ADE Double Scaled Little String Theories, Mock Modular Forms and Umbral Moonshine
我们考虑$K3$上的双标度小弦论。这些理论被标记为正整数$k \ge 2$和具有Coxeter数$k$的$ADE$根格。我们用超共形场论$K3 \times \left( \frac{SL(2,\mathbb{R})_k}{U(1)} \times \frac{SU(2)_k}{U(1)} \right) \big/ \mathbb{Z}_k$计算了这个理论的全息对偶中的BPS基本弦态。我们表明，BPS基本弦状态，这是计数的第二个螺旋度超迹的理论产生的重量两个混合模拟模块化的形式。我们计算的螺旋度超迹使用两个单独的技术：一个路径积分分析，导致一个模块化的不变，但非全纯的答案，并从离散状态的贡献，导致一个全纯的，但不是模块化不变的答案的哈密顿分析。从数学的角度来看，哈密尔顿分析导致一个混合模拟模形式，而路径积分给出了这个混合模拟模形式的完成。我们还比较了这些重量两个混合模拟模块化的形式，出现在由Niemeier根格$X$，是权力的$ADE$根格标记的阴影月光的情况下，发现它们是相等的，我们确定的一个常数因子。在分析过程中，我们遇到了一个有趣的推广Appell-Lerch和推广的黎曼关系的雅可比θ函数，他们服从。
2014-10-22 hep-th math.NT math.RT
Mock modularity and a secondary elliptic genus
拓扑模形式理论表明，二维超对称场论存在变形不变量，比标准椭圆亏格更精细。本文给出了其中一些不变量的物理定义。模模形式理论的出现令人惊讶，揭示了一些著名例子的完整性性质。
2019-04-11 hep-th math.KT
Wall-crossing holomorphic anomaly and mock modularity of multiple M5-branes
利用跨壁公式和模模形式理论，我们得到了一个关于在Calabi-Yau流形中包裹刚性因子的两个M5-膜的修正椭圆亏格的全纯反常方程.异常起源于恢复模块化的一个不确定的θ函数捕获壁交叉的BPS不变量与D4-D2-D 0膜系统。我们证明了这个方程与以前在N=4拓扑杨-米尔斯理论中观察到的反常方程在P^2和E弦上的相容性，这些弦是通过将M5-膜包裹在del Pezzo曲面上得到的。非全纯部分与单包裹M5-膜的束缚态对因子的贡献有关。我们在例子中表明，由异常提供的信息是足够的计算某些收费的BPS简并度。我们进一步推测自然延伸的异常更高的D4膜电荷。
2010-12-07 hep-th
Donaldson-Witten theory, surface operators and mock modular forms
我们重新讨论了拓扑扭曲的$\mathcal{N}=2$超杨-米尔斯理论，唐纳森-威滕理论，在一个封闭的四流形$X$嵌入表面，支持超对称表面运营商的$u$ -平面积分。该积分在数学上对应于$X$的分歧唐纳森不变量的生成函数。通过对$u$ -平面积分引入$\overline{\mathcal{Q}}$ -精确变形，我们可以将其被积函数重新表示为关于不定theta函数的全导数，这是一种特殊的模拟模形式.我们表明，特定的Kähler表面的Kodaira尺寸$-\infty$的积分定位在尖点在无穷远的库仑分支的理论。
2018-10-16 hep-th
Duality and Mock Modularity
本文从有效理论在库仑支上的路径积分出发，导出了规范群$SO(3)$的$\mathbb{CP}^{2}$上扭曲四维$\mathcal{N} =4$超Yang-Mills理论的Vafa-Witten配分函数的全纯反常方程.这个方程的全纯核，它只接受瞬子的贡献，不是模的，而是“模拟模”的。配分函数只有在包含反瞬子的反常非全纯边界贡献后才具有$S$ -对偶所期望的正确的模性质。利用M-理论对偶，我们将这一现象与二维非紧西格玛模型的椭圆亏格的全纯异常联系起来，并在二维空间中独立地计算它。四维和二维的异常都可以追溯到六维（2，0）理论在张量分支上的有效作用中的拓扑项。我们考虑推广到其他流形和其他规范群，以表明模拟模块性是通用的和必要的展示对偶时，相关的场空间是非紧的。
2020-10-20 hep-th
The Mock Modular Data of a Family of Superalgebras
