Counting solutions to quadratic polynomials
本文利用圆法，对一类二次多项式建立了关于系数一致的整数解数量渐近公式。
2024-05-07 math.NT
Class numbers of binary quadratic polynomials
本文给出了二元二次多项式真类数的公式，并以此研究全正二元二次多项式真类数的增长，证明了具有固定二次部分和固定真类数的全正二元二次多项式的有限性结果。
2025-01-28 math.NT
Primes represented by quadratic polynomials via exceptional characters
本文利用判别式$Δ$估计了一般二次多项式所表示的素数的个数，并假设相应的实特征是例外的。
2020-11-10 math.NT
On the sum of two integral squares in quadratic fields $\Q(\sqrt{\pm p})
我们提出了一种方法来确定哪些整数可以写为二次域$\Q(\sqrt{\pm p})$的两个整数平方和，其中$p$是一个素数。
2010-04-18 math.NT
Sums of squares in real quadratic fields and Hilbert modular groups
利用实二次域的Hilbert-Maass型的谱理论，得到了整数环中涉及两个平方和表示数的和的渐近性.
2018-12-27 math.NT
Irreducible quadratic polynomials and Euler's function
令$P(x)$是$\mathbb{Z}[x]$中的不可约二次多项式。我们证明了对于几乎所有的$n$，$P(n)$不位于Euler函数的值域内.
2018-10-30 math.NT
Pairs of diagonal quadratic forms and linear correlations among sums of two squares
对于合适的对角二次型在8个变量，我们使用圆的方法来调查密度的同时整数解，并与此有关的问题估计两个平方和之间的线性相关。
2013-02-11 math.NT
Benedetto's trick and existence of rational preperiodic structures for quadratic polynomials
我们改进了R. Benedetto在p-adic分析，以展示无穷多个二次多项式与合理的系数，有一个特定的图形的合理preperiodic点。
2013-05-01 math.NT
On the number of integral quadratic polynomials with bounded heights and discriminants
本文给出了当高度的上界趋于无穷大时，具有有界高度的整二次多项式及其判别式的渐近数。
2013-08-09 math.NT
Polynomials Consisting of Quadratic Factors with Roots Modulo Any Positive Integer
本文给出了一类多项式的无穷族，它们的根模为每一个正整数，但没有有理根。这个族中的每个多项式都是由一元二次因子组成的，没有线性项。
2021-02-17 math.NT
Some results on integer solutions of quadratic polynomials in two variables
我们使用我们以前的工作中的思想来获得一些定理，这些定理将允许我们获得表示自然数的二元二次多项式的整数解
2020-06-04 math.NT
Quadratic forms with a strong regularity property on the representations of squares
一个（正定非经典积分）二次型称为强$s$ -正则的，如果它满足关于整数平方表示数的强正则性质.本文证明了：对于任意整数$k \ge 2$，若强$s$ -正则二次型的秩为$k$，则它们所表示的非零平方的最小值是固定的，则它们的等距类只有1000个.
2019-09-04 math.NT
Smooth values of some quadratic polynomials
本文利用Luca和作者的方法，求出了使二次多项式$x^2+1,$ $x^2+4,$ $x^2+2$和$x^2-2$为200-光滑的所有$x$值和使二次多项式$x^2-4$为100-光滑的所有$x$值.
