arXiv 2101.017472021-01math.NT

Riemann zeta 函数的幅角的大偏差

Large deviations of the argument of the Riemann zeta function

Alexander Dobner

备注：: 21 pages. The results in this version are stronger than in v1. To appear in Mathematika

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AI总结：

本文无条件证明了 Riemann zeta 函数幅角 $S(t)$ 在特定范围内的大偏差测度下界，其高斯型结果在端点处蕴含了 Tsang 的最佳 $Ω$-定理，并在 Riemann hypothesis 下扩展了适用范围。

摘要：

令 $S(t) = \frac{1}π\Im \logζ\left(\frac{1}{2}+it\right)$。我们无条件地证明了对于 $\sqrt{\log\log T} \leq V \ll \left(\frac{\log T}{\log \log T}\right)^{1/3}$，集合 $\{t\in [T,2T] \colon S(t) \geq V\}$ 测度的下界。对于 $V \leq (\log T)^{1/3-\varepsilon}$，我们的界具有方差与 $\log\log T$ 成正比的高斯形状。在端点 $V \asymp \left(\frac{\log T}{\log \log T}\right)^{1/3}$ 处，我们的结果蕴含了 Tsang 提出的 $S(t)$ 的最佳已知 $Ω$-定理。我们还解释了在目前关于 zeta 函数零点知识的条件下，该方法为何对于 $V \gg \left(\frac{\log T}{\log \log T}\right)^{1/3}$ 会失效。在 Riemann hypothesis 条件下，我们将结果扩展至 $\sqrt{\log\log T} \leq V \ll \left(\frac{\log T}{\log \log T}\right)^{1/2}$ 的范围。

英文摘要：

Let $S(t) = \frac{1}π\Im \logζ\left(\frac{1}{2}+it\right)$. We prove an unconditional lower bound on the measure of the sets $\{t\in [T,2T] \colon S(t) \geq V\}$ for $\sqrt{\log\log T} \leq V \ll \left(\frac{\log T}{\log \log T}\right)^{1/3}$. For $V \leq (\log T)^{1/3-\varepsilon}$ our bound has a Gaussian shape with variance proportional to $\log\log T$. At the endpoint, $V \asymp \left(\frac{\log T}{\log \log T}\right)^{1/3}$, our result implies the best known $Ω$-theorem for $S(t)$ which is due to Tsang. We also explain how the method breaks down for $V \gg \left(\frac{\log T}{\log \log T}\right)^{1/3}$ given our current knowledge about the zeros of the zeta function. Conditionally on the Riemann hypothesis we extend our results to the range $\sqrt{\log\log T} \leq V \ll \left(\frac{\log T}{\log \log T}\right)^{1/2}$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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