推广gl（1）的仿射李超代数的一类W-超代数的表示特征标的模性质|（1）考虑。模块分为两类，泛型类型和非泛型类型。非类属模的特征标用高阶Appell-Lerch和表示。我们计算的模块化的字符转换和解释的Mordell积分作为一个整体的字符的通用表示。有限数量的非属类字符的\C -跨度与不可数的属类字符集一起组合成SL（2; \Z）的表示。然后使用模变换来定义字符空间上的乘积。扩展代数的融合规则部分继承了gl（1）的仿射李超代数模的融合规则|1）。此外，从模变换得到的产品符合的格罗滕迪克环的字符的产品，当且仅当融合重数是最多一个。
2012-05-07 hep-th math.NT math.QA
Mock Modular Index of M2-M5 Brane System
我们提出了生活在相交的M2-M5膜系统上的超群WZW模型的BPS指数。它们可以对伸展的M2-膜在M5-膜之间的数据进行编码，并对BPS态进行计数。它们通常通过仿射李超代数的Kac-Wakimoto特征标公式用模拟θ函数表示。我们给出了$PSL(2|2)_{k=1}$ WZW模型的指数的一个显式表达式。这表明，由于M5-膜上的$C$ -场的存在，在BPS态计数中出现了穿壁现象。
2017-01-17 hep-th math.AG math.NT
APS $η$-invariant, path integrals, and mock modularity
我们证明了Atiyah-Patodi-Singer $η$ -不变量可以与非紧理论的温度相关Witten指数联系起来，并利用散射理论给出了APS定理的一个新的证明.我们涉及的$η$不变的Callias指数和计算它使用本地化的超对称路径积分。我们表明，$η$ -不变量的椭圆属有限雪茄是有关的量子模块化的形式从完成一个模拟的Jacobi形式，我们计算从非紧路径积分。
2019-05-13 hep-th math-ph math.MP
Resurgent rigidity of mock theta functions: uniqueness and natural boundary crossing
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；University of Connecticut（康涅狄格大学）
本文通过复兴超越级数方法研究模拟 theta 函数，证明 Mordell--Appell 积分决定其模与复兴结构，给出唯一性刻画、新函数构造及两种一致的自然边界穿越方法。
2026-10-01 hep-th math-ph math.CA
The non-compact elliptic genus: mock or modular
我们分析了关于中心荷大于3的非紧超对称陪集共形场论的椭圆亏格的各种观点。我们计算的全纯部分的椭圆亏格通过自由场描述的模型，并表明它同意代数期望。椭圆亏格的全纯部分与Appell-Lerch和直接相关，并在模变换性质下表现出奇异性。我们分析了异常的起源，通过计算椭圆亏格通过陪集共形场论的路径积分。路径积分编码的全纯部分的椭圆属，和一个非全纯的剩余部分，发现它的起源在非紧模型的连续谱。余项可以被证明与数学家引入的一个函数相一致，该函数用于参数化模拟θ函数和雅可比形式之间的差异。因此，椭圆亏格的全纯部分有一个路径积分完备化，这使得它是非全纯的和模的。
2010-06-17 hep-th
Mock modularity of Calabi-Yau threefolds
Laboratoire Charles Coulomb (L2C), Université de Montpellier, CNRS（摩泽尔大学、法国国家科学研究中心）
本研究针对IIA型弦论卡拉比-丘紧化中D4-D2-D0 BPS指标的生成函数所满足的模反常方程，提出用不定θ级数求解任意荷情形的方法，可通过有限个傅里叶系数确定生成函数对应的模形式。
2025-01-25 hep-th math-ph math.AG
Mock modularity at work, or black holes in a forest
1 Laboratoire Charles Coulomb (L2C), Universit\'e de Montpellier, CNRS, F-34095, Montpellier, France
本综述介绍拟模形式在弦论BPS黑洞微态数生成函数、拓扑不变量计算及卡拉比-丘三维簇模空间非交换结构构建中的应用。
2026-08-28 gr-qc hep-th math-ph
Compact Formulas for the Completed Mock Modular Forms