2010-05-10 math.NT
The number of representations of squares by integral ternary quadratic forms
设$f$是定积分三元二次型，$r(k,f)$是整数$k$由$f$表示的个数.本文研究了用$f$表示平方的个数.我们说$f$的亏格，记为$\text{gen}(f)$，不可用平方区分，如果对任何整数$n$，$r(n^2,f)=r(n^2,f')$对任何二次型$f' \in \text{gen}(f)$。我们发现了一些非平凡的三元二次型，这是不可区分的平方的一般。给出了平方不可区分类与Cooper和Lam猜想之间的关系，并完全解决了Cooper和Lam的猜想。
2015-09-30 math.NT
Local densities of quadratic polynomials over non-dyadic fields and unramified dyadic fields
本文为非二进域和非分歧二进域上的二次多项式建立了局部密度的精确公式。
2024-07-19 math.NT
On the sum of two integral squares in certain quadratic fields
本文利用积分Brauer-manin阻塞（见\cite{CTX}），给出了确定某些二次域上哪些整数可以写成两个整数平方和的充要条件.该条件是可计算的，并且最初来自互易定律。
2013-04-29 math.NT
Arithmetic progressions of four squares over quadratic fields
设d是一个无平方因子的整数。Q（sqrt{d}）上的等差数列是否存在四个平方？我们将根据d的值对这个问题给出一个部分的答案。在肯定的情况下，我们构造由Q（sqrt{d}）上的四个平方组成的显式等差数列。
2009-03-23 math.NT
A Refined Conjecture For Factoring Iterates Of Quadratic Polynomials Over Finite Fields
Jones和Boston证明了有限域上不可约二次多项式迭代的因式分解过程可用Markov模型来近似。在本文中，我们发现了一些二次多项式，特别是尾部大小为1的二次多项式的意外和复杂的行为。我们还提出了一个多步马尔可夫模型，比琼斯和波士顿的模型更好地解释了这些新的观察。
2013-12-25 math.NT
On the Length of Critical Orbits of Stable Quadratic Polynomials
我们利用乘性特征和的Weil界以及N.波士顿和R. Jones，证明了有限$q$元域上二次多项式的临界轨道的长度为$O(q^{3/4})$，改进了平凡界$q$.
2009-09-28 math.NT
Almost-Primes Represented by Quadratic Polynomials
在他的论文《二次多项式表示的几乎素数》中，伊万涅茨证明了多项式n^2 + 1无穷多次地具有至多两个素因子（重数）的值。他说：“为了避免技术上的复杂性，我们将把我们的证明限制在多项式n^2 + 1。".在这一论述中，我们遵循Iwaniec的证明，并表明，任何不可约的二次多项式G（n）（满足一些显然必要的假设），G（n）有至多两个素因子的无穷多个值的n。
2019-09-26 math.NT
Small-span Hermitian matrices over quadratic integer rings
在小跨距（跨距小于4）整数对称矩阵的特征多项式分类的基础上，得到了二次整数环上埃尔米特矩阵的特征多项式的小跨距多项式分类.以二次整数环为基，得到了一些低次小跨度多项式作为特征多项式，这些多项式不是任何整数对称矩阵的特征（或极小）多项式.
2013-06-10 math.NT
Characterization of quadratic $\varepsilon$-CNS polynomials (extended version)
该研究利用二维 $\varepsilon$-SRS 的新刻画及其与二次 $\varepsilon$-CNS 多项式的关系，对所有 $\varepsilon\in[0,1)$ 给出统一刻画，并涵盖经典 CNS 与 SCNS 情形。
2024-02-26 math.NT
Mean squares of quadratic twists of the Möbius function
在本文中，我们渐近评估的总和\[ \sum_{d \leq X} \left( \sum_{n \leq Y} μ(n)\leg {8d}{n} \right)^2, \]，其中$\leg {8d}{n}$是克罗内克符号和$d$运行在正，奇，平方自由整数。
2022-12-23 math.NT
The number of representations of squares by integral quaternary quadratic forms
设$f$是正定（非经典）积分四元二次型.我们说$f$是强$s$ -正则的，如果它满足整数平方表示数的正则性。本文证明了，当由二次型表示的非零平方的极小值是固定的时，直到等距的强$s$ -正则四元二次型只有1000个.此外，我们证明了，正好有$34$强$s$ -正则对角四元二次型代表一（见表$1$）。特别地，我们使用η-正则性证明了四元二次型$x^2+2y^2+3z^2+10w^2$的强$s$ -正则性，它实际上是类数$2$（见引理$5.5$和命题$5.6$）。
2019-03-06 math.NT
Quadratic Symmetric Polynomials and an analogue of the Davenport Constant
在本文中，我们定义的常数$D(φ, p)$，达文波特常数的模拟，通过二次对称多项式定义的有限域$\mathbb{F}_p$上的序列。接下来，我们陈述一系列结果，这些结果呈现$D(φ, p)$的精确值，或该常数的下限和上界。
2022-08-05 math.NT
Quadratic polynomials represented by norm forms
本文建立了P（t）=N（x_1，x_2，x_3，x_4）型方程的Hasse原理和弱逼近，其中P是一个不可约的单变量二次一元多项式，N是与包含P根的有理数的四次扩张有关的范数形式.
