Averages of multiplicative functions along equidistributed sequences
Stephanie Chan, Peter Koymans, Carlo Pagano, Efthymios Sofos
研究非负函数沿等分布序列的平均值，建立了匹配的上下界，推广了相关平均结果。
对于一族一般的非负函数，建立了其沿任意等分布序列取值的平均值匹配的上界和下界。
For a general family of non-negative functions matching upper and lower bounds are established for their average over the values of any equidistributed sequence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Distribution in coprime residue classes of polynomially-defined multiplicative functions
本文研究多项式定义的可乘函数在互素剩余类中的分布，建立了模数大范围一致条件下的等分布结果，并证明欧拉函数值在特定模数下渐近等分布。
Mean values of multiplicative functions and applications to the distribution of the sum of divisors
本文在一般假设下建立乘法函数均值的一致幂次节省界，并据此研究 σ(n) 在模 q 互素剩余类中的等分布，推广并优化了 Śliwa 的结果。
Equidistributions of Jacobi sums
设$\mathbf{F}_q$是$q$元素的有限域。我们表明，规范化的雅可比和$J(χ,η)/\sqrt{q}$，为每个固定的非平凡乘法字符$η$，成为均匀分布在单位圆$q\rightarrow+\infty,$时，$χ$运行在所有非平凡乘法字符不同于$η^{-1}.$以前，类似的均匀分布得到了Katz和郑通过改变两者的$χ$和$η$。另一方面，我们也得到了当$(χ,η)$在$\mathcal{X}\times\mathcal{Y}\subseteq(\widehat{\mathrm{F}^*})^2$上运行时，只要对任何$\varepsilon>0$有$|\mathcal{X}|>q^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$和$|\mathcal{Y}|>q^\varepsilon$，$J(χ,η)$的等分布。这更新了Lu，Zheng和Zheng最近的工作，他们需要$|\mathcal{X}||\mathcal{Y}|>q\log^2q.$。主要成分是由于Katz的超几何和的估计。
Quantitative time-averaged spherical means along equidistributed spirals: Diophantine rates and limits of uniformity
该研究针对Kronecker流生成的等分布螺旋，证明了球面可观测量时间平均的多项式收敛速率，处理了参数化退化问题，还得到收缩螺旋下的显式速率及径向剖面二分性，并指出无统一速率适用于所有有理独立频率。
Mean values of multivariable multiplicative functions and applications to the average number of cyclic subgroups and multivariable averages associated with the LCM function
我们使用多个zeta函数证明，在适当的假设下，多变量乘性函数的平均值的精确渐近公式。作为应用，我们证明了群${\mathbb Z}_{m_1}\times\dots\times {\mathbb Z}_{m_n}$的循环子群的平均数和与LCM函数相关的多元平均数的一些性质。
On a problem of Arnold: the average multiplicative order of a given integer
对于g，n互质整数，设lg（n）表示g模n的乘法阶.受Arnold猜想的启发，我们研究了n <= x范围内与g互质且x趋于无穷大时l_g（n）的平均值。假设广义黎曼假设，我们表明，这个平均值基本上是一样大的平均卡迈克尔lambda函数。当p <= x时，我们还确定了l_g（p）的平均值在素数上的渐近性.