本文利用路径积分计算的谱流方法，给出SL（2）/U（1）-超陪集理论的椭圆亏格的一个新的紧表达式。这个新的表达式被写在一个形式，如庞加莱级数与非全纯高斯阻尼因子，并明显地显示了一个真正的分析雅可比形式的模块和频谱流的性质。作为一个相关的问题，我们提出了类似的紧公式，出现在N= 2，4超共形代数的表示理论中的各种模模形式的模补。我们进一步讨论了任意自旋结构的情况下，即世界片费米子与扭曲的边界条件参数的连续参数的推广。该参数自然地与Appell-Lerch和中的“u变量”相一致。
2014-11-27 hep-th math-ph math.MP
Mock Modular Mathieu Moonshine Modules
我们构建超级顶点算子代数，导致模块的月光关系连接四个较小的零星的简单马蒂厄组与著名的模拟模块化形式。从一个自由费米子理论的轨道折叠出发，Co_0的任何子群只要固定了其唯一的非平凡24维表示的一个3维子空间，就可以与某个N=4的超共形代数交换.类似地，Co_0的任何固定24维表示的2维子空间的子群与某个N=2超共形代数可交换。通过将相应的N个配分函数分解为N=4的特征标（分别为N=2）超共形代数，得到了与相应群的无限维Z-分次模的分次特征一致的模形式.马蒂厄群被月光性质从各种其他可能性中挑选出来：要求相应的弱雅可比形式在尖点附近具有一定的渐近行为。我们的建设构成的第一个例子，明确实现模块背后的月光现象有关的模拟模块形式零星的简单群体。其他群体，包括McLaughlin和Higman-西姆斯的零星群体的模块，也进行了讨论。
2015-08-10 hep-th math.RT
The Largest Mathieu Group and (Mock) Automorphic Forms
我们回顾了最大的Mathieu群和各种模对象之间的关系，包括最近的进展的关系模拟模形式。我们还回顾了这些数学结构与K3表面上的弦理论之间的联系。
2012-01-19 hep-th math.RT
Three-Manifold Quantum Invariants and Mock Theta Functions
模拟模形式已经发现应用在数学科学的许多分支，因为他们首先介绍了拉马努金近一个世纪前。在这个过程中，我们强调一个新的领域，模拟模形式开始发挥重要作用，即研究三流形不变量。对于某一类Seifert三流形，我们描述了一个猜想，最近提出的量子不变量的模拟模的性质。作为一个例子，我们包括具体的计算一个特定的三流形，Brieskorn球$Σ(2,3,7)$。本说明部分基于第一作者在2018年皇家学会举行的“Srinivasa Ramanujan：庆祝他当选FRS一百周年”会议上的讲话。
2020-03-16 hep-th math-ph math.GT
Gauge Threshold Corrections for N = 2 Heterotic Local Models with Flux, and Mock Modular Forms
我们确定阈值修正的规范耦合在本地模型的N=2光滑杂合紧挠，给出了一个扭曲的Eguchi-Hanson空间和两个环面的直积，连同一个线丛。使用世界表CFT描述以前发现，并通过适当的正则化的无限目标空间体积的分歧，我们表明，阈值校正的各种规范因素的非全纯完成的Appell-Lerch和。虽然它的全纯模拟模块组件捕获的贡献，本地化的爆破两个周期的状态，非全纯校正源自非本地化的散装状态。我们推断从这个分析的普遍性属性为N=2杂种优势的本地模型与通量，基于目标空间模块化的不变性和存在这样的非本地化状态。我们最终确定这些单圈规范阈值修正的两个环面的模量的显式依赖，并通过S-对偶性，我们提取相应的弦环和E1-瞬子修正的Kaehler势和规范动力学函数的双I型模型。在这两种情况下，非定域体态的存在带来了新的微扰和非微扰修正，其中的一些功能可以解释在类似的修正紧凑模型中的有效理论的光。
2013-01-09 hep-th math.AG math.NT
SO(3)-Donaldson invariants of CP^2 and Mock Theta Functions
我们计算了CP ^2上的摩尔-威滕正则化u-平面积分，并证实了他们的猜想，即它是CP ^2的SO（3）-唐纳森不变量的生成函数。我们利用模拟θ函数和调和Maass形式的理论证明了这个猜想。我们还利用某些有理椭圆曲面（N_f= 0，2，3，4）的几何，进一步导出了具有2N_f无质量单极子的SO（3）-Donaldson不变量的生成函数.我们证明了N_f=4时的分拆函数是近似模的.当与Ramanujan的一个模拟θ函数相结合时，我们得到一个权1/2模形式。这个事实是证明这个猜想的核心。
2012-07-23 hep-th math.DG math.NT
Higher Depth False Modular Forms