2011-09-01 math.NT
On Taking Square Roots without Quadratic Nonresidues over Finite Fields
我们提出了一个新的想法来计算平方根有限域，没有被赋予任何二次非剩余，没有假设任何未经证明的假设。算法是确定性的，证明是初等的。在某些情况下，平方根算法在具有$q$元素的有限域上以$\tilde{O}(\log^2 q)$位运算运行。作为应用，我们构造了一个确定性素性证明算法，该算法在$\tilde{O}(\log^3 N)$中运行，对某些整数$N$。
2010-02-12 math.NT
A mean value theorem for the square of class number times regulator of quadratic extensions
设$k$为数字字段。本文给出了$k$的某些二次扩张族的类数平方乘调节子的平均值的一个公式，这些扩张族具有许多局部条件。我们通过使用与四元数代数对空间相关的zeta函数的理论来处理这个问题。
2006-07-03 math.NT
On Primes Represented by Quadratic Polynomials
这是一篇关于二次级数中素数的哈代-利特尔伍德猜想的综述文章。我们叙述的历史，并引用一些结果近似这个迄今尚未解决的猜想。
2008-04-24 math.NT
Representing multiples of $m$ in real quadratic fields as sums of squares
研究了实二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$，使得对给定的有理整数$m$，所有$m$ -全正整数的倍数都是平方和.我们证明了相当尖锐的充要条件，这发生。此外，我们给出了一个快速的算法，解决了这个问题的具体$m$，$D$，我们给$m \leq 5000$完整的结果。
2022-10-17 math.NT
Irreducible polynomials over finite fields produced by composition of quadratics
对于有限域上二次多项式的集合$S$，令$C$是$S$中元素的任意组合的（无限）集合。在本文中，我们表明，有任意大的$S$的例子，使每个多项式在$C$是不可约的。作为第二个结果，我们给出了一个算法，以确定是否所有的元素在$C$是不可约的，只用$O( \#S (\log q)^3 q^{1/2} )$操作。
2017-01-27 math.NT
Sums of squares of integer-multiple of an integral element on real bi-quadratic fields
本文在实双二次域中构造全正代数整数，给出其正整数倍不能表示为整数平方和的必要条件，并分两类整数以表格示例验证。
2024-02-09 math.NT
Badly approximable infinite products of quadratic polynomials
我们提供了一些条件的有理数$u$和$v$，确保洛朗级数$g_{u,v}(x):=\prod_{t=0}^\infty (1+ux^{-3^t} + vx^{-2\cdot 3^t})$是严重的逼近。
2022-11-10 math.NT
The representation of integers by positive ternary quadratic polynomials