Joint distribution in residue classes of families of polynomially-defined multiplicative functions
本文研究多项式定义乘性函数族在模数剩余类中的联合分布，推广Narkiewicz判别准则并建立模数一致且参数最优的Siegel–Walfisz型结果，应用于欧拉函数、除数函数等并证明其联合渐近等分布。
Average Multiplicative Order of Finitely Generated Subgroup of Rational Numbers Over Primes
给定一个由有理数$Γ$生成的乘法子群，在广义黎曼假设的条件下，给出了素数上的平均值的渐近公式，给出了约化群模$p$的阶的幂. Pomerance和Kurlberg在秩$1$的情况下考虑了这个问题。在$Γ$只包含正数的情况下，我们给出了所涉及的密度的欧拉积的显式表达式。最后我们用一些数值计算来作结论。
Asymptotics for multilinear averages of multiplicative functions
Halász的一个著名结果描述了单位圆上任意乘性函数的算术平均值的渐近行为。我们将这一结果推广到多线性平均的乘性函数提供类似的渐近，从而验证了一个二维的埃利奥特猜想的变体。作为结果，我们得到了几个收敛结果，这样的多线性表达式，其中之一推广了一个著名的Wirsing的收敛结果。关键成分是最近的结构结果有界乘性函数证明的作者和中值定理的Halász。
On multiplicative functions which are small on average
令$f$是假定单位圆盘内的值的完全乘性函数。我们表明，如果$\sum_{n<x} f(n) \ll x/(\log x)^A$，$x>2$，对于一些$A>2$，那么要么$f(p)$是小的平均值或$f$假装是$μ(n)n^{it}$的一些$t$。
Gowers norms of multiplicative functions in progressions on average
设$μ$为莫比乌斯函数，设$k \geq 1$。我们证明了对任何$σ> 0$，限制于级数$\{n \leq X: n\equiv a_q\pmod{q}\}$的$μ$的Gowers $U^k$ -范数是在$q\leq X^{1/2-σ}$上平均的$o(1)$，其中$a_q\pmod{q}$是具有$(a_q,q) = 1$的任意剩余类.这推广了$μ$的Besili-Vinogradov不等式，它对应于特殊情况$k=1$。
On multiplicative functions which are small on average and zero free regions for the Riemann zeta function
在这个简短的说明中，我们证明了以下结果：如果一个完全乘法函数$f:\mathbb{N}\to[-1,1]$是小的意义下，$\sum_{n\leq x}f(n)\ll x^{1-δ}$，对于一些$δ>0$，如果Dirichlet级数$f$，说$F(s)$，是这样的$F(1)=0$，那么我们得到，对于任何$ε>0$，$\sum_{p\leq x}(1+f(p))\log p\ll x^{1-δ+ε}$。而且，这种$f$存在的必要条件是黎曼ζ函数$ζ(s)$在半平面$Re(s)>1-δ$中没有零点。
Mean-Value of Product of Shifted Multiplicative Functions and Average Number of Points on Elliptic Curves
本文考虑两个实值乘性函数的乘积的均值，并给出了它们的移位变元。所考虑的函数$F$和$G$接近于两个表现良好的函数$A$和$B$，使得$A(n-h)B(n)$在任何算术级数上的平均值仅取决于级数的公差。我们使用这种方法的问题，找到平均值的$K(N)$，其中$K(N)/\log N$是素数的期望数量，使得一个随机椭圆曲线在有理数有$N$点时，减少了这些素数。
Effective Asymptotic Formulae for Multilinear Averages of Multiplicative Functions
设$f_1,\ldots,f_k : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$是在闭单位圆内取值的乘性函数。我们按照Halász均值定理的精神使用分析方法，将形状$$x^{-l} \sum_{\mathbf{n} \in [x]^l} \prod_{1 \leq j \leq k} f_j(L_j(\mathbf{n}))$$的多维平均值计算为$x \rightarrow \infty$，其中$[x] := [1,x]$和$L_1,\ldots, L_k$是满足某些自然条件的仿射线性形式。我们的方法给出了一个新的证明Frantzikinakis和主机是不同于他们的结果，与\emph{explicit}主要和错误的条款。作为我们公式的应用，我们建立了乘性函数Gowers范数的一个\emph{local-to-global}原理.我们还计算了整数$n$的集合的渐近密度，使得给定的乘法函数$f: \mathbb{N} \rightarrow \{-1, 1\}$在几乎所有的3项和4项算术级数上分别产生长度为3或4的固定符号模式，第一项为$n$。
Fourier uniformity of bounded multiplicative functions in short intervals on average
令$λ$表示Liouville函数。我们表明，作为$X \rightarrow \infty$，$$ \int_{X}^{2X} \sup_α \left | \sum_{x < n \leq x + H} λ(n) e(-αn) \right | dx = o ( X H) $$的所有$H \geq X^θ$与$θ> 0$固定，但任意小。以前，这仅适用于$θ> 5/8$。对于较小的$θ$值，这是第一个“非平凡”的情况下，平均在这个尺度上的局部傅立叶均匀性。我们也得到了类似的声明（非自命不凡）PDMATHAMT有界乘性函数。我们说明了强度的结果，通过获得取消的范围$h < X^θ$和$n < X$，其中$Λ$是冯Mangoldt功能的$λ(n) Λ(n + h) Λ(n + 2h)$的总和。