假θ函数是与经典θ函数和模拟θ函数密切相关的函数。在本文中，我们研究其模块化的性质在所有的行列，形成模块化的完成类似于模块化的任何签名的不定θ函数，从而开发了一个结构平行于最近发展的理论更高的深度模拟模形式。然后，我们证明了这一理论基础上的一些例子，深度三来自字符的模块的顶点代数$W^0(p)_{A_n}$，$1 \leq n \leq 3$，并从$\hat{Z}$ -不变量的$3$ -流形与规范群$\mathrm{SU}(3)$。
2022-06-28 hep-th math.NT math.RT
Mock modularity from black hole scattering states
用Igusa尖点形式的逆的Fourier系数给出了$K3 \times T^2$上II型弦论中四分之一BPS双子的精确简并度.对于一个固定的磁荷不变的$m$，这些简并的生成函数自然地分解为两个部分的总和，这两个部分被认为是占单中心黑洞，和两个中心的黑洞束缚态，分别。分解是这样的，每个部分分别是模协变的，但都不是全纯的，要求一个物理解释的非全纯。我们通过计算两中心半BPS黑洞的量子力学的超对称指数来解决这个难题，我们用Taub-NUT空间上的测地线运动来模拟两中心半BPS黑洞。我们计算一个合适的指数使用本地化方法，并发现它包括一个温度无关的贡献BPS束缚态，以及温度依赖的贡献，由于光谱不对称的散射状态的连续。连续贡献与两中心黑洞束缚态母函数的模性所需的非全纯完备项完全一致。
2018-08-16 hep-th
Multiple D3-instantons and mock modular forms II
本文证明了在 Calabi-Yau 三流形紧化的 type IIB 弦理论中，DT 不变量生成函数为向量值模拟模形式这一条件在双瞬子阶的充分性，通过引入新 theta 级数族并构造保持全纯接触结构的 SL(2,Z) 作用来实现。
2017-02-17 hep-th math-ph math.AG
The Umbral Moonshine Module for the Unique Unimodular Niemeier Root System
利用超顶点算子代数的正则扭模，构造了与其根子格重合的唯一Niemeier格的暗月光模.特别是，我们给出了明确的表达向量值模拟模形式附加到这个格的自同构的阴影月光。我们还刻画了向量值模拟模形式的出现，其中四个Ramanujan的五阶模拟θ函数出现的组件。
2014-12-28 hep-th math.NT math.RT
Black holes and higher depth mock modular forms
本文通过在Calabi-Yau三流上紧致的IIB型弦理论中强制S对偶不变性，推导了IIA型弦理论中D4-D2-D0黑洞BPS简并度生成函数的模性质，发现当除子可约时该函数具有模异常，并证明其是深度为$n-1$的混合模拟模形式。
2018-10-01 hep-th math-ph math.AG
On Crossing Symmmetry and Modular Invariance in Conformal Field Theory and S Duality in Gauge Theory
本文讨论了共形场论中的交叉对称性和模不变性与规范理论中的S对偶性之间的关系。本文指出，由Liouville四点函数的交叉对称性可以导出具有四个基本项的N=2 SU（2）规范理论的不同S对偶理论的配分函数。我们还证明了N=4 SU（2）规范理论的配分函数可以由环面上的Liouville配分函数导出。
2009-08-30 hep-th
Modular crossings, OPE coefficients and black holes
在（1+1）-d CFTs中，平面上的4点函数可以映射到枕形几何形状，从而交叉对称性被转化为模块化属性。我们使用这些模块化的功能，推导出一个通用的渐近公式的OPE系数，其中一个运营商的平均超过沉重的小学。粗粒重通道再现了引力2比2 S矩阵的特征，该矩阵以黑洞为中间态。
2018-11-27 hep-th
Modular anomaly of BPS black holes
本文研究了IIA型弦理论Calabi-Yau紧致化中计数D4-D2-D0黑洞状态的BPS指标生成函数，证明其复杂的模反常可被显著简化，从而简化了寻找相应mock模生成函数的过程。
2024-10-31 hep-th math-ph math.AG
Multiple D3-instantons and mock modular forms I
本文将IIB弦论中D3-瞬子与S对偶的一致性分析扩展至双瞬子水平，证明当D3膜缠绕可约除子时，MSW不变量的生成函数须作为取值于向量的mock模形式变换，从而约束BPS黑洞简并并预测了纯二维层Donaldson-Thomas不变量的模性质。