一个整数二次多项式被称为正则多项式，如果它表示由多项式本身在实数和$p$ -进整数上对每个素数$p$表示的每个整数。如果它的形式为$Q({\mathbf x} + {\mathbf v})$，则称为完备的，其中$Q$是变量${\mathbf x} = (x_1, \ldots, x_n)$的整二次型，${\mathbf v}$是${\mathbb Q}^n$中的向量。它的导体被定义为最小正整数$c$，使得$c{\mathbf v} \in {\mathbb Z}^n$。证明了对于一个固定的正整数$c$，正本原三元正则完全二次多项式与导体$c$的等价类只有1000个.这推广了Watson关于正定正则三元二次型和Chan和Oh关于三元三角形的类似有限性结果。
2015-05-01 math.NT
Fekete polynomials, quadratic residues, and arithmetic
Fekete多项式将每个素数$p$与具有系数$-1$或$1$的多项式相关联，除了为0的常数项。这些系数反映了二次剩余模$p$的分布。这些多项式首先被认为是在19世纪的研究狄利克雷$L$ -功能。在本文中，我们引入了两个密切相关的多项式。然后，我们表示他们的特殊值在几个整数的某些类数和广义伯努利数。此外，我们还研究了这些多项式的分裂域和伽罗瓦群。特别地，我们提出了一个关于这些伽罗瓦群的结构的猜想。
2022-06-16 math.NT
Preperiodic points for quadratic polynomials over quadratic fields
对于每个二次数域$K$和每个具有$K$ -系数的二次多项式$f$，可以关联有限有向图$G(f,K)$，其顶点是$f$的$K$ -有理预周期点，并且其边反映$f$在这些点上的作用。本文有两个主要目标。(1)对于抽象有向图$G$，对$(K,f)$进行分类，使得$G$的同构类由$G(f,K)$实现。我们成功地完全适用于许多图$G$通过应用各种动力学和丢番图技术。(2)给出可由某些$G(f,K)$实现的图的同构类集合的完整描述。莫顿和西尔弗曼的一个猜想暗示这个集合是有限的。基于我们的理论考虑和丰富的经验证据来自本文中开发的算法，我们推测从二次多项式在二次域上产生的图的同构类的完整列表。
2014-04-28 math.NT
The Sum of Four Squares Over Real Quadratic Number Fields
Lagrange和Jacobi的著名结果证明了每一个$m \in \mathbb N$都可以表示为四个整数的平方和，并且这种表示的个数$r(m)$可以由$m$中的一个显式公式给出.本文证明了唯一四个平方和是万有的实二次数域是$\mathbb Q(\sqrt{5})$。我们为$K= \mathbb Q (\sqrt{2})$和$K= \mathbb Q(\sqrt{5})$提供了$r(m)$的显式公式。然后，我们考虑在任何实二次数域的四个平方和的θ级数，提供明确的爱森斯坦系数的上界和下界。最后，我们包括的例子，四个平方和$\mathbb Q (\sqrt{3})$，$\mathbb Q (\sqrt{13})$和$\mathbb Q (\sqrt{17})$的完整的θ级数分解。
2018-05-23 math.NT
Quadratic polynomials at prime arguments
对于一个固定的二次不可约多项式$f$，在素变元上没有固定的素因子，我们证明了存在无穷多个素数$p$使得$f(p)$至多有4个素因子，改进了Richert要求用5代替4的经典结果.用$P^+(n)$表示$n$的最大素因子，并证明了$P^+(f(p))>p^{0.847}$无穷常存在.
2016-09-01 math.NT
Prime polynomial values of quadratic functions in short intervals
本文在大有限域的极限上建立了Bateman-Horn猜想在短区间上的函数域模拟。因此，我们开始计数素多项式所产生的原始二次函数在短时间内。为此，我们进一步研究了Mobius和及其相关项（Chowla型和）的消去的函数域模拟，并证明了Mobius和的平方根消去等价于Chowla型和的平方根消去.