Explicit constants in averages involving the multiplicative order
让$a>1$。用$l_a(p)$表示$a$模$p$的乘法阶。我们寻找平均数上素数$p\leq x$上的$\frac{l_a(p)}{p-1}$的和的估计。当我们对$a\leq N$求平均值时，我们观察到$C\mathrm{Li}(x)$的统计量。P. J. Stephens ~ \cite [定理1]{S}证明了对于正常数$c_1$，$N>\exp(c_1\sqrt{\log x})$的这个统计量。在此基础上，给出了$c_1$的一个显式值.事实上，~ \cite [定理1，3]{S}与$N>\exp(3.42\sqrt{\log x})$成立，~ \cite [定理2，4]{S}与$N>\exp(4.8365\sqrt{\log x})$成立。此外，我们将$y$的范围从~ \cite [定理1]{LP}中的$y\geq \exp((2+ε)\sqrt{\log x\log\log x})$改进为$y > \exp(3.42\sqrt{\log x})$。
Bilinear sums of Kloosterman sums, multiplicative congruences and average values of the divisor function over families of arithmetic progressions
本文从模$q$的约化剩余集和任意集上的平均得到了等差数列$n \equiv a \pmod q$在$a$上的除数函数函数$τ(n)$与$n \le x$之和的几个渐近公式.主要目标是通过对$a$进行少量的平均来获得$q \ge x^{2/3}$的非平凡结果。我们记得，对于$a$的个别值，我们目前的方法的极限是对于任意固定的$\varepsilon> 0$的$q \le x^{2/3-\varepsilon}$。我们的方法基于Blomer（2008）基于Voronoi求和公式的方法，我们将其与Kowalski，Michel和Sawin（2017）和Shparlinski（2017）的Kloosterman和的双线性和的一些最新结果相结合。我们还利用额外的应用程序的Voronoi求和公式后，扩大到Kloosterman和，这减少了问题估计的解决方案的数量乘性同余。
Additive averages of multiplicative correlation sequences and applications
我们研究了$(\mathbb{N},\times)$和$(\mathbb{Q}^{>0},\times)$在可测量和拓扑环境下的递归集。特别是，我们证明了乘法系统产生的正函数的自相关序列具有正的加性平均值。我们还给出了标准时，集的形式$\{(an+b)^{\ell}/(cn+d)^{\ell}: n \in \mathbb{N}\}$是乘法递归集，因此，我们恢复两个最近的结果在数论中关于完全乘性函数和欧米茄功能。
Average variance bounds for integer points on the sphere
研究球面上整点投影的精细分布，考虑球冠中投影格点数量方差，证明了在对平方半径\(n\)平均后该方差的无条件上界及足够长区间平均时的相应估计，回应了Bourgain等人的猜想。
Beyond the LSD method for the partial sums of multiplicative functions
Landau-Selberg-Delange（LSD）方法给出了素数平均为$α$的乘性函数$f$的部分和的一个渐近公式.在文献中，平均值通常取为具有很强误差项的$α$，从而得到具有很强误差项的部分和的渐近公式。在实践中，在素数值的平均值可能只知道一个相当弱的误差项，所以我们在这里探讨如何好的估计，这将意味着部分和$f$，开发新的技术来做到这一点。
On the pointwise convergence of the cubic average with multiplicative or von Mangoldt weights
证明了具有有界非周期乘性函数或vonMangoldt权的任意阶三次非常规遍历平均几乎必然收敛。
Improved bounds for multiplicative functions in almost all short intervals
研究改进乘法函数短平均值的Matomäki-Radziwiłł方法，对特定函数证明最优衰减界，关键是精确处理筛法误差，还给出其他函数的改进界及局限性，应用于平均Chowla猜想获改进界。
Friable averages of oscillating multiplicative functions
本文研究了狄利克雷级数接近黎曼ζ函数负幂的算术函数的脆弱平均值，获得了类似Selberg-Delange方法的渐近展开，并应用于截断求和。
Smooth-supported multiplicative functions in arithmetic progressions beyond the $x^{1/2}$-barrier
我们证明了光滑支持的乘性函数$f$在$(q,a_1a_2)=1$模$q\leq x^{3/5-\varepsilon}$上的平均等差数列$a_1a_2^{-1} \pmod q$中分布良好。
Correlations of multiplicative functions and applications
我们给出了一个渐近公式的相关\[ \sum_{n\le x}f_1(P_1(n))f_2(P_2(n))\cdot \dots \cdot f_m(P_m(n))\] $f\dots,f_m$是有界的“自命不凡”的乘性函数，在某些自然的假设。然后，我们推导出几个理想的结果：\第一，我们刻画了所有的乘性函数$f:\mathbb{N}\to\{-1,+1\}$有界部分和。这就回答了陶渊明从$1957$提出的一个问题。其次，我们证明了，如果乘法函数的第一个除差的平均值为零，那么无论是$\operatorname{Re}(s)<1$或$|f(n)|$的$f(n)=n^s$平均较小。这就解决了卡泰的一个古老猜想。第三，我们应用这个定理计算了$n=a+b$的表示数，其中$a,b$属于$\mathbb{N}.$的某些乘法子集，这给出了Brüdern结果的一个新的“无圆方法”证明.
