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Jacobi 尖点形式的 Sup 范数界

Sup-norm bounds for Jacobi cusp forms

Anilatmaja Aryasomayajula, Jürg Kramer, Anna-Maria von Pippich

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AI总结：

本文利用模群下 Jacobi 尖点形式表示为模形式与 theta 函数线性组合的方法，导出了整权重和指标下 Jacobi 尖点形式自然不变范数的 $L^{\infty}$-范数界，证明其界为 $O_{Γ_{0},ε}(k\\,m^{\frac{7}{4}+ε})$。

摘要：

在本文中，我们给出了任意余有限 Fuchsian 子群 $Γ\subset\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R})$ 下，实权重 $k$ 和特征 $χ$ 的尖点形式的自然不变范数的 $L^{\infty}$-范数界。利用模群 $Γ_{0}=\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})$ 下整权重 $k$ 和指标 $m$ 的 Jacobi 尖点形式表示为 $Γ_{0}$ 的某同余子群（取决于 $m$）的权重 $k-\frac{1}{2}$ 模形式与适当的 Jacobi theta 函数的线性组合，我们导出了这些 Jacobi 尖点形式的自然不变范数的 $L^{\infty}$-范数界。更具体地，设 $J_{k,m}^{\mathrm{cusp}}(Γ_{0})$ 表示所讨论的 Jacobi 尖点形式的复向量空间，$\Vert\cdot\Vert_{\mathrm{Pet}}$ 为 $J_{k,m}^{\mathrm{cusp}}(Γ_{0})$ 上的逐点 Petersson 范数，我们证明对于 $k\in\mathbb{Z}_{\ge 5}$ 和 $m\in\mathbb{Z}_{\ge 1}$，以及给定的 $ε>0$，$L^{\infty}$-范数界 \begin{align*} \Vertϕ\Vert_{L^{\infty}}=\sup_{(τ,z)\in\mathbb{H}\times\mathbb{C}}\Vertϕ(τ,z)\Vert_{\mathrm{Pet}}=O_{Γ_{0},ε}\big(k\\,m^{\frac{7}{4}+ε}\big) \end{align*} 对任何关于 Petersson 内积 $L^{2}$-归一化的 $ϕ\in J_{k,m}^{\mathrm{cusp}}(Γ_{0})$ 成立，其中隐含常数取决于 $Γ_{0}$ 和 $ε>0$ 的选择。

英文摘要：

In this article, we give $L^{\infty}$-norm bounds for the natural invariant norm of cusp forms of real weight $k$ and character $χ$ for any cofinite Fuchsian subgroup $Γ\subset\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R})$. Using the representation of Jacobi cusp forms of integral weight $k$ and index $m$ for the modular group $Γ_{0}=\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})$ as linear combinations of modular forms of weight $k-\frac{1}{2}$ for some congruence subgroup of $Γ_{0}$ (depending on $m$) and suitable Jacobi theta functions, we derive $L^{\infty}$-norm bounds for the natural invariant norm of these Jacobi cusp forms. More specifically, letting $J_{k,m}^{\mathrm{cusp}}(Γ_{0})$ denote the complex vector space of Jacobi cusp forms under consideration and $\Vert\cdot\Vert_{\mathrm{Pet}}$ the pointwise Petersson norm on $J_{k,m}^{\mathrm{cusp}}(Γ_ {0})$, we prove that for $k\in\mathbb{Z}_{\ge 5}$ and $m\in\mathbb{Z}_{\ge 1}$, and a given $ε>0$, the $L^{\infty}$-norm bound \begin{align*} \Vertϕ\Vert_{L^{\infty}}=\sup_{(τ,z)\in\mathbb{H}\times\mathbb{C}}\Vertϕ(τ,z)\Vert_{\mathrm{Pet}}=O_{Γ_{0},ε}\big(k\,m^{\frac {7}{4}+ε}\big) \end{align*} holds for any $ϕ\in J_{k,m}^{\mathrm{cusp}}(Γ_{0})$, which is $L^{2}$-normalized with respect to the Petersson inner product, where the implied constant depends on $Γ_{0}$ and the choice of $ε>0$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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