)$零点的关联。
2024-06-21 math.NT
A few equalities involving integrals of the logarithm of the Riemann zeta-function and equivalent to the Riemann hypothesis III. Exponential weight functions
本文是我们最近的论文的延续，具有相同的标题，arXiv：0806.1596v1 [math.NT]，arXiv：0904.1277v1，其中一些积分等式涉及积分的对数的黎曼ζ函数被引入，它被证明，其中一些是等价的黎曼假设。这种类型的几个新的等式，这一次涉及指数函数，建立，并为第一次，我们已经发现涉及的积分的对数的黎曼ζ函数采取专门沿实轴的等式。我们发现的一些等式进行了数值测试。特别地，涉及abs（zeta（1/2+it））的对数和权函数cosh（pi*t）^（-1）的积分等式在数字上显示为直到80位都是正确的。对于指数权函数exp（-at），严格估计了非位于临界线上的黎曼函数零点的可能贡献，并表明其贡献非常小，特别是对于a=4*pi，小于万亿位数10^（-10 ^（13））。
2012-07-26 math.NT
On the value-distribution of iterated integrals of the logarithm of the Riemann zeta-function I: denseness
我们考虑$\logζ(s)$在某些垂直和水平线上的迭代积分。这里，函数$ζ(s)$是黎曼ζ函数。临界线上的黎曼ζ函数的值在复平面上是否稠密是一个众所周知的公开问题。本文给出了迭代积分值在水平线上的稠密性的一个结果。利用这一结果，我们得到了在黎曼假设下$\int_{0}^{t} \log ζ(1/2 + it')dt'$值的稠密性.证明了对任意$m\geq 2$，临界线上的$m$ -次迭代积分值的稠密性等价于黎曼假设.
2020-04-03 math.NT
On the logarithm of the Riemann zeta-function and its iterated integrals
本文给出了黎曼ζ函数的对数及其迭代积分的一些结果。我们得到了这些函数的一个显式逼近公式。该公式有一些应用，涉及到这些函数的值分布以及素数与零点在短区间内分布的关系。
2019-12-10 math.NT
Mean Values of the auxiliary function
本文研究与Riemann zeta函数相关的Siegel辅助函数的均值，采用更标准的推导路径得到两类均值的主项，给出Siegel相关结果的完整证明，并阐释了理解Siegel论证的难点。
2024-06-19 math.NT
A Multidimensional Hilbert-Type Integral Inequality Related to the Riemann Zeta Function
本文利用权函数的方法和实分析技巧，给出了一个多维Hilbert型积分不等式，该不等式具有0次齐次核和与黎曼ζ函数有关的最佳常数因子.得到了一些等价表示和某些逆解。此外，我们还考虑了算子表达式的范数和一些特殊的结果。
2013-08-06 math.NT
The explicit upper bound of the multiple integral of $S(t)$ on the Riemann Hypothesis
我们证明明确的上界的功能$S_m(T)$，定义的反复集成的参数的黎曼ζ函数。$S(T)$和$S_1(T)$的显式上界已由A.藤井我们的结果是Fujii结果的推广。
2012-10-11 math.NT
An incomplete Riemann Zeta function as a fractional integral
本文将不完全 Riemann zeta 函数表示为带下界的反常 Riemann–Liouville 分数阶积分，建立其与 Dirichlet eta 函数的关系，并揭示半群性及微分自关系等独特性质。
2024-10-01 math.NT
A family of integrals related to values of the Riemann zeta function
本研究建立了黎曼ζ函数取值与一类积分的关联，推导出正整数p下ζ(2p)的积分表示，结合调和数和与化简过程，进一步得到ζ(2p+1)的积分表示，为ζ函数奇数值研究提供了新的积分形式工具。
2024-10-31 math.NT
Novel integral representations of the Riemann zeta-function and Dirichlet eta-function, close expressions for Laurent series expansions of powers of trigonometric functions and digamma function, and summation rules
基于三角函数和双伽玛函数的幂，建立了黎曼ζ函数和Dirichlet eta函数的新的整表示，并利用这些表示求出了三角函数和双Γ函数的相同幂的洛朗级数展开式的封闭形式.这样得到的级数可以用来为黎曼zeta和相关函数和数的某些值找到许多求和规则，例如伯努利数和欧拉数。
2018-10-19 math.NT
Bounding the integral of the argument of the Riemann Zeta function
本文改进了黎曼zi函数论证积分的估计，以支持图灵方法计算零点数量。
2026-01-04 math.NT
Relating log-tangent integrals with the Riemann zeta function
本文证明了在$(0, π/2)$上对某些平方可积函数的对数正切函数积分可以用一些包含调和数的级数来计算。然后利用这个结果建立了黎曼ζ函数在奇数正整数处的许多封闭形式。此外，我们证明了关于Hurwitz zeta函数的对数正切积分定义了一个亚纯函数，并且它的值依赖于狄利克雷级数$ζ_h(s) :=\sum_{n = 1}^\infty h_n n^{-s}$，其中$h_n = \sum_{k=1}^n(2k-1)^{-1}$ .
