球面上整点的平均方差界

Linnik遍历方法与球面上整数点的分布

Linnik's ergodic method and the distribution of integer points on spheres

我们讨论林尼克的工作分配的整体解决方案$x^2+y^2+z^2 =d$，因为$d$走向无穷大。我们给出了一个阐述林尼克的遍历方法，事实上，通过使用大偏差的结果随机游动的扩展图，我们建立了一个完善的等分布定理。我们讨论这些想法与现代发展（遍历理论的齐性空间，$L$ -功能）。

Optimal Small Scale Equidistribution of Lattice Points on the Sphere, Heegner Points, and Closed Geodesics

We asymptotically estimate the variance of the number of lattice points in a thin, randomly rotated annulus lying on the surface of the sphere. This partially resolves a conjecture of Bourgain, Rudnick, and Sarnak. We also obtain estimates that are valid for all balls and annuli that are not too small. Our results have several consequences: for a conjecture of Linnik on sums of two squares and a "microsquare", a conjecture of Bourgain and Rudnick on the number of lattice points lying in small balls on the surface of the sphere, the covering radius of the sphere, and the distribution of lattice…

双曲整数同调3-球面的内射半径

Injectivity radii of hyperbolic integer homology 3-spheres

我们构造了双曲整数同调3-球面，其内射半径对流形上几乎所有点都是任意大的。因此，存在一列Benjamini-Schramm收敛于H^3的闭双曲三维流形，其正规化Ray-Singer解析挠率不收敛于H^3的L^2解析挠率。这与阿伯特等人的工作形成对比。他证明了Benjamini-Schramm收敛迫使规范化贝蒂数收敛。我们的研究结果揭示了Bergeron和Venkatesh猜想的增长扭转的算术双曲3-流形的同调，我们给出的实验结果支持这一点和相关的progratures。

关于等差数列中无平方数的分布

On the distribution of squarefree integers in arithmetic progressions

本文研究了无平方数整数个数的渐近公式的误差项，该公式在一定范围内，且位于某个等差数列a（mod q）中。特别是，我们证明了它的方差的上界作为一个变化超过$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$，大大提高了早期的工作Blomer。

整数序列伸缩的数方差几乎必然渐近性

Almost sure asymptotics for the number variance of dilations of integer sequences

本文研究整数序列伸缩模1的数方差，在正则性假设下对几乎所有参数确立了伪随机行为，并针对多项式序列及一般序列分别给出了Poissonian行为的范围与基于加性能量的判定准则。

欧拉函数的方差

The variance of the Euler totient function

本文研究了有限域$\mathbb{F}_q$上整数$\mathbb{Z}$和多项式环$\mathbb{F}_q[T]$中欧拉函数（归一化为$φ(n)/n$）的方差.结果表明，在$\mathbb{Z}$中，在某些假设下，归一化欧拉函数的方差变为常数。这得到了几个数值模拟的支持。令人惊讶的是，在$\mathbb{F}_q[T]$、$q\rightarrow \infty$中，模拟并不成立：由于大量的抵消，方差与间隔的大小成反比。

球面上格点的空间统计I：单个结果

Spatial statistics for lattice points on the sphere I: Individual results

我们研究了球面上的点集的空间分布，这些点集是由一个大整数表示为三个整数的平方和而得到的。我们研究了这些点集的几个统计量，如静电势，Ripley函数，随机球冠中的点的数量的方差，以及覆盖半径。有些结果是以广义黎曼假设为条件的。

双曲球面问题中的局部平均

Local average in the Hyperbolic sphere problem

本文研究了双曲球面问题中的局部平均，通过改进余项界和利用谱指数和的界，改进了双曲格点计数的精度。

顶点及其正交格

Integer points and their orthogonal lattices

林尼克证明了在20世纪50年代后期的等距分布的整数点的大型领域下的一个合同条件。1988年，Duke（在Iwaniec的突破基础上）使用完全不同的技术解除了一致性条件。我们猜想，这个等分布的结果也扩展到对组成的一个向量的球和形状的格在其正交补。我们使用一个连接的结果，更高的秩对角化行动，以获得这个猜想下的一个额外的同余条件。