Size of product of a number and its multiplicative inverse, Moments of L-functions and Exponential Sums
本文研究了一个数与其模为素数p的乘法逆乘积的平均大小，这与L函数的矩有关，并导出了某个三重指数和的一个奇异的渐近公式.
On averages of completely multiplicative functions over co-prime integer pairs
本文研究了完全乘法函数在互质整数对上的平均值行为，推导了高斯整数上的Wirsing定理，并在多线性平均方面取得新进展。
On binary correlations of multiplicative functions
研究了有界乘性函数$g_1$和$g_2$的数学平均二元相关.陶在这些相关性上取得了突破性进展，他指出，只要$g_1$或$g_2$不假装是任何扭曲的狄利克雷特征标，在乘性函数的假装距离的意义上，相关性平均值就可以忽略不计。我们考虑一类更广泛的实值乘性函数$g_j$，即那些均匀分布在算术级数固定模。在此假设下，我们得到了一个不相关估计，表明$g_1$和$g_2$的相关性是渐近于其平均值的乘积。我们得到几个应用程序，首先表明，$n$和$n+1$的大素因子的数量是相互独立的对数密度。其次，我们证明了Erdés和Pomerance猜想在两个连续光滑数上的对数版本。第三，我们表明，如果$Q$是立方自由的，属于伯吉斯制度$Q\leq x^{4-\varepsilon}$，对数平均周围的$x$的实字符$χ\pmod{Q}$在一个可约的二次多项式的值是小的。
The structure of logarithmically averaged correlations of multiplicative functions, with applications to the Chowla and Elliott conjectures
设$g_0,\dots,g_k: {\bf N} \to {\bf D}$是$1$有界的乘性函数，$h_0,\dots,h_k \in {\bf Z}$是移位.我们考虑相关序列$f: {\bf N} \to {\bf Z}$的形式$$ f(a):= \widetilde{\lim}_{m \to \infty} \frac{1}{\log ω_m} \sum_{x_m/ω_m \leq n \leq x_m} \frac{g_0(n+ah_0) \dots g_k(n+ah_k)}{n} $$其中$1 \leq ω_m \leq x_m$是数字走向无穷大的$m \to \infty$，和$\widetilde{\lim}$是一个广义极限功能扩展通常的极限功能。我们证明了这些序列的一个结构定理，即这些序列$f$是周期序列$f_i$的一致极限。此外，如果乘法函数$g_0 \dots g_k$“弱假装”为狄利克雷特征标$χ$，则周期函数$f_i$可以被选择为$χ$ -同构，在这个意义上，只要$b$与$f_i$和$χ$的周期互质，则$f_i(ab) = f_i(a) χ(b)$就可以被选择为$χ$-同构，而如果$g_0 \dots g_k$不弱假装为任何狄利克雷特征标，则$f$必须相同地为零。作为结果，我们得到了几个新的情况下的数学平均的埃利奥特猜想，包括数学平均的Chowla猜想奇阶相关…
The structure of multiplicative functions with small partial sums
Landau-Selberg-Delange方法给出了一个乘积函数的部分和的渐近公式，该函数的素数平均值是一个固定的复数$v$。这个渐近的形状意味着，$f$可以得到非常小的平均只有当$v=0,-1,-2,\dots$。此外，如果是$v<0$，则与$f$相关联的狄利克雷级数必须在$s=1$处具有重数$-v$的零。在本文中，我们证明了一个相反的结果，该结果表明，如果$f$是一个由适当的约数函数限制的乘法函数，并且$f$具有非常小的部分和，则必须有有限个实数$γ_1$、$\dots$、$γ_m$，使得平均而言$f(p)\approx -p^{iγ_1}-\cdots-p^{-iγ_m}$。数字$γ_j$对应于与$f$相关联的狄利克雷级数的零的坐标，以多重性计数。这概括了第一作者，谁处理的情况下，$|f|\le 1$在以前的工作的结果。
Automorphisms with quasi-discrete spectrum, multiplicative functions and average orthogonality along short intervals
证明了关于Möbius不相交性的Sarnak猜想在拟离散谱自同构的每个唯一遍历模型中成立.该结果的结果是，对于每个具有无理前导系数的非常数多项式$P\in\R[x]$和对于每个乘性函数$\bnu:\N\to\C$、$|\bnu|\leq1$，我们有\[ \frac{1}{M} \sum\_{M\le m\textless{}2M} \frac{1}{H} \left| \sum\_{m\le n \textless{} m+H} e^{2πiP(n)}\bnu(n) \right|\longrightarrow 0 \]作为$M\to\infty$、$H\to\infty$、$H/M\to 0$。