2016-07-18 hep-th math-ph math.AG
Crossing Probabilities in Critical 2-D Percolation and Modular Forms
利用边界共形场论导出了有限大格子上临界二维渗流的交叉概率。这些预测与数值结果吻合得很好。然而，它们的推导是启发式的，并且有证据表明问题中存在额外的对称性。这一贡献给出了一个初步的检查这些数量的一些不寻常的模块的行为。特别地，“水平”和“水平-垂直”交叉概率的导数变换为向量模形式，其中一个分量是普通模形式，另一个分量是模形式与模形式的积分的乘积。我们包括考虑之间的相互作用，共形和模块化的不变性，出现。
1999-11-04 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Sign of BPS index for ${\cal N}=4$ dyons
在本文中，我们讨论了如何改变平均的正权重模拟模块形式与${\cal N}=4$ II型弦黑洞紧化的轨道折叠的$K3\times T^2$。$N$阶轨道折叠与$g'\in[M_{23}]$、$K3$上的$N$阶辛轨道折叠以及圆环$T^2$的其中一个圆中的$1/N$移动一起作用。利用拟Jacobi形式和Appell Lerch和，对磁荷$P^2=2$的$Sp_2(\mathbb{Z})$子群的逆Siegel模形式进行了推广.我们分析了这些模拟模块化形式的系数后，θ分解，并删除逆eta产品的平均增长。特别是，我们删除的基本字符串的贡献，正确地占主导地位的增长的正权重模块化的形式后的前几个系数，并确保积极的螺旋跟踪指数$-B_6$。利用数字和极限的除数和函数，我们预测这些模拟模形式的符号。我们还观察到，与$K3$的非几何orbifolds相关的尖点形式只能对前几项的符号变化做出贡献，因此对于大电荷，它们的贡献可以忽略不计。
2023-03-17 hep-th
Numerical experiments on coefficients of instanton partition functions
本文分析了复射影平面$\mathbb{CP}^2$的Vafa-Witten理论的配分函数的系数。我们实验研究了规范群$SU(2)$和$SU(3)$系数的增长，这两个规范群分别是深度$1$和深度2的模形式的例子。我们还引入了“mock cusp form”的概念，并研究了一个与$SU(3)$配分函数有关的权为3的例子。对前200个系数的数值实验表明，权重$k$的模拟模形式的系数作为权重$k$的模形式的系数增长，即作为$n^{k-1}$增长。另一方面，模拟尖点形式的系数似乎以$n^{3/2}$的形式增长，这超过了权重为3的经典尖点形式的增长。我们使用鞍点分析，但大大超过了实验观察的界限。
2023-03-20 hep-th
Superconformal Algebras and Mock Theta Functions
已知扩张超共形代数的BPS表示的特征标由于BPS条件产生的额外奇异向量而不具有良好的模性质。为了改善它们的模性质，我们应用最近发展起来的Zwegers方法来分析模拟theta函数的模性质。在一般水平上考虑N=4超共形代数的情形，得到了BPS表示的特征标分解为简单Jacobi形式和非BPS表示的无穷级数.我们应用我们的方法来研究椭圆属的超Kahler流形在高维。特别地，我们确定了K3曲面K^{[2]}和复环面A^{[[3]]}上点的Hilbert方案的复4维情形下的椭圆亏格。
2009-03-02 hep-th math-ph math.MP
Black holes and modular forms in string theory
本文阐述弦论中黑洞与模形式间的深刻联系，揭示微观态生成函数为模形式，并发现模拟模形式与黑洞的新关系，提供无限新实例。
2023-12-28 hep-th math.NT
Quantum geometry and mock modularity
Université de Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学，法国国家科学研究中心）；Imperial College（帝国理工学院）；Universität Bonn（波恩大学）；Sorbonne Université, CNRS（索邦大学，法国国家科学研究中心）
本研究将基于GV与DT不变量的分析拓展到带2单位D4膜荷的D4-D2-D0指标情形，验证了两类Calabi-Yau三维流形的对应生成级数符合S对偶预测的mock模形式，并得到拓扑弦振幅全纯歧义性的新边界条件，大幅提升了可确定的最高亏格。