2018-05-17 math.NT
A number field extension of Ramanujan's identity and its integral representation via the generalized Riemann $Ξ$-function
Indian Institute of Technology Indore（印度理工学院印多尔分校）
本文建立拉马努金恒等式的数域类似物，得到戴德金ζ函数高次幂变换公式的积分表示，重现Hardy的雅可比θ关系积分表示，还得到扩展拉马努金-科什利亚科夫公式的数域类似物。
2026-10-16 math.NT
Mixed integral moments of the Hecke $L$-functions and Riemann zeta function
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
本文研究了Hecke L-函数与黎曼ζ函数在临界线上的混合矩，并建立了适用于解析形式和Maass形式的渐近公式。
2026-02-07 math.NT
The Selberg integral and a new pair-correlation function for the zeros of the Riemann zeta-function
本文件是一份报告的联合工作与亚历山德罗·帕拉斯科和阿尔贝托Perelli对我们最近的调查塞尔伯格积分及其连接蒙哥马利的对相关函数。我们介绍了一个更一般的形式的Selberg积分，并将其连接到一个新的对-相关函数，强调其关系的分布素数在短的时间间隔。
2016-03-09 math.NT
Báez-Duarte's Criterion for the Riemann Hypothesis and Rice's Integrals
贝兹-杜阿尔特发现的黎曼假设的准则涉及某些实系数$c_{k\text{}}$，定义为交替二项式和。这些系数可以有效地研究使用Nörlund-Rice的积分。它们的行为表现出特征趋势，由于zeta的平凡零点，和衰落振荡，由于复杂的零点。该方法使得能够针对大的$k$值计算$c_{k\text{}}$的数值，至少计算到$k=4\cdot 10^{8}$。我们给出了明确的表达式的趋势和振荡。第一个趋向于零，因此，从标准的角度来看，与黎曼假设无关。振荡可以进一步分解成一系列的谐波与振幅迅速减少。对黎曼假设的可能违反将表明某些高次谐波的振幅增加。
2006-04-01 math.NT
Character analogues of Ramanujan type integrals involving the Riemann $Ξ$-function
考虑一类新的积分，它涉及与本原Dirichlet特征标相关的$Ξ$ -函数的乘积.这些积分产生$F(z, α,χ)=F(-z, β,\barχ)=F(-z,α,\barχ)=F(z,β,χ)$类型的变换公式，其中$αβ=1$。新的字符类似物的变换公式的Guinand和Koshliakov以及那些拉马努金公式及其最近的推广显示作为特殊的例子。最后，得到了Ramanujan，Hardy和Littlewood的一个猜想的特征类似物，该猜想涉及默比乌斯函数的无穷级数.
2011-02-14 math.NT
Riemann's auxiliary Function. Basic Results
本文介绍了Riemann辅助函数$\mathop{\mathcal R }(s)$的定义、性质、积分表达式及在整数处的值，并给出了其与Riemann Zeta函数相关的表达式。
2024-06-04 math.HO math.NT
Integral representations of the Riemann zeta function of odd argument
本研究借助Mikolas的双伽马函数表达式，推导出任意正整数p对应的奇数宗量黎曼ζ函数ζ(2p+1)的积分表示，给出了前几个宗量值的算例，部分结果与已有方法推导的结论一致。
2024-10-30 math.NT
A new integral representation for the Riemann Zeta function
导出了黎曼ζ函数的一种新的整表示。该表示法覆盖了复平面的重要区域，其中函数的辐角的实部位于0和1之间。利用这种表示，我们得到了黎曼ζ函数的新的函数恒等式.