The variance of a general class of multiplicative functions in short intervals
通过傅里叶分析和特定二元形式有理点计数，建立短平均与长平均的联系，给出短区间内一般乘法函数类的渐近方差估计，并推翻van Overbeeke关于φ(n)/n方差的猜想。
On multiplicative functions with small partial sums
该研究聚焦解析数论中积性函数素数取值与平均值的反向关联，证明了除数有界且部分和小的积性函数，其素数平均取值可由对应Dirichlet级数在ℜ(s)=1上的零点虚部表示，推广了已有相关结果。
On the average value of the least common multiple of $k$ positive integers
本文导出了和$\sum_{n_1,\ldots,n_k \le x} f([n_1,\ldots, n_k])$的一个带误差项的渐近公式，其中$[n_1,\ldots, n_k]$表示正整数的最小公倍数$n_1,\ldots, n_k$（$k\ge 2$）和$f$属于一大类乘法算术函数，其中包括函数$f(n)=n^r$、$φ(n)^r$、$σ(n)^r$（$r>-1$实数），其中$φ$是欧拉函数，$σ$是约数和函数。证明是由基本的参数，使用的卷积方法的几个变量的算术函数的扩展，从观察，给定一个乘法函数$f$，$k$变量$f([n_1,\ldots,n_k])$的功能是乘法。
Moyennes de certaines fonctions multiplicatives sur les entiers friables, 3
本文研究非负乘性函数在光滑整数上的对数平均，在单侧和双侧假设下得到改进的精确估计，并据此给出了 Johnson--Selberg 素数幂筛法的有效形式。
Bombieri-Vinogradov for multiplicative functions, and beyond the $x^{1/2}$-barrier
“乘性数论“研究的一部分是研究等差数列中乘性函数的分布。虽然在乘性函数的特殊例子中，已经证明了与Bjueri-Vingradov定理的适当类比，但在一般理论上还没有取得进展;似乎没有一个素数的Bjueri-Vingradov定理的不同证明很好地适应这种情况。在这篇文章中，我们将找出为什么这样的结果如此难以捉摸，并发现沿着这些路线可以证明什么，并提出一些限制。对于一个固定的剩余类$a$，我们扩展这样的平均模$\leq x^{\frac {20}{39}-δ}$。
Zeta zeros of function fields heuristically equidistribute as genus goes to infinity
该研究针对有限域上曲线平均类数增长率提出启发式方法，基于通用雅可比稳定上同调假设，证明曲线ζ函数零点随亏格趋于无穷时在圆上等分布。
The structure of correlations of multiplicative functions at almost all scales, with applications to the Chowla and Elliott conjectures
研究了高阶相关函数$$ \mathbb{E}_{n \leq X/d} g_1(n+ah_1) \cdots g_k(n+ah_k)$$作为参数$a$和$d$的函数的渐近行为，其中$g_1,\dots,g_k$是有界乘性函数，$h_1,\dots,h_k$是整数移位，$X$是大的.我们的主要结构的结果断言，粗略地说，这种相关性渐近消失，几乎所有的$X$，如果$g_1 \cdots g_k$不（弱）假装是一个扭曲的狄利克雷字符$n \mapsto χ(n)n^{it}$，并表现出渐近像$d^{-it} χ(a)$的倍数，否则。这扩展了我们早期关于数学平均相关性结构的工作，其中$d$参数被平均，并且可以设置$t=0$。除其他事项外，结果使我们能够建立特殊情况下的Chowla和Elliott猜想（未加权）平均在几乎所有的尺度;例如，我们建立$k$ -点Chowla猜想$ \mathbb{E}_{n \leq X} λ(n+h_1) \cdots λ(n+h_k)=o(1)$ $k$奇数或等于$2$的所有尺度$X$以外的一组零对数密度。
Short Exponential Sums and Ternary Correlations of Multiplicative Functions
研究一般k-除数有界的乘法函数的三元相关性平均行为，结合圆法与加权短指数和界，利用L-函数积分矩界获得关键输入。
Divisor-bounded multiplicative functions in short intervals