2023-12-19 hep-th math.AG
Crossing Probabilities and Modular Forms
我们检查交叉概率和自由能共形不变的临界2-D系统在矩形几何形状，通过共形场论和随机Löwner演化方法。这些数量表现出有趣的模块化行为，虽然在这种情况下，模块化变换的物理意义尚不清楚。我们表明，在许多情况下，这些功能是完全由非常简单的转换特性。特别是，Cardy函数的渗透交叉概率（包括共形尺寸1/3），从一个简单的模块参数。提出了一种新的“高阶模形式”，并简要讨论了它的性质。
2003-02-27 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech hep-th
Integral Representations of Rank Two False Theta Functions and Their Modularity Properties
假θ函数形成了一个函数族，这些函数具有有趣的模性质和与模拟模形式的联系。在本文中，我们采取的第一步，调查高秩假θ函数的模变换，更高的深度模拟模形式的例子。特别是，我们证明了在相当一般的条件下，一个秩二假θ函数是确定的迭代，全纯，Eichler型积分。这提供了一个新的方法来检查他们的模块化的属性，我们将其应用在各种情况下，秩二假θ函数出现。首先考虑$A_2$和$B_2$型顶点代数的通有仿费米子特征标。这需要一个相当非平凡的分析傅里叶系数的亚纯Jacobi形式的负指数，这是独立的利益。然后讨论了来自超共形Schur指标的二阶假θ函数的模性。最后，我们分析了某些管道${\tt H}$ -图的Gukov，Pei，Putrov和Vafa的$\hat{Z}$ -不变量。一路上，我们的方法澄清了以前的结果深度2量子模块。
2021-08-26 hep-th math.NT math.RT
Lectures on modular forms and strings
这些讲座的目的是提出一个非正式的，但精确的介绍了一些理论和弦论围绕模形式和他们的推广感兴趣的概念和方法。模不变性是共形场论、弦微扰论、蒙托南-奥利弗对偶、塞伯格-威滕理论和IIB型超弦理论中的S-对偶的核心。自守形式相对于更高的算术群，以及模拟模形式进入环形弦紧化和计数的黑洞微观状态。在介绍了基本的数学概念，包括椭圆函数，模形式，马斯形式，模形式的同余子群，向量值模形式，和模图形式，我们描述了一个小的子集的无数应用程序的问题，在数学和物理，包括上面提到的。
2022-11-18 hep-th math.NT
Classical and Umbral Moonshine: Connections and $p$-adic Properties
怪物月光的经典理论描述了怪物群$M$（最大的简单零星群）的表示理论与某些称为Hauptmodln的模函数之间的意想不到的联系。特别地，克莱因$j$函数的$n$阶傅立叶系数是怪物群的特殊无限维表示$V$的等级$n$部分的维数。更一般地，Hauptmoduln的系数是作用于$V$的$g \in M$的分级迹线$T_g$。类似的现象已经被证明适用于马蒂厄群$M_{24}$，但是必须使用模拟模块形式而不是模块函数。这已经被进一步推广到阴影月光，它将23个尼迈耶格中的每一个关联到一个有限群，无限维表示和模拟模形式。我们使用广义的Borcherds产品来联系巨大的月光和阴影月光。也就是说，我们使用模拟模形式的阴影月光通过广义Borcherds产品的有理函数的Hauptmoduln $T_g$从巨大的月光。这使我们能够将每个纯$A$型尼迈耶格与怪物群的共轭类$g$相关联，并产生与从阴影月光到$T_g$的值的表示的维度相关的恒等式。我们还表明，对数衍生物的Borcherds产品$p$ -进模的形式，某些素数$p$和描述的一些由此产生的性质，其系数模$p$。
2015-08-18 hep-th math.NT math.RT
Crossing, Modular Averages and $N \leftrightarrow k $ in WZW Models
我们考虑构造包含两个Kac Moody原色的基本和两个反基本表示的$SU(N)_k$ WZW模型的亏格零算子，从真空共形块贡献的模平均.在我们发现真空共形块的轨道是有限的情况下，模平均法再现了双折射子的精确结果。在其他情况下，我们进行模平均数值，结果与精确的答案是一致的。我们发现了与水平秩对偶相关的理论的模平均和之间的密切关系。我们建立了一个一对一的对偶理论的真空共形块的轨道元素之间的对应关系。成对项对它们各自的分解因子的贡献是简单相关的。这样做的一个结果是，与对偶分解器相关的OPE系数之间的比率可以通过分析获得，而无需执行模平均中涉及的求和。对偶理论的模平均和中的项的配对表明了水平秩对偶性与理论中的量子数的半经典全息计算之间的有趣联系。
