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arXiv 2403.05933math.AP
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关于广义拉普拉斯算子的第一特征值

On the first eigenvalue of the generalized laplacian

Julian Fernandez Bonder, Ariel Salort

备注：
22 pages. Submitted
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AI总结：

本文研究广义拉普拉斯算子对应的瑞利型商极小元能量，在仅假设A为杨函数的条件下，分析能量对归一化参数α的依赖、可微性及α趋于0和无穷时瑞利商的极限，并探讨非局部情形。

摘要：

在本研究中，我们探究形如$$\frac{\int_ΩA(|\nabla u|)\\, dx}{\int_ΩA(|u|)\\, dx}$$的瑞利型商极小元的能量。这些极小元是广义拉普拉斯算子$Δ_a u = \text{div}\left(a(|\nabla u|)\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right)$的特征函数，其中$a(t)=A'(t)$，且该瑞利商与相关特征值相当。对于函数$A$，我们仅假设它是一个杨函数，未施加$Δ_2$条件。由于该问题不具备齐次性，已知极小元的能量强烈依赖于归一化参数$α=\int_ΩA(|u|)\\, dx$。在本研究中，我们精确分析了这种依赖关系，证明了能量关于$α$的可微性，此外还得到了瑞利商在$α\to 0$和$α\to \infty$时的极限。我们还分析了该问题的非局部版本。

英文摘要：

In this work we investigate the energy of minimizers of Rayleigh-type quotients of the form $$ \frac{\int_ΩA(|\nabla u|)\, dx}{\int_ΩA(|u|)\, dx}. $$ These minimizers are eigenfunctions of the generalized laplacian defined as $Δ_a u = \text{div}\left(a(|\nabla u|)\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right)$ where $a(t)=A'(t)$ and the Rayleigh quotient is comparable to the associated eigenvalue. On the function $A$ we only assume that it is a Young function but no $Δ_2$ condition is imposed. Since the problem is not homogeneous, the energy of minimizers is known to strongly depend on the normalization parameter $α=\int_ΩA(|u|)\, dx$. In this work we precisely analyze this dependence and show differentiability of the energy with respect to $α$ and, moreover, the limits as $α\to 0$ and $α\to \infty$ of the Rayleigh quotient. The nonlocal version of this problem is also analyzed.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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