关于Riemann零点差的统计

Distributions of differences of Riemann zeta zeros

We study distributions of differences of unscaled Riemann zeta zeros, $γ-γ'$, at large. We show, that independently of the location of the zeros, their differences have similar statistical properties. The distributions of differences are skewed towards the nearest zeta zero, have local maximum of variance and local minimum of kurtosis at or near each zeta zero. Furthermore, we show that distributions can be fitted with Johnson probability density function, despite the value of skewness or kurtosis of the distribution.

关于Riemann零点的统计

Statistics on Riemann zeros

本文数值研究了黎曼ζ函数与eñe积理论预言的L-函数零点差的统计性质。特别是，这提供了一个简单的算法，可以从非常大的黎曼零点计算任何非实黎曼零点（“黎曼零点的自我复制特性”）。该算法还从任意Dirichlet L-函数的非实零点序列计算出黎曼ζ函数的非实零点的全序列（“L-函数的零点知道黎曼零点”）。我们还检查了收敛到0附近的经典GUE统计量的第一个误差是菲涅耳分布。

L函数零点之间的非正规差

Unnormalized differences between zeros of L-functions

我们研究了黎曼ζ函数的零点虚部之间的非归一化差的分布中的一个微妙的不平等。我们建立了一个精确的措施，解释了这一现象，即每个黎曼零点的位置编码在分布的大黎曼零点。我们也将这些结果推广到更一般的L函数的零点。特别是，我们展示了如何在其他L函数的零序列编码的椭圆曲线的秩，而不仅仅是一个相关的曲线。

黎曼辅助函数零点的统计

Statistic of zeros of Riemann auxiliary function

本文统计了黎曼辅助函数在给定范围内的全部零点，发现其中63.9%的零点实部小于1/2。

黎曼ζ函数在较长范围内零点的成对相关

Pair Correlation of the zeros of the Riemann zeta function in longer ranges

本文研究了黎曼ζ函数零点的一个更一般的对相关函数$F_h(x,T)$。它提供了有关零点之间较大差异的分布信息。

Prime zeta function statistics and Riemann zero-difference repulsion

We present a derivation of the numerical phenomenon that differences between the Riemann zeta function's nontrivial zeros tend to avoid being equal to the imaginary parts of the zeros themselves, a property called statistical "repulsion" between the zeros and their differences. Our derivation relies on the statistical properties of the prime zeta function, whose singularity structure specifies the positions of the Riemann zeros. We show that the prime zeta function on the critical line is asymptotically normally distributed with a covariance function that is closely approximated by the logarit…

黎曼假设的一种新策略

A New Strategy for Riemann Hypothesis

无平方数整数是不能被任何素数的平方整除的正整数。Merten函数，$M(x)$被定义为具有偶数个素因子的无平方整数的数量与具有奇数个素因子的无平方整数的数量之间的差，直到$x$。众所周知，$M(x)=O(x^{1/2+ε})$与黎曼假设是等价的。在本文中，我们推导出一个新的方程，涉及默顿的功能，导致一个有前途的技术黎曼假设。

A further generalisation of sums of higher derivatives of the Riemann Zeta Function

We prove an asymptotic for the sum of $ζ^{(n)} (ρ)X^ρ$ where $ζ^{(n)} (s)$ denotes the $n$th derivative of the Riemann zeta function, $X$ is a positive real and $ρ$ denotes a non-trivial zero of the Riemann zeta function. The sum is over the zeros with imaginary parts up to a height $T$, as $T \rightarrow \infty$. We also specify what the asymptotic formula becomes when $X$ is a positive integer, highlighting the differences in the asymptotic expansions as $X$ changes its arithmetic nature.