2019-06-04 hep-th
From sheaves on P2 to a generalization of the Rademacher expansion
曲面上稳定凝聚层的模空间在数学和物理学中都有重要的意义。吉冈计算生成函数的庞加莱多项式的这种模空间，如果表面是射影平面P2和秩的层是2。受物理论证的启发，本文研究了这些生成函数的模性质。它表明，这些功能可以书面的Lerch和和θ函数。在此基础上，我们证明了Vafa和Witten的一个猜想，该猜想将欧拉数的生成函数表示为混合模模形式.此外，我们还推导了该函数的傅里叶系数的精确公式，它类似于弱全纯模形式的Rademacher展开式，但更为复杂.这是混合模拟模形式的傅里叶系数的精确公式的第一个例子，它具有独立的数学意义。
2011-10-26 hep-th math.AG math.NT
Appell Functions for General Lattices
本文研究与任意正定格及线性无关向量关联的 Appell 函数，证明其为深度 $M$ mock 模形式，推导了模完备化结构公式，并详细讨论了 $A_N$ 根格情形。
2025-10-11 hep-th math.NT
The Immortal Dyon Index Is Positive
本文证明 Sen 关于渐近平坦四维时空中超对称黑洞微观态指数为正的猜想，通过建立不朽双子带指标简并度与 mock 模形式系数的关系，揭示黑洞预言 mock 模形式傅里叶系数符号。
2024-03-28 hep-th math.NT
3d Modularity
我们发现并提出了一个解释大量的各种各样的模块化相关的对称性的问题，3流形拓扑和物理的三维$\mathcal{N}=2$理论，这种结构的先验是不明显的。这些模块化结构包括：模拟模形式、$SL(2,\mathbb{Z})$ Weil表示、量子模形式、非半单模张量范畴和对数CFTs的手征代数。
2020-05-27 hep-th math.GT math.NT
An exact formula for $\mathrm{U}(3)$ Vafa-Witten invariants on $\mathbb{P}^2$
拓扑扭曲的$\mathcal{N} = 4$超Yang-Mills理论有一个计算瞬子模空间的欧拉数的分拆函数。在流形$\mathbb{P}^2$上，并具有规范群$\mathrm{U}(3)$，这个分拆函数具有全纯异常，这使得它成为深度为2的模拟模形式。我们采用圆的方法找到一个Rademacher展开的傅里叶系数的分拆函数。这是第一个使用圆方法来模拟更高深度的模形式的例子。
2018-09-24 hep-th math.AG math.NT
Umbral Moonshine and the Niemeier Lattices
在本文中，我们将阴影月光的尼迈耶格：23甚至unimodular正定格秩24与非平凡的根系。到每个尼迈耶格，我们附加一个有限群，考虑一个自然定义的商的格自同构群，并为每个共轭类的每个这些群体，我们确定了一个向量值模拟模形式，其组件符合模拟θ函数的拉马努金在许多情况下。这导致了暗月光猜想，指出一个无限维的模块被分配给每个尼迈耶格的方式，相关的梯度跟踪功能是一个独特的性质模拟模形式。这些结构和构造扩展了我们早期的论文，特别是包括江口-大谷立川观察到的马蒂厄月光作为特例。我们的分析还突出了亏格零群和尼迈耶格之间的对应关系。作为这种关系的一部分，我们认识到的Coxeter数的Niemeier根系的A型组件，正是这些水平，相应的经典模曲线有亏格为零。
2014-07-22 hep-th math.NT math.RT
D3-instantons, Mock Theta Series and Twistors
II型弦论的D-瞬子修正超多重态模空间在卡-丘三重空间上紧化，在IIA型图像中，通过一个twistorial结构，用广义Donaldson-Thomas不变量来确定。同时，在镜型IIB图象中，在只保留D_3-D_1-D（-1）-瞬子修正的极限下，它应带有S-对偶群SL（2，Z）的等距作用量。通过在线性化扭量空间上构造SL（2，Z）的全纯作用，我们证明了在单瞬子近似下也是如此。利用D4-D2-D 0黑洞配分函数的模不变性，我们证明了扭量空间中的标准Darboux坐标具有由Siegel-Narain θ级数的周期积分控制的模反常，这种模反常可以被全纯模拟θ级数产生的接触变换所抵消.