2019-09-09 math.NT
Five squares in arithmetic progression over quadratic fields
本文给出了在哪些二次数域Q（sqrt{D}）上存在五个平方的非常数等差数列的几个判据.这是通过将问题转化为确定定义在Q上的某些亏格五曲线C_D何时具有有理点，然后使用Mordell-Weil筛论证等来完成的。利用椭圆Chabauty类方法，我们证明了Q（sqrt{409}）上五个平方的唯一非常数等差数列，直到等价，是7^2，13^2，17^2，409，23^2。此外，我们给出了一个算法，允许构造所有二次域上的五个平方的所有非常数等差数列。最后，我们提出了与此相关的几个问题和建议。
2013-01-24 math.NT
Integral zeros of quadratic polynomials avoiding sublattices
本文研究避开有限指数子格的整系数二次多项式的非平凡零点，证明其存在范数有界零点并给出显式上界，同时将结果应用于整数格中向量夹角分布问题。
2024-11-21 math.NT
On the average number of divisors of reducible quadratic polynomials
给出了具有相同奇偶性的整数$b<c$的除数和$\sum_{c<n\leq N}τ\left((n-b)(n-c)\right)$的一个渐近公式.有趣的是，主项的系数不依赖于判别式，只要它是一个完整的平方。我们还提供了有效的上界的平均因子和的一些可约的二次多项式考虑之前，具有相同的主项中的渐近公式。
2017-04-21 math.NT
Irreducibility of iterates of post-critically finite quadratic polynomials over $\mathbb{Q}$
在本文中，我们分类，多达三个可能的例外，所有一元，后临界有限二次多项式$f(x)\in \mathbb{Z}[x]$与一个可约模每个素数，但所有的迭代是不可约的$\mathbb{Q}$。特别是，我们获得了无穷多的新的例子研究的现象在\cite{Jones}。在这样做的同时，我们还发现，多达三个可能的例外，所有整数$a$，使所有迭代的二次多项式$(x+a)^2-a-1$是不可约的$\mathbb{Q}$，这回答了一个问题提出的\cite{AyadMcdonald}，除了三个值的$a$。最后，我们提出了一个猜想，提出了一个充要条件的稳定性的任何一元，后临界有限二次多项式的任何领域的特征$\neq 2$。
2019-07-07 math.NT
Power Values of Certain Quadratic Polynomials
本文计算了具有负无平方判别式的二次多项式$f$的$q$次幂值，使得$q$与$\mathbb{Q}$上$f$的分裂域的类数互质.唯一的因式分解和整数序列的原始因子的理论是用来推导出一个界的值$q$这是足够小，以允许其余的情况下，很容易检查。结果被用来确定某些多项式生成的整数序列，包括西尔维斯特序列的所有完美的权力条款。
2010-03-12 math.NT
Theta Series for Quadratic Forms of Signature $(n-1,1)$ with (Spherical) Polynomials II
我们推广了arXiv：2102.09329中关于签名$(n-1,1)$具有齐次多项式和球面多项式的二次型的θ级数的构造。也就是说，我们允许参数$c_1,c_2$，它定义的θ系列，并确保定义系列的收敛性，位于锥$C_Q$的边界上。这使我们能够研究几个有趣的例子，如爱森斯坦系列，模块化的形式$Γ_0(4)$出现在调查的二次多项式的一个固定的判别式，和一个模拟θ函数的顺序2连接到生成函数的Hurwitz类号码$H(8n+7)$。
2022-01-11 math.NT
Finite orbit points for sets of quadratic polynomials
设$S=\{x^2+c_1, x^2+c_2,\dots, x^2+c_s\}$是一组有理系数的二次多项式，$P$是一个有理基点。我们对$(S,P)$进行分类，其中$P$对$S$具有有限轨道，假设每个多项式的最大周期长度至多为3（由Poonen提出）。特别地，在这些假设下，我们证明了，如果$s\geq4$，那么有没有点$P$有限轨道的$S$。此外，我们使用这个角度来制定一个类似的莫顿-西尔弗曼猜想的有理函数集。
2018-10-10 math.NT
Theta Series for Quadratic Forms of Signature $(n-1,1)$ with (Spherical) Polynomials