球面上有理点的均匀分布、覆盖半径与丢番图逼近

Equidistribution, covering radius, and Diophantine approximation for rational points on the sphere

研究球面上固定高度有理点在缩小尺度下的分布，证明了二维球面本原平方级林尼克集的无条件方差估计，得到不同类型的均匀分布，并推导出在覆盖、丢番图逼近及相关猜想方面的应用。

$\mathbb{T}^3$上的随机波：节点面积方差和格点相关

Random waves on $\mathbb{T}^3$: nodal area variance and lattice point correlations

本文研究了$\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$（“$3d$算术随机波”）上随机高斯拉普拉斯本征函数的系综，并研究了它们的节点表面积分布。预期面积与本征值的平方根或本征函数的“能量”成比例。我们表明，节点面积方差服从渐近规律。所得的渐近公式与球面上格点的角分布和相关性密切相关。

Asymptotic distribution of Nodal Intersections for ARW against a Surface

We investigate Gaussian Laplacian eigenfunctions (Arithmetic Random Waves) on the three-dimensional standard flat torus, in particular the asymptotic distribution of the nodal intersection length against a fixed regular reference surface. Expectation and variance have been addressed by Maffucci (2019) who found that the expected length is proportional to the square root of the eigenvalue times the area of the surface, while the asymptotic variance only depends on the geometry of the surface, the projected lattice points being equidistributed on the two-dimensional unit sphere in the high-energ…

$\mathbb{F}_q[T]$ 中短区间内两平方数和个数的方差

The variance of the number of sums of two squares in $\mathbb{F}_q[T]$ in short intervals

本文在 $\mathbb{F}_q[T]$ 中大 $q$ 极限下解决了短区间内两平方数和计数的方差估计问题，揭示了其与 $z$-测度的联系，并基于此提出了与数值数据高度吻合的整数环境猜想。

$p$ -adic整数空间的遍历变换

Ergodic Transformations of the Space of $p$-adic Integers

设$\mathcal L_1$是所有$p$ -adic整数$\Z_p$到其自身的满足Lipschitz条件且常数为1的所有映射$f\colon\Z_p\Z_p$的集合.证明了对所有$k=1,2,3,...$，映射$f\in\mathcal L_1$关于$\Z_p$上的归一化Haar测度是遍历的当且仅当$f$在每个剩余环$\Z/p^k\Z$模$p^k$上诱导单圈置换.多元的情况下，以及测量保持映射，也被认为是。本文的结果与作者以前的结果相结合，给出了$\mathcal L_1$的遍历映射的明确描述. $p=2$的该表征是完整的。作为一个应用，我们得到的多项式（和某些局部解析函数），诱导遍历变换的$p$ -adic领域的一个特征。后一个结果意味着一个问题的解决方案（由A.~ Khrennikov）关于球面上扰动单项式映射的遍历性。

关于PLRS分解方差的渐近性态

On the Asymptotic Behavior of Variance of PLRS Decompositions

正线性递归序列的形式为$H_{n+1} = c_1 H_n + \cdots + c_L H_{n+1-L}$，其中每个$c_i \ge 0$和$c_1 c_L > 0$具有适当选择的初始条件。有一个合法分解的概念（粗略地说，给定序列中的项的和，我们不能使用递归关系来减少它），使得每个正整数都有一个唯一的合法分解使用序列中的项;这推广了Zeckendorf分解，它指出任何正整数都可以唯一地写为不相邻的Fibonacci数的和。以前的工作证明，不仅存在一个分解，但在合法的分解$m \in [H_n, H_{n+1})$ $K_n(m)$的数目收敛到高斯。使用部分分数和生成函数，很容易证明$n$中的均值和方差分别线性增长：$a n + b + o(1)$和$C n + d + o(1)$;困难在于证明$a$和$C$是正的。以前的方法依赖于对与生成函数和特征多项式相关的多项式的精细分析，并且在代数上是繁琐的。我们介绍新的，基本的技术，绕过这些问题。关键的见解是通过条件概率展开使用归纳和自举界限来显示方差是无界的，因此是$C > 0$（均值可以通过简单的计数参数轻松处理）。