Jensen polynomials are not a plausible route to proving the Riemann Hypothesis

Recent work on the Jensen polynomials of the Riemann xi-function and its derivatives found a connection to the Hermite polynomials. Those results have been suggested to give evidence for the Riemann Hypothesis, and furthermore it has been suggested that those results shed light on the random matrix statistics for zeros of the zeta-function. We place that work in the context of prior results, and explain why the appearance of Hermite polynomials is interesting and surprising, and may represent a new type of universal law which refines M. Berry's "cosine is a universal attractor" principle. Howe…

Riemann Zeta 函数的新表示

A New Representation of the Riemann Zeta Function

本文提出 Riemann Zeta 函数的新表示，通过两个结构化二重和的极限差导出含最大值函数的新恒等式，连接经典分析与现代求和技术。

zeta零点中的统计量

Statistical regularities in the zeta zeros

围绕朗道公式变换的数值研究表明，在黎曼ζ函数的零点分布中存在某些统计误差。

在-1，1 +2 +3 +..处的黎曼ζ函数的重整化方法~ -1/12

A renormalization approach to the Riemann zeta function at -1, 1+2+3+... ~ -1/12

一个缩放和重整化方法的黎曼ζ函数，$ζ$，评估$-1$提出了两种方式。在第一种情况下，取$U_{n}:=\sum_{q=1}^{n}q$和$4U_{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }$之间的差，其中$\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor $是最大整数函数。使用Cesaro平均值两次，即，$\left( C,2\right) $，收敛到适当的值。对于zeta函数由收敛的无穷和表示的$z$的值，双重Cesaro平均也产生$ζ\left( z\right) ,$，这表明这可以用作从$z.$的收敛区域延伸的替代方法。在第二种方法中，$U_{n}$和特定平均值$\bar{U}_{n/k}$之间的差$U_{n}-k^{2}\bar{U}_{n/k}$，对于所有的$k<n$，涉及高达$k<n$并由$k^{2}$缩放的项的值被示出为精确地等于$-\frac{1}{12}\left( 1-k^{2}\right) $。这就引出了解释$ζ\left( -1\right) $的另一个视角

由 Zeta 零点线性统计量加权的 Selberg 中心极限定理

Selberg's Central Limit Theorem weighted by Linear Statistics of Zeta Zeros

本文研究以 zeta 零点局部统计量加权的黎曼 zeta 函数对数值分布，证明其在 Fourier 支撑足够小时满足复中心极限定理，并在 Riemann 假设下将虚部支撑条件推广到自然障碍，同时刻画了 log ζ 与单层密度相关性的缓慢衰减。

A note on small gaps between zeros of the Riemann zeta-function

Assuming the Riemann Hypothesis, we improve on previous results by proving there are infinitely many zeros of the Riemann zeta-function whose differences are smaller than 0.50412 times the average spacing. To obtain this result, we generalize a set of weights that were developed by Xiaosheng Wu, who used them to find a positive proportion of large and small gaps between zeros of the Riemann zeta-function.

关于连续zeta零点纵坐标差的几点注记

Some remarks on the differences between ordinates of consecutive zeta zeros

若$0 < γ_1 \le γ_2 \le γ_3 \le \ldots$表示黎曼ζ函数$ζ(s)$的复零点纵坐标，则证明了$γ_{n+1}-γ_n$的极大序模与和$$ \sum_{0<γ_n\le T}{(γ_{n+1}-γ_n)}^k \qquad(k>0) $$的几个结果.

On the self-replicating properties of Riemann zeta zeros: A statistical study

We study distributions of differences of unscaled Riemann zeta zeros, $γ-γ^{'}$, at large distances. We show, that independently of the height, a subset of finite number of successive zeros knows the locations of lower level zeros. The information contained in the subset of zeros is inversely proportional to $ln(γ/(2π))$, where $γ$ is the average zeta of the subset. Because the mean difference of the zeros also decreases as inversely proportional to $ln(γ/(2π))$, each equally long segment of the line $\Re(z)=1/2$ contains equal amount of information. The distributions of differences are skewed…