我们将Matomäki-Radziwiwiwi-functions定理推广到一个无界的乘性函数的大集合，这些函数在素数上是一致有界的，但不一定是1有界的。我们的结果使我们能够估计这样一个函数$f$的平均值在典型的间隔长度$h(\log X)^c$，与$h = h(X) \rightarrow \infty$和其中$c = c_f \geq 0$是由分布的$\{|f(p)|\}_p$在一个明确的方式。我们提出三个应用。首先，我们证明了经典的Rankin-Selberg型渐近公式的部分和$|λ_f(n)|^2$，其中$\{λ_f(n)\}_n$是一个原始的非CM全纯尖点形式的归一化傅立叶系数序列，持续在典型的短区间长度$h\log X$，如果$h = h(X) \rightarrow \infty$。我们还将这个结果推广到序列$\{|λ_π(n)|^2\}_n$，其中$λ_π(n)$是标准$L$ -函数的$n$系数，其中$GL_m$，$m \geq 2$具有酉中心特征标的自守表示$π$满足广义Ramanujan猜想。第二，使用最近的发展理论的自守形式，我们估计方差的平均值的所有正实矩$\{|λ_f(n)|^α\}_n$的间隔长度$h(\log X)^{c_α}$，$c_α > 0$明确，为任何$α> 0$，作为$h = h(X) \rightarrow \infty$。最后，我们证明了…
A cubic nonconventional ergodic average with multiplicative or Mangoldt weights
证明了当乘性函数满足强Daboussi-Delange条件时，具有有界乘性函数权的任意阶三次非常规遍历平均几乎必然收敛于零.我们进一步得到了这类乘性函数的自相关的Cesàro平均和自相关的某些移动平均收敛于零。我们的证明给出了，对于任意的$N \geq 2$，$$\frac1{N}\sum_{m=1}^{N}\Big|\frac1{N}\sum_{n=1}^{N} \bnu(n) \bnu(n+m)\Big| \leq \frac{C}{\log(N)^ε},$$和$$\frac1{N^2}\sum_{n,p=1}^{N}\Big|\frac1{N}\sum_{m=1}^{N} \bnu(m) \bnu(n+m)\bnu(m+p)\bnu(n+m+p)\Big| \leq \frac{C}{\log(N)^{\varepsilon}},$$，其中$C,\varepsilon$是一些正的常数，$\bnu$是一个满足Daboussi-Delange条件的有界乘性函数，具有对数速度.我们进一步建立了具有Mangoldt权的任意阶三次非常规遍历平均几乎必然收敛，只要所有系统都是零系统。
Truncated pretentious distances of multiplicative arithmetic functions
本文研究非自命乘法函数的自相关平均收敛性，揭示其局部自命行为与素数上偏差的联系，并证明一类函数满足原始形式的 Elliott 猜想。
Submanifold-genericity of $\mathbb{R}^d$-actions and uniform multiplicative Diophantine approximation
本文为$\mathbb{R}^d$-作用证明了涉及膨胀子流形平均的新遍历定理，给出有效混合假设下的误差项定量估计，并据此研究了实系数矩阵的乘性Dirichlet可改进性，证明了几乎所有矩阵的一致逼近性，提出了Littlewood猜想的强化问题。
Multiplicative functions in short intervals
我们介绍了一个一般的结果有关“短平均”的乘法函数的“长平均”，这是很好理解的。这一结果有几个后果。首先，对于莫比乌斯函数，我们证明了在几乎所有的$[x, x + ψ(x)]$与$ψ(x) \rightarrow \infty$任意慢的形式的区间中，$μ(n)$的和都有消去。这超出了以前已知的有条件的密度假设或更强的黎曼假设。第二，我们解决了长期存在的猜想$x^ε$ -光滑数的存在性在区间的形式$[x, x + c(\varepsilon) \sqrt{x}]$，恢复无条件的条件（黎曼假设）的Soundararajan的结果。第三，我们证明了对于某些$δ> 0$，具有$λ(n)$ Liouville函数的$λ(n)λ(n+1)$的均值在绝对值上非平凡地有$1 - δ$的界.这解决了一个古老的民间传说猜想，并构成了对Chowla猜想的进展。第四，我们证明了一个（一般）实值乘法函数$f$具有正比例的符号变化，当且仅当$f$是负的至少一个整数和非零的正比例的整数。这改进了许多以前的作品，并且在莫比乌斯函数的情况下已经是新的。我们还得到了关于几乎所有区间上光滑数的一些结果，以及乘性函数在所有平方根长度区间上的符号变化。
Averages of the number of points on elliptic curves