2017-02-17 hep-th math-ph math.MP
Orbifolded Elliptic Genera of Non-Compact Models
该文推广N=2雪茄模型椭圆亏格至实中心荷，计算角向轨道亏格并分解，证明其为完备模拟模形式，且轨道理论半径有极值。
2024-10-15 hep-th
Scalar Modular Bootstrap and Zeros of the Riemann Zeta Function
利用调和分析技术，导出了一个只作用于具有$U(1)^c$对称性的二维共形场论的标量原算符的交叉方程。从这个交叉方程，我们得出的标量间隙的所有这些理论的界限。值得注意的是，我们的交叉方程包含了黎曼zeta函数的所有非平凡零点的信息。因此，我们将黎曼假设纯粹地重新表述为关于某些二维共形场论中标量算子的渐近密度的陈述。我们讨论的推广理论只有Virasoro对称性。
2022-09-20 hep-th
3d Modularity Revisited
本文通过引入带超对称缺陷的 $\hat Z$-不变量，阐明 $\widetilde {\rm SL}_2(\mathbb{Z})$ 向量值量子模形式完整捕捉给定三维流形所有 $\hat Z$-不变量，并验证了 mock 模性猜想，进而构造了相应的锥顶点算子代数。
2025-11-10 hep-th math-ph math.GT
Neural Spectral Bias and Conformal Correlators II: Modular and Annulus Bootstrap
King's College London（伦敦国王学院）；University of Crete（克里特大学）
该研究基于模块化不变性等开发神经网络引导框架重建二维CFT配分函数，对环面和环面配分函数分别处理，以锚定引导形式提出问题，用轻量级神经网络解决，利用谱偏置统一相关约束，能高精度从稀疏数据重建配分函数。
2026-07-29 hep-th
Vafa-Witten theory and iterated integrals of modular forms
Vafa-Witten（VW）理论是N=4超对称Yang-Mills理论的拓扑扭曲版本。S-对偶性表明规范群SU（N）的VW理论的配分函数在对偶变换下变换为模形式。有趣的是，瓦法和威滕证明了一个模反常的存在，当理论具有规范群SU（2），并被认为是在复射影平面P2上。这种模反常可以表示为模形式的积分，也可以交换为全纯反常。我们证明了规范群SU（3）的模反常涉及模形式的迭代积分。此外，SU（3）的模反常可以被交换为全纯反常，这被证明是低阶规范群的配分函数的乘积的因子。SU（3）配分函数在数学上是深度为2的模拟模形式的一个例子。
2018-07-19 hep-th math.AG math.NT
No More Walls! A Tale of Modularity, Symmetry, and Wall Crossing for 1/4 BPS Dyons
我们确定了一类由$K3 \times T^2$的CHL轨道折叠产生的4d $\mathcal{N}=4$弦真空中的1/4 BPS双子的生成函数。我们表明，所有这样的生成函数服从一些简单的物理一致性条件，往往足以使他们唯一。我们施加的主要约束是没有非物理的边缘稳定性墙：1/4 BPS简并的不连续性只能发生在1/4 BPS双子衰变成1/2 BPS状态对时。在形式上，时空中的这些生成函数可以描述为K3上相应的非线性西格玛模型的世界表上某些超对称指数（缠绕生成）的乘法提升。因此，我们的程序也导致了几乎所有这些缠绕属的明确推导。正如最近的一个猜想所预测的那样，以这种方式挑选出来的世界表指数与一组对月光感兴趣的函数精确匹配。
2017-02-16 hep-th
Gauging or extending bulk and boundary conformal field theories: Application to bulk and domain wall problem in topological matter and their descriptions by (mock) modular covariant
本文系统研究边界与体态共形场论中的规范操作和群扩张，建立有质量与无质量RG流同2+1维拓扑序的对应关系，构造新BCFT系列，并利用折叠技巧给出求解带电畴壁及任意子输运的通用方法。
2025-08-13 cond-mat.str-el hep-th math-ph
BPS Indices, Modularity and Perturbations in Quantum K-theory
研究了N=2的3d规范理论的微扰族及其与量子K理论的关系。给出了Grassmannian量子K理论环的Intriligator-Vafa公式的一个3d形式。规范理论的3dBPS半指标与双边超几何q-级数理论以及一类共形场论在一定无质量极限下的模q-特征标有关。在扭转点处打开3d Wilson线会导致模拟模块化行为。通过确定存在变形的UV-IR图来计算IR区域中的扰动散射因子。
2021-07-08 hep-th math.AG
Modular linear differential equations for four-point sphere conformal blocks
我们构造模线性微分方程（MLDEs）w.r.t.子群的模块组的解决方案是Virasoro共形块出现在扩展的交叉对称4点相关的领域。这使用了交叉转换和模块转换之间的连接。我们专注于二阶MLDE的情况下，所有相同的和成对相同的运营商的相关器。中心荷、上述算子的维数以及中间算子的维数都用这种MLDE中出现的参数来表示。在这样做时，$q$ -扩展的解决方案的MLDE相比，Virasoro块，因此，Zamolodchikov的椭圆递归公式提供了一个重要的输入。利用各个子群的作用，建立了包含相关3点系数的自举方程，并根据MLDE参数求解。我们提出了明确的例子，MLDE对应的BPZ和新的非BPZ方程，以及酉和非酉CFTs。
2022-11-09 hep-th