2017-12-11 math.CA math.NT
A few equalities involving integrals of the logarithm of the Riemann Zeta-function and equivalent to the Riemann hypothesis
利用关于解析函数对数积分的推广Littlewood定理，建立了几个关于黎曼ζ函数对数积分的等式，并严格证明了它们与黎曼假设等价.分别考虑这些等式的虚部和实部，这些等式相应地处理黎曼函数的模的对数的积分和其参数的积分。使用这些等式进行数值研究，以测试黎曼假设的初步结果。
2008-06-10 math-ph math.MP math.NT
Integral operators arising from the Riemann zeta function
在本文中，我们有两个问题来自同一背景。第一种方法是用单个积分方程的解来描述由黎曼ζ函数产生的积分算子的弗雷德霍姆行列式的某个比值。第二部分是引入一个由黎曼ζ函数衍生的新的积分算子，并研究其基本解析性质。
2020-03-06 math.FA math.NT
Extreme values for iterated integrals of the logarithm of the Riemann zeta-function
本文给出了黎曼ζ函数及其迭代积分的对数极值测度的一个近似公式。结果恢复了$Ω$的无条件最佳结果-Tsang的负部分的$S_{1}(t)$的结果。
2020-09-09 math.NT math.PR
Finite-part integral representation of the Riemann zeta function at odd positive integers and consequent representations
的值的黎曼ζ函数在奇数正整数，$ζ(2n+1)$，示出承认的表示成比例的有限部分的发散积分$\int_0^{\infty} t^{-2n-1} \operatorname{csch}t\,\mathrm{d}t$。然后从有限部分的整表示推导出$ζ(2n+1)$的积分表示。同样导出了$ζ(2n+1)$与$ζ'(2n+1)$之间的某些关系，由此得到了$ζ'(2n+1)$的整表示.
2022-03-21 math.CV math.NT
On the value-distribution of iterated integrals of the logarithm of the Riemann zeta-function II: probabilistic aspects
本文讨论了黎曼ζ函数的值分布。本文给出了Bohr和Bohr的极限定理中的偏差估计和大偏差的一些结果。
2021-05-11 math.NT math.PR
Logarithmic Fourier integrals for the Riemann Zeta Function
我们使用对称Poisson-Schwarz公式的解析函数$f$在半平面${Re}(s)>\frac12$与$\bar{f(\bar{s})}=f(s)$，以获得因式分解定理的黎曼ζ函数。我们证明了一个变种的Balazard-Saias-Yor定理，并获得明确的公式的功能是重要的素数的分布。与黎曼的经典显式公式相反，这些表示使用沿临界线${Re}(s)=\frac12$和Blaschke zeta零点的积分。
2009-09-28 math.CV math.NT
The Integral of the Riemann xi-function
本文研究Riemann xi-函数的积分。更一般地，它研究由傅里叶积分给出的满足函数方程的单参数函数族。这个家族的成员被证明在临界线上只有1000个零点，黎曼函数的积分在临界线上只有一个零点，在s = 1/2。的xi-函数的积分的零点位于任意远离临界线。德布鲁因-纽曼常数的一个类似物介绍了这个家庭，并证明是无限的。
2011-08-18 math.CV math.NT
On Riemann zeroes, Lognormal Multiplicative Chaos, and Selberg Integral
Riemann零点的Bourgade-Kuan-Rodgers统计量的指数泛函的重标Mellin型变换与Mandelbrot-Bacry-Muzy的极限对数正态随机测度的总质量的分布有着密切的关系.这个猜想暗示了一个非平凡的、对数无限可分的概率分布与黎曼零点有关。对于应用程序，积分矩，协方差结构，多尺度谱，并与指数泛函的渐近计算在封闭的形式使用已知的亚纯扩展的Selberg积分。
2015-11-29 math-ph math.MP math.NT
Series representations of the Riemann and Hurwitz zeta functions and series and integral representations of the first Stieltjes constant
我们开发了一系列的赫维茨和黎曼zeta函数的广义伯努利数（Nörlund多项式），给出了这些功能的解析延续到整个复平面。特殊情况下产生各种特殊函数和数字的级数表示，包括log Gamma，digamma和polygamma函数。另一个副产品是，$ζ(n)$值以广义调和数的形式作为非线性欧拉和出现。我们还获得了第一Stieltjes常数$γ_1(a)$的级数和积分表示。该演示文稿统一了一些早期的结果。
2011-06-25 math-ph math.MP math.NT
From Veneziano to Riemann: A String Theory Statement of the Riemann Hypothesis
我们讨论了弦论的Veneziano振幅（用黎曼zeta函数的比值改写）与黎曼假设的两个基本判据（用对数的积分和zeta函数的幅角表示）之间的精确关系。我们还讨论了积分准则的基础上的论点的黎曼zeta函数涉及到李准则的黎曼假设。我们提供了一个新的推广这个积分准则。最后，我们评论的物理解释，我们重铸的黎曼假设的Veneziano振幅。
2015-03-15 hep-th math-ph math.MP
Regularized Integrals on Riemann Surfaces and Modular Forms
本文提出一种基于共形几何的内禀正则化方法，用于在Riemann曲面上对具有任意全纯极点的微分形式进行积分，并应用于建立位形空间（含Feynman图积分）的解析理论，证明了椭圆曲线上正则化图积分的殆全纯模性质，给出了有序A-圈积分拟模性的几何证明与组合公式。
2022-05-29 hep-th math-ph math.CV