如果$E$是定义在$\mathbb Q$上的椭圆曲线，并且$p$是$E$的良好约化的素数，则令$E(\mathbb F_p)$表示约化曲线上模$p$的点集。通过设置$M_E(N):= \#\{p: \#E(\mathbb F_p)= N\}$定义算术函数$M_E(N)$。最近，David和第三作者研究了椭圆曲线$E$的某些“盒子”上的$M_E(N)$的平均值。假设一个关于短间隔素数的合理猜想，他们证明了以下结果：对于奇数$N$，对于一个显式给定的函数$K^{\ast}(N)$，$M_E(N)$在一个具有足够大边的盒子上的平均值是$\sim \frac{K^{\ast}(N)}{\log{N}}$。函数$K^{\ast}(N)$有些特殊：定义为素数除以$N$的乘积，乍一看它类似于乘法函数。但进一步的研究表明，它不是，所以不能直接研究其性质的乘法数论的常用工具。在本文中，我们克服了这些困难，并证明了一些统计结果关于$K^{\ast}(N)$。例如，我们确定的平均值$K^{\ast}(N)$在所有$N$，奇$N$和总理$N$，我们表明，$K^{\ast}(N)$有一个分布函数。我们还解释了我们的结果如何与现有的定理和代数乘法性质的$\# E(\mathbb F_p)$，如Koblitz猜想。
On the homogeneous ergodic bilinear averages with $1$-bounded multiplicative weights
本文推广了Bourgain双重回归定理和遍历Bourgain-Sarnak定理，证明非周期$1$-有界乘性权下齐次遍历双线性平均几乎处处收敛于零，并给出关键证明要素。
Improved Average Bounds for an Inequality of Alladi, Erdös, and Vaaler
本文证明了Alladi、Erdös和Vaaler猜想的一个平均版本，表明满足特定大小约束的乘性函数的除数和大部分值来源于其“小”除数。
The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures for two-point correlations
令$λ$表示Liouville函数。Chowla猜想，在两点相关的情况下，断言$$ \sum_{n \leq x} λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) = o(x) $$作为$x \to \infty$，对于任何固定的自然数$a_1,a_2,b_1,b_2$与$a_1b_2-a_2b_1 \neq 0$。本文建立了Chowla猜想的数学平均形式$$ \sum_{x/ω(x) < n \leq x} \frac{λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2)}{n} = o(\log ω(x)) $$为$x \to \infty$，其中$1 \leq ω(x) \leq x$是$x$的任意函数，它以$x \to \infty$的形式无穷大，从而打破了这个问题的“奇偶性障碍”.我们的主要工具是乘法的刘维函数在小素数，最近的结果Matomäki，Radziwiwienkirk，和作者的平均调制乘性函数在短时间内，浓度的措施不平等，哈迪-Littlewood循环方法结合限制定理的素数，和一个新的“熵递减的论点”。这些成分中的大多数也可用于（至少在原则上）高阶相关，主要缺失的成分是需要控制由局部零序列调制的乘性函数的短和。我们的论点也扩展到更一般的有界乘性函数比刘维函数$λ$，导致在两点的情况下的艾略特猜想的数学平均版本。在随后的论文中，我们将使用这个版本的艾略特…
On Equal Consecutive Values of Multiplicative Functions
本研究在积性函数满足特定素数和发散的条件下，证明其相等非零连续值的集合对数密度为0并给出逆命题，结合Tao定理与加性组合逆理论，还应用于全纯尖点形式的傅里叶系数。
Sign changes of the partial sums of a random multiplicative function III: Average
本文研究 Rademacher 随机乘性函数部分和符号变化的平均次数，利用 Harper 的小矩估计证明了其下界至少为 (log x)(log log x)^{-1/2-ε}，并将 Erdős–Hunt 关于独立同分布情形符号变化的经典结果推广到更广泛的相依随机变量系统。
Higher uniformity of bounded multiplicative functions in short intervals on average
令$λ$表示Liouville函数。我们表明，作为$X \rightarrow \infty$，$$\int_{X}^{2X} \sup_{\substack{P(Y)\in \mathbb{R}[Y]\\ deg(P)\leq k}} \Big | \sum_{x \leq n \leq x + H} λ(n) e(-P(n)) \Big |\ dx = o ( X H)$$为所有固定的$k$和$X^θ \leq H \leq X$与$0 < θ< 1$固定，但任意小。以前，这仅适用于$k \leq 1$。我们得到这个结果作为一个特殊的情况下，相应的声明（非自命不凡）$1$有界乘性函数，我们证明。事实上，我们能够用次数$k$零序列$\overline{F}(g(n) Γ)$代替多项式相位$e(-P(n))$。通过Gowers范数的逆理论，这意味着在$H$的相同范围内高阶渐近一致性结果$$\int_{X}^{2X} \| λ\|_{U^{k+1}([x,x+H])}\ dx = o ( X )$$。我们目前的应用程序，这一结果的各种类型的刘维尔序列的模式。首先，我们证明了Liouville函数的符号模式数是超多项式，从而改进了Sarnak关于Liouville序列具有正熵的猜想。其次，我们得到的$λ$在短多项式级数$(n+P_1(m),\ldots, n+P_k(m))$，在线性多…