通过考虑签名$(n-1,1)$的二次型的θ级数，我们构造了几乎全纯模形式和全纯模形式.我们包括齐次和球面多项式的定义中的θ系列（推广建设的第二作者），以获得全纯，几乎全纯和模块化的θ系列。我们给出了这些级数重合的一个判别准则，使我们能够在模群的同余子群上构造几乎全纯尖形和全纯尖点形式。此外，我们提供了许多明确的例子。
2021-02-18 math.NT
Mean squares of quadratic twists of the Fourier coefficients of modular forms
本文渐近求值了给定模形式傅里叶系数在二次扭曲下的平滑求和版本，涉及Kronecker符号及正奇无平方整数求和。
2025-06-27 math.NT
Examples of Quadratic Polynomials over $\mathbb{Q}$ with Surjective Arboreal Galois Representations
研究二次多项式与严格预周期点的组合，以提供无限多个arboreal Galois表示可表征的示例。
2026-03-26 math.NT
A local-global principle in the dynamics of quadratic polynomials
令$K$为数域，$f\in K[x]$为二次多项式，以及$n\in\{1,2,3\}$。证明了如果$f$在$K$的每个非阿基米德完备化中都有周期点$n$，则$f$在$K$中都有周期点$n$.对于$n\in\{4,5\}$，我们证明了在$K$上最多存在1000个二次多项式的线性共轭类，对于这些线性共轭类，局部-全局原理失效。通过考虑这个原理的一个更强的形式，我们加强了Morton和Flynn-Poonen-Schaefer在$K=\mathbf Q$情形下得到的整体结果.更准确地说，我们表明，对于每一个二次多项式$f\in\mathbf Q[x]$有无穷多个素数$p$，使$f$没有一个点的周期4中的$p$ -进字段$\mathbf Q_p$。在已知亏格为11的特定曲线上的所有有理点的条件下，对于周期为5的点证明了相同的结果。
2015-11-28 math.NT
Sums of integral squares in complex bi-quadratic fields and in CM fields
设$K$是复双二次域，其环为整数环.对于$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-m}$，$\sqrt{n}$），其中$ m \equiv 3 \pmod 4 $和$ n \equiv 1 \pmod 4$，我们证明了每个代数整数都可以写成整数平方和.利用这一点，我们证明了对于任何复双二次域$K$，$4\mathcal{O}_K$的每个元素都可以写成五个整数平方和。此外，我们证明了任何CM域的整数环的毕达哥拉斯数至多为5。此外，我们还给出了两类复双二次域，它们分别为$p(\mathcal{O}_{K})= 3$和$p(4\mathcal{O}_{K})=3 $.这里，$p(\mathcal{O}_{K})$是$K$的整数环的毕达哥拉斯数，而$p(4\mathcal{O}_{K})$是最小的正整数$t$，使得$4\mathcal{O}_{K}$的每个元素都可以写为$t$整数平方和。
2021-03-09 math.NT
The critical orbit structure of quadratic polynomials in $\mathbb{Z}_p$
本文研究了定义在$\mathbb{Z}_p$上的$f_c=z^2+c$型多项式临界点的前向轨道。Hubbard树在$\mathbb{C}$中描述了具有有限临界轨道的映射的动力学行为。我们提出了一个概念的哈伯德树在非阿基米德设置，并描述可能出现的结构多项式$\mathbb{Z}_p$。作为一个例子，我们仔细研究了$c\in\mathbb{Z}_3$的$f_c$动态。
2016-03-13 math.NT
Averages of quadratic twists of long Dirichlet polynomials
本文在Lindelöf假设下计算了由Kronecker符号扭曲的长Dirichlet多项式的平均值，验证了其与[CFKRS]配方中的0-和1-交换项一致。
2025-08-11 math.NT
Explicit upper bound for an average number of divisors of quadratic polynomials
考虑满足某些额外条件的整数$b$和$c$的除数和$\sum_{n\leq N}τ(n^2+2bn+c)$。对于这个平均和，我们得到一个明确的上界，这是接近最佳的。作为应用，我们改进了$D(-1)$ -四元组的最大可能个数.
2015-10-20 math.NT