关于具有固定同调差的素测地线对

On pairs of prime geodesics with fixed homology difference

我们展示了双曲黎曼曲面上的素测地线与普通素测地线之间的相似性。本文给出了同调差固定的素测地线对的新的渐近计数结果。

基于临界线上第$n$零点的显式方程的Riemann零点的统计和其它性质

Statistical and other properties of Riemann zeros based on an explicit equation for the $n$-th zero on the critical line

我们表明，有一个无穷多个黎曼零点的临界线上，列举的正整数$n=1,2,\dotsc$，其纵坐标可以得到一个新的超越方程，只依赖于$n$的解决方案。在弱的假设下，我们表明，这样的零的数量已经饱和的计数公式为零的数量在整个临界带上。因此，这些结果构成了一个具体的建议，以验证黎曼假设。我们对精确方程进行了数值分析，并讨论了其大纵坐标的渐近极限。出发点是一个明确的解析公式的近似解的确切方程的兰伯特$W$功能。这样，我们既不需要使用Gram点，也不需要处理违反Gram定律的问题。因此，我们的数值方法构成了一种新的方法来计算零点。采用这些数值解，我们验证了渐近版本的解决方案是足够准确的，以确认蒙哥马利和Odlyzko的对相关图，也重建素数计数功能。

黎曼ζ函数与高斯乘性混沌：临界线上的统计

The Riemann zeta function and Gaussian multiplicative chaos: statistics on the critical line

我们证明了，如果$ω$是均匀分布的$[0,1]$，然后作为$T\to\infty$，$t\mapsto ζ(iωT+it+1/2)$收敛到一个非平凡的随机广义函数，这反过来又被确定为一个产品的一个非常好的表现随机光滑函数和随机广义函数称为一个复杂的高斯乘性混沌分布。这证明了数论和乘性混沌理论之间的一种新的严格联系-后者被称为与许多其他数学领域有关。我们还研究了zeta函数在介观尺度上的统计行为。证明了如果$δ_T$和$T\to\infty$一样缓慢地趋近于零，则$t\mapsto ζ(1/2+iδ_T t+iωT)$渐近地是由Selberg中心极限定理提出的发散标量与严格高斯乘性混沌的乘积.对于Haar分布的随机酉矩阵的特征多项式，我们也证明了类似的结果，其中标量略有不同，但乘性混沌部分是相同的。这实质上是说，直到标量倍数，Zeta函数和Haar分布随机酉矩阵的特征多项式在介观尺度上具有相同的分布。

差分L函数的零间距分布

Zero Spacing Distributions for Differenced L-Functions

本文研究了黎曼ζ函数在一定的平均和差分运算下形变的局部空间。对于实h，它考虑A_h（s）= 1/2（xi（s+h）+ xi（s-h）），B_h（s）=1/（2 i）（xi（s+h）-xi（s-h）），其中xi（s）是Riemann xi-函数。对于|h| \ge 1/2，这些函数的所有零点都位于临界线上，并且是单零点。假设黎曼假设，对于所有非零的h，同样成立。高度T的零点数与zeta函数的主要项具有相同的渐近性，因此可以定义xi函数的归一化零间距。结果表明，当T趋于无穷大时，前k个归一化零间距具有一个极限分布，并且它是所有间距都等于1的“平凡”分布。这对于|h| > 1/2是无条件的，对于0< |h| < 1/2是有条件的。对于Dirichlet L函数也有类似的结果。结果解释的de Branges的理论的希尔伯特空间的整个功能。

关于Riemann零点、对数正态乘性混沌和Selberg积分

On Riemann zeroes, Lognormal Multiplicative Chaos, and Selberg Integral

Riemann零点的Bourgade-Kuan-Rodgers统计量的指数泛函的重标Mellin型变换与Mandelbrot-Bacry-Muzy的极限对数正态随机测度的总质量的分布有着密切的关系.这个猜想暗示了一个非平凡的、对数无限可分的概率分布与黎曼零点有关。对于应用程序，积分矩，协方差结构，多尺度谱，并与指数泛函的渐近计算在封闭的形式使用已知的亚纯扩展的Selberg积分。