Weighted averages of arithmetic functions over regular integers modulo $n$
该研究推广了Kiuchi与Matsuoka的恒等式，建立了算术函数部分和的一般变换公式，将其应用于经典乘性函数的加权平均，得到了显式渐近公式，为推导渐近结果提供了统一框架。
Furstenberg systems of pretentious and MRT multiplicative functions
本文研究了有界乘性函数相关的Furstenberg系统的结构性质，证明pretentious乘性函数的系统具有有理离散谱和零熵，并揭示了MRT乘性函数的新遍历现象及不同平均方式下强平稳性的差异。
An averaged Chowla and Elliott conjecture along independent polynomials
我们推广的结果Matomäki，Radziwiwienkirn，和陶，证明了一个平均版本的猜想Chowla和一个猜想的埃利奥特有关的相关性的刘维函数，或更一般的有界乘性函数，与移位的独立多项式在几个变量。一个新的特点是，我们重铸的问题，遍历条款，并使用多重遍历定理来证明它，它的假设是验证使用最近的结果Matomäki和Radziwiwienkirchen平均值的乘性函数在典型的短时间间隔。我们推导出几个后果的模式，可以发现的范围内的各种等差数列沿移位的独立多项式。
Remarks on the Selberg--Delange method
本文研究Selberg-Delange方法，在不同于经典解析延拓或导数绝对收敛的假设下，为乘法函数$f$的平均值建立精确渐近估计。
On the behaviour of root numbers in families of elliptic curves
设E是环Q上的单参数椭圆曲线族。我们证明了一大类相当一般类型的椭圆曲线族的平均根数为零。此外，我们证明了任何在Q（t）上至少有一个乘性约化点的族E的平均根数为0，条件是两个经典的算术定理对两个用E显式构造的多项式成立.在Q（t）上没有乘性约化的任何族E中的根数的行为被证明是相当规则和非随机的;在这种情况下，我们给出了平均根数的表达式。
On sums of logarithmic averages of gcd-sum functions
令$\gcd(k,j)$为整数$k$和$j$的最大公约数。对于任意数论函数$f$，我们建立了权值与多项式有关的gcd-和函数的加权平均值的几个渐近公式，即$$\sum_{k\leq x}\frac{1}{k} \sum_{j=1}^{k}f(\gcd(k,j)) \log j.$$。更确切地说，我们给出了各种乘法函数如$f=id$，$ϕ$，$id_{1+a}$和$ϕ_{1+a}$与$-1<a<0$的渐近公式。我们还建立了和函数$\sum_{j=1}^{k}s_{k}(j)\log j$为系数的Dirichlet级数的一些公式，其中$s_{k}(j)$为Anderson-Apostol和.
Furstenberg systems of bounded multiplicative functions and applications
我们证明了一个结构性的结果，自然与任何有限收集的乘性函数，采取价值观的复杂的单位盘的措施保持系统。我们证明了这些系统没有无理谱，它们的构造块是Bernoulli系统和无限步零系。我们的结构结果的一个结果是，强非周期乘性函数满足的不相交猜想Sarnak的代数平均的变种为广泛的零熵拓扑动力系统，其中包括所有的唯一遍历的。我们推导出值为正负1的非周期乘性函数具有超线性块增长。我们的结构结果的另一个后果是，产品的移位的任意乘性函数与单位圆盘上的值不相关的任何完全遍历确定性序列的零均值。我们的方法主要基于作者在前一篇文章中开发的技术，其中莫比乌斯函数和刘维尔函数证明了类似的结果。一个新的成分需要是一个结果最近获得的陶和Teräväinen有关的奇阶情况下的Chowla猜想。
Spherical averages of Siegel transforms for higher rank diagonal actions and applications
本文研究了乘法丢番图逼近中逼近的几何性质。我们的主要工具是${\mathbb R}^n$中的单模格空间上的Siegel变换的一个新的多参数平均结果。
On the multivariable generalization of Anderson-Apostol sums
本文分别给出了关于完全乘性函数、完全可加函数、多项式、Γ函数、伯努利多项式和二项式系数的广义Anderson-Apostol和乘积的加权平均的各种恒等式.我们的结果推广了许多已知的结果